江苏赣榆高级中学2025-2026学年高二上学期数学期末复习专题训练4——圆锥曲线1

专题4——圆锥曲线1 命题：孙跟春 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线y＝4x2的焦点坐标为(    ) A．(1，0) B．(2，0) C．(0，) D．(0，) 【答案】D  【解答】 解：抛物线的方程为， 其焦点在轴正半轴上，且， 则其焦点坐标为， 故选： 2．若椭圆＋＝1(a＞)的长半轴长等于其焦距，则a＝( ) A．2 B．2 C．2 D．4 【答案】A  【解答】  解：椭圆的长半轴长等于其焦距，即， 所以，解得或舍去． 3．已知双曲线C的焦点在x轴上，两条渐近线为y＝±x，则C的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】B  【解析】解：由已知可设双曲线的方程为 依题意可知 ，求得，   ，   ， 故选B 4．若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(    ) A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D  【解答】 解：由题意可得， 解得或舍去 故选D． 5．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p＞0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为(    ) A．(，0) B．(，0) C．(1，0) D．(2，0) 【答案】B  【解答】 解：根据题意，不妨取，则， 因为，可得，所以，故， 所以抛物线，所以抛物线的焦点坐标为． 故选B． 6．已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(    ) A． B．3 C．2 D．4 【答案】B  【解析】解：因为双曲线的渐近线方程为，所以． 不妨设过点的直线与直线交于点． 因为为直角三角形，所以不妨设， 则又直线过点， 所以直线的方程为． 由，得 所以，所以， 所以，故选B． 7．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，右焦点为F，直线A1B1与直线B2F相交于点T若A2T垂直于x轴，则椭圆的离心率e＝(    ) A． B． C． D． 【答案】A  【解答】 解：由题意，直线的方程为：， 直线的方程为：， 所以联立可得的横坐标为：， 垂直于轴，所以，可得， 所以椭圆的离心率为：． 故选A． 8．设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(    ) A． B． C．2 D． 【答案】A  【解答】 解：方法一：设与轴交于点，由对称性可知轴， 又，  ， 为以为直径的圆的半径， 为圆心，， ，又点在圆上， ，即， ， 故选A． 方法二：如图，以为直径的圆的方程为， 又圆的方程为， 所在直线方程为． 把代入，得， 再由，得， 即， ，解得． 故选A． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．已知a＞b＞0，椭圆C1：＋＝1的离心率为e1，双曲线C2：－＝1的离心率为e2，则    ． A．椭圆C1的长轴长为2a B．双曲线C2的虚轴长为2a C．椭圆C1与双曲线C2的焦距相等 D．e＋e＝2 【答案】AD  【解答】 解：由题意可知，椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距长为， 离心率， 双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距长为， 离心率， 则， 故选： 10．已知方程＋＝1(m∈R)表示曲线C，则(    ) A．曲线C表示椭圆，则m取值范围是(－9，16) B．m＝0时，曲线C的离心率为 C．m＝－11时，曲线C的渐近线方程为y＝±x D．m∈(－∞，－9)，曲线C表示焦点在x轴上的双曲线 【答案】BD  【解答】 解：因为， 对于：若方程表示椭圆，所以，解得或，故错误； 对于：若，则，所以、，所以，所以离心率，故正确； 对于：若，则曲线方程为，则渐近线方程为，故错误； 对于：若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得，故时，方程表示焦点在轴上的双曲线，即正确． 11．已知抛物线C：x2＝4y的准线为l，焦点为F，P为抛物线C上的动点，过点P作⊙A：(x－2)2＋y2＝的一条切线，Q为切点，过点P作l的垂线，垂足为B，则(    ) A． 准线l与圆A相切 B． 过点F，A的直线与抛物线C相交的弦长为5 C． 当P，A，B三点共线时，|PQ|＝ D． 满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个 【答案】BD  【解析】解：对于，准线：， 的圆心坐标为，半径为， 所以准线与圆相离，A错误 对于，直线的方程为，代入， 得，， 弦长为，B正确 对于，当时， ，，， ，C错误 对于，由抛物线的定义得，直线的垂直平分线方程为， 代入得， 所以，点有且仅有个，D正确． 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线l与双曲线x2－4y2＝4相交于A、B两点，若点P(4，1)为线段AB的中点，则直线l的方程是           ． 【答案】  【解答】 解：设，，则，， ，， 两式相减可得， ， 直线的斜率， 直线的方程为，即． 故答案为． 13．如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为           ． 【答案】米  【解答】 解：如图建立直角坐标系， 设抛物线方程为， 将代入， 得， ， 代入得， 故拱顶到水面的距离为． 故答案为：米． 14．已知F1，F2是双曲线C：－＝1的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足!语法错误，)＝3!语法错误，)，且|F2Q|＝|F2P|，则双曲线C的离心率为           ． 【答案】  【解析】解：延长与双曲线交于点，因为， 根据对称性知，四边形为平行四边形， 设，则，，可得，即， 所以，则，， 即，可知， 在中，由勾股定理得， 即，可得，即， 即． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(本小题13分) 已知双曲线C：－＝1的左，右焦点分别为F1，F2． （1）求与双曲线C有共同渐近线且过点的双曲线的标准方程； （2）若P是双曲线C上一点，且∠F1PF2＝150，求△F1PF2的面积． 【答案】解：设与双曲线：有共同渐近线的双曲线方程为． 所求双曲线过点， ，即． 所求双曲线的标准方程为． 由双曲线：，得，，则， 不妨设在双曲线右支上，由双曲线的定义可得． 由余弦定理可得 ， 代入数据可得， 解得， ． 16．(本小题15分) 已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，上顶点为A(0，1)． （1）求E的方程 （2）过点P(0，)斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两点M，N，且MN＝，求k的值． 【答案】解：因为椭圆  的离心率为，上顶点为， 所以，，即， 因为，解得， 所以椭圆的方程为； 根据题意，设直线，设，， 则，整理得， ，即， ，， ， 即，解得：或舍去， ．  17．(本小题15分) 设抛物线C：y2＝2x，点A(2，0)，B(－2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点． （1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程； （2）证明：∠ABM＝∠ABN． 【答案】解：当与轴垂直时，，代入抛物线解得， 所以或， 所以直线的方程为：，或：． 证明：设直线的方程为：，，， 联立直线与抛物线方程得，消得， 即，， 则有， 所以直线与的倾斜角互补， ．  18．(本小题17分) 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为F1、F2．过右焦点F2的直线l交椭圆于点M、N，且△F1MN的周长为16． （1）求椭圆C的标准方程； （2）记直线AM、BN的斜率分别为k1、k2，证明：为定值． 【答案】解：由的周长为，及椭圆的定义，可知：，即， 又离心率为，所以， ． 所以椭圆的方程为：； 依题意，直线与轴不重合， 设的方程为：． 联立得：， 因为在椭圆内，所以， 即，易知该不等式恒成立， 设，， 由根与系数的关系得， 又，， 则， 注意到，即：， 所以，为定值．  19．(本小题17分) 已知动点P(x，y)(其中x≥0)到定点F(1，0)的距离比点P到y轴的距离大1． （1）求点P的轨迹C的方程； （2）过椭圆C1：＋＝1的右顶点作直线交曲线C于A，B两点，其中O为坐标原点 ①求证：OA⊥OB； ②设OA，OB分别与椭圆相交于点D，E，证明：原点O到直线DE的距离为定值． 【答案】解：设， 由题意，， 两边平方，整理得：， 所求点的轨迹方程为：． 证明：设过椭圆的右顶点的直线的方程为， 代入抛物线方程，得，， 设、， 则 ， 即， ； 设、， 直线的方程为，代入， 得，， 于是，， 从而， ， ，即， 代入整理得， 原点到直线的距离为定值． 第11页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $专题4一一圆锥由线1 命题：孙跟春 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.抛物线y=4x2的焦点坐标为() A.(1,0) B.(2,0) c.. D.(0, 2.若椭圆+”=1a>3)的长半轴长等于其焦距， 则a=() d2 3 A.2 B.2V2 C.2V3 D.4 3.己知双曲线C的焦点在x轴上， 两条渐近线为y=士1x, 则C的离心率为() A.22 B.10 c.23 D.V10 3 3 3 4.若抛物线=2p0>0的焦点是椭圆0+芳-1的一个焦点，则p=()】 A.2 B.3 C.4 D.8 5.设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>O)交于D,E两点，若OD⊥OE,则C的焦点坐标 为() A.G0 B.0 C.(1,0) D.(2,0) 6.已知双曲线C:兮=1,0为坐标原点，P为C的右焦点，过P的直线与C的两条近线的交点分别 为M,N.若△ON为直角三角形，则MM=() A. B.3 C.2V3 D.4 知椭圆十1(a>b>0的左、右顶点分别为A,42,上、下项点分别为B,B,右焦点为卫 线A1B1与直线B2F相交于点T.若AT垂直于x轴，则椭圆的离心率=() A.1 3 B.3 c. 3 2 D.2 2 8.设下为双曲线C:。二=1a>0,b>0的右焦点，0为整标原点，以O5为直径的圆与圆计一心 交于P,Q两点.若PQ=|O,则C的离心率为() A.V2 B.3 C.2 D.5 第1页，共4页 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知a>b>0.椭圆C1:+=1的离心率为e1,双曲线：=1的离心率为e2,则() 2'b2 a2 b2 A.椭圆C1的长轴长为2a B.双曲线C2的虚轴长为2a C.椭圆C与双曲线C2的焦距相等 D.ejte=2 10.已知方程，2+ =1(m∈R)表示曲线C,则() 16-m9+m A.曲线C表示椭圆，则取值范围是（一9,16） B.M=0时，曲线C的离心率为Y门 C.m=一11时，曲线C的渐近线方程为y=±3 D.∈（一∞，一9），曲线C表示焦点在x轴上的双曲线 1.已知抛物线C:2=4w的准线为，焦点为R,P为抛物线C上的动点，过点P作⊙A:(《一2P+=的 一条切线，Q为切点，过点P作1的垂线，垂足为B,则() A.准线1与圆A相切 B.过点F,A的直线与抛物线C相交的弦长为5 C.当P,A,B三点共线时，PO=13 2 D.满足PA=PB的点P有且仅有2个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.直线1与双曲线x2-4y2=4相交于A、B两点，若点P(4,1)为线段AB的中点，则直线1的方程是 13.如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在1时，拱顶离水 面2米，水面宽4米.当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为 ,4m 4,已知，乃是双曲线C的左、石焦点，P,O为双线C上两点，清足PO=3RP,4 =F2P,则双曲线C的离心率为 第2页，共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 己知双曲线C:=1的左，右焦点分别为乃， 164 (1)求与双曲线C有共同渐近线且过点(2,3)的双曲线的标准方程； (2)若P是双曲线C上一点，且∠FPF=150°，求△FPF,的面积. 16.(本小题15分) 已知桃因出片1a6>0的离心率为子上顶点为40，》 2 (1)求E的方程； （2)过点P0,3)斜率为k的直线1与椭圈E交于不同的两点MN,且0N=8y2,求k的值. 17.(本小题15分) 设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线1与C交于M,N两点. (1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程； (2)证明：∠ABM=∠ABN. 第3页，共4页 18.(本小题17分) 圆C:X十少1(@>b>0的离心率为.左、右顶点分别为A、B,左、右焦点分别为P、五 焦点F2的直线1交椭圆于点M、N,且△FMN的周长为16， (1)求椭圆C的标准方程： (2)记直线AMBN的斜率分别为1、，证明： 为定值。 19.(本小题17分) 己知动点P(x,)(其中x≥0)到定点F(1,O)的距离比点P到y轴的距离大1. (1)求点P的轨迹C的方程： 过随圆C:十1的右顶点作直线交曲线C于A,B两点，其中0为坐标原点 ①求证：OA⊥OB: ②设OA,OB分别与椭圆相交于点D,E,证明：原点O到直线DE的距离为定值. 第4页，共4页专题4一一圆锥由线1 命题：孙跟春 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.抛物线y=4x2的焦点坐标为() A.(1,0) B.(2,0) C.(0, D.(0, 【答案】D 【解答】 解：抛物线的方程为x2=, 其焦点在y轴正半轴上，且2p=, 则其焦点坐标为0，合) 故选：D 2.若椭圆+片-1a>V3)的长半轴长等于其焦距，则a=(） a23 A.2 B.2V2 C.2V3 D.4 【答案】A 【解答】 解：椭圆等+苦-1(a>的长半转长等于其焦距，即a=2, 所以-3=c2=(,解得a=2或a=-2(舍去). 3. 已知双曲线C的焦点在x轴上，两条渐近线为y=±x,则C的离心率为() 3 A.22 B. V10 c.23 D.V10 3 3 3 【答案】B 【解析】解：由已知可设双曲线的方程为等-会=1(a>b>0 依题意可知名子求得1=3h, ∴c=√a+B=V1ob, ∴e=e=o a3 故选B 第1页，共12页 4.若抛物线2=2p0>0的焦点是椭圆D号=1的一个焦点，则p=() A.2 B.3 C.4 D.8 【答案】D 【解答】 解：由题意可得3pp=(子， 解得p=8或p=0(舍去) 故选D 5.设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C:y2=2px>0)交于D,E两点，若OD⊥OE,则C的焦点坐标 为() A.0) B.. C.(1,0) D.(2,0) 【答案】B 【解答】 解：根据题意，不妨取D2,2vp,则2，一2VP, 因为0DL0E,可得0D0元=0，所以4-4p=0,故p=1, 所以抛物线C2=2x,所以抛物线C的焦点坐标为（三，0）. 故选B. 6.已知双曲线C: 一y2=1,O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别 3 为M,N.若△ON为直角三角形，则N=() A B.3 C.2V3 D.4 【答案】B 【解析】解：因为双曲线号-2-1的渐近线方程为y一±x,所以∠M0N=60· 不妨设过点F的直线与直线一x交于点M 因为aOMW为直角三角形，所以不妨设∠OMW=90°， 则∠MFO=60°·又直线MN过点F2,0), 所以直线MW的方程为y=-√3(x-2): 第2页，共12页 =-V3(x-2), 2 所以M6引所以oM=份+（写=V3. 所以IMM=V3OM=3,故选B. 7.已知椭圆+=1a>b>0的左、右顶点分别为A,A,上、下顶点分别为B1,B,右焦点为R,直 2b2 线A1B1与直线B,F相交于点T.若A2T垂直于x轴，则椭圆的离心率e=() A.3 B.3 D. 1V2 3 c. 2 2 【答案】A 【解答】 解：由题意，直线AB的方程为：名十名=1， 直线民F的方程为：兰-云=1， 所以联立可得7的横坐标为：二。 AT垂直于x轴，所以2江=a,可得a=3C, a-c 所以椭圆的离心率为：。=号=} 故选A. 8,设F为双曲线C:片-1a>0,b>0的右焦点，O为坐标原点，以OP为直径的圆与圆计- 交于P,Q两点.若PQ=OF,则C的离心率为() A.V2 B.\3 C.2 D.5 【答案】A 【解答】 解：方法一：设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQLx轴， 第3页，共12页 又Pq=|OA=c,PA= ∴.PA为以OF为直径的圆的半径， ∴A为圆心，10A= ∴P,),又P点在圆x+P=上， +=示，暖=子 c2 =2 ∴.e=V2, 故选A. 方法二：如图，以OF为直径的圆的方程为x+2一cx=0, 又圆0的方程为x2+y2=, ·PQ所在直线方程为x= 把X代入R+2=子，得1PQ= 再Pg=|0,得2a驰=c, 即4(c2-)=c4, ∴.e2=2,解得e=V2. 故选A. 第4页，共12页 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 A已知>b>0,圆C片的宽心率为e4,双画线G:店1的离心率为，（力 a2 b2 A.椭圆C1的长轴长为2a B.双曲线Cz的虚轴长为2a C.椭圆C与双曲线C2的焦距相等 D.e1+e2=2 【答案】AD 【解答】 解：由题意可知，椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距长为2，子-？， -2 离心率6==Y 双曲线的实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距长为2， a+, 离心率e2=2= 2+2 2 a 1十子 则e十e=2, 故选：AD 10.已知方程，2+卫 =1m∈R)表示曲线C,则() 16-9+ A.曲线C表示椭圆，则取值范围是（一9,16） B.m=0时，曲线C的离心率为Y 4 C.m=一11时，曲线C的渐近线方程为y=±3 D.m∈（一∞，一9），曲线C表示焦点在x轴上的双曲线 【答案】BD 【解答】 解因为二十并。=1 (16-m>0 对于A:若方程表示椭圆，所以{ 9+m>0,解得-9m或好<m16,故A错误： (16-时9+m 对于品若m=0,则院+号=1，所以子=16、8=9，所以c=子-公=7，所以离心率e=三=号故B 正确： 对于G若m=一山，则曲线方程为号-兰=1，则渐近线方程为)=±x故C错误： 第5页，共12页 对于D,若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则9+0 解得K一9，故m∈（一o,一9）时，方程表 (16-m>0 示焦点在x轴上的双曲线，即D正确. 1山.已知抛物线C:=4w的准线为1，焦点为RP为抛物线C上的动点，过点P作⊙A:《-2P+=的 一条切线，Q为切点，过点P作1的垂线，垂足为B,则() A.准线1与圆A相切 B.过点F,A的直线与抛物线C相交的弦长为5 C,当P,4,B三点共线时，PO= D.满足PAL=PB的点P有且仅有2个 【答案】BD 【解析】解：对于A,准线上=一1， ⊙A:(x2+2=的圆心坐标为(2,0)，半径为 所以准线I与圆A相离，A错误； 对于B直线1的方程为厂一x+1,代入=4 得-3y+1=0,+=3, 弦长为乃十十p=5,B正确； 对于C当x=2时， y=1,lPA=1,PQ2=PA2-3= PQ=竖，C错误 对于D,由抛物线的定义得PB=P丽=PA,直线FA的垂直平分线方程为-2x3, 代入x2=4y得x2-8x+6=0, 所以△=(-8)-4×6=40>0，点P有且仅有2个，D正确. 故选：BD, 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.直线1与双曲线x2-4y2=4相交于A、B两点，若点P4,1)为线段AB的中点，则直线1的方程是 【答案】x-y-3=0 第6页，共12页 【解答】 解：设A(x,),x,),则x1十x=8,乃+5=2， .-4=4,-4=4, 两式相减可得(&十为)（函一为）一45十乃)0一2)=0， .8(函一)-80h一2)=0， ∴.直线AB的斜率k4B=1, ∴.直线1的方程为y-1=x-4,即x-y-3=0. 故答案为x-y-3=0. 13.如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在1时，拱顶离水 面2米，水面宽4米.当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为 4m 【答案】4.5米 【解答】 解：如图建立直角坐标系， 设抛物线方程为X2=my, A(2.-2) B 将A(2,-2)代入x2=my 得m=一2， x2=-2y 代入3,6)得=一 故拱顶到水面的距离为4.5m. 故答案为：4.5米. 第7页，共12页 4,已知，是双曲线C的左、右焦点，P,Q为双曲线C上两点，满足Q=3PP,且Pg =|F2P,则双曲线C的离心率为 【答案】四 2 【解析】解：延长QF与双曲线交于点P,因为FP/FP, 根据对称性知F日=F,P,四边形EPFP为平行四边形， 0 设FP=t,则FQ=3t,FA=3t,可得FA-1EA=2t=2a,即t=a, 所以Pq=4a,则QFl=|QF+2a=5a,EP1=|F3P+2a=3a, 即PQ2+EP=|QF2,可知∠FPQ=∠FPE=90, 在△PFF中，由勾股定理得FP2+GP2=FF22, 即(2+62=4c2,可得号=即g=T Γ2 即e=罗 故答案为：0 2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知双曲线C:=1的左，右焦点分别为历，五. 164 (1)求与双曲线C有共同渐近线且过点(2,3)的双曲线的标准方程： (2)若P是双曲线C上一点，且∠PF2=150°，求△F1PF2的面积. 【答案】解：①设与双曲线G元-苦=1有共同海近线的双曲线方程为号-苦=40. ,所求双曲线过点(2,3)， “名-？=即1=-2. 第8页，共12页 “所求双曲线的标准方程为-号=1. ②由双曲线G云-号=1，得子=16,8=4，则c=、4+B=25, 164 不妨设P在双曲线右支上，由双曲线的定义可得PF引一PF=8. 由余弦定理可得 2=PF1+IPR12-2PFIIPEICOS150=(PFI-PE)+2PFIIPE1+V3IPAIIPEI, 代入数据可得80=64+2 PFUPEI-+√31 PEIIPEI, 解得1 PAIPE=16(2-√3， ∴S.万ps=Fsin150=x16(2-V冈*号=8-4W3. 16.(本小题15分) 已知椭圆上：片-1a>0的将心*为号上顶点为40，》。 2 (1)求E的方程； 2)过点PO,3)斜率为k的直线7与椭圆E交于不同的两点M,N,且M0W82,求k的 【答案】解：因为椭圆：兰+苦=1(a>b>0)的离心率为 ,上顶点为A(0,1), 所以1，；9即c=号a 2a, 因为a=+c2,解得=2， 所以稀圆B的方程为号+y2=1: (2)根据题意，设直线ky=x十V3,设，)，M(,2), (y=kx+v3 +2= 整理得1+2)x2+4V3+4=0, △=(4v3)2-4×4×(1+22)>0,即2>1， 小十为=一4W3k 4 1+2e西=1+2 IMM=1+x-xl =1+出十为)2-4x名 =41+3R-_=8 1+22 7 第9页，共12页 即17-32R-57=0,解得：尽=3或-（舍去） .k=3. 17.(本小题15分) 设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(一2，O),过点A的直线1与C交于M,N两点. (1)当1与x轴垂直时，求直线BM的方程； (2)证明：∠ABM=∠ABN. 【答案】解：(1)当1与x轴垂直时，x=2,代入抛物线解得y=±2， 所以M2,2)或M2,-2), 所以直线BM的方程为：号x+1,或：J一x1. (2)证明：设直线1的方程为上x-+2,M&,),W,), y2=2x 联立直线1与抛物线方程得 消x得2-2y-4=0, x-ty叶2 即1十y2=2t,乃2=-4， 则有kw十kgM=上，十五= 停m+2+20+n-+学+2=0. 为十2 5十2 (的+2X3十2) (函十2)(+2) 所以直线BW与BM的倾斜角互补， .∠ABM=∠ABN, 18.(本小题17分) 圆C:十I心b>0的离心率为左、右顶点分别为4、B,左、右焦点分别为、 焦点F2的直线I交椭圆于点M、N,且△FN的周长为16. (1)求椭圆C的标准方程： (2)记直线AMBN的斜率分别为、，证明： :为定值： 【答案】解：(1)由△FMN的周长为16，及椭圆的定义，可知：4a=16,即a=4, 又离心率为c=号=分所以c=2, =-c2=16-4=12, 所以辅圆c的方程为：荒+益=1： 第10页，共12页 专题4——圆锥曲线1 命题：孙跟春 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线y＝4x2的焦点坐标为(    ) A．(1，0) B．(2，0) C．(0，) D．(0，) 2．若椭圆＋＝1(a＞)的长半轴长等于其焦距，则a＝( ) A．2 B．2 C．2 D．4 3．已知双曲线C的焦点在x轴上，两条渐近线为y＝±x，则C的离心率为(    ) A． B． C． D． 4．若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(    ) A．2 B．3 C．4 D．8 5．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p＞0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为(    ) A．(，0) B．(，0) C．(1，0) D．(2，0) 6．已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(    ) A． B．3 C．2 D．4 7．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，右焦点为F，直线A1B1与直线B2F相交于点T若A2T垂直于x轴，则椭圆的离心率e＝(    ) A． B． C． D． 8．设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(    ) A． B． C．2 D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．已知a＞b＞0，椭圆C1：＋＝1的离心率为e1，双曲线C2：－＝1的离心率为e2，则    ． A．椭圆C1的长轴长为2a B．双曲线C2的虚轴长为2a C．椭圆C1与双曲线C2的焦距相等 D．e＋e＝2 10．已知方程＋＝1(m∈R)表示曲线C，则(    ) A．曲线C表示椭圆，则m取值范围是(－9，16) B．m＝0时，曲线C的离心率为 C．m＝－11时，曲线C的渐近线方程为y＝±x D．m∈(－∞，－9)，曲线C表示焦点在x轴上的双曲线 11．已知抛物线C：x2＝4y的准线为l，焦点为F，P为抛物线C上的动点，过点P作⊙A：(x－2)2＋y2＝的一条切线，Q为切点，过点P作l的垂线，垂足为B，则(    ) A． 准线l与圆A相切 B． 过点F，A的直线与抛物线C相交的弦长为5 C． 当P，A，B三点共线时，|PQ|＝ D． 满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线l与双曲线x2－4y2＝4相交于A、B两点，若点P(4，1)为线段AB的中点，则直线l的方程是           ． 13．如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为           ． 14．已知F1，F2是双曲线C：－＝1的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足!语法错误，)＝3!语法错误，)，且|F2Q|＝|F2P|，则双曲线C的离心率为           ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(本小题13分) 已知双曲线C：－＝1的左，右焦点分别为F1，F2． （1）求与双曲线C有共同渐近线且过点的双曲线的标准方程； （2）若P是双曲线C上一点，且∠F1PF2＝150，求△F1PF2的面积． 16．(本小题15分) 已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，上顶点为A(0，1)． （1）求E的方程 （2）过点P(0，)斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两点M，N，且MN＝，求k的值． 17．(本小题15分) 设抛物线C：y2＝2x，点A(2，0)，B(－2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点． （1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程； （2）证明：∠ABM＝∠ABN． 18．(本小题17分) 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为F1、F2．过右焦点F2的直线l交椭圆于点M、N，且△F1MN的周长为16． （1）求椭圆C的标准方程； （2）记直线AM、BN的斜率分别为k1、k2，证明：为定值． 19．(本小题17分) 已知动点P(x，y)(其中x≥0)到定点F(1，0)的距离比点P到y轴的距离大1． （1）求点P的轨迹C的方程； （2）过椭圆C1：＋＝1的右顶点作直线交曲线C于A，B两点，其中O为坐标原点 ①求证：OA⊥OB； ②设OA，OB分别与椭圆相交于点D，E，证明：原点O到直线DE的距离为定值． 第11页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $