精品解析：天津市南开中学2025-2026学年第二学期质量监测（二）高一数学试卷

南开中学2025-2026学年度第二学期质量监测（二） 高一数学试卷 考试时间：120分钟 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请将答题纸交回. 提示公式：圆台的表面积公式：，其中R，r，l分别为圆台的下底面半径、上底面半径、母线长. Ⅰ卷（共60分） 一、选择题（共60分，每题5分） 1. 是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 在一次随机试验中，三个事件，，发生的概率分别是，，，则下列选项正确的是（ ） A. 是必然事件 B. 与是互斥事件 C. D. 可能为 4. 已知随机事件和相互独立，且，则（ ） A. 0.4 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.9 5. 年美加墨世界杯开赛前天，每天的进球数如下：，按从小到大的顺序将其排序为：，则这组数据的第百分位数和平均数分别是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 6. 已知非零不共线向量，满足，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的骰子，将得到的点数分别记为，则能够构成三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角为，点的仰角为以及，从点测得，已知山高，则山高为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（ ） A. B. 7 C. 8 D. 9 10. 在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 已知球与正四棱锥的四条侧棱和底面均相切，若，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，有两张全等的正三角形纸片，边长为2，按照下面两种方法分别将它们裁剪拼成一个三棱锥和一个三棱柱（包括侧面和底面），设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则等于（ ） A. B. C. D. 1 Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（共40分，每题5分） 13. 已知复数满足，则_________. 14. 已知实系数一元二次方程有虚根，则__________. 15. 下列说法中，不正确的是__________. ①抛掷一枚硬币正面朝上的概率为0.5，则抛掷两枚这样的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上； ②抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果是4次正面朝上，所以事件“正面朝上”的概率为0.4； ③当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近其概率； ④在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生和不发生的概率各是0.5； ⑤对天气预报中“降水的概率为90%”比较合理的解释是：大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨. 16. 为提升我校学生的科研能力，现拟在今年暑假举办我校首届中学生数学建模大赛.为了办好这项赛事，数学组老师研究了很多相关赛事的资料，其中包括这一由某高校最近一届数学建模比赛成绩绘制而成的频率分布直方图，根据直方图，估计该高校数学建模比赛成绩的第75百分位数为__________分. 17. 在中，，，D为的中点，，则______． 18. 已知正方体的棱长为4．为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为____________． 19. 东方真纯是我校学生，她想创办一本杂志——《南星》——以沉淀南开之美.她选择五芒星（或称正五角星形，是由正五边形的对角线所构成的星形正多边形）作为刊物标志，并计划订制五十枚纪念摆件作为创刊号赠品.如图，该纪念摆件为由正五角星形绕AF所在直线旋转180°形成的面所围成的旋转体，已知，，则该旋转体的表面积为__________. 20. 已知函数，、、为三个不同的平面向量，且．若，则的取值范围是__________． 三、解答题（共50分） 21. 数学核心素养是指在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的关于数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感态度与价值观的综合体现.数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六个方面.某学校高一、高二、高三学生分别有1000，1500，1500人，现采用分层抽样的方法，从该学校上述学生中抽取240人调查学生数学核心素养六个方面的发展情况. （1）应从高一、高二、高三学生中分别抽取多少人？ （2）从（1）抽取的人中随机选出5人，分别记为，，，，.具体情况如下表，其中“○”表示达标，“×”表示不达标.现从这5人中随机抽取2人接受采访. （i）试用所给字母写出样本空间，并说明样本点的总数； （ii）设事件：“抽取的2人中，不达标的项目至少有一项相同”，求. 核心素养 数学抽象 直观想象 逻辑推理 数学运算 数学建模 数据分析 A × ○ ○ × ○ × B × ○ ○ × ○ × C ○ × ○ ○ × ○ D × ○ × ○ ○ ○ E ○ × ○ × ○ ○ 22. 在中，内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若的面积为，且. ①求的周长； ②求. 23. 如图，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的大小； （3）求直线与平面所成角的余弦值. 24. 如图1，在平面五边形中，，将沿折起得到如图2所示的四棱锥，且，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若为棱上一动点，直线与平面所成角的正弦值为． （i）求 （ii）求点到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南开中学2025-2026学年度第二学期质量监测（二） 高一数学试卷 考试时间：120分钟 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请将答题纸交回. 提示公式：圆台的表面积公式：，其中R，r，l分别为圆台的下底面半径、上底面半径、母线长. Ⅰ卷（共60分） 一、选择题（共60分，每题5分） 1. 是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】复数在复平面内对应的点为，该点位于第四象限. 2. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据长方体举反例，可得A、B、C的正误；根据线面位置关系，可得D的正误. 【详解】作长方体，如下图所示： 对于A，设，，平面，显然，但，故A错误； 对于B，设，，平面，显然，但，故B错误； 对于C，设，，平面，显然，但，故B错误； 对于D，因为，所以，因为，所以，， 因为，，所以，因为，所以.故D正确. 故选：D. 3. 在一次随机试验中，三个事件，，发生的概率分别是，，，则下列选项正确的是（ ） A. 是必然事件 B. 与是互斥事件 C. D. 可能为 【答案】C 【解析】 【分析】通过举反例说明A和B不正确；通过交事件的性质判断C；根据概率的性质判断D. 【详解】对于A，若，则，故A不正确； 对于B，若，则， 此时与不是互斥事件，故B不正确； 对于C，由得，故C正确； 对于D，根据概率性质，故D不正确. 故选：C. 4. 已知随机事件和相互独立，且，则（ ） A. 0.4 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.9 【答案】B 【解析】 【分析】根据乘法公式以及并事件的概率求法，即可求得答案. 【详解】因为事件和相互独立，， ∴ 故选：B. 5. 年美加墨世界杯开赛前天，每天的进球数如下：，按从小到大的顺序将其排序为：，则这组数据的第百分位数和平均数分别是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】A 【解析】 【分析】先根据百分位数的计算规则确定第百分位数的位置，结合排序后的数据计算，再计算所有数据的算术平均数即可得到结果． 【详解】样本容量，，第项为，第项为， 所以第百分位数为， 平均数为． 6. 已知非零不共线向量，满足，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以，化简可得， ，代入可得， 因为向量与向量都是非零向量， 所以向量与向量垂直，即夹角为. 7. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的骰子，将得到的点数分别记为，则能够构成三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算两次抛掷骰子的总基本事件数，再根据三角形三边关系求出不能构成三角形的基本事件数，利用古典概型公式计算概率． 【详解】先后两次抛掷同一枚骰子，由分步乘法计数原理得总基本事件数为， 若能构成三角形，则需满足任意两边之和大于第三边， 即同时满足， 满足的事件有，共种， 满足的事件有，共种， 满足的事件有，共种， 且三类事件两两无交集， 所以不能构成三角形的基本事件总数为种， 能构成三角形的基本事件数为种， 由古典概型概率公式得所求概率． 8. 如图所示，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角为，点的仰角为以及，从点测得，已知山高，则山高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直角三角形求出，由正弦定理求出，再利用直角三角形求出的值． 【详解】在中，，，所以； 在中，，，从而， 由正弦定理得，， 因此； 在中，，， 由， 得． 故选：A 9. 如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（ ） A. B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解. 【详解】依题意，，而， 所以. 10. 在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，设，则，且，，从而得到，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系， 依题意，有，，，， 设，则，且，， ， 因，当时，，当时，， 故． 故选：D． 11. 已知球与正四棱锥的四条侧棱和底面均相切，若，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定球的球心在上，再根据三角形相似确定球的半径，即可确定所求球的表面积. 【详解】 如图所示，为底面的中心，由图形的对称性可知球的球心在线段上， 因，则，， 在中，如图作于点， 设球的半径为，则，， 易得与相似，则，即，解得， 因此，球的表面积为. 12. 如图，有两张全等的正三角形纸片，边长为2，按照下面两种方法分别将它们裁剪拼成一个三棱锥和一个三棱柱（包括侧面和底面），设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】借助所拼成三棱柱上底面与下底面面积相等可得该三棱柱底面边长，再结合体积公式计算这两个多面体的体积即可得. 【详解】设给出正三角形纸片的边长为2， 那么，该三棱锥为正三棱锥，该三棱柱为正三棱柱， 设正三棱锥的高为， 正三棱锥的体积为， 如图：设正三棱柱底面边长为，则， 则其高为， 由三个角剪下的三个全等四边形的面积与底面三角形面积相等， 则有，解得， 则三棱柱的体积为， 所以. 故选：B Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（共40分，每题5分） 13. 已知复数满足，则_________. 【答案】2 【解析】 【详解】由题可知，，所以. 14. 已知实系数一元二次方程有虚根，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为实系数一元二次方程有虚根， 所以，所以， 所以，解得. 15. 下列说法中，不正确的是__________. ①抛掷一枚硬币正面朝上的概率为0.5，则抛掷两枚这样的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上； ②抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果是4次正面朝上，所以事件“正面朝上”的概率为0.4； ③当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近其概率； ④在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生和不发生的概率各是0.5； ⑤对天气预报中“降水的概率为90%”比较合理的解释是：大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨. 【答案】①②④ 【解析】 【详解】对于①，抛掷一枚硬币是随机试验，在一次试验中出现某种结果也是随机的，所以抛掷两次硬币也可能出现两次正面朝上和两次反面朝上，故①错误. 对于②，事件“正面朝上”的频率是0.4，而不是概率是0.4，故②错误. 对于③，根据频率的稳定性可知③正确. 对于④，随机事件可能发生也可能不发生，但随机事件发生和不发生的概率不一定是0.5，故④错误. 对于⑤，“降水的概率为90%”的含义是在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨，故⑤正确. 16. 为提升我校学生的科研能力，现拟在今年暑假举办我校首届中学生数学建模大赛.为了办好这项赛事，数学组老师研究了很多相关赛事的资料，其中包括这一由某高校最近一届数学建模比赛成绩绘制而成的频率分布直方图，根据直方图，估计该高校数学建模比赛成绩的第75百分位数为__________分. 【答案】 【解析】 【详解】计算每组频率 ，， ，， ，. 前四组累计频率：， 前五组累计频率：， 所以第 75 百分位数落在区间内，设第 75 百分位数为， 则， 综上，该高校数学建模比赛成绩的第 75 百分位数为分. 17. 在中，，，D为的中点，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，在和中利用余弦定理，又，即可得到，即可求出参数的值，从而得解； 【详解】设，则， 在中由余弦定理，即①； 在中由余弦定理，即②； 又，所以，所以①+②得，，解得 所以 18. 已知正方体的棱长为4．为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】通过空间向量法确定垂直于的平面方程，找到截面顶点，判定截面为菱形后，利用对角线求面积即可. 【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体棱长为4， 所以，则， 设截面上的点为，则， 因为过点的平面垂直于，所以是平面的一个法向量， 所以，即，整理得：， 当点在棱上时，，则，得； 当点在棱上时，，则，得； 当点在棱上时，，则，得， 所以截面为四边形， 又因为， 同理可得，所以四边形为菱形， 又因为对角线， 所以面积. 19. 东方真纯是我校学生，她想创办一本杂志——《南星》——以沉淀南开之美.她选择五芒星（或称正五角星形，是由正五边形的对角线所构成的星形正多边形）作为刊物标志，并计划订制五十枚纪念摆件作为创刊号赠品.如图，该纪念摆件为由正五角星形绕AF所在直线旋转180°形成的面所围成的旋转体，已知，，则该旋转体的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转体的形状，分别求各部分的表面积. 【详解】等腰中，底边与腰的长度比，为黄金分割比， 所以顶角为，底角为， 显然四点共线， 又，， 则有， 易得与相似，则，即得， 又因与相似，，则， 则顶层圆锥的侧面积， 上表面圆环的面积， 中间圆台的侧面积， 下层圆台的侧面积， 下面圆锥的侧面积， 该旋转体的表面积. 20. 已知函数，、、为三个不同的平面向量，且．若，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得中有一个为0，一个为正，一个为负，令，设为，由题设可得所求表达式关于的表达式，据此可得答案. 【详解】由解析式及， 则全为0， 或中有一个为0，一个为正，一个为负. 若全为0，因为， 则、、两两垂直，这与、、为三个不同的平面向量矛盾. 则中有一个为0，一个为正，一个为负. 令，设， 如下图及题设可得，. 因此 . 因为，则， 则. 所以所求范围是. 三、解答题（共50分） 21. 数学核心素养是指在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的关于数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感态度与价值观的综合体现.数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六个方面.某学校高一、高二、高三学生分别有1000，1500，1500人，现采用分层抽样的方法，从该学校上述学生中抽取240人调查学生数学核心素养六个方面的发展情况. （1）应从高一、高二、高三学生中分别抽取多少人？ （2）从（1）抽取的人中随机选出5人，分别记为，，，，.具体情况如下表，其中“○”表示达标，“×”表示不达标.现从这5人中随机抽取2人接受采访. （i）试用所给字母写出样本空间，并说明样本点的总数； （ii）设事件：“抽取的2人中，不达标的项目至少有一项相同”，求. 核心素养 数学抽象 直观想象 逻辑推理 数学运算 数学建模 数据分析 A × ○ ○ × ○ × B × ○ ○ × ○ × C ○ × ○ ○ × ○ D × ○ × ○ ○ ○ E ○ × ○ × ○ ○ 【答案】（1） （2）(i) 样本空间，样本点总数为； (ii) 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的定义计算即可； （2）（i）列出所有情况即可；（ii）列出所有满足题意的情况，再利用古典概型计算即可. 【小问1详解】 由已知,高一、高二、高三学生人数之比为， 由于采取分层抽样的方法从中抽取240位学生， ，因此应从高一、高二、高三学生中分别抽取60人，90人，90人. 【小问2详解】 （i）从5人中随机抽取2人，样本空间为所有可能的两人组合， 即：， 样本点总数为； （ii）设对立事件：“抽取的2人中，不达标的项目没有相同的”， ：不达标项目为{数学抽象}, {数学运算}, {数据分析}；  C：不达标项目为{直观想象}, {数学建模}；  D：不达标项目为{数学抽象}, {逻辑推理}；  E：不达标项目为{直观想象}, {数学运算}；  找出包含的样本点： ：的不达标项目与的无交集；  ：的不达标项目与的无交集；  ：的不达标项目与的无交集；  的不达标项目与的无交集；  因此，包含个样本点，其概率； 故. 22. 在中，内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若的面积为，且. ①求的周长； ②求. 【答案】（1） （2）① ② 【解析】 【小问1详解】 由正弦定理得，， 由，得， ，，又，所以. 【小问2详解】 ①由，得. 由及正弦定理，得，所以， 所以，又，所以. 所以的周长为. ②根据上述分析可知，，， 由正弦定理，因为，所以是锐角， 所以， 可得， 计算可得． 23. 如图，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的大小； （3）求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，可得且，证明四边形为平行四边形，从而可得证. （2）以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系,利用向量法求解即可. （3）利用（2）中的空间坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 取的中点，连接,则且 又，所以四边形为正方形,则且 又四边形ABCD为矩形，则且 所以且,则四边形为平行四边形 所以，又平面,平面 【小问2详解】 ∵四边形BCEF为直角梯形，四边形ABCD为矩形， ∴，， 又∵平面平面BCEF，且平面平面， ∴平面. 以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系. ，，，，，， 设平面的一个法向量为， 则，， 得 ∵平面，∴平面一个法向量为， 设平面与平面所成锐二面角的大小为， 则. 因此，平面与平面所成锐二面角的大小为. 【小问3详解】 根据（2）知平面一个法向量为得，∵， 设直线与平面所成角为，则 ， ∴. 因此，直线与平面所成角的余弦值为. 24. 如图1，在平面五边形中，，将沿折起得到如图2所示的四棱锥，且，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若为棱上一动点，直线与平面所成角的正弦值为． （i）求 （ii）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）或（ii）或． 【解析】 【分析】（1）先由平面几何性质得到，结合折叠后推出平面，可得，再由勾股定理证得，最后根据线面垂直的判定定理完成证明； （2）（i）根据第一问的垂直关系建立空间直角坐标系，设得到的坐标，求出平面的法向量和直线的方向向量，利用线面角的向量计算公式列方程求解得到结果；（ii）在已建立的空间直角坐标系中求出平面的法向量，结合已得的点坐标，利用点到平面的距离向量公式计算得到所求距离，也可通过等体积法结合三棱锥体积关系求解。 【小问1详解】 连接， 因为，所以四边形为矩形， 所以， 因为平面，所以平面． 又平面，所以，所以， 又，， 所以， 因为，所以，所以， 因为平面， 所以平面． 【小问2详解】 过点作于点，由（1）知平面． 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 所以两两垂直， 过点作交于点， 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）知，所以，则， 所以， 则． 所以． （i）设， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则．所以． 又， 设直线与平面所成角为， 则， 整理得，解得或， 所以或． （ii）设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，所以． 因为，所以点到平面的距离为． 由（i）得或， 当时，，此时点到平面的距离为； 当时，，此时点到平面的距离为． 综上，点到平面的距离为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $