天津市南开中学2024-2025学年高一下学期质量监测（二）数学试卷

南开中学2024-2025学年度第二学期质量监测（二） 高一数学试卷 时间：100分钟 第I卷（满分32分） 一、选择题（本题共8小题，每小题4分） 1. 已知向量，，，则实数（ ） A. B. C. D. 2. 为激发同学们对无人机飞行的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名学生的成绩依次为：65，70，75，80，85，92，95，97，则这组数据的分位数为（ ） A. 92 B. 93.5 C. 95 D. 96 3. 某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加的3个项目中有“整地做畦”或者有“旱地播种”的概率为 （ ） A. B. C. D. 4. 在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（ ） A. A与B是对立事件 B. B与C是对立事件 C. A与C是互斥事件 D. A与B是互斥事件 5. 已知，，是三个不同平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 6. 某人工智能公司为优化新开发语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论不正确的（ ） A. B. 满意度计分的众数约为75分 C. 满意度计分的平均分约为80分 D. 满意度计分的第一四分位数约为70分 7. 如图，正三棱柱的各棱长均为1 ，点是棱的中点，点是线段上的动点，点为的中点，点是棱上靠近点的四等分点，则下列命题： ①平面； ②三棱锥的体积为定值； ③当是的中点时，过点的平面截正三棱柱所得图形的面积为 ④点是上底面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为 其中正确命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图所示，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得到三棱锥，设，点分别为棱，的中点，为线段上的动点，则下列命题： ①在翻折过程中，存在某个位置使得； ①若，则与平面所成角的正切值为； ③三棱锥体积最大值为2； ④当时，的最小值为. 其中正确命题的个数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第II卷（满分68分） 二、填空题（本题共6小题，每小题5分） 9. 已知是虚数单位，_______________. 10. 已知，则向量在向量上的投影向量的坐标为________________. 11. 投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则直接予以录用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用，若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为，复审的稿件能通过评审的概率为，各专家独立评审，则投到该出版社的1篇稿件被录用的概率为__________. 12. 如图，是底部不可能达到的一座建筑物，为建筑物的最高点.现在为了测量建筑物的高度，在点处测得点的仰角，在点处测得点的仰角，且点和距离所在水平面的距离为，，则塔高__________. 13. 正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则它的外接球的体积为_____________. 14. 已知圆的半径为1，点为圆外一点，过作圆的两条切线，切点为和，则的最小值为__________________. 三、解答题（本题共3小题） 15. 在中，角的对边分别为.已知，，. （1）求的值； （2）点在线段上，且，求长； （3）求的值. 16. 如图，在四棱柱中，是一个直角梯形，，，，点为中点，平面，且.点分别为和中点. （1）证明：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积. 17. 如图，在平行六面体中，，，为的中点. （1）若平面，求值； （2）当时，求平面和平面的夹角的余弦值. 南开中学2024-2025学年度第二学期质量监测（二） 高一数学试卷 时间：100分钟 第I卷（满分32分） 一、选择题（本题共8小题，每小题4分） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 第II卷（满分68分） 二、填空题（本题共6小题，每小题5分） 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 三、解答题（本题共3小题） 【15题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1）1 （2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$