天津市南开中学2025-2026学年第二学期质量监测（二）高一数学试卷

南开中学2025-2026学年度第二学期质量监测（二） 高一数学试卷 考试时间：120分钟 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请将答题纸交回. 提示公式：圆台的表面积公式：，其中R，r，l分别为圆台的下底面半径、上底面半径、母线长. Ⅰ卷（共60分） 一、选择题（共60分，每题5分） 1. 是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 在一次随机试验中，三个事件，，发生的概率分别是，，，则下列选项正确的是（ ） A. 是必然事件 B. 与是互斥事件 C. D. 可能为 4. 已知随机事件和相互独立，且，则（ ） A. 0.4 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.9 5. 年美加墨世界杯开赛前天，每天的进球数如下：，按从小到大的顺序将其排序为：，则这组数据的第百分位数和平均数分别是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 6. 已知非零不共线向量，满足，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的骰子，将得到的点数分别记为，则能够构成三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角为，点的仰角为以及，从点测得，已知山高，则山高为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（ ） A. B. 7 C. 8 D. 9 10. 在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 已知球与正四棱锥的四条侧棱和底面均相切，若，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，有两张全等的正三角形纸片，边长为2，按照下面两种方法分别将它们裁剪拼成一个三棱锥和一个三棱柱（包括侧面和底面），设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则等于（ ） A. B. C. D. 1 Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（共40分，每题5分） 13. 已知复数满足，则_________. 14. 已知实系数一元二次方程有虚根，则__________. 15. 下列说法中，不正确的是__________. ①抛掷一枚硬币正面朝上的概率为0.5，则抛掷两枚这样的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上； ②抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果是4次正面朝上，所以事件“正面朝上”的概率为0.4； ③当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近其概率； ④在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生和不发生的概率各是0.5； ⑤对天气预报中“降水的概率为90%”比较合理的解释是：大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨. 16. 为提升我校学生的科研能力，现拟在今年暑假举办我校首届中学生数学建模大赛.为了办好这项赛事，数学组老师研究了很多相关赛事的资料，其中包括这一由某高校最近一届数学建模比赛成绩绘制而成的频率分布直方图，根据直方图，估计该高校数学建模比赛成绩的第75百分位数为__________分. 17. 在中，，，D为的中点，，则______． 18. 已知正方体的棱长为4．为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为____________． 19. 东方真纯是我校学生，她想创办一本杂志——《南星》——以沉淀南开之美.她选择五芒星（或称正五角星形，是由正五边形的对角线所构成的星形正多边形）作为刊物标志，并计划订制五十枚纪念摆件作为创刊号赠品.如图，该纪念摆件为由正五角星形绕AF所在直线旋转180°形成的面所围成的旋转体，已知，，则该旋转体的表面积为__________. 20. 已知函数，、、为三个不同的平面向量，且．若，则的取值范围是__________． 三、解答题（共50分） 21. 数学核心素养是指在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的关于数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感态度与价值观的综合体现.数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六个方面.某学校高一、高二、高三学生分别有1000，1500，1500人，现采用分层抽样的方法，从该学校上述学生中抽取240人调查学生数学核心素养六个方面的发展情况. （1）应从高一、高二、高三学生中分别抽取多少人？ （2）从（1）抽取的人中随机选出5人，分别记为，，，，.具体情况如下表，其中“○”表示达标，“×”表示不达标.现从这5人中随机抽取2人接受采访. （i）试用所给字母写出样本空间，并说明样本点的总数； （ii）设事件：“抽取的2人中，不达标的项目至少有一项相同”，求. 核心素养 数学抽象 直观想象 逻辑推理 数学运算 数学建模 数据分析 A × ○ ○ × ○ × B × ○ ○ × ○ × C ○ × ○ ○ × ○ D × ○ × ○ ○ ○ E ○ × ○ × ○ ○ 22. 在中，内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若的面积为，且. ①求的周长； ②求. 23. 如图，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的大小； （3）求直线与平面所成角的余弦值. 24. 如图1，在平面五边形中，，将沿折起得到如图2所示的四棱锥，且，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若为棱上一动点，直线与平面所成角的正弦值为． （i）求 （ii）求点到平面的距离． 南开中学2025-2026学年度第二学期质量监测（二） 高一数学试卷 考试时间：120分钟 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请将答题纸交回. 提示公式：圆台的表面积公式：，其中R，r，l分别为圆台的下底面半径、上底面半径、母线长. Ⅰ卷（共60分） 一、选择题（共60分，每题5分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】D 【11题答案】 【答案】A 【12题答案】 【答案】B Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（共40分，每题5分） 【13题答案】 【答案】2 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】①②④ 【16题答案】 【答案】 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】 【19题答案】 【答案】 【20题答案】 【答案】 三、解答题（共50分） 【21题答案】 【答案】（1） （2）(i) 样本空间，样本点总数为； (ii) 【22题答案】 【答案】（1） （2）① ② 【23题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【24题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）或（ii）或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $