精品解析：天津市静海区2025-2026学年高一第二学期学业水平监测数学试卷

学业水平监测试卷 （高一年级数学） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试时间100分钟．祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题4分，共36分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知单位向量，的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 2. 若事件，互为对立事件，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆锥的体积为，其高与底面直径相等，则这个圆锥的高是（ ） A. B. C. D. 5. 在棱长为2的正方体中，为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件“两次向上的数字都为3”，“两次向上的数字之差是0”，则下列结论正确的是（ ） A. B. 事件与事件互斥 C. 事件与事件相互独立 D. 7. 已知不同的直线，，，不同的平面，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 8. 已知一组样本数据，，，，的平均数为2026，则下列叙述中错误的是（ ） A. ，，，，，的平均数等于，，，，的平均数 B. ，，，，，的方差不大于，，，，的方差 C. ，，，，，的中位数等于，，，，的中位数 D. ，，，，，的极差等于，，，，的极差 9. 在梯形中，，，，，点，分别在线段，上运动，若，则，求的最大值（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共84分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分． 10. 复数__________． 11. 已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量上的投影向量为__________． 12. 如图所示，一个水平放置的斜二测画法画出的直观图是，其中，，为平行四边形，则原中边__________． 13. 为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙两名同学回答一道有关团史的问题，每名同学回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率是．若甲、乙同学都回答这个问题，则至少有1名同学回答正确的概率为__________． 14. 《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，底面，，且，，则该“鳖臑”外接球的表面积为__________． 15. 如图，中，点，，分别是线段，，的中点，设，，则__________（用，表示）；已知，，，则的最大值为__________． 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知为实数，为虚数单位，复数． （1）当时，求； （2）若复数的实部与虚部相等，求的值； （3）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 17. 某商场周年庆，进行抽奖活动，规则如下：从装有除颜色之外完全相同的个小球（其中个红球个白球）的抽奖箱中，随机一次性摸出个球，若取到个白球，则获得一等奖；若取到个白球和个红球，则获得二等奖；其他情况，不获奖．记个红球为，，，个白球为，，样本空间． （1）写出样本空间； （2）某顾客进行一次抽奖，设事件表示随机事件“该顾客获得二等奖”，求． 18. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分．参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示． （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数； （2）利用分层抽样在中抽取11人，则在中抽取学生多少人？并估计考核得分在的学生人数； （3）由频率分布直方图，估计考核得分的平均分． 19. 已知中，角，，所对的边分别为，，，满足，，． （1）求角的大小； （2）求的值和． 20. （用几何法证明）如图，在正三棱柱中，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）（i）证明：平面平面． （ii）求直线与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学业水平监测试卷 （高一年级数学） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试时间100分钟．祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题4分，共36分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知单位向量，的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的定义求解. 【详解】由题意，为单位向量，故，， 两向量夹角为，可得， 由平面向量数量积的定义可得： .  2. 若事件，互为对立事件，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为事件A，B互为对立事件，所以. 3. 已知平面向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， ，解得． 4. 已知圆锥的体积为，其高与底面直径相等，则这个圆锥的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的高为，结合高与底面直径的关系得到底面半径，代入圆锥体积公式列方程求解即可. 【详解】设圆锥的高为，由题意可知圆锥的底面半径. 则圆锥的体积为  ，整理得，解得. 5. 在棱长为2的正方体中，为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图所示， 在正方体中， 因为，所以直线与所成的夹角为直线与所成的夹角，即， 由为的中点，正方体的棱长为，所以 所以在直角中，， 所以. 6. 一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件“两次向上的数字都为3”，“两次向上的数字之差是0”，则下列结论正确的是（ ） A. B. 事件与事件互斥 C. 事件与事件相互独立 D. 【答案】D 【解析】 【详解】设样本空间为，则， 事件“两次向上的数字都为3” ，则， 事件“两次向上的数字之差是0” ，， 则事件，则， 可得，，， 故A错误，D正确； 因为，所以事件A与事件B不互斥，故B错误； 又因为，所以事件与事件不相互独立，故C错误. 7. 已知不同的直线，，，不同的平面，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】结合空间线面、面面平行与垂直的判定定理、性质定理，逐一验证各选项，通过反例排除错误说法. 【详解】在选项A中，当时，可满足且， 但此时与为包含关系，不满足线面平行，故A错误； 在选项B中，由面面平行的性质，且，可得， 又，根据“垂直于同一平面的两条直线互相平行”，可得，故B正确； 在选项C中，若与相交，设交线为，当且时， 满足且，但与不平行，故C错误； 在选项D中，设与的交线为，只有当且时，才有， 若不垂直于交线，则不垂直于，故D错误. 8. 已知一组样本数据，，，，的平均数为2026，则下列叙述中错误的是（ ） A. ，，，，，的平均数等于，，，，的平均数 B. ，，，，，的方差不大于，，，，的方差 C. ，，，，，的中位数等于，，，，的中位数 D. ，，，，，的极差等于，，，，的极差 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数、方差、中位数、极差的定义，逐一判断各选项的正误即可. 【详解】选项A：新数据的平均数为，与原数据的平均数相等. 选项B：设原数据的方差为，新数据的平均数仍为2026， 故新方差， 显然，即新方差不大于原方差. 选项C：将原数据从小到大排序为， 若原中位数为， 插入后中位数. 选项D：若原数据全相等，则，两组数据极差均为0，相等. 若原数据不全相等，则最小值小于2026小于最大值，极差不变. 9. 在梯形中，，，，，点，分别在线段，上运动，若，则，求的最大值（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，用参数表示两个向量的坐标，将数量积转化为关于的二次函数后求最大值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示， 由题意得各点坐标：，，，， 已知，且在线段上，故，即， ， 由得，因此， 则， 该式为开口向下的二次函数，对称轴为，代入得最大值： ， 即的最大值是，故D正确. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共84分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分． 10. 复数__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数除法的分母实数化规则，将分子分母同乘分母的共轭复数，结合虚数单位的运算性质化简求解. 【详解】复数. 11. 已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量上的投影向量为__________． 【答案】 【解析】 【详解】向量在向量上的投影向量为.  ， 已知，，， 代入得 . 将，代入投影向量公式： . 12. 如图所示，一个水平放置的斜二测画法画出的直观图是，其中，，为平行四边形，则原中边__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面图形的直观图的斜二测画法原理得到原的形状，解三角形即可求解. 【详解】由平面图形的直观图的斜二测画法原理可知，为的中点，， 所以原是等腰三角形，如图：        其中，且， 所以. 13. 为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙两名同学回答一道有关团史的问题，每名同学回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率是．若甲、乙同学都回答这个问题，则至少有1名同学回答正确的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】设甲回答正确为事件，乙回答正确为事件， 由题意可知，事件与事件相互独立，且，． 记“甲、乙两名同学中至少有1名同学回答正确”为事件， 则事件的对立事件为“甲、乙两名同学都回答错误”， 即． 因为， ， 且事件与也相互独立， 所以． 故. 14. 《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，底面，，且，，则该“鳖臑”外接球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查四面体外接球半径的求法.由底面，，可知该四面体可补成长方体，其外接球直径等于长方体体对角线.利用勾股定理求出体对角线，再求球表面积. 【详解】由底面，，且，，. 以、、为三条互相垂直的棱，将该四面体补成一个长方体，其三条棱长分别为，，. 外接球的直径等于长方体的体对角线，即 . 所以，球的表面积. 15. 如图，中，点，，分别是线段，，的中点，设，，则__________（用，表示）；已知，，，则的最大值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】可利用向量中点公式，将逐步用、表示，通过多次中点的向量关系建立方程求解;根据分点向量公式，将用、线性表示;用余弦定理得到、的约束关系，最后用基本不等式求最大值. 【详解】由是中点，故， 是中点，则， 是中点，则， 所以 整理得，即 由，得分满足， 由定比分点向量公式 ， ， 由已知，，得，故， 又，代入得 ， 所以， 由，得 ，当且仅当时取等号. 代入得最大值： . 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知为实数，为虚数单位，复数． （1）当时，求； （2）若复数的实部与虚部相等，求的值； （3）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【答案】（1）10 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求共轭复数，再根据复数的运算即可求解； （2）由复数的实部与虚部相等，得，解出即可； （3）由复数在复平面内对应的点位于第四象限，得，解出即可. 【小问1详解】 当时，，所以， 所以； 【小问2详解】 因为复数的实部与虚部相等， 所以，所以， 所以； 【小问3详解】 因为复数在复平面内对应的点位于第四象限， 所以， 所以. 17. 某商场周年庆，进行抽奖活动，规则如下：从装有除颜色之外完全相同的个小球（其中个红球个白球）的抽奖箱中，随机一次性摸出个球，若取到个白球，则获得一等奖；若取到个白球和个红球，则获得二等奖；其他情况，不获奖．记个红球为，，，个白球为，，样本空间． （1）写出样本空间； （2）某顾客进行一次抽奖，设事件表示随机事件“该顾客获得二等奖”，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将从个球中一次性摸出个球的所有可能组合全部列出，得到样本空间； （2）先确定“获得二等奖”即取到个白球和个红球的事件数，再用古典概型概率公式计算. 【小问1详解】 从编号为的个小球中随机一次性摸出个球，不考虑取出顺序， 所有可能的组合为， 因此样本空间. 【小问2详解】 事件表示“该顾客获得二等奖”，即摸出的个球为个红球和个白球. 所以包含的基本事件为，共个. 由（1）可知样本空间包含的基本事件总数为， 所以事件的概率. 18. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分．参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示． （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数； （2）利用分层抽样在中抽取11人，则在中抽取学生多少人？并估计考核得分在的学生人数； （3）由频率分布直方图，估计考核得分的平均分． 【答案】（1），第百分位数为 （2）在中抽取学生人，估计考核得分在的学生人数为人 （3）估计考核得分的平均分为分 【解析】 【分析】（1）根据频率和为求出，再根据百分位数的公式即可计算第百分位数； （2）根据分层抽样的比例关系计算抽取人数，利用频数总数频率估计区间人数；  （3）利用各组组中值乘以对应频率之和估计平均分． 【小问1详解】 由题意得，， 解得． 前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为， 所以第百分位数位于第四组内． 设第百分位数为， 则， 解得． 所以第百分位数为． 【小问2详解】 由（1）知，的频率为，  的频率为． 这两组的频率之比为， 利用分层抽样在中抽取人， 则在中抽取的人数为（人）； 估计考核得分在的学生人数为（人）． 【小问3详解】 由频率分布直方图，考核得分的平均分为：    ． 故估计考核得分的平均分为分． 19. 已知中，角，，所对的边分别为，，，满足，，． （1）求角的大小； （2）求的值和． 【答案】（1） （2）; 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理把边化角，求出的值，得出 （2）利用余弦定理求解三角形的边长，再由面积公式求解三角形的面积. 【小问1详解】 已知 ，由正弦定理 ， 得 所以所以 所以 中 ，所以 又 ，故 【小问2详解】 因为，所以，又，由余弦定理得 ，所以，解得，所以， 所以. 20. （用几何法证明）如图，在正三棱柱中，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）（i）证明：平面平面． （ii）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：连接,交于点，连接， 在正三棱柱中，四边形为平行四边形， 则点为的中点，又为棱的中点，则, 因平面, 平面,则平面； （2）（i）证明：因为正三角形，则, 因平面，平面,则， 因平面，则平面, 又因平面，故平面平面； （ii） 【解析】 【分析】（1）连接,交于点，连接，证明，利用线面平行的判定定理即得证； （2）（i）先证和，由线面垂直的判定定理，得平面,，再由面面垂直的判定定理即可得证； （ii）作于点，连接,证明平面，即得为直线与平面所成角，借助于面积相等与三角函数的定义即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略； （ii）作于点，连接,由（i）得平面平面， 且平面平面,平面，则平面， 则即直线与平面所成角. 在中，, 由面积相等，得, 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $