1.7 课时1 位似图形的概念及画法 教案 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该教案聚焦位似图形的概念、性质及画法，通过幻灯机放映的生活情境导入，引导学生从相似图形中发现对应点连线共点、距离之比相等的特征，衔接已学的相似三角形知识，为后续坐标系中的位似变换搭建学习支架。 此教案以数学抽象、逻辑推理、几何直观为核心素养导向，通过情境观察抽象位似本质，引导学生用相似三角形知识推理证明对应边平行性质，结合作图步骤归纳与分层练习，帮助学生构建知识体系，提升空间想象与规范作图能力，教师使用时重难点突出，教学流程清晰，利于高效开展教学。

1.7 课时1 位似图形的概念及画法 教案 课题 1.7 课时1 位似图形的概念及画法 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 湘教版九年级上册 教学方法 情境导入法、探究法、讲授法、练习法 教学用具 多媒体课件、三角板、直尺 教材分析：本节是湘教版九年级上册第1章"图形的相似"中的重要内容，位似图形是相似图形的特例。学生在已学习相似三角形的基础上，进一步学习位似图形的概念、性质和画法，为后续学习平面直角坐标系中的位似变换奠定基础。本节课的核心在于理解位似的本质——对应点连线共点且对应边平行，并掌握位似图形的作图步骤。 学情分析：学生已学习了相似三角形的概念、判定和性质，具备了一定的图形变换基础。但位似是一个新概念，学生可能将位似与相似混淆，在判断位似图形时容易忽略"对应点连线共点"这一关键条件。在作图方面，学生需要将概念转化为操作步骤，可能存在作图不规范的问题。 一、核心素养目标 （一）数学抽象 通过对幻灯机放映等实际情境的观察与抽象，理解位似变换的本质特征，建立位似图形的数学概念。 能从具体图形中归纳出位似图形的共同属性——对应点连线交于一点、对应边互相平行，形成位似的数学定义。 理解位似比的数学含义，能区分与两种情形下对应点的位置关系。 （二）逻辑推理 能利用位似图形的定义和相似三角形的知识，通过推理证明位似图形对应边互相平行的性质。 能运用"两边成比例且夹角相等"的相似判定方法，推导，进而得到对应角相等、对应边平行的结论。 能判断"相似图形一定是位似图形"等命题的真假，发展逻辑辨析能力。 （三）数学建模 能将实际生活中的放大或缩小问题（如幻灯机放映、照片放大）建立为位似变换的数学模型。 能根据位似比和位似中心，按照规范的作图步骤画出放大或缩小后的图形。 能利用位似图形的性质解决面积比、周长比等实际问题。 （四）几何直观 能通过观察图形的直观特征，判断两个图形是否为位似图形，并确定位似中心的位置。 能借助图形直观理解位似比与图形放大缩小倍数的关系，感知为放大、为缩小。 能通过作图实践，直观感受位似变换前后图形位置与方向的变化规律。 二、教学重难点 【教学重点】位似图形的概念、性质和画法；利用位似将一个图形放大或缩小。 【教学难点】位似与相似的联系与区别；位似图形对应边平行的推理证明。 三、教学过程 （一）情境导入（5分钟） 【教师活动】同学们，请看大屏幕。这是运用幻灯机（点表示光源）把幻灯片上的一棵树放映到屏幕上的示意图。请大家观察这两个图形——幻灯片上的树和屏幕上的树，它们之间有什么关系？ 幻灯机放映示意图：光源O将幻灯片上的树投射到屏幕上 【学生活动】学生观察后回答：这两个图形的形状相同，但大小不同，它们是相似图形。屏幕上的树比幻灯片上的树大。 【教师活动】很好！它们的形状相同、大小不同，是相似图形。那么请大家进一步思考：如果把幻灯片上树的某个点与屏幕上对应的点连接起来，这条线会经过哪里？ 【学生活动】学生思考后回答：这条线会经过光源O。因为光是直线传播的，幻灯片上的点经过光源投射到屏幕上，所以、、三点共线。 【教师活动】非常棒！、、三点在同一条直线上。现在我们把问题1中的示意图抽象成数学几何图形。请看，点是光源（位似中心），、是原图上的点，、是屏幕上的对应点。请大家分别度量线段、、、的长度，计算与的值，它们相等吗？ 【学生活动】学生动手度量并计算后发现：，比值相等。继续在左右两棵树上找出一些对应点，发现对应点与点的连线都在同一条直线上，且对应线段的比值都相等。 【教师活动】非常棒！大家发现了一个重要规律：两个相似图形的对应点连线都经过同一个点，而且对应点到位似中心的距离之比相等。这种特殊的相似关系就是我们今天要学习的——位似。 【设计意图】通过幻灯机放映的生活情境，引导学生从直观感知中抽象出位似图形的几何特征——对应点连线共点、距离之比相等，为后续位似概念的形式化定义做好铺垫。 【过渡语】【过渡语】通过情境导入，我们初步感知了位似图形的特征。接下来，让我们正式学习位似图形的定义。 【知识点】情境导入：幻灯机放映情境中，两个相似图形的对应点连线经过同一点（光源），且对应点到该点的距离之比相等——这就是位似关系的直观原型。 （二）新知探究（15分钟） 1. 位似图形的定义 【教师活动】请看位似图形的严格定义。取定一个点，把一个图形上每一个点对应到射线（或射线的反向延长线）上的点，使得，其中是非零常数。当时，点在射线上；当时，点在射线的反向延长线上。特别地，点对应到它自身。我们把图形的这种变换称为位似，把这个图形与它在位似下的像称为位似图形，这个点叫作位似中心，常数叫作位似比。 位似图形定义示意图：点为位似中心，点与点对应 【学生活动】学生认真听讲并做笔记，理解位似定义中的关键要素：位似中心、位似比、对应点与的位置关系。 【教师活动】请大家思考几个问题：第一，位似比能不能等于0？第二，当和时，对应点的位置有什么不同？第三，位似中心对应哪个点？ 【学生活动】学生讨论后回答：第一，不能等于0，因为定义中说是非零常数，如果则所有点都对应到点，没有意义。第二，当时，在射线上，也就是P和P'在O的同侧；当时，在射线的反向延长线上，也就是P和P'在O的两侧。第三，位似中心对应到它自身。 【教师活动】非常好！再追问一个：位似比和相似比是什么关系？ 【学生活动】学生思考后回答：位似比的绝对值就是相似比。当时相似比为，当时相似比为。 【教师活动】完全正确！位似比的绝对值等于相似比。的正负只决定对应点的方向，不影响相似比的大小。 理解要点位似定义的关键要素：①位似中心O（定点）；②位似比k（非零常数）；③对应关系：OP'/OP=|k|。当k>0时图形同侧，k<0时图形异侧。 【知识点】位似图形的定义：取定点，图形上每一点对应到射线（或反向延长线）上的点，使（为非零常数）。这种变换叫位似，叫位似中心，叫位似比。 2. 判断位似图形 【教师活动】现在来做一道判断题。如图，，下列说法不正确的是哪个？选项A：两个三角形是位似图形；选项B：点A是两个三角形的位似中心；选项C：B与、与是对应位似点；选项是相似比。请大家思考并选择。 【学生活动】学生思考后回答：选D。因为，两个三角形相似且对应点连线、交于点，所以是位似图形，正确。点是位似中心，正确。与、与是对应位似点，正确。相似比应该是（或），而不是，所以D不正确。 【教师活动】分析得非常到位！这里的关键是相似比等于对应到位似中心的距离之比，即，而不是。大家一定要注意相似比的计算方法。 【设计意图】通过判断题帮助学生辨析位似图形的要素，特别是相似比的计算方法，加深对位似概念的理解。 易错提示位似图形的相似比 = 对应点到位似中心的距离之比。计算时要找准对应点和位似中心，不要将非对应线段的比当作相似比。 【知识点】判断位似图形的关键：①两图形相似；②对应点连线交于同一点（位似中心）；③对应边互相平行或在同一直线上。三个条件缺一不可。 3. 位似图形的性质 【教师活动】接下来请大家想一想：观察下图，与A'B'平行吗？为什么？ 位似图形对应边平行的性质示意图 【学生活动】学生思考后回答：。因为（位似比相等），且（公共角），根据两边成比例且夹角相等，所以。由相似三角形对应角相等，得，这两个角是同位角，同位角相等两直线平行，所以。 【教师活动】推理非常严谨！由此我们得到位似图形的重要性质：若两个图形位似，则这两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一直线上）。此外，任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。 【设计意图】通过让学生自主推理证明，引导学生运用已学的相似三角形知识推导位似图形的性质，培养学生的逻辑推理能力，体会知识间的内在联系。 重点强调位似图形的三条性质：①两个图形相似；②对应点的连线相交于一点（位似中心），对应边互相平行或在同一直线上；③任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。 【知识点】位似图形的性质：①两图形相似；②对应点连线相交于一点，对应边互相平行或共线；③对应点到位似中心的距离之比等于相似比。 【过渡语】【过渡语】我们已经学习了位似图形的概念和性质，接下来探究如何画位似图形——将一个图形放大或缩小。 （三）作图方法探究（10分钟） 1. 法一：在射线延长线上作图 【教师活动】思考：如何把放大为原来的2倍？你能想到几种方法？我们先来学习法一。第一步，在三角形外任意取一点，连接、、；第二步，分别在线段、、的延长线上取点、、，使得；第三步，依次连接点、、，则所得到的就是所要求的图形。 法一：在射线、、的延长线上取点放大三角形 【学生活动】学生在纸上跟随老师一起作图，画出外一点，连接、、并延长，在延长线上截取、、，连接A'B'C'得到放大后的三角形。 【教师活动】大家画得很好。请注意，法一的特点是在射线的延长线上，也就是A和A'在O的同侧，此时。这种方法得到的图形与原图形在位似中心的同一侧。请大家检验一下：与是否相似？对应边是否平行？ 【学生活动】学生检验后回答：与相似，相似比为2。对应边，，，符合位似图形的性质。 【教师活动】检验得很好！再请大家思考：为什么取就能保证图形放大2倍？ 【学生活动】学生回答：因为三个顶点到位似中心的距离都扩大了2倍，根据位似的定义，新图形与原图形的位似比为2，也就是相似比为2，所以图形放大了2倍。 【教师活动】说得很清楚！位似比等于对应点到位似中心的距离之比，所以当所有距离都扩大2倍时，整个图形就放大2倍。 2. 法二：在反向延长线上作图 【教师活动】还有第二种方法。第一步，同样在三角形外取一点，连接、、；第二步，分别在线段、、的反向延长线上取点、、，使得；第三步，依次连接点、、，则所得到的就是所要求的图形。 法二：在射线、、的反向延长线上取点放大三角形 【学生活动】学生用法二的方法再次作图，在反向延长线上截取对应点，得到在另一侧的放大三角形。 【教师活动】很好！法二的特点是在射线的反向延长线上，也就是A和A''在O的两侧，此时。两种方法都能将图形放大2倍，但图形相对于位似中心的位置不同。请大家比较法一和法二得到的图形，它们有什么相同点和不同点？ 【学生活动】学生比较后回答：相同点是两个图形都放大了2倍，都和原图形位似。不同点是法一的图形在的同侧，方向不变；法二的图形在的两侧，方向相反（相当于旋转了180°）。 【教师活动】总结得很好！这就是和的本质区别。的正负决定了对应点是在位似中心的同侧还是异侧。 判断技巧法一同侧位似（k>0）：对应点在位似中心同侧，图形方向相同；法二异侧位似（k<0）：对应点在位似中心两侧，图形方向相反（相当于旋转180°后再缩放）。 3. 画位似图形的一般步骤 【教师活动】通过以上两种方法，我们来归纳画位似图形的一般步骤。第一步，确定位似中心；第二步，连接位似中心和能代表原图的关键点并延长；第三步，根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；第四步，顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形。请大家牢记这四个步骤。我们来一起念一遍：确定位似中心、连接关键点并延长、根据位似比确定对应点、顺次连接。 【学生活动】学生齐声朗读并记忆画位似图形的四个步骤：确定位似中心→连接关键点并延长→根据位似比确定对应点→顺次连接。 【教师活动】很好！请大家注意，这四个步骤不仅适用于三角形，也适用于四边形、五边形等任意多边形的位似变换。关键是找到能代表原图形的所有关键点（通常是顶点），然后逐一确定对应点。 【设计意图】通过归纳作图步骤，帮助学生将操作经验上升为方法规律，形成可迁移的作图技能，为后续解决复杂位似作图问题奠定基础。 【知识点】画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连接位似中心和关键点并延长；③根据位似比确定对应点；④顺次连接各点得到放大或缩小后的图形。 【过渡语】【过渡语】掌握了作图方法，现在让我们通过练习来巩固所学知识。 （四）做一做与课堂练习（10分钟） 做一做 【教师活动】请看做一做第（1）题。如图，已知外一点，以点为位似中心，将缩小为原图形的。请大家按照刚才学的四个步骤来作图。 做一做：以点为位似中心将缩小为原图形的 【学生活动】学生作图：第一步，确定位似中心；第二步，连接、、；第三步，在上取使，同理取、；第四步，顺次连接A'B'C'，得到缩小后的。 【教师活动】作图正确！第（2）题，若点在内部，以点为位似中心，分别将缩小为原图形的，放大为原图形的2倍。请大家思考：当位似中心在图形内部时，作图步骤有变化吗？ 【学生活动】学生思考后回答：作图步骤不变，仍然是四个步骤。只是位似中心在三角形内部，连接、、后，对应点的位置会在与原顶点之间（缩小）或在延长线上（放大）。 【教师活动】没错！无论位似中心在图形内部还是外部，作图步骤都是一样的。关键在于正确确定位似比和对应点的位置。请大家注意：当位似中心在图形内部时，放大后的图形会将原图形"包围"在其中，缩小后的图形则在原图形内部。 【设计意图】通过做一做的两个变式练习，帮助学生掌握不同位似中心位置（外部和内部）下的作图方法，加深对位似变换的理解，培养空间想象能力和作图技能。 课堂练习 【教师活动】练习1：下列判断中，正确的是哪个？ A：相似图形一定是位似图形； B：位似图形一定是相似图形； C：全等的图形一定是位似图形； D：位似图形一定是全等图形。 【学生活动】学生回答：选B。位似图形一定是相似图形，因为位似是特殊的相似。但相似图形不一定是位似图形，因为位似还要求对应点连线交于一点，所以错。全等图形不一定是位似图形，错。位似图形的大小可以不同，不一定是全等图形，错。 【教师活动】回答完全正确！位似是相似的特例——位似一定相似，但相似不一定位似。这就是位似与相似的联系与区别。请大家举例说明：什么样的相似图形不是位似图形？ 【学生活动】学生举例：比如把一个三角形平移一段距离后得到的新三角形，它们是相似的（全等也是相似），但对应点的连线是平行的，不交于一点，所以不是位似图形。 【教师活动】举例非常好！平移得到的图形虽然相似，但对应点连线平行不相交，不满足位似的条件。这说明位似比相似多了一个"共点"的要求。 【设计意图】通过概念辨析题和举反例，帮助学生深入理解位似与相似的联系与区别，培养学生的批判性思维。 【教师活动】练习2：如图，以为位似中心，将放大得到，若，则与的面积之比为多少？ A：1:2；B：1:4；C：1:5；D：1:6。 练习2：以为位似中心将放大得到 【学生活动】学生分析：，说明，所以位似比。是放大2倍的结果，相似比为1:2。面积比等于相似比的平方，即1:4。选B。 【教师活动】分析得很清楚！关键是由推出，从而确定位似比为2，再由面积比相似比的平方得到1:4。请大家进一步思考：如果，面积比又是多少？ 【学生活动】学生计算：如果，则，位似比为3，面积比为1:9。 【教师活动】计算正确！这说明位似比越大，面积比的变化越显著。面积比等于相似比的平方，这是一个非常重要的结论。 【教师活动】练习3：下列说法：①位似图形一定是相似图形；②相似图形一定是位似图形；③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间；④若五边形与五边形A'B'C'D'E'位似，则其中与也是位似的，且相似比相等。其中正确的有哪些？ 【学生活动】学生回答：①正确，位似一定相似。②错误，相似不一定位似。③错误，两个位似图形若全等，位似比为1或，位似中心不一定在两图形之间。④正确，位似图形的局部也是位似的，相似比相等。所以正确的有①④。 【教师活动】非常好！特别要注意④，这是位似图形的一个重要性质——位似图形中对应的局部图形仍然位似，且相似比不变。请大家想一想：为什么位似图形的局部仍然位似？ 【学生活动】学生思考后回答：因为位似图形的所有对应点连线都经过同一个位似中心，所以局部图形的对应点连线也经过这个中心，且距离之比不变，所以局部仍然位似。 【教师活动】分析得很有道理！这说明位似关系具有"局部继承性"——整体的位似关系可以传递到局部。这是一个非常有用的性质。 【教师活动】练习4：已知点在内，以点为位似中心画一个三角形，使它与位似，且相似比为2。请大家按照规范步骤作图。 【学生活动】学生作图：第一步，连接、、；第二步，在射线上取点使，同理在射线上取使，在射线上取使；第三步，顺次连接、、，则与关于点成位似图形，并且相似比为2。 【教师活动】作图规范正确！大家注意，相似比为2是放大，所以对应点在射线上远离的方向取。如果相似比为则是缩小，对应点在与原顶点之间取。请问：如果题目要求相似比为，作图步骤有什么变化？ 【学生活动】学生回答：步骤不变，只是第三步中对应点的位置不同——缩小时对应点在与原顶点之间取，使；放大时对应点在射线延长线上取，使。 【教师活动】回答正确！无论放大还是缩小，作图四步法都是通用的，关键是根据位似比正确确定对应点的位置。再请大家思考：这道题也可以用法二（反向延长线）来作图吗？ 【学生活动】学生回答：可以。在射线的反向延长线上取使，同理取、，连接后也能得到位似图形，只是图形在的另一侧，方向相反。 【教师活动】完全正确！位似作图通常有两种方案（同侧和异侧），除非题目有特殊限制，否则两种方法都可以。 解题思路位似问题解题关键：①找准位似中心；②确定位似比（注意放大k>1，缩小0<k<1）；③利用性质（对应边平行、距离之比=相似比、面积比=相似比²）；④按四步法规范作图。 【设计意图】通过练习题覆盖了位似图形的概念辨析、性质应用、面积计算和作图操作，全面检验学生对本节课知识的掌握程度，体现了从概念理解到实际应用的学习梯度。 【设计意图】课堂练习设计遵循从易到难、从概念到应用的梯度，练习1侧重概念辨析，练习2考查性质应用与面积计算，练习3深化对位似性质的理解，练习4检验作图技能，四个练习层层递进，形成完整的知识闭环。 【过渡语】【过渡语】通过练习，大家对本节课的知识有了更深入的理解。现在让我们来总结本节课的主要内容。 （五）课堂小结（5分钟） 【教师活动】同学们，本节课我们学习了位似图形的概念及画法。请大家回顾一下，本节课你学到了哪些知识？ 【学生活动】学生总结：①学习了位似图形及相关概念——位似中心、位似比；②掌握了位似图形的性质——两图形相似、对应点连线相交于一点、对应边互相平行或在同一直线上、对应点到位似中心的距离之比等于相似比；③学会了作位似图形的方法——关键是确定位似中心、相似比和找关键点的对应点。 【教师活动】总结得很全面！本节课的核心是：位似是特殊的相似，它不仅要求图形相似，还要求对应点连线共点、对应边平行。作图时牢记四步法：确定位似中心→连接关键点→根据位似比确定对应点→顺次连接。请大家思考：位似与相似的本质区别是什么？ 【学生活动】学生回答：相似只要求形状相同、大小成比例，但对应点的位置没有限制。位似在相似的基础上，还要求对应点连线交于同一点（位似中心），对应边互相平行。简单说，位似是"有中心的相似"。 【教师活动】说得很好！"位似是特殊的相似"——这就是本节课的核心思想。希望大家课后复习巩固，为下节课学习平面直角坐标系中的位似做好准备。 【设计意图】通过课堂小结，引导学生梳理本节课的知识脉络，明确位似与相似的联系与区别，形成完整的知识框架，为后续学习坐标系中的位似变换做好衔接。 【知识点】本节课知识框架：位似图形概念（位似中心、位似比）→位似图形性质（相似、共点、平行、等比）→作图方法（四步法：定中心→连关键点→定对应点→顺次连接）。 四、板书设计 1.7 课时1 位似图形的概念及画法 一、位似图形概念 1. 位似：取定点O，P对应到射线OP上的P'，使OP'/OP=|k| 2. 位似中心：定点O 3. 位似比：非零常数k（k>0同侧，k<0异侧） 二、位似图形性质 1. 两个图形相似 2. 对应点连线相交于一点，对应边互相平行或在同一直线上 3. 对应点到位似中心的距离之比等于相似比 三、作图四步法 1. 确定位似中心 2. 连接位似中心和关键点并延长 3. 根据位似比确定对应点 4. 顺次连接各点 五、教学反思 1. 情境导入环节是否有效帮助学生从生活中的幻灯机放映情境抽象出位似图形的数学模型？学生能否自然地理解"对应点连线共点"这一关键特征？ 2. 位似图形定义的讲解是否清晰？学生对位似比和两种情形的理解是否存在困难？是否需要增加更多直观例子来辅助理解？ 3. 性质探究环节中，学生能否独立完成的推理证明？在运用相似三角形判定定理时是否有困难？ 4. 作图方法的教学中，法一和法二的对比是否帮助学生理解了同侧位似与异侧位似的区别？学生在作图规范性方面是否存在问题？ 5. 课堂练习的难度层次是否合理？4道练习题是否全面覆盖了本课的知识点？学生在哪些题目上出错较多，原因是什么？ 6. 课堂时间分配是否合理？15分钟的新知探究环节是否充分？5分钟的课堂小结是否到位？是否有需要调整的地方？ 学科网（北京）股份有限公司 $