1.1.2 成比例的线段 教案 2026-2027学年数学湘教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦成比例的线段核心知识，涵盖线段的比、成比例线段及黄金分割。通过武汉地区不同比例尺电子地图情境导入，从生活中的比例尺差异引出线段比概念，搭建从实际问题到数学抽象的学习支架。 此资料以情境教学与探究式教学为主，方格纸中三角形边长计算引导学生归纳成比例线段定义，黄金分割结合帕提侬神庙、东方明珠等实例，发展学生数学抽象与应用意识。分层练习满足不同需求，助力教师高效教学，提升学生逻辑推理与知识应用能力。

1.1.2 成比例的线段 教案 课题 1.1.2 成比例的线段 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 湘教版九年级上册 授课对象 九年级学生 授课时间 年 月 日 教学方法 情境教学法、探究式教学法、讲授法、练习法 教学用具 多媒体课件 一、核心素养目标 1. 数学抽象 能从地图比例尺和方格纸中抽象出线段的比的概念。 能从建筑和艺术作品中识别黄金分割的数学本质。 2. 逻辑推理 能通过计算方格纸上三角形的边长比，观察并归纳出成比例线段的定义。 能运用成比例线段的性质进行推理计算，解决未知边长问题。 3. 数学建模 能将实际图形中的对应边关系转化为成比例线段的数学模型。 4. 数学应用 能用黄金分割比解释建筑和艺术作品中的美学规律。 体会数学与生活、艺术的紧密联系，增强数学学习的兴趣。 二、教学重点与难点 教学重点 1. 线段的比的概念及表示方法。 2. 成比例的线段的概念及判定方法。 3. 黄金分割比的概念。 教学难点 1. 理解线段的比与长度单位的选取无关。 2. 运用成比例线段列比例式求未知线段长。 3. 理解黄金分割比的意义，能识别生活中的黄金分割实例。 三、教学过程 环节一：情境导入（3-5分钟） 【教师活动】同学们，请看大屏幕上的这两张电子地图。它们显示的是同一个区域——武汉长江边的黄鹤楼附近。请仔细观察，这两张地图有什么不同？ 武汉地区电子地图（远景） 武汉地区电子地图（近景） 【学生活动】观察两张地图，发现同一地点在两图中的标注距离不同。 【互动提问】在两张地图中，黄鹤楼与长江的距离为什么不同呢？谁能解释这个现象？ 【学生活动】思考后回答：因为两张地图的比例尺不同。比例尺越大，图上表示的实际范围越小，图上距离越长。 【过渡语】非常好！比例尺不同，表示的实际距离与图上距离的比值就不同。地图上的距离与实际距离之间存在一个比值关系。今天我们就来学习如何用数学语言精确描述两条线段之间的这种比值关系——线段的比。 环节二：新知探究（15-20分钟） 一、线段的比 【教师活动】实际生活中我们经常需要比较两条线段的长短。除了直接测量比较大小，还可以通过计算比值来精确描述它们之间的数量关系。现在请同学们看大屏幕上的方格纸。 【教师活动】如图,在方格纸上（设小方格边长为单位 1）有△ABC 和△A′B′C′,它们的顶点都在格点上。 【学生活动】观察方格纸上两个三角形的顶点位置，准备计算各边长。 【教师活动】思考：（1）求线段AB,BC,AC,A′B′,B′C′,A′C′的长度； （2）计算AB与A′B′, BC与B′C′, AC与A′C′的长度的比值，你有什么发现？ 【学生活动】利用方格纸计算各边长度：在方格纸上用勾股定理或直接数格子的方法求长度，并计算三个比值。 【互动提问】哪位同学来分享一下你的计算结果？AB/A′B′等于多少？BC/B′C′呢？AC/A′C′呢？ 【学生活动】学生回答：三个比值相等。 【讲授】一般地，如果选用同一长度单位量得两条线段AB，A′B′的长度分别为m，n，那么把它们的长度的比m/n叫作这两条线段AB与A′B′的比，记作AB:A′B′ = m:n，或AB/A′B′ = m/n。如果m/n的比值为k，那么也可写成AB/A′B′ = k，或AB = k·A′B′。 【重点辨析】注意：线段的比是两条线段长度的比值，与所选的长度单位无关。比值是一个正数，可以是整数、分数或小数。但求比值前必须先统一长度单位。 【总结】AB/A′B′ = BC/B′C′ = AC/A′C′。△ABC各边与△A′B′C′各对应边的比值相等，表明这两个三角形的对应边成比例。 📕 理解要点：线段的比是两条线段长度的比值，与所选的长度单位无关。求比值前必须统一长度单位。比值是一个正数，可以是整数、分数或小数。 二、成比例的线段 【教师活动】在刚才的探究中我们发现，△ABC与△A′B′C′的三组对应边比值都相等。实际上，这种关系就是成比例的线段。 【讲授】在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例的线段。 【互动提问】怎样用符号表示成比例的线段？如果线段a,b,c,d满足a:b=c:d，我们就说a,b,c,d是成比例的线段。请大家在笔记本上记下这个表达式。 【过渡语】下面我们通过一道例题来看看怎样判断四条线段是否成比例。 例题1：判断四条线段是否成比例 【教师活动】例1 已知线段a，b，c，d的长度分别为0.8 cm，2 cm，1.2 cm，3 cm，问a，b，c，d是比例线段吗？ 思考：如何判断四条线段是成比例的线段？ 【学生活动】独立尝试判断，尝试不同的组合方式计算比值。 【互动提问】请说说你的判断方法和结果。你是怎样排列这四条线段的？ 【思路分析】将四条线段按长度从小到大排列后，计算最小与最大的比和中间两条的比，看是否相等。或者计算两两之比，看是否有两组相等。注意统一单位后比较。 【答案】解：a:b=0.8:2=2:5，c:d=1.2:3=2:5。因为a:b=c:d，所以a，b，c，d是成比例的线段。 判断方法：将四条线段按长度从小到大排列为a≤b≤c≤d，分别计算a:b和c:d（或a:c和b:d），若比值相等，则这四条线段成比例。 ⚠️ 易错提示：判断成比例线段时，四条线段的顺序可以调换，但比例式两端的两条线段必须来自同一组比值。例如a:b=c:d与a:c=b:d是两种不同的比例关系，不能混淆。 三、成比例线段的应用 【教师活动】利用成比例线段的关系，可以由已知线段长求出未知线段长。下面我们来看一道综合应用题。 例题2：利用对应边成比例求三角形边长 【教师活动】例2 已知△ABC的三边AB,BC,AC与△A′B′C′的三边A′B′,B′C′,A′C′对应成比例。若△ABC的周长为48 cm，且A′B′=3 cm，B′C′=4 cm，A′C′=5 cm，求△ABC的三边的长。 【学生活动】仔细读题，找出已知条件和未知量：已知A′B′=3, B′C′=4, A′C′=5；△ABC周长=48 cm；三边对应成比例。 【互动提问】根据对应边成比例，我们可以怎样设未知数？ 【思路分析】由对应边成比例，可设相似比为k，则AB=k·A′B′, BC=k·B′C′, AC=k·A′C′。三边之和等于周长48，列出关于k的方程求解，再分别求三边长。 【答案】解：设AB/A′B′=BC/B′C′=AC/A′C′=k。 则AB=3k，BC=4k，AC=5k。 ∵△ABC的周长为48 cm，∴3k+4k+5k=48，即12k=48，解得k=4。 ∴AB=3×4=12(cm)，BC=4×4=16(cm)，AC=5×4=20(cm)。 📕 理解要点：对应边成比例是相似三角形的核心性质。已知一个三角形的三边和另一个三角形的三边比例关系，可以利用周长求出相似比，再求各边长。 四、黄金分割 【过渡语】在成比例的线段中，有一种特殊的比例关系——黄金分割。它被誉为「最美的比例」，被广泛应用于建筑、艺术等领域。 【讲授】在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC/AB = BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫作黄金分割比。 【重点辨析】黄金分割比的精确值为(√5-1)/2，约等于0.618。一条线段上有两个黄金分割点，分别位于靠近两端的位置。 【过渡语】黄金分割不是数学家的凭空想象，它在世界各地的著名建筑中都有体现。让我们一起来欣赏。 【教师活动】希腊的帕提侬神庙、印度泰姬陵、法国巴黎圣母院这些著名建筑的正面高度与底部宽度之比均约为黄金分割比。 【教师活动】东方明珠塔，塔高462.85 m。设计师在295 m处设计了一个上球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观。 上海东方明珠广播电视塔 【互动提问】东方明珠塔的上球体位置为什么选在295m处？如果塔高462.85m，295/462.85约等于多少？这个比值有什么特殊意义？ 【学生活动】计算：295÷462.85≈0.637。发现这个比值接近黄金分割比0.618。 【教师活动】不仅在建筑中，黄金分割在艺术作品中同样闪耀光芒。这幅《蒙娜丽莎的微笑》给了数以亿万计的人们美的艺术享受，备受推崇。意大利画家达芬奇在创作中大量运用了黄金矩形来构图。整个画面使人觉得和谐自然，优雅安宁。 《蒙娜丽莎的微笑》——黄金矩形的「迷人面容」 【互动提问】同学们还知道哪些生活中运用黄金分割的例子？ 【学生活动】自由发言：蝴蝶翅膀、海螺壳的螺旋线、人体比例（肚脐是身高的黄金分割点）、五角星中的黄金分割等。 📕 理解要点：黄金分割比约为0.618。一条线段有两个黄金分割点，分别位于靠近两端的位置。 💡 判断技巧：在题目中看到「点C是线段AB的黄金分割点」，要立即想到AC²=AB·BC或AC/AB=BC/AC。通常设AB=1或设未知数列方程求解。 环节三：课堂练习（5-10分钟） A组·基础巩固 1. 下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（ ） A．3 cm，4 cm，5 cm，6 cm B．4 cm，8 cm，3 cm，5 cm C．5 cm，15 cm，2 cm，6 cm D．8 cm，4 cm，1 cm，3 cm 【教师活动】请同学们用刚才学习的判断方法，逐一验证四个选项。 【答案】选C。解析：A:3:4≠5:6；B:4:8=1:2, 3:5≠1:2；C:2:5=6:15=2:5（排序后2,5,6,15，2:5=2:5）；D:1:3≠4:8=1:2。 2. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°。请写出图中相等的线段，并说明理由。 等腰直角三角形△ABC 【思路分析】由∠ACB=90°，∠ABC=45°，得∠BAC=180°-90°-45°=45°=∠ABC，∴△ABC是等腰直角三角形，AC=BC。 B组·能力提高 3. 如图，矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似，已知AB=6 cm，BC=4 cm，A′B′=9 cm，求B′C′的长。 两个相似矩形 【思路分析】矩形相似意味着长宽比相等，对应边成比例。由AB/A′B′=BC/B′C′，代入6/9=4/B′C′，解得B′C′=6 cm。 【重点辨析】注意：矩形相似要求对应边成比例，但矩形的四条边不一定全部成比例，关键是对应位置的边（长对长、宽对宽）成比例。 4. 已知线段AB=10cm，点P，Q是线段AB的两个不同的黄金分割点，求线段PQ的长。 线段AB的两个黄金分割点P、Q 【思路分析】线段AB有两个黄金分割点P、Q（靠近两端）。设AP为较长的黄金分割段。黄金比=(√5-1)/2≈0.618。AP=10×0.618≈6.18(cm)。同理BQ≈6.18(cm)。PQ=AP+BQ-AB≈6.18+6.18-10=2.36(cm)。精确值：AP=5(√5-1)，BQ=5(√5-1)，PQ=10√5-20(cm)。 【教师活动】巡视学生完成情况，对第4题做重点提示：画图明确P、Q的位置，两个黄金分割点分别在靠近A端和B端的位置。 环节四：课堂小结（2-3分钟） 【教师引导】今天我们一起学习了成比例的线段。请同学们回顾一下本节课的主要内容。 【课堂互动】请一位同学回答：线段的比是怎样定义的？怎样判断四条线段是否成比例？ 【课堂互动】再请一位同学回答：什么是黄金分割？你在生活中见过哪些黄金分割的例子？ 【总结】本节课的核心知识： 1. 线段的比——同一长度单位下，两线段长度之比，记作AB:A′B′=m:n。 2. 成比例的线段——四条线段中，两组比值相等，即a:b=c:d。 3. 黄金分割——点C满足AC/AB=BC/AC时，C是黄金分割点，黄金比≈0.618。 四、板书设计 1.1.2 成比例的线段 一、线段的比 ① 定义：同一长度单位下，两线段长度之比（比值k为正数） ② 记法：AB:A′B′=m:n 或 AB/A′B′=m/n ③ 与长度单位的选取无关 二、成比例的线段 ① 定义：a:b=c:d（四条线段中两组比值相等） ② 判定：排序→计算两两之比→比较是否相等 三、成比例线段的应用 ① 已知比例和周长→设k→列方程→求各边长 四、黄金分割 ① 定义：AC/AB=BC/AC（点C是AB的黄金分割点） ② 黄金分割比=(√5-1)/2≈0.618 ③ 应用：建筑（帕提侬神庙、东方明珠）·艺术（蒙娜丽莎） 五、教学反思 1. 学生能否理解线段的比与长度单位无关？ 2. 学生是否能正确判断四条线段是否成比例？ 3. 学生能否运用成比例线段列比例式求解未知边长？ 4. 黄金分割的概念是否能激发学生的数学兴趣？ 5. 分层练习是否能满足不同层次学生的需求？ 6. 本节课的数学与生活、艺术的联系是否有效建立？ 学科网（北京）股份有限公司 $