1.2 平行线分线段成比例 教案 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该教案聚焦平行线分线段成比例的基本事实及推论，通过梯子情境抽象出三条平行线截两条直线的模型，从特殊（等分）到一般（成比例），用全等证明和面积法推导，搭建逻辑递进的学习支架。 特色在于以数学抽象构建模型，逻辑推理贯穿从特殊到一般的证明过程，直观想象助力复杂图形中对应线段识别。采用探究式和小组合作，如面积法三步推导比例关系，提升学生推理与运算能力，为教师提供清晰教学路径与核心素养培养方案。

课题 1.2 平行线分线段成比例 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 湘教版数学 九年级上册 教学方法 启发式教学法、探究式学习法、小组合作学习法 教学用具 多媒体课件（PPT）、三角板、直尺 1.2 平行线分线段成比例 一、核心素养目标 • 【数学抽象】理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论，通过梯子情境抽象出三条平行线截两条直线的数学模型 • 【逻辑推理】能运用面积法和全等三角形证明平行线分线段成比例，经历从特殊（等分）到一般（成比例）的推理过程，由基本事实推导出推论 • 【数学运算】会用基本事实和推论计算相关线段长度，准确书写对应线段的比例式，熟练掌握比例式求解的方法 • 【直观想象】能在复杂图形中准确识别对应线段，正确区分基本事实与推论的不同应用场景 二、教学重难点 教学重点：平行线分线段成比例基本事实的理解与推论（截三角形两边或延长线）的识别与应用 教学难点：区分基本事实与推论的适用情形；复杂图形中对应线段的识别与比例式书写 三、教学过程 【一、情境导入】（5分钟） 梯子的数学模型——三条平行横档被两侧扶手所截 【教师活动】同学们请看——这是一把生活中常见的梯子。梯子有三道横档，它们两两平行。如果我们已知梯子左侧两道横档间距相等（AB = BC），大家能猜想右侧两道横档的间距有什么关系吗？请大胆猜想并说明理由。 【学生活动】观察梯子示意图，小组讨论。直觉上 A₁B₁ 应该等于 B₁C₁，因为梯子是对称的。 【教师活动】很好！这种直觉对不对，需要数学来验证。我们把梯子的结构抽象为几何图形——三条平行直线 a、b、c 被两条直线 l₁ 和 l₂ 所截。接下来的核心问题就是：如果一组平行线在一条截线上截得的线段相等，在另一条截线上截得的线段是否也相等？这就是本节课要探究的核心——平行线分线段成比例。 【知识点】平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。本节从特殊情形（等分）出发，逐步推导到一般情形（成比例）。 【设计意图】从生活中的梯子出发，让学生经历从实物到几何模型的抽象过程，激发探究欲望，培养数学抽象的核心素养。 【二、探究新知：等分情形证明】（8分钟） 【教师活动】如图，直线 a∥b∥c，直线 l₁ 和 l₂ 被 a、b、c 所截，截得线段分别为 AB、BC 和 A₁B₁、B₁C₁。若 AB = BC，猜想 A₁B₁ 与 B₁C₁ 的关系。请大家小组讨论，尝试证明。 【学生活动】小组合作讨论。过点 B 作直线 l₃∥l₂，分别与 a、c 相交，构造全等三角形。部分学生写出：由夹在两平行线间的平行线段相等得 A₂B = A₁B₁，BC₂ = B₁C₁。再证 △BAA₂≌△BCC₂（AAS），因此BA₂=BC₂，故A₁B₁=B₁C₁。 【教师活动】正确！核心步骤：①过 B 作 l₃∥l₂ 交 a、c 于 A₂、C₂；②由平行线性质：A₂B=A₁B₁，BC₂=B₁C₁；③证 △BAA₂≌△BCC₂：∠ABA₂=∠CBC₂（对顶角），BA=BC（已知），∠BAA₂=∠BCC₂（平行线同位角），所以AAS全等；④全等得 BA₂=BC₂，即 A₁B₁=B₁C₁。等分情形得证。 辅助线是关键：过点B作l₃∥l₂是本题的突破口。l₃在两条截线之间沟通等分关系——正是从等分情形过渡到成比例情形的桥梁。构造辅助线的思路：把一条截线上已证的相等关系传递到另一条截线上。 【学生活动】在草稿纸上画图，跟随教师板书标注辅助线 l₃，独立复述证明过程。 【过渡语】AB=BC 时，A₁B₁=B₁C₁——特殊情形已证。但生活中更常见的是不等分的情况。那时对应线段成比例——这是本节课要攀登的高峰。 【知识点】平行线等分定理：若一组平行线在一条截线上截得的线段相等，则在另一条截线上截得的线段也相等。这是基本事实的特殊情形。 【三、探究新知：面积法证明一般情形】（12分钟） 【教师活动】现在讨论一般情形——AB与BC未必相等。连接AB₁、B₁C、BA₁、BC₁，构造多组三角形。请观察△ABB₁、△BCB₁、△ACB₁，它们底边分别在AB、BC、AC上，有什么共同特征？ 【学生活动】观察、作图。发现这三个三角形的底边共线（在l₂上），高相同（B₁到直线l₂的垂直距离）。 【教师活动】同高的三角形，面积比等于底边长之比。因此： 【教师活动】同理，观察△A₁B₁B、△B₁C₁B、△A₁C₁B——高也相同（B到直线a的距离）： 【教师活动】△ABB₁和△A₁B₁B：它们以AB₁为共同底边，分别在平行线a、b之间，底边上的高相等（等于a与b之间的垂直距离）。因此 S△ABB₁ = S△A₁B₁B。 【教师活动】同理，△BCB₁和△B₁C₁B以BC₁为共同底边，分别在平行线b、c之间，高也相等。因此 S△BCB₁ = S△B₁C₁B。 【教师活动】所以 ① = ②，即 = ——对应线段成比例！面积法完美证明了的一般情形。 面积法三步骤：一找同高三角形→面积比等于底边比；二找等底等高三角形→面积相等；三代入等价代换→得出比例关系。三步走，任何平行线分线段成比例问题都能追溯到同一个逻辑链。 【学生活动】在草稿纸上同步作图：标注各三角形的高→写出面积比→标等号→写出比例式。全过程跟随教师推导。 【教师活动】同样的方法可以证明：=，=。即任意一组对应线段都成比例。 【过渡语】面积法把我们的认知从【等分→相等】推进到【任意情形→成比例】。这就是从特殊到一般的数学思想——现在正式表述结论。 【知识点】基本事实核心思想：面积法利用了【同高三角形面积比=底边长之比】和【平行线间同底等高的三角形面积相等】两个基本原理。 【四、形成概念：基本事实】（4分钟） 【教师活动】【基本事实】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。这项事实简称为【平行线分线段成比例】。 【教师活动】符号语言（设 a∥b∥c，直线 l₁ 截得 AB、BC、AC，l₂ 截得 A₁B₁、B₁C₁、A₁C₁）： = ； = ； = ； = 。这四个比例式表示的对应关系不同，但都成立。 【学生活动】齐读基本事实，在教材上标注，准确默记四种比例对应关系。 「对应」二字不能丢：对应线段必须是同一组平行线在两条截线上「同一位置」截得的线段。AB的「对应」是A₁B₁（都在第一条和第二条平行线之间），不是B₁C₁。不会找对应段的最容易犯的错误就是把线段随意配对。 【知识点】基本事实的符号语言：若a∥b∥c，直线l₁和l₂被截，则AB:BC=A₁B₁:B₁C₁等比例式成立。 【过渡语】基本事实已经清晰。回到具体的计算情境——如果已知三个量，能不能求出第四个？ 【五、例题精讲】（6分钟） 【教师活动】【例1】如图，已知 AA₁∥BB₁∥CC₁，AB = 2，BC = 3，A₁B₁ = 1.5，求 B₁C₁ 的长。 【思路分析】由 AA₁∥BB₁∥CC₁，根据基本事实得 = 。这是一个四量比例式：已知AB、BC、A₁B₁，求B₁C₁。由比例基本性质（内项积=外项积）可求。 【解答】由基本事实， = ，代入 = 。交叉相乘：2×B₁C₁ = 3×1.5 = 4.5，B₁C₁ = = 2.25。答：B₁C₁ 的长为 2.25。 【学生活动】独立完成，一名学生板演。关注：①比例式是否正确（对应线段）、②交叉相乘计算是否准确。 【教师活动】变式：若再给出 B₁C₁ = 3（其余不变），求 AB。由比例式 = ，即 = ，AB = 1.5。当对应线段成比例时，四量知三可求一。 【过渡语】例1是三条平行线截两条直线的直接应用。如果截线是三角形的两边，结论会怎样？这就是推论。 【六、探究推论】（5分钟） 【教师活动】在△ABC中，过AB上一点D作DE∥BC交AC于E。三条平行线在哪？DE∥BC，而点A可以看作第三条平行线的汇聚点。由基本事实： = 。 【教师活动】【推论】平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例。 【教师活动】符号语言：在△ABC中，若DE∥BC（D在AB上，E在AC上），则 = = ； = 。 【学生活动】对比归纳：基本事实需要「三条平行线截两条直线」→推论只需要「一条平行线（平行于三角形一边）」——因为三角形两边延长本身就是截线。 基本事实→推论的关系：推论是基本事实的三角形特例。区别：基本事实=三条平行线截两条独立直线；推论=三角形中一条线平行于第三边截另外两边。共同：核心都是平行线→对应线段成比例。 【知识点】推论：在△ABC中，DE∥BC（D在AB上，E在AC上），则AD:AB=AE:AC=DE:BC；亦可写为AD:DB=AE:EC。 【过渡语】基本事实+推论——本节的两大核心工具都已到位。下面通过练习检验掌握情况。 【七、课堂练习与巩固】（5分钟） 【教师活动】【练习1】如图，已知直线 a∥b∥c，直线 m、n 与 a、b、c 分别交于 A、C、E 和 B、D、F。AC=4，CE=6，BD=3，则 BF =（　　） A. 7　　B. 7.5　　C. 8　　D. 8.5 【分析】由 a∥b∥c，根据基本事实得 = 。代入 = ，DF = = 4.5。BF = BD + DF = 3 + 4.5 = 7.5。选 B。 【学生活动】独立完成，口答答案。关键步骤：先由比例求DF，再求和得BF——不可直接用AC/CE=BD/BF！ 【教师活动】【练习2】△ABC中，DE∥BC。AD=2，DB=3，AE=1.5，求EC。 【分析】由推论， = 。AB=AD+DB=5。 = ，AC = = 3.75。EC = AC − AE = 3.75 − 1.5 = 2.25。 【学生活动】独立完成，同位互查比例式是否正确。 四、板书设计 §1.2 平行线分线段成比例 一、基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 条件：a∥b∥c，l₁、l₂为截线 ↕ 结论： = 推导：等分→全等；一般→面积法（同高同底） 二、推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或其延长线）， 所得的对应线段成比例 条件：△ABC中，DE∥BC 结论： = （截两边延长线同理） 三、方法总结 面积法三步骤：找同高→找等积→代换得比例 对应线段找法：同一组平行线在两条截线上的同位 五、教学反思 1. 本节课学生哪些地方容易出错？ 2. 哪些学生需要特别关注？ 3. 教学时间分配是否合理？ 4. 实验/探究环节是否达到预期效果？ 5. 有哪些生成性问题？如何处理？ 6. 下节课如何改进？ 学科网（北京）股份有限公司 $