暑假培优：矩形与折叠问题综合问题、矩形的性质与全等三角形综合问题专项训练-2026年八升九暑假数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦矩形折叠与全等综合，以分层例题构建“性质-变换-推理”逻辑链，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |矩形与折叠问题|3例+3变式|含顶点折叠、两点重合等类型，结合勾股计算|矩形性质为基，折叠轴对称性质为核心，构建方程求解模型| |矩形与全等综合|3例+3变式|涉及线段关系证明、动态几何，需构造全等|矩形性质与全等判定结合，形成“性质应用-全等构造-结论推导”链条|

暑假培优：矩形与折叠问题综合问题、矩形的性质与全等三角形综合问题专项训练 暑假培优：矩形与折叠问题综合问题、矩形的性质与全等三角形综合问题专项训练 考点目录 矩形与折叠问题综合问题 矩形的性质与全等三角形综合问题 考点一 矩形与折叠问题综合问题 例1．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知矩形纸片，按要求解决下列问题． (1)如图1，把矩形纸片折叠，使得点落在上的点处； ①若，则的度数为_______________； ②若，，则的长度为_______________． (2)如图2，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在处，折痕交边于点，交边于点．猜想四边形的形状并说明理由． (3)如图3，将矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在边上，折痕交边于点；将矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在点处，折痕交边于点，交于点．求证：． 【答案】(1)； (2)四边形是菱形，理由如下： 由折叠得，，． 四边形为矩形， ，即， ， ， ， ． 又， 四边形为平行四边形． 又， 四边形为菱形； (3)证明：四边形为矩形， ，． 如图，设点关于直线的对称点为，连接，， 由折叠得，，． 又， 四边形为矩形． 又， 四边形为正方形， ． 将矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在点处， ，， ． 又， ， ， ． 【分析】（1）①根据矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、折叠的性质，以及平角的定义，进行解答即可；②根据矩形的性质、折叠的性质，以及勾股定理，进行解答即可； （2）根据矩形的性质、折叠的性质、等角对等边、平行线的性质，以及菱形的判定方法，即可解答； （3）先设点关于直线的对称点为，连接，，再根据矩形的性质、正方形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质，以及等角对等边，即可得证． 【详解】（1）解：①四边形为矩形， ． ， 为等腰直角三角形， ． 由折叠得，， ； ②四边形为矩形， ，，， 由折叠得，，， 在中，， ． 设，则，（）， 在中，， 即， 解得，， ． （2）略 （3）略 例2．（25-26八年级下·广西贺州·期末）一个数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点、分别在x轴，y轴上，，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． (1)如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标； (2)如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积； (3)若存在点P，使得点到边的距离为1，请直接写出点P的坐标________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据勾股定理得，由翻折性质得，，，，设，得，在中，由可得关于x的方程，求解即可得的值，进而可求点P的坐标； （2）先根据矩形的性质和翻折的性质证明，设，得，在中，根据，可得关于a的方程，求解即可得的值，进而可得的值，根据即可计算的面积； （3）设，其中，得，由点到边的距离为1，设 ，由，得 ，解得，由，得，将和分别代入解得即可得点P的坐标． 【详解】（1）解：，，， ，             ∵将沿折叠，点落在点处， ，，， ，             设，则， ∴在中，， ， 解得， ， ， ∴点P的坐标为； （2）解：， ，     ∵沿将折叠得， ， ， ，                 设，则， ∴在中，， ，                 解得， ，                 ； （3）解：设，其中，则， 由折叠得，， 点到边的距离为1， 设 ， ， ， 得， 解得，， ， ，即， 情况1：将代入，得，， 令，则， 解得，，与矛盾，舍去； 情况2：将代入，得，， 令，则， 解得，， ， ． 例3．（25-26八年级下·吉林四平·期末）【综合与实践】八年级的同学们在课程中开展活动，根据以下操作，完成相应的任务． 若干张全等的矩形纸片，其中，，现将纸片折叠，点，的对应点分别记为点，，折痕为（点、是折痕与矩形的边的交点）． 【探究1】如图①，小明沿（点E在上，点F在上）折叠纸片，点P落在矩形的边上，连接． 【探究2】如图②，小丽沿（点F与点D重合，点E在上）折叠纸片，点P落在上． 【探究3】小亮沿（点F与点D重合，点E在上）折叠纸片，射线与射线交于点M． (1)【任务1】四边形的形状是________； (2)【任务2】求的长； (3)【任务3】在折叠过程中，当时，________． 【答案】(1)菱形； (2)； (3)或． 【分析】（1）由折叠的性质可得到，，，再由矩形的性质证出，即可得到四边形是菱形； （2）利用勾股定理求出的长，设，则，利用折叠的性质和勾股定理列式运算即可； （3）分类讨论的位置，当点在点右边时，连接，证出，得到，设，则，，利用勾股定理列式运算即可；当点在点左边时，连接，证出，得到，设，则，，利用勾股定理列式运算即可； 【详解】（1）解：∵折叠， ∴，，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形为矩形， ∴ ， 在中，， 设，则， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：； （3）解：①如图1，当点在点右边时，连接， ∵， ∴在和中， ， ， ∴ ， 设，则， ， ∴， ， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴ ， 解得：； ②如图2，当点在点左边时，连接， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴ ，，， ∴ ∴ 设，则，，， 则 ， ， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 综上所述，线段的长为或． 变式1．（24-25八年级上·吉林长春·期中）折叠问题是几何变换中常见的数学问题，经常利用轴对称的性质解决相关问题，而有直角的图形折叠又往往会与勾股定理相关联．数学活动课上，同学们以“折叠”为主题开展了数学活动：    (1)【初步感知】如图①，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，折痕和交于点D，，则的长为________； (2)【深入探究】如图②，在平行四边形纸片中，，现将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果．求的长； (3)【拓展延伸】如图③，在平行四边形纸片中，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出的长为________． 【答案】(1)5 (2) (3)或10 【分析】（1）先求出，再利用勾股定理即可求解； （2）先求出，再利用勾股定理建立方程求解即可； （3）先讨论点的位置，再在每种情况中先求出，再利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】（1）解：∵将沿折叠，使点A与点B重合， ∴， ∴中，； 则的长为5． 故答案为：5． （2）解：∵将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为， ∴， ∵中，，， ∴，即， ∴． （3）解：的长为或10； 理由：四边形是平行四边形， ， ∵， ∴该四边形是矩形，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ①如图，当点在线段上时，   点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：，即 ∴； ②如图4，当点在线段的延长线上时，    由折叠的性质得：，， 同①得：， ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， 综上可得：的长为或10． 【点睛】本题考查了图形的折叠问题，涉及到了勾股定理、矩形的判定与性质、解一元一次方程等知识，解题关键是利用勾股定理建立方程，正确画出图形，运用分类讨论的思想方法． 变式2．（25-26八年级下·广东广州·月考）如图所示，将矩形按如下所示步骤进行折叠： 步骤一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 步骤二：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，把纸片展平． (1)请写出_____； (2)若，，点为边上的一个动点，连接、．求的最小值； (3)若，，且上述折叠能完成，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)的最小值为； (3) 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，据此计算即可求解； （2）由，要求的最小值，即要求得的最小值，作点关于的对称点，连接，据此计算即可求解； （3）由折叠的性质知，求得，推出，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， 由题意得，直线是的垂直平分线， ，由折叠可知，， ， 是等边三角形， ， ； （2）解：由折叠的性质知， ∵， 要求的最小值，即要求得的最小值， 作点关于的对称点，连接， ∵， ∴，即的最小值为的长， 由题意得， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：由折叠的性质知， ∴， 由（1）得， ∴， ∵，，即， ∴， ∴，同理， ∴， ∴， ∴当时，四边形面积的最大值为． 变式3．（2025·河南周口·一模）综合与实践：折纸中的数学折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从长方形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关长方形纸片的折叠问题，看看折叠长方形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． (1)折纸1：如图1，在一张长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图2）． 问题1：重叠部分的三角形的形状______（是、不是）等腰三角形． 问题2：若，，则重叠部分的面积为______． (2)折纸2：如图3，长方形纸片，点E为边上一点，将沿着直线折叠，使点C的对应点F落在边上，请仅用无刻度的直尺和圆规在图3中找出点E的位置（不写作法，保留作图痕迹）． (3)折纸3：如图4，长方形纸片，，，若点M为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点B的对应点为，当点恰好落在线段的垂直平分线上时，求的长． 【答案】(1)是；12 (2)如图所示： (3)的长为或10 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，折叠的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由折叠的性质知，，得到，即可求解；由的面积，即可求解； （2）以点为圆心，以长度为半径作圆交于点，作的角平分线，交于点，即可求解； （3）求出，证明，即可求解． 【详解】（1）问题1：如图②，设点是纸片下边上的点， 纸片为矩形，则， ， 由折叠的性质知，， ， 的形状为等腰三角形， 故答案为：是； 问题2：过点作于点，则， 则， 则的面积， 故答案为：； （2）解：以点为圆心，以长度为半径作圆交于点，作的角平分线，交于点， 作图过程如下： （3）过点作于点，交于点， 由题意得：， 点恰好落在的垂直平分线上，故， 在中，， ，，则，则， 则， ，， ， 在中，， 解得：， 则． 当点落在矩形内部时， 同理可得，． 故答案为或10． 考点二 矩形的性质与全等三角形综合问题 例1．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在中，，以为直角边，向上作，，，连接，过点作交于点，交于点． (1)如图1，若，，求的长度； (2)如图2，点为线段上一点，连接，若，请用等式表示线段，，的数量关系并证明： (3)如图3，连接，当取得最小值时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)证明：过A作于M，交于N． ． ， ． ． ，， ． 交于点， ． ，， ． ， ． ，， ． ， ． 在和中 ． ． ，， 是的中位线． ． ． ， ． (3) 【分析】（1）先得，则．由等腰三角形的性质，得．由勾股定理可得．可求的长度； （2）过A作于M，交于N，先证，再证，可得，再证，则； （3）作点E关于的对称点，连接，，取的中点，连接，作于P，先得出当取得最小值时，．过A作于M，得出与同底等高．设．则．设．建如图所示的平面直角坐标系∶则，，，，，延长与y轴交于点，设直线为，解得．可得的值． 【详解】（1）解：， ． ． ， ． ， ． ，，， ． ， ． ． （2）解：略． （3）解：作点E关于的对称点，连接，，取的中点，连接，作于P，如图 ，，． 中，． 、A、共线时，，此时最小，即取最小值． 在和中 ． ，． ，， ，． ， ，． ， ． ． ． ， ． 在和中 ． ．      ， ． ． ． 与同底等高． ． 设．则． 设．建如图所示的平面直角坐标系∶则，，，，，延长与y轴交于点， 设直线为，将，分别代入， 得，解得 直线为 于F， ． ． ， ． ，， ． ． ． 对于，当时，． 解得． ． 例2．（2026·甘肃天水·中考真题）在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部分探究内容，请你思考并解答． 【初步尝试】 (1)如图1，在中，，过点作，，连接．点在线段上，满足，求的长． 【类比探究】 (2)如图，在中，，以为对角线的矩形的顶点在上，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由． 【拓展迁移】 (3)如图，在矩形中，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： 如图，连接． 四边形为矩形， ∴， ，，， ∴， ， ∴， 即． ， ， 四边形为矩形， ，， ， ． (3)解：，理由如下： 如图，延长至点，使得，连接，． ， ． ， ． 由（2）同理可得，， ． ， ， ． 四边形为矩形， ， ， ． ， ． 【分析】（1）由平行线的性质得到．由得到，从而证明，根据全等三角形的性质即可解答； （2）连接．证明，得到，因此，从而，进而证明，即可得出． （3）延长至点，使得，连接，．由等边对等角得到，由得到，根据线段的和差得出，根据矩形的性质有，因此，从而可得． 【详解】（1）解：∵， ． ， ， ． ，，， ， ． （2）略 （3）略 例3．（25-26八年级下·河南周口·期末）问题发现如图1，矩形中，，点分别为边、对角线的中点，连接． (1)猜想：之间的数量关系是_________； 类比迁移 (2)如图2，将图1中的绕点旋转到图2位置，小丽认为（1）中的结论还成立，并尝试延长交于点，连接．请你根据小丽的思路补全图形，并给出证明． 拓展应用 (3)若（2）中的点在直线上，且，其他条件不变，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)如图， 证明：∵矩形中，， ∴， ∵是中点， ∴， 又∵， ， ∴，． ∵图1中，点分别为边、对角线的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形中，， ∴四边形是矩形， ， ， ∵ ∴垂直平分， ∵矩形中，， ∴中：， ∴； (3)BF的长为或． 【分析】（1）由分别为边的中点，可得，在中，，等量代换可得结论； （2）证明得，．在图1中，证明四边形是矩形，得出，可证垂直平分，得出，然后利用勾股定理即可求解； （3）分两种情况：①当在之间时，②当在上方（直线的外侧）时． 【详解】（1）解：． ∵四边形是矩形， ∴， ∵点分别为边的中点， ∴， ∵中：， ∴； （2）略； （3）解：的长为或． 分两种情况：①当在之间时，如图2， ∵，， ∴． 设，则， ∵， ∴， 解得； ②当在上方时，如图3， ∵，， ∴． 设，则， ∵， ∴， 解得． 综上可知，的长为或． 变式1．（25-26八年级下·福建福州·期末）在矩形中，． (1)如图1，对角线交于点E，，F在上使，求的长； (2)如图2，M是中点，N是中点，G在上使．若垂直平分，求的长； (3)如图3，，，P是中点，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由矩形的性质和，得出是等边三角形，再证明，利用含直角三角形性质和勾股定理即可求出； （2）由N是中点、垂直平分、M是中点，可得，，设，则，，建立方程求解即可； （3）过点作，交于点，过点作垂足为点，过点作垂足为点，连接，证明，可得，，，，进而求出，由，利用三角形的面积可得，求出，即可求出． 【详解】（1）解：如图所示： ∵四边形是矩形，对角线交于点E， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， 在与中 ∴， ∴， ∴在中，， ∴，即， ∴． （2）解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵N是中点， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵M是中点， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：（负值舍去）， ∴． （3）解：如图所示，过点作，交于点，过点作垂足为点，过点作垂足为点，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵P是中点， ∴， ∵， ∴是中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， 在与中 ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴（三角形同底等高）， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 变式2．（25-26八年级下·重庆涪陵·期末）在中，对角线，相交于点O． (1)如图1，的周长为16，点E在上，，求的周长； (2)如图2，，，F为上一点，连接，以为直角边构造等腰，斜边交于点H，连接．若，求证：； (3)如图3，，，点M，N为直线上的动点（点M在点N的左侧），且，连接，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)证明：过作于，连接，， ∵，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，对角线，相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∴. (3) 【分析】（1）证明，，进一步利用三角形的周长公式计算即可； （2）过作于，连接，，证明，，进一步可得，，结合，，可得，进一步可得结论. （3）如图，连接，以作平行四边形，可得当共线且时，最小，最小值为，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵的周长为16， ∴，，， ∴， ∵点E在上，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴的周长为：. （2）略 （3）解：如图，连接，以作平行四边形， ∴，， ∴， 当共线且时，最小，最小值为， ∵，，四边形为平行四边形， ∴为等边三角形，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴最小值为：. 变式3．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图1，矩形中，以点A为圆心，长为半径画弧交于点E，连接，． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长； (3)如图2，作的平分线交于点F，恰有，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据互余得出，，利用等边对等角可得，再利用平角求解即可； （2）由作法可知，利用勾股定理先求出，则，再利用勾股定理求出的长即可； （3）根据矩形和等腰三角形的性质，推出，进而证明，得到，则，再结合 求解即可． 【详解】（1）解：矩形， ， ， ，， 由作法可知，， ， （2）解：矩形，，， ，，， 由作法可知，， 在中，， ， 在中，； （3）解：矩形， ，，， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：矩形与折叠问题综合问题、矩形的性质与全等三角形综合问题专项训练 暑假培优：矩形与折叠问题综合问题、矩形的性质与全等三角形综合问题专项训练 考点目录 矩形与折叠问题综合问题 矩形的性质与全等三角形综合问题 考点一 矩形与折叠问题综合问题 例1．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知矩形纸片，按要求解决下列问题． (1)如图1，把矩形纸片折叠，使得点落在上的点处； ①若，则的度数为_______________； ②若，，则的长度为_______________． (2)如图2，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在处，折痕交边于点，交边于点．猜想四边形的形状并说明理由． (3)如图3，将矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在边上，折痕交边于点；将矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在点处，折痕交边于点，交于点．求证：． 例2．（25-26八年级下·广西贺州·期末）一个数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点、分别在x轴，y轴上，，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． (1)如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标； (2)如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积； (3)若存在点P，使得点到边的距离为1，请直接写出点P的坐标________． 例3．（25-26八年级下·吉林四平·期末）【综合与实践】八年级的同学们在课程中开展活动，根据以下操作，完成相应的任务． 若干张全等的矩形纸片，其中，，现将纸片折叠，点，的对应点分别记为点，，折痕为（点、是折痕与矩形的边的交点）． 【探究1】如图①，小明沿（点E在上，点F在上）折叠纸片，点P落在矩形的边上，连接． 【探究2】如图②，小丽沿（点F与点D重合，点E在上）折叠纸片，点P落在上． 【探究3】小亮沿（点F与点D重合，点E在上）折叠纸片，射线与射线交于点M． (1)【任务1】四边形的形状是________； (2)【任务2】求的长； (3)【任务3】在折叠过程中，当时，________． 变式1．（24-25八年级上·吉林长春·期中）折叠问题是几何变换中常见的数学问题，经常利用轴对称的性质解决相关问题，而有直角的图形折叠又往往会与勾股定理相关联．数学活动课上，同学们以“折叠”为主题开展了数学活动：    (1)【初步感知】如图①，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，折痕和交于点D，，则的长为________； (2)【深入探究】如图②，在平行四边形纸片中，，现将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果．求的长； (3)【拓展延伸】如图③，在平行四边形纸片中，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出的长为________． 变式2．（25-26八年级下·广东广州·月考）如图所示，将矩形按如下所示步骤进行折叠： 步骤一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 步骤二：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，把纸片展平． (1)请写出_____； (2)若，，点为边上的一个动点，连接、．求的最小值； (3)若，，且上述折叠能完成，求四边形面积的最大值． 变式3．（2025·河南周口·一模）综合与实践：折纸中的数学折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从长方形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关长方形纸片的折叠问题，看看折叠长方形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． (1)折纸1：如图1，在一张长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图2）． 问题1：重叠部分的三角形的形状______（是、不是）等腰三角形． 问题2：若，，则重叠部分的面积为______． (2)折纸2：如图3，长方形纸片，点E为边上一点，将沿着直线折叠，使点C的对应点F落在边上，请仅用无刻度的直尺和圆规在图3中找出点E的位置（不写作法，保留作图痕迹）． (3)折纸3：如图4，长方形纸片，，，若点M为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点B的对应点为，当点恰好落在线段的垂直平分线上时，求的长． 考点二 矩形的性质与全等三角形综合问题 例1．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在中，，以为直角边，向上作，，，连接，过点作交于点，交于点． (1)如图1，若，，求的长度； (2)如图2，点为线段上一点，连接，若，请用等式表示线段，，的数量关系并证明： (3)如图3，连接，当取得最小值时，请直接写出的值． 例2．（2026·甘肃天水·中考真题）在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部分探究内容，请你思考并解答． 【初步尝试】 (1)如图1，在中，，过点作，，连接．点在线段上，满足，求的长． 【类比探究】 (2)如图，在中，，以为对角线的矩形的顶点在上，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由． 【拓展迁移】 (3)如图，在矩形中，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由． 例3．（25-26八年级下·河南周口·期末）问题发现如图1，矩形中，，点分别为边、对角线的中点，连接． (1)猜想：之间的数量关系是_________； 类比迁移 (2)如图2，将图1中的绕点旋转到图2位置，小丽认为（1）中的结论还成立，并尝试延长交于点，连接．请你根据小丽的思路补全图形，并给出证明． 拓展应用 (3)若（2）中的点在直线上，且，其他条件不变，请直接写出的长． 变式1．（25-26八年级下·福建福州·期末）在矩形中，． (1)如图1，对角线交于点E，，F在上使，求的长； (2)如图2，M是中点，N是中点，G在上使．若垂直平分，求的长； (3)如图3，，，P是中点，，求的长． 变式2．（25-26八年级下·重庆涪陵·期末）在中，对角线，相交于点O． (1)如图1，的周长为16，点E在上，，求的周长； (2)如图2，，，F为上一点，连接，以为直角边构造等腰，斜边交于点H，连接．若，求证：； (3)如图3，，，点M，N为直线上的动点（点M在点N的左侧），且，连接，，直接写出的最小值． 变式3．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图1，矩形中，以点A为圆心，长为半径画弧交于点E，连接，． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长； (3)如图2，作的平分线交于点F，恰有，求的度数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $