暑假培优：与三角形中位线有关的求解问题、与三角形中位线有关的证明问题专项训练-2026年八升九暑假数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦三角形中位线的计算与证明，通过分层例题与变式训练构建从单一应用到综合探究的逻辑体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求解问题|6例+6变式|涉及长度、周长、角度计算，结合四边形、平行四边形等背景|从三角形中位线性质基础应用，拓展至中点四边形等综合场景| |证明问题|3例+3变式|含定理证明、平行四边形判定及探究性问题|通过辅助线构造、定理推导与应用，建立逻辑推理链条|

暑假培优：与三角形中位线有关的求解问题、与三角形中位线有关的证明问题专项训练 暑假培优：与三角形中位线有关的求解问题、与三角形中位线有关的证明问题专项训练 考点目录 与三角形中位线有关的求解问题 与三角形中位线有关的证明问题 考点一 与三角形中位线有关的求解问题 例1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，，为的中位线，过点作交于点，则四边形的周长为（     ） A．8 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】由三角形中位线定理得到，由线段中点的定义得到，可证明四边形是平行四边形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵为的中位线， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长． 例2．（25-26八年级下·北京西城·期末）如图，的对角线，相交于点，，分别是，的中点．若，，，则的周长为（     ） A． B．15 C．22 D．23 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质求得，进而根据，分别是，的中点得出，根据中位线的性质求得，即可求解． 【详解】解：∵的对角线，相交于点，，， ∴ ∵，分别是，的中点，， ∴，是的中位线，则， ∴的周长为 例3．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，的对角线，相交于点，是的中点，，，则的周长为（     ） A．11 B．12 C．22 D．24 【答案】C 【分析】根据平行四边形对角线互相平分得出为中点，结合为中点，利用三角形中位线定理求出的长，进而求出的长，即可求得平行四边形的周长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， 是的中点，， ， 的周长为：． 例4．（25-26八年级下·四川巴中·期末）如图，在四边形中，点、分别是边，的中点，若，，，，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】连接，根据三角形中位线定理得到，，根据平行线的性质得到，根据勾股定理的逆定理得到，由即可求解． 【详解】解：连接， ∵、分别是边、的中点，， ，， ， 又，， ， ， ， ， ． 例5．（2026·广东·中考真题）如图，在四边形中，，连接，，，点，，分别是，，的中点，连接，，，则_____． 【答案】 【分析】利用三角形中位线定理求得的长及，再利用平行线的性质求得，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：点分别是的中点， 是的中位线， ， ， 点分别是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 在中，． 例6．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，已知在四边形中，，点E，F分别是的中点，连接，若，，则线段的长是______． 【答案】5 【分析】连接，在中利用勾股定理求出的长，再根据三角形中位线定理即可求出的长． 【详解】解：连接， ，，， ， 点，分别是，的中点， ． 变式1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，是的中位线，的角平分线交于点F，，，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】由角平分线的定义可得，由三角形的中位线的性质可得，，，证明，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵是的中位线， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式2．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，分别是，的中点，连接，是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先根据中位线的判定与性质，得，，再结合F是的中点，以及对顶角相等，证明，故，即可作答． 【详解】解：∵D，E分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式3．（2026·黑龙江·三模）如图，在四边形中，，，，分别是，的中点，则的长度为（     ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】设的中点为，连接、，从而可得是的中位线，为的中位线，由三角形中位线定理可得，结合求出，得出，过点作，则，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，设的中点为，连接、， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 过点作， 则， 在中， ∴． 变式4．（25-26八年级下·四川广安·期末）如图，若的周长为1，它的3条中位线组成一个新的三角形，记作，的3条中位线又组成一个新的三角形，记作（如图所示），…以此类推，求的周长是_____． 【答案】 【分析】根据三角形的中位线可得的周长为，同理可得的周长为，的周长为，然后问题可求解． 【详解】解：由题意可知：是的中位线， ∴， 同理可得：， ∵的周长为1，即 ∴的周长为， 同理可得的周长为，的周长为， ∴的周长为， ∴的周长是． 变式5．（25-26八年级下·江苏徐州·期末）如图，在中，与交于点O，．若为的中点，，，则线段的长为_____． 【答案】2 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分得到的长，则可由勾股定理求出的长，再根据三角形中位线定理可得答案． 【详解】解：∵在中，与交于点O， ∴， ∵， ∴； ∵为的中点，O为的中点， ∴是的中位线， ∴． 变式6．（25-26八年级下·河南开封·期末）如图，点、、、分别是四边形四条边上的中点，，，则四边形的周长是________． 【答案】 【分析】根据三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，分别求出四边形各边的长，进而求得周长即可． 【详解】点、、、分别是四边形四条边上的中点， ，分别是，的中位线，，分别是，的中位线， ，，，， ， 即四边形的周长是． 考点二 与三角形中位线有关的证明问题 例1．（25-26八年级下·天津河北·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，，，分别是，，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)证明：，，，分别是，，，的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， 四边形为平行四边形， ，， ，， 四边形是平行四边形； (2)28 【分析】（1）根据中位线可知，，进而即可判定； （2）根据三角形中位线定理求出，根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：四边形为平行四边形， ，， ， 的周长． 例2．（25-26八年级下·江西抚州·期末）如图所示，在中，点，分别为，的中点，点在线段上，连接，点，分别为，的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵点，分别为，的中点，点，分别为，的中点， 是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ，， ∴四边形为平行四边形； (2) 【分析】（1）证明是的中位线，是的中位线，由三角形中位线定理得出，，即可得证； （2）由平行四边形的性质并结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形为平行四边形， ，， ， ， ， 为中点， ， ，， ， ． 例3．（25-26八年级下·广西北海·期末）数学课上，我们探究过三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．以下是对此定理的探究及证明过程： 已知：如图①，在中，D，E分别是，的中点． 求证：且． (1)【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙三位同学．他们在思考后说出了添加的辅助线： 甲：如图②，延长至点F，使，连接． 乙：如图③，延长到点F，使，连接，，． 丙：如图④，作于点H，延长，使，延长，使，连接， ． 三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线定理的是________ A．仅甲、乙    B．仅乙    C．仅乙、丙    D．甲、乙、丙 (2)【定理证明】请你按“乙同学”所作的辅助线将证明过程补充完整． (3)【定理应用】如图⑤，在平行四边形中，若点E是边的中点，点F是边的中点，点G为边的中点，连接，求证：． 【答案】(1)D； (2)解：∵点E为的中点， ， 又， ∴四边形为平行四边形， ，， 点为的中点， ， ， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ，． (3)证明：延长，交于点， 四边形为平行四边形， ，， ， 点为的中点， ， ， ， ，， 点为的中点， 是的中位线， ， 点为的中点， ， ， ． 【分析】（1）甲的思路：可证明得到，则可证明，进而可证明四边形是平行四边形，则；乙的思路：证明四边形为平行四边形， 得到，，则可证明，进而可证明四边形是平行四边形，则；丙的思路：证明得到，则可证明四边形是平行四边形，进而得到，再证明即可； （2）同（1）证明即可； （3）延长，交于点，由平行四边形的性质得到，，证明，得到，，则是的中位线，则可得到，证明，据此可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 变式1．（25-26八年级下·甘肃定西·阶段检测）如图，点是内一点，连结、，并将、、、的中点、、、依次连结，得到四边形．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵D、G分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∵E、F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形． 【分析】利用中位线的性质可得，且，即可得出四边形是平行四边形． 【详解】略 变式2．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，交于点，， ∴是的中点， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）因为，所以是的中点，而是的中点，根据三角形中位线定理得，即，因为，所以四边形是平行四边形； （2）由是的中点，是的中点，，根据三角形中位线定理，由平行四边形的性质可得，而，，根据勾股定理得． 【详解】（1）略； （2）解：∵是的中点，是的中点，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴的长是． 变式3．（25-26八年级下·河南周口·期中）【阅读与思考】下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 如图1，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形，此结论可借助图2证明如下： 证明：如图2，连接，． 点，分别为，的中点，． 点，分别为，的中点，． ．同理． 四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系． 【任务】 (1)如图2，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论； (2)已知四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形（点，，，分别是边，，，的中点），若四边形的对角线与的夹角为45°，求的度数． 【答案】(1)瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与的长度之和 证明如下： 点，分别为，的中点， ， 点，分别为，的中点， ， ， 同理可得， 瓦里尼翁平行四边形的周长为 (2)的度数为或 【分析】（1）根据三角形的中位线定理可得，，由此即可证明瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与的长度之和； （2）先根据三角形的中位线定理可得，，再根据平行线的性质求解即可得． 【详解】（1）解：略 （2）分以下两种情况： ①如图1，当时， 点，分别为，的中点， ， ， 点，分别为，的中点， ， ． ②如图2，当时，， 点，分别为，的中点， ， ， 点，分别为，的中点， ， ． 综上，的度数为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：与三角形中位线有关的求解问题、与三角形中位线有关的证明问题专项训练 暑假培优：与三角形中位线有关的求解问题、与三角形中位线有关的证明问题专项训练 考点目录 与三角形中位线有关的求解问题 与三角形中位线有关的证明问题 考点一 与三角形中位线有关的求解问题 例1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，，为的中位线，过点作交于点，则四边形的周长为（     ） A．8 B．12 C．14 D．16 例2．（25-26八年级下·北京西城·期末）如图，的对角线，相交于点，，分别是，的中点．若，，，则的周长为（     ） A． B．15 C．22 D．23 例3．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，的对角线，相交于点，是的中点，，，则的周长为（     ） A．11 B．12 C．22 D．24 例4．（25-26八年级下·四川巴中·期末）如图，在四边形中，点、分别是边，的中点，若，，，，则的度数为________． 例5．（2026·广东·中考真题）如图，在四边形中，，连接，，，点，，分别是，，的中点，连接，，，则_____． 例6．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，已知在四边形中，，点E，F分别是的中点，连接，若，，则线段的长是______． 变式1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，是的中位线，的角平分线交于点F，，，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 变式2．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，分别是，的中点，连接，是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式3．（2026·黑龙江·三模）如图，在四边形中，，，，分别是，的中点，则的长度为（     ） A． B． C．2 D． 变式4．（25-26八年级下·四川广安·期末）如图，若的周长为1，它的3条中位线组成一个新的三角形，记作，的3条中位线又组成一个新的三角形，记作（如图所示），…以此类推，求的周长是_____． 变式5．（25-26八年级下·江苏徐州·期末）如图，在中，与交于点O，．若为的中点，，，则线段的长为_____． 变式6．（25-26八年级下·河南开封·期末）如图，点、、、分别是四边形四条边上的中点，，，则四边形的周长是________． 考点二 与三角形中位线有关的证明问题 例1．（25-26八年级下·天津河北·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，，，分别是，，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的周长． 例2．（25-26八年级下·江西抚州·期末）如图所示，在中，点，分别为，的中点，点在线段上，连接，点，分别为，的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 例3．（25-26八年级下·广西北海·期末）数学课上，我们探究过三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．以下是对此定理的探究及证明过程： 已知：如图①，在中，D，E分别是，的中点． 求证：且． (1)【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙三位同学．他们在思考后说出了添加的辅助线： 甲：如图②，延长至点F，使，连接． 乙：如图③，延长到点F，使，连接，，． 丙：如图④，作于点H，延长，使，延长，使，连接， ． 三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线定理的是________ A．仅甲、乙    B．仅乙    C．仅乙、丙    D．甲、乙、丙 (2)【定理证明】请你按“乙同学”所作的辅助线将证明过程补充完整． (3)【定理应用】如图⑤，在平行四边形中，若点E是边的中点，点F是边的中点，点G为边的中点，连接，求证：． 变式1．（25-26八年级下·甘肃定西·阶段检测）如图，点是内一点，连结、，并将、、、的中点、、、依次连结，得到四边形．求证：四边形是平行四边形． 变式2．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 变式3．（25-26八年级下·河南周口·期中）【阅读与思考】下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 如图1，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形，此结论可借助图2证明如下： 证明：如图2，连接，． 点，分别为，的中点，． 点，分别为，的中点，． ．同理． 四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系． 【任务】 (1)如图2，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论； (2)已知四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形（点，，，分别是边，，，的中点），若四边形的对角线与的夹角为45°，求的度数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $