1.4 线段的垂直平分线暑期专项练习2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦线段垂直平分线的作图原理、性质应用及综合拓展，通过分层题型构建“定义-性质-判定-应用”的完整方法体系，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-2|尺规作图依据（垂直平分线判定定理）|从作图操作到判定原理的推导| |性质应用|单选3-7+填空11-14|距离转化与外心应用（到三点距离相等）|性质到三角形外心的实际问题解决| |综合拓展|单选8-10+填空15+解答题|折叠对称与坐标综合（周长最小化）|与轴对称、坐标系知识融合的逻辑延伸|

1.4 线段的垂直平分线暑期专项练习2025-2026学年北师大版八年级数学下册 一、单选题 1．如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，与交于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．则（   ） A． B． C． D．平分 2．下面是小彤设计的“作中边上的高”的尺规作图方法． ①如图，以点B为圆心，的长为半径作弧，以点C为圆心，的长为半径作弧，两弧在下方交于点E； ②连接交于点D． 所以线段是中边上的高． 上述方法通过判定垂直平分线段，得到线段是中边上的高．其中，判定垂直平分线段的依据是（    ） A．等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 B．经过线段中点并且垂直于这条线段的直线是这条线段的垂直平分线 C．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 3．在布置校园艺术节的场地时，工作人员要在表演场地内部放置一个音响，为了让音响的声音均匀覆盖三个顶点处的表演区域，要求音响到三个顶点的距离相等，则这个音响应放在的（     ） A．三条中线的交点处 B．三条高线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 4．如图，点在的边上，且，则点在某一线段的垂直平分线上．这条线段是（   ） A． B． C． D．不确定 5．如图，三个社区分别坐落在，，所在位置，现要规划一个饮水点，使得该饮水点到三个社区的距离相等，该饮水点应建在（　　） A．三边的垂直平分线的交点处 B．的三条高线的交点处 C．的三条角平分线的交点处 D．的三条中线的交点处 6．如图所示，线段的垂直平分线交线段于点D，，则（     ） A． B． C． D． 7．如图，中，是的角平分线，点在的垂直平分线上，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图，在中，，，垂直平分，交于点，点为直线上的任意一点，则周长的最小值是（） A．14 B．16 C．18 D．12 9．如图，中，，，将折叠，使点B落在点A处，为折痕，在下列结论中，正确的结论有（     ） ①； ②垂直平分； ③是等边三角形； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，若存在格点P，使得是等腰三角形，则符合条件的格点P共有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 二、填空题 11．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为了能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在______线的交点． 12．如图，在中，，，，分别是，的垂直平分线，，则_____． 13．如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为___________． 14．如图，在四边形中，连接，线段的垂直平分线交于点，线段的垂直平分线交于点，若，则的长为________． 15．如图，点M的坐标为，点P从出发，以每秒2个单位的速度沿y轴向上移动，同时过点P的直线l也随之平移，且直线l与直线平行，如果点M关于直线l的对称点落在坐标轴上，如果点P的移动时间为t秒，那么t的值可以是______． 三、解答题 16．如图，在中，，边的垂直平分线交和于点D，E，并且平分．若，求的长． 17．如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为D，交于E． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的周长． 18．如图，已知，，，用直尺和圆规在上找一点D，使．（不写作法，保留作图痕迹） 19．如图，在中，于点D，平分交于点，若，，求证：点在线段的垂直平分线上． 20．在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，线段，点A的坐标为． (1)如图1，求点B的坐标． (2)如图2，点C在的延长线上，点D在x轴的负半轴上，连接，，连接，作垂直x轴于点H，若的面积为S，点C的横坐标为t，求S与t的关系式． (3)如图3，在（2）的条件下，点E是的中点，过点E作的垂线交y轴于F，求点F的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D B A B B A D D 1．A 【详解】解：由作图知，， 不能得到，，平分， 综上，只有选项A符合题意． 2．D 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，掌握垂直平分线的判定是关键．  根据与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可求解．   【详解】解：根据作图可得， 依据与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，得到点B、C在线段的垂直平分线上．   故选：D ． 3．D 【详解】解：∵要在内部区域放置一个音响，且要求音响到三个顶点的距离相等， ∴三条边的垂直平分线的交点处，故选项D符合题意． 4．B 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，熟练掌握该知识点是解题的关键． 由，，得到，根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到结论． 【详解】解：， 而， ， ∴点在的垂直平分线上． 故选：B． 5．A 【分析】根据题意可得饮水点到的三个顶点的距离相等，则饮水点应建在三边的垂直平分线的交点处． 【详解】解：∵要规划一个饮水点，使得该饮水点到三个社区的距离相等，即饮水点到的三个顶点的距离相等， ∴该饮水点应建在三边的垂直平分线的交点处． 6．B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质计算即可. 【详解】解：线段的垂直平分线交线段于点， ， ， . 7．B 【分析】本题可先根据线段垂直平分线的性质得到，再结合角平分线的定义与直角三角形的内角和求出的度数，最后利用含角的直角三角形的性质求出的长度． 【详解】解：∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 在中，，， ∴． 8．A 【分析】连接，根据垂直平分得到，因此，即可求出周长的最小值． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值是14． 9．D 【分析】根据折叠的性质即可判断①；根据①中全等三角形的性质可得，，结合，证明是等边三角形，即可判断③；证明是的平分线，进一步即可判断②；④易得，，，进而可判断④，于是可得答案． 【详解】解：①∵由翻折而成， ∴，故结论①正确； ③∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴是等边三角形，故结论③正确； ②∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线． ∵， ∴， ∴垂直平分，故结论②正确； ④∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论④正确． 10．D 【分析】结合网格特点与等腰三角形的定义，线段垂直平分线的定义可得答案. 【详解】解：如图， ∴当是等腰三角形，则符合条件的格点P共有个. 11． 三边垂直平分 【详解】解：∵ 到距离相等的点在的垂直平分线上，到距离相等的点在的垂直平分线上， ∴两条垂直平分线的交点，就是到三个顶点距离都相等的点， ∴应该蹲守在三边垂直平分线的交点． 12．4 【分析】连接，证明，从而证得为等边三角形，即可得到，进而得到答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵分别是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 13．/10度 【分析】连接，根据等腰三角形性质求出，根据线段垂直平分线性质求出，根据等边对等角即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 14． 【分析】根据线段垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点，线段的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．或 【分析】根据点关于直线的对称点落在轴或轴上，分两种情况讨论，利用轴对称性质得出相关三角形为等腰直角三角形，从而求出点的坐标，进而求出的值． 【详解】解：由题意设直线的解析式为， 点从出发，以每秒个单位的速度沿轴向上移动， 点的坐标为， 直线过点， ， ∴直线的解析式为， 直线平行于直线， 直线与坐标轴的夹角为， ①当点关于直线的对称点落在轴上时，设直线与轴交于点， 点与点关于直线对称， 直线垂直平分线段，， 直线平分， 直线与轴夹角为，即， ， 轴， 点的坐标为， 点的坐标为，， ， 点在点左侧， 点的坐标为， 直线垂直平分， 线段的中点在直线上， 线段的中点坐标为，即， 将代入，得，解得； ②当点关于直线的对称点落在轴上时， 点与点关于直线对称，且点在直线上， ，直线平分， 直线与轴夹角为，即， ， 轴， 点的坐标为， 点的坐标为， ，解得， 综上所述，的值为或． 16．2 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质．根据线段垂直平分线的性质得出线段的数量关系和直角，利用角平分线的性质证明，可证明得出对应边相等，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分线段， ∴，，， ∵平分，且，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 17．(1) (2) 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得到，则；由得，根据三角形内角和定理求出的度数，即可求解； （2）根据三角形的周长公式可得，推出；根据可得的周长，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∴cm， ∴， 又∵， ∴cm， ∵， ∴的周长． 18．作图见解析 【分析】分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于两点；过这两点画直线，这条直线就是的垂直平分线；该垂直平分线与边的交点即为点． 【详解】解：如图点D即为所求； 19．证明：平分，， ， 又， ， 又， ， 又， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上． 【分析】先证明，求解，，进一步证明即可得到结论． 【详解】略 20．(1) (2) (3) 【分析】（1）由点A的坐标得到，再由勾股定理求出，即可解答； （2）由点C的横坐标为t，且轴得到，因此，根据得到，再由即可求解； （3）连接，过点C作轴于点G，则，根据得到，从而．求出的长，得到，根据点E是的中点，得到．延长至点M，使得，连接，，根据点E是的中点得到．，根据两点间的距离公式表示出，的长，根据垂直平分线的性质得到，因此列出方程，求解得到n的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴在中，， ∴点B的坐标为． （2）解：∵点C的横坐标为t，轴， ∴， ∵， ∴， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴S与t的关系式为． （3）解：连接，过点C作轴于点G，则， ∵， ∴ 即， ∴， ∴． 由（2）可知， ∴， ∴， ∵，点E是的中点， ∴． 延长至点M，使得，连接，， 设点M的坐标为， ∵， ∴点E是的中点， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 整理，得， ∴， ∴点F的坐标为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $