暑假培优：平行四边形与折叠问题综合、平行四边形与动点问题综合专项训练-2026年八升九暑假数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦平行四边形与折叠、动点的动态综合，通过分层例题与变式题，系统覆盖性质应用、分类讨论及几何计算，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行四边形与折叠问题综合|2例3变式|折叠后位置判断、数量关系证明、长度计算|以平行四边形性质为基础，结合折叠全等性质，构建性质应用-推理证明-计算求解逻辑链| |平行四边形与动点问题综合|3例2变式|运动时间t求值、线段表示、平行四边形判定|以平行四边形判定为核心，结合动点动态变化，形成变量关系分析-分类讨论-方程求解思维路径|

暑假培优：平行四边形与折叠问题综合、平行四边形与动点问题综合专项训练 暑假培优：平行四边形与折叠问题综合、平行四边形与动点问题综合专项训练 考点目录 平行四边形与折叠问题综合 平行四边形与动点问题综合 考点一 平行四边形与折叠问题综合 例1．（25-26八年级下·山东济南·期中）【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．          (1)如图1，当，点恰好落在边上时，的度数是________度． 【问题解决】 (2)如图2，当点E、F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，由折叠的性质可得，，再由平行线的性质求出的度数即可得到答案； （2）由平行四边形的性质得到，，由三等分点的性质得到，由折叠可知：，，则可证明，得到，再证明，进而可证明四边形是平行四边形，得到，据此可得结论； （3）可证明为等腰直角三角形，得到；延长交于点，则，可证明，根据平行四边形的面积公式可推出，则，． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E，F为边的三等分点， ∴， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则， ∴； （3）解：由折叠可知：，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 如图所示，延长交于点，则 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，即， ∴ ∵的面积为24，， ∴， ∴， ∴， ∴． 例2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在平行四边形纸片上，E为边上一点，将沿折叠，点D的对应点为． (1)如图1，当点恰好落在边上时，判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试猜想线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为12，，直接写出线段的长． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，可得四边形是菱形，可知，继而可知，即可求解； （2）利用折叠的性质可得，，结合三等分点可知，进而可得，利用三角 形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得与的 数量关系； （3）首先，由四边形是平行四边形，得，再由，，得，由折叠可知：，易知为等腰直角三角形，延长交于M，可知 ，由平行四边形的性质可得，，，进而可知，由平行四边形的面积为12，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴ ，，则， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，证明如下： ∵ 四边形是平行四边形， ∴，， 又∵为边的三等分点， ∴， 由折叠可知，，则， ∴， 由三角形外角性质可知，， ∴， ∴ ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则 ， ∴ ； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 由折叠可知， ∴ ， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，延长交于，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ，，即， ∴， ∵平行四边形的面积为12，，即， ∴ ，则， ∴． 变式1．（24-25八年级下·山西太原·阶段检测）问题情境：为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图． 探究实践1： 老师引导同学操作：把纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为，再将，分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点R处，如图．老师让同学们探究： （1）的度数是 ． 探究实践2： 完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图，在探究实践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题．经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享了自己的发现： （2）小虎发现：“如图，将平行四边形沿着BF（F为的中点）所在直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交于点G，则与相等．” 请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由． 【答案】（1）；（2）小虎的结论正确，见解析 【分析】本题主要考查折叠的性质，平行四边形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据折叠的性质得到，再由平角的定义即可求解； （2）根据折叠的性质得出，再由平行四边形的判定和性质得出四边形为平行四边形，，即可证明； 【详解】（1）解：由折叠得： ∴故答案为： （2）小虎的结论正确，理由如下： ∵将沿着所在直线折叠，点C的对应点为， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴． 变式2．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）综合与实践：平行四边形纸片的折叠 (1)探究1：我们将如图（1）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点为，延长交于点．求证：． (2)探究2：我们将如图（2）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在的中点处．猜想，之间的数量关系，并证明． (3)探究3：我们将如图（3）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在线段上，过点作，交延长线于点，其中，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，则，根据折叠得出，等量代换得出，等边对等角即可得证； （2）取的中点，连接，则是的中位线，得出，即可得证； （3）勾股定理求得，同（1）的方法证明，在中，勾股定理求得，进而求得，根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点， 点的对应点为，延长交于点， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 如图，取的中点，连接， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是平行四边形，，， ， ∴，，， ∵，， 在中，， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 又∵， ∴， ∴． 变式3．（25-26八年级下·上海崇明·期末）【问题背景】 在学习了综合与实践《折纸与数学》后，某数学兴趣小组对平行四边形纸片折叠过程中的线段关系进行了探究． 【操作实践】 操作：折叠平行四边形纸片，使点落在边上，记作点，且使折痕经过点，得到折痕和线段；再次折叠纸片，使点落在上，记作点，使折痕经过点，得到折痕和线段，把纸片展开，延长交于点． 【初步猜想】 (1)小组成员通过观察、测量等操作，猜想如下： ①与存在特殊的位置关系：_________________； ②和有确定的数量关系：__________________________． 请补充上述过程中横线上的内容，并对②中的数量关系进行论证，写出证明过程． 【推理证明】 (2)如图，当点在的延长线上时，求证：． 【运用提升】 (3)连接交折痕于点，连接． 已知，，设，，求关于的函数表达式．（不要求写出自变量的取值范围） 【答案】(1)① ；②， 证明：依题翻折得，翻折得， ∴ ∵四边形为平行四边形 ∴， ∴， ∴ ∴ ∴四边形为平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵翻折得 ∴ (2)连接， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵四边形为平行四边形 ∴平行且等于 ∴平行且等于 ∴四边形为平行四边形 ∴，即是的中位线 ∴ ∴． (3) 【分析】（1）证明四边形为平行四边形，则，证明，，又由翻折得，即可得到结论； （2）连接，证明，得到，证明四边形为平行四边形，则平行且等于，得到平行且等于，则四边形为平行四边形，得到，即是的中位线，即可得到结论； （3）作于M，，证明，则，得到，得到，则，再用勾股定理列方程即可求出答案． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：作于M， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ 由 ∴ 在中， 在中， ∴ 即 考点二 平行四边形与动点问题综合 例1．（25-26八年级下·江西抚州·期末）如图1，在梯形中，，，，动点从点开始沿边向以的速度运动；动点从点开始沿边向以的速度运动，动点，分别从，同时出发，当其中一点到达终点则另一点也随之停止运动．设运动时间为秒（）， (1)当为何值时，点恰好是的中点； (2)当为何值时，截四边形的两部分中有一个图形是平行四边形； (3)如图2，若梯形变为平行四边形，，动点从点出发以的速度向点运动；动点从点出发以的速度在间往返运动，当点到达点时，动点，同时停止运动．求出当为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)当或时，截四边形的两部分有一个平行四边形． (3)的值为时，以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】（1）求出，又由可列方程并解方程即可； （2）由题意得到，，再根据平行四边形的判定分两种情况进行解答即可； （3）以，，，四点组成的四边形是平行四边形，则，分和两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：，是的中点， ， ， ， 解得． （2）解：由题意得：，， 则，， ①， 时，四边形为平行四边形， 此时，， 解得：． ②， 时，四边形为平行四边形， 此时，，解得：， 综上所述，当或时，截四边形的两部分有一个平行四边形． （3）解：∵四边形是平行四边形， ，即， 若以，，，四点组成的四边形是平行四边形，则， ①当时，，， ， 解得（不合题意，舍去）； ②当时，，， ， 解得； 综上可得：的值为时，以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形． 例2．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．    (1)用含t的式子表示______cm； (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ 【答案】(1) (2)当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形． 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）分两种情况，结合平行四边形的性质，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴； 故答案为：； （2）解：过点作，则：，    ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 当直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形时，分两种情况： ①当四边形为平行四边形时：则：，    ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，则：，    ∴， 解得：； 综上：或． 例3．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形中，，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1) ______，______；（分别用含有t的式子表示） (2)当点P、Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，求t的值． 【答案】(1) (2)或2或4 【分析】（1）根据速度、路程、时间的关系即可列代数式； （2）分类讨论，根据平行四边形的对边相等列方程求解． 【详解】（1）解：由题意得，， （2）解：∵， ∴， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得； ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得； ∵， 当时，， 解得， ∴综上点P、Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，t的值为或2或4． 变式1．（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，中，，，动点M从点D出发，按折线方向以的速度运动，动点N从点D出发，按折线方向以的速度运动，两点均运动到点D停止． (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？ (2)在相遇前，是否存在过点M和N的直线将的面积平分？若存在，请求出所需时间：若不存在，请说明理由． (3)若点E在线段上，，动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟时，与点A、E、N恰好能组成平行四边形？ 【答案】(1)动点同时出发，经过8秒钟两点相遇 (2)当经过4秒钟，过点和的直线将的面积平分 (3)点运动到第2秒或6秒钟时，点、、、组成平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，难度较大，点的运用会使学生感觉有一定的困难，但仔细分析后会发现考查的还是一些基本性质的运用． （1）相遇时，和所经过的路程正好是矩形的周长，在速度已知的情况下，只需列方程即可解答． （2）存在，当经过的中心时，过点和的直线将的面积平分，根据四边形是平行四边形，得到，推出，根据全等三角形的性质得到，同理，推出，列方程即可得到结论； （3）因为按照的速度和所走的路程，在相遇时包括相遇前，—直在上运动，当点运动到边上的时候，点、才可能组成平行四边形，其中有两种情况，即当到点时以及在上时，所以要分情况讨论． 【详解】（1）解：设秒时两点相遇， ∵在中，， ， ∴的周长， ∴，解得， ∴动点同时出发，经过8秒钟两点相遇； （2）解：存在，当经过的中心时，过点和的直线将的面积平分，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵，即， ∴， ∴当经过4秒钟，过点和的直线将的面积平分； （3）解：由（1）知，点一直在上运动，所以当点运动到边上的时候，点、、、才可能组成平行四边形，所以， 设经过秒，四点可组成平行四边形． 分两种情形： ①当点在点右侧， 如图2：此时，则四边形是平行四边形， ， ， ， 解得， ②当点在点与点之间，，解得， ∴点运动到第2秒或6秒钟时，点、、、组成平行四边形． 变式2．（25-26八年级下·河南平顶山·月考）（1）如图1，在四边形中， ，，，若动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿线段向点D运动；点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿方向运动，当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了x秒（x>0），求当x为多少秒时，四边形变为平行四边形． （2）如图2，若四边形变为平行四边形，，动点P从A点出发．以每秒1cm的速度沿线段向D点运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度在间往返运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设P、Q两点同时出发．并运动了t秒（t>0）．求当t为多少秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形．    【答案】（1）时，四边形变为平行四边形；（2）时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形 【分析】（1）四边形为平行四边形时，则，列出方程即可求出答案． （2）由题意知，，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，，列出方程即可求出答案． 【详解】解：（1）当四边形为平行四边形时，则， ，解得， 时，四边形变为平行四边形； （2）由题意知，， ， 当以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，， 当时，， 解得舍去； 当时．， ，解得； 综上所述：时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：平行四边形与折叠问题综合、平行四边形与动点问题综合专项训练 暑假培优：平行四边形与折叠问题综合、平行四边形与动点问题综合专项训练 考点目录 平行四边形与折叠问题综合 平行四边形与动点问题综合 考点一 平行四边形与折叠问题综合 例1．（25-26八年级下·山东济南·期中）【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．          (1)如图1，当，点恰好落在边上时，的度数是________度． 【问题解决】 (2)如图2，当点E、F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，请直接写出线段的长． 例2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在平行四边形纸片上，E为边上一点，将沿折叠，点D的对应点为． (1)如图1，当点恰好落在边上时，判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试猜想线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为12，，直接写出线段的长． 变式1．（24-25八年级下·山西太原·阶段检测）问题情境：为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图． 探究实践1： 老师引导同学操作：把纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为，再将，分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点R处，如图．老师让同学们探究： （1）的度数是 ． 探究实践2： 完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图，在探究实践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题．经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享了自己的发现： （2）小虎发现：“如图，将平行四边形沿着BF（F为的中点）所在直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交于点G，则与相等．” 请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由． 变式2．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）综合与实践：平行四边形纸片的折叠 (1)探究1：我们将如图（1）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点为，延长交于点．求证：． (2)探究2：我们将如图（2）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在的中点处．猜想，之间的数量关系，并证明． (3)探究3：我们将如图（3）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在线段上，过点作，交延长线于点，其中，，，求线段的长． 变式3．（25-26八年级下·上海崇明·期末）【问题背景】 在学习了综合与实践《折纸与数学》后，某数学兴趣小组对平行四边形纸片折叠过程中的线段关系进行了探究． 【操作实践】 操作：折叠平行四边形纸片，使点落在边上，记作点，且使折痕经过点，得到折痕和线段；再次折叠纸片，使点落在上，记作点，使折痕经过点，得到折痕和线段，把纸片展开，延长交于点． 【初步猜想】 (1)小组成员通过观察、测量等操作，猜想如下： ①与存在特殊的位置关系：_________________； ②和有确定的数量关系：__________________________． 请补充上述过程中横线上的内容，并对②中的数量关系进行论证，写出证明过程． 【推理证明】 (2)如图，当点在的延长线上时，求证：． 【运用提升】 (3)连接交折痕于点，连接． 已知，，设，，求关于的函数表达式．（不要求写出自变量的取值范围） 考点二 平行四边形与动点问题综合 例1．（25-26八年级下·江西抚州·期末）如图1，在梯形中，，，，动点从点开始沿边向以的速度运动；动点从点开始沿边向以的速度运动，动点，分别从，同时出发，当其中一点到达终点则另一点也随之停止运动．设运动时间为秒（）， (1)当为何值时，点恰好是的中点； (2)当为何值时，截四边形的两部分中有一个图形是平行四边形； (3)如图2，若梯形变为平行四边形，，动点从点出发以的速度向点运动；动点从点出发以的速度在间往返运动，当点到达点时，动点，同时停止运动．求出当为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 例2．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．    (1)用含t的式子表示______cm； (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ 例3．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形中，，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1) ______，______；（分别用含有t的式子表示） (2)当点P、Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，求t的值． 变式1．（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，中，，，动点M从点D出发，按折线方向以的速度运动，动点N从点D出发，按折线方向以的速度运动，两点均运动到点D停止． (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？ (2)在相遇前，是否存在过点M和N的直线将的面积平分？若存在，请求出所需时间：若不存在，请说明理由． (3)若点E在线段上，，动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟时，与点A、E、N恰好能组成平行四边形？ 变式2．（25-26八年级下·河南平顶山·月考）（1）如图1，在四边形中， ，，，若动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿线段向点D运动；点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿方向运动，当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了x秒（x>0），求当x为多少秒时，四边形变为平行四边形． （2）如图2，若四边形变为平行四边形，，动点P从A点出发．以每秒1cm的速度沿线段向D点运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度在间往返运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设P、Q两点同时出发．并运动了t秒（t>0）．求当t为多少秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形．    2 学科网（北京）股份有限公司 $