暑假专项作业：平行四边形-2025-2026学年数学八年级下册北师大版

**基本信息** 以平行四边形性质与判定为核心，通过基础辨析、性质应用及综合探究，系统构建"概念-性质-判定-应用"逻辑链，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质|单选1-4、填空11|性质直接应用法|从对边/对角/对角线基本性质到角度计算| |性质应用|单选5-9、填空12-15|辅助线构造法（延长/中点连线）、勾股定理结合|中位线/角平分线与平行四边形性质综合| |综合探究|单选10、解答17-21|新定义迁移法、全等判定法|从平行四边形到"忧乐四边形"拓展，融合作图与证明|

暑假专项作业：平行四边形-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024） 一、单选题 1．如图，的对角线、相交于点，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的中位线，已知，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．在下列关于平行四边形的各命题中，假命题是（   ） A．平行四边形的对边相等 B．平行四边形的对角相等 C．平行四边形的对角线互相平分 D．平行四边形的对角线互相垂直 4．中，已知，则等于（ ） A． B． C． D． 5．小刘在长方形台球桌面上击球，球的运动轨迹形成四边形，台球每次撞击桌面时，入射方向与桌面的夹角等于反射方向与桌面的夹角（如），下列关于四边形的推理中，说法错误的是（   ） A． B． C． D．且 6．如图，在平行四边形中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、于点F、G，再分别以点F、G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，作射线交于点E，连接．若，，，则平行四边形的面积为（   ） A．16 B．18 C．20 D．32 7．如图，平行四边形的周长为12，对角线，相交于点O，点E在上，．，，则长度为（    ）    A． B． C．2 D．3 8．如图，已知在中，对角线相交于点，若，则的周长为（   ）    A．13 B． C．14 D． 9．如图，在中，点，在边上，平分，平分．若，，则长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 10．图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接、．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长，其中正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 二、填空题 11．在中，如果，那么______． 12．如图，在中，平分，D是的中点，，，，则的长度为______． 13．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，，，则的长为________． 14．如图，点，分别为平行四边形边，的中点，连接，交于点，连接，交于点，那么四边形的面积与平行四边形的面积之比是__________． 15．如图，在中，，，垂足为E，F是的中点，，，则________． 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，在第一象限内，顶点在轴上，顶点的坐标为，对角线轴．若，则点的坐标为_____． 三、解答题 17．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，E、F为上的两点且．求证：． 18．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为． (1)仅用无刻度直尺和圆规作图：过点A作直线轴；（直尺只限使用一次，不要求写作法，但保留作图痕迹） (2)点B在x轴正半轴上，且，点C在（1）中的直线l上，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为______． 19．如图，在中，对角线、交于点O，，经过点O且与，相交于点E，F． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 20．如图，在平行四边形中，点E为对角线延长线上的一点，连接，．请完成以下作图和填空： (1)在平行四边形的外部，用尺规作，且射线交直线于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）问的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ①________， ，， ②________， 在和中， ， ， ③________，， ④________， ∴四边形是平行四边形． 21．定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”． (1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_________． A．平行四边形  B．菱形  C．矩形  D．正方形 (2)如图2，在平行四边形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．①求证：四边形是“忧乐四边形”．②若；当是直角三角形时，请求出线段的长． (3)如图1，在四边形中，，线段、之间存在怎样的数量关系？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《暑假专项作业：平行四边形-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D A B D B D A C 1．D 【分析】根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，故A，B，C正确， 而属于菱形特有的性质，一般平行四边形不一定具有，故D错误． 2．B 【分析】根据三角形中位线求解即可； 【详解】解：因为是的中位线，且， 故； 3．D 【分析】根据平行四边形的性质逐一判断命题真假即可得到结果． 【详解】解：根据平行四边形的性质可知： A．平行四边形的对边相等，故A不符合题意； B．平行四边形的对角相等，故B不符合题意； C．平行四边形的对角线互相平分，故C不符合题意； D．平行四边形没有对角线互相垂直的性质，故D符合题意； 4．A 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 5．B 【分析】本题主要考查平行四边形的判定及性质．根据题意，入射角等于反射角，结合直角三角形的两个锐角互余，得到四边形相邻两角互补，再利用同旁内角互补，两直线平行，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，判定选项即可． 【详解】解：， ， （同旁内角互补，两直线平行）， 同理可证， 四边形是平行四边形． 选项A，平行四边形的对角相等，所以，不符合题意； 选项B，平行四边形的对角线，不一定相等，不正确，符合题意； 选项C，两直线平行，同旁内角互补，正确，不符合题意； 选项D，平行四边形对边平行且相等，且正确，不符合题意． 6．D 【分析】根据作图可知，结合平行四边形的性质，可证明，所以，所以，再根据勾股定理求出，即可求得答案． 【详解】解：由作图可知，射线平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的面积为． 7．B 【分析】根据且可得为等腰直角三角形，求出，求出；设，利用含角的直角三角形性质及等腰直角三角形性质表示出，结合周长列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∵ ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ； ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ， ∴， ∵平行四边形的周长为， ∴，即， ∴， 解得， ∴． 8．D 【分析】根据平行四边形的性质得到，由此求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴的周长为：． 9．A 【分析】设，结合平行四边形的性质和角平分线的定义得出和，结合，，列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，通过相关性质逐一判断即可，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，,, ∴， ∵，， ∴， ∴（）①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形；②正确； ∵， ∴不一定相等；③错误； ∵四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴,,， ∴， ∴;④正确． 11．135 【分析】本题考查平行四边形的性质． 解题思路是利用平行四边形对边平行的性质，结合平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．/1.5/ 【分析】延长、交于点，证明，得到，，证明是的中位线，根据中位线的性质可得的长度． 【详解】解：如图所示，延长、交于点F， ∵平分， ， ， ， ∵， ∴， ，， 又， ， ∵点D是的中点， 是的中位线， ． 13．3 【分析】先通过平行四边形对边相等，得到，根据勾股定理先求出，再通过平行四边形对角线平分，得到即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由勾股定理，得， ∴． 14． 【分析】根据平行四边形的性质及中点推出平行四边形和，从而判断和点是中点，利用等底等高三角形面积相等即可求出答案． 【详解】解：连接，如图所示， 点，分别为平行四边形边，的中点， ，，，，， ，，，， 四边形和都是平行四边形， 是和的中点，是和的中点 ，，和等底等高，，，和等底等高， ，． ， ． ， 四边形的面积与平行四边形的面积之比是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键在于巧妙利用中点和等底等高找到面积的关系． 15．1.5/ 【分析】通过作辅助线构造出等腰三角形和三角形的中位线，从而将求线段的问题转化为求线段长度的问题． 【详解】解：如图，延长交于点D， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点E是的中点， ∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 16． 【分析】根据平行四边形对角线互相平分的性质，结合点在轴上及轴，利用中点坐标公式确定点的横坐标．过点作轴的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求出点的纵坐标即可求解． 【详解】解：设点的坐标为 四边形是平行四边形 对角线与互相平分 点的坐标为，轴 点的横坐标为3 点在轴上 点的横坐标为0 设与的交点为，则点为的中点 点的横坐标为 又点为的中点 点的横坐标为 ， 解得 过点作轴于点 点的坐标为 在中，， 由勾股定理得： 点在第一象限 点的坐标为． 17．见解析 【分析】首先利用平行四边形的性质得到，，然后得到，证明出四边形为平行四边形，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形， ∴． 18．(1)见解析 (2)或 【分析】（1）根据题意过点A作y轴的垂线即可，先以点A为圆心，一定长为半径画弧，交y轴于M、N两点，再分别以M、N两点为圆心，为半径画弧，两弧交于点P，作直线，即为所求； （2）根据平行四边形的性质可知，结合轴，即可求得点C的坐标． 【详解】（1）解：如图所示，直线l即为所求： （2）解：①如图所示，当四边形是平行四边形时，点B在x轴正半轴上，， ∴， ∵轴，， ∴点C的横坐标为，纵坐标为4， ∴点C的坐标为； ②如图所示，当四边形是平行四边形时，同理可得点C的坐标为； 综上，点C的坐标为或． 19．(1)见解析 (2)108 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，进而证明，即可推导出； （2）根据平行四边形的性质得，再用勾股定理计算出，最后根据平行四边形面积公式求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，对角线、交于点O， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：中，， ， ，， ， ． 20．(1)见解析 (2)；；； 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的步骤即可作图； （2）先证明，再由全等三角形的性质证明即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴四边形是平行四边形． 21．(1)B、D (2)①见解析；②或 (3)． 【分析】（1）根据“忧乐四边形”的定义对几个四边形进行逐一判定即可解决问题； （2）①连接、，根据折叠的性质、平行四边形的性质证明，即可解答；②分两种情况，由折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理可得出答案． （3）由四边形沿对折重合，得、，且平分、．结合，证得、均为等边三角形，进而得到，判定四边形为菱形．由菱形对角线互相垂直平分，得，且．在中，利用角对边是斜边一半，结合勾股定理，算出，最终推出． 【详解】（1）解：①平行四边形，③矩形，沿着它的一条对角线对折后不能完全重合；②菱形，④正方形，沿着它的一条对角线对折后能完全重合． ②菱形，④正方形一定是忧乐四边形； ∴一定是“忧乐四边形”的有②④； （2）①证明：如图：连接、， 是的中点， ， 将沿折叠后得到， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，且， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形沿折叠完全重合， 四边形是“忧乐四边形”． ②解：∵， ∴四边形是平行四边形， 若，连接，则四边形是矩形， ， 由题意及①知，， 设，则，， ， ， ， ； 若，连接，过点作于点，，交的延长线于点，如图， 由题意得，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵ ， ，， ∴平分，即； ，即， ， ， ， 设，则，， ∵， ∴， ， （负值舍）， ． 综上所述，的长为或． （3）解：连接，交于点O， ∵凸四边形沿对角线对折完全重合， ，，平分，平分， ∵，， 为等边三角形，为等边三角形，，， ，， ， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， 在中，， ， 设，则， 由勾股定理得： ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $