角平分线的性质、角平分线的判定、角平分线的作图问题专项训练-2026年北师大版数学八升九暑假培优

**基本信息** 聚焦角平分线性质、判定及作图三大核心模块，通过分级例题与变式训练构建"概念理解-推理应用-操作实践"的完整逻辑链，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |角平分线的性质|4例+4变式|选择/填空/解答题，涉及距离转化、面积计算|从性质定理出发，通过"角平分线+垂线"模型实现线段等量转化| |角平分线的判定|3例+3变式|证明题为主，含垂直条件构造与等量关系推导|以判定定理为核心，构建"等距离证角平分线"的逆向推理路径| |角平分线的作图|3例+3变式|尺规作图与综合应用题，结合几何计算|衔接性质与判定，通过作图操作深化对"到两边距离相等"本质的理解|

角平分线的性质、角平分线的判定、角平分线的作图问题专项训练 角平分线的性质、角平分线的判定、角平分线的作图问题专项训练 考点目录 角平分线的性质 角平分线的判定 角平分线的作图问题 考点一 角平分线的性质 例1．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）如图，已知平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂线段最短可得当时，取得最小值，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到，进而求出的最小值． 【详解】解：如图，当时，线段的长度取得最小值， 平分，，， ． 例2．（2026·天津河西·二模）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段和，使；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于内部的一点，作射线，交于点，过点作于点．若，，则的长为（     ） A．6 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】由作图可知平分，则根据角平分线的性质定理可得，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：由作图可知：平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理可得． 例3．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，已知，，D为平分线上一点交于F，于E，若，则_____________． 【答案】 4 【分析】过点D作于点G，根据角平分线的性质得到，再根据含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：过点D作于点G， ∵点D为平分线上，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 例4．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，平分，，，则的面积是 _____ ． 【答案】 【分析】过点作于，然后由角平分线的性质推出，最后计算三角形的面积． 【详解】解：过点作于， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴的面积． 变式1．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，的三边、、长分别是60、70、80，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（     ） A．8：7：6 B． C． D． 【答案】D 【分析】过O点分别作、、的垂线、、，利用角平分线性质可以得到，即这三个三角形的高都相等，所以面积比等于它们的底边比，从而得出答案． 【详解】解：如图，过O点分别作、、的垂线、、， ∵是的角平分线， ∴， 同理， ∴， ∴． 变式2．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图射线平分，点D在上，，，若，则的长度为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵平分，，， ∴． 变式3．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，是角平分线，，，，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质．过点作于点，由角平分线上的点到角的两边距离相等，得，再根据三角形面积公式进行计算，即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作于点， 是角平分线，，， ， 的面积． 变式4．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，BD是的平分线，于，则__________cm． 【答案】5 【分析】过点作于，设为，根据角平分线的性质得到 ，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可． 【详解】解：过点作于， 设为， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ， 解得， ∴． 考点二 角平分线的判定 例1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，的延长线于，于，若，，求证：平分． 【答案】证明：∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中，， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】利用证明，得出，根据角平分线的判定定理即可得出结论． 【详解】略． 例2．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，，，点在上，于点，且． (1)求证：平分； (2)求证：点在的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在角的平分线上，由、 且可证； （2）根据直角三角形两锐角互余求出，结合角平分线得，再利用直角三角形性质证，由垂直平分线判定定理可证． 【详解】（1）解：， ， ，且， 根据到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上， 点在的平分线上， 平分． （2）解：在中，，， ， 平分， ， ， ， ， 根据等腰三角形性质，有垂直平分， ， 连接，在中，， （直角三角形斜边中线等于斜边的一 半）， ， 根据垂直平分线性质，点在的垂直平分线上． 例3．（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知，如图所示，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）根据角平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵于点E，于点F， 在与中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵于点E，于点F，， ∴平分． 变式1．（25-26八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）已知：如图，，，垂足分别为N，M，，BM相交于点P． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用证明可得，再利用角平分线的判定定理即可证明结论； （2）由题意可得，根据含30度直角三角形的性质可得结合勾股定理可得，由结合已知条件可得，最后根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． （2）解：由（1）可知， ∴ ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴． 变式2．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，于E，于F，若． (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴平分； (2)9 【分析】（1）先根据“斜边直角边”证明，可得，再根据角平分线性质定理的逆定理得出答案； （2）先根据勾股定理求出，再根据可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 变式3．（25-26八年级下·陕西宝鸡·阶段检测）如图，在中，，，直线是的垂直平分线，与交于点E，与交于点D，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，然后利用直角三角形的性质以及角的和差得出，即可得出结论； （2）利用含角直角三角形的性质得出，利用勾股定理求出，最后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵直线是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴的面积为． 考点三 角平分线的作图问题 例1．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在中，，是的角平分线． (1)用直尺和圆规完成以下基本作图：作的角平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹）． (2)应用与证明：． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)证明：， ， 平分，平分， ，， ， 在和中 ， ， ． 【分析】（1）按照角平分线标准尺规作图步骤，以顶点为圆心画弧交、于两点，再分别以两交点为圆心画等半径弧，两弧交点与连线交得到点，保留作图痕迹即可． （2）先由推出，再结合、分别为两角平分线得到，利用公共角证明，由全等三角形对应边相等证出． 【详解】（1）略 （2）略 例2．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）如图，四边形是矩形． (1)尺规作图：在边上确定一点，使得平分；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长．（请直接写出的长度） 【答案】(1)解：如图，点E就是所求作的点； (2) 【分析】（1）以点C为圆心，长为半径画弧，与边相交于点E，连接，，根据矩形的性质可得，所以，因为，所以，所以，即平分； （2）根据矩形、直角三角形的性质，并结合等腰三角形的判定，可得，根据勾股定理进一步求得，所以，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：．理由如下： 四边形是矩形 ，， ， ， ， ， ， ， ． 例3．（2026·河南三门峡·三模）如图，在锐角中，为边上的高． (1)仅用无刻度的直尺与圆规，作的平分线交于点E，交于点F；（要求：保留作图痕迹，不需写作法和证明） (2)在（1）的条件下，若，，求证：． 【答案】(1)如图即为所求； (2)证明：∵，为边上的高， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 又∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）使用直尺和圆规根据作角平分线的步骤作图即可； （2）先证明得，再证明即可证明结论成立． 【详解】（1）略； （2）略． 变式1．（25-26八年级下·福建福州·月考）如图，已知． (1)作边上的高，交于点；作的平分线，交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)如图，线段，即为所求； (2) 【分析】（1）根据题意过点作的垂线，作的平分线，交于点 （2）根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义得出，进而求得，最后根据，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：，， ． 平分， ． ， ， ， ． 变式2．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，在中，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点D； (2)应用与计算：若，，，求点D到的距离． 【答案】(1)如图，即为所求， (2)3 【分析】（1）利用尺规作图的基本方法，作的角平分线． （2） 利用角平分线的性质，得点到的距离等于，再通过面积法列方程求解． 【详解】（1）解：以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在内部交于一点，作射线，交于点，即为所求． （2）解：过点作于点， 平分，，， ， 设， ， ， 即， ， 解得， 点到的距离为． 变式3．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，已知． (1)尺规作图：作的平分线，交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，作交的延长线于点E．求证：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作图-角平分线的作法作图即可； （2）先推导出，得到，证明出，则是等腰三角形，即可解答． 【详解】（1）解：如图①，即为所求； （2）证明：如图②， 由（1）知，平分， ， ∵， ， ， ， 是等腰三角形． 2 学科网（北京）股份有限公司 $角平分线的性质、角平分线的判定、角平分线的作图问题专项训练 角平分线的性质、角平分线的判定、角平分线的作图问题专项训练 考点目录 角平分线的性质 角平分线的判定 角平分线的作图问题 例1.(25-26七年级下·安徽宿州期末)如图，已知OC平分∠AOB,点P在OC上，PD1⊥OA于D,PD=3cm 点考煮粒线O8上角平线的在衡显小值为（） B E 力 D A.3cm B.14cm C.2cm D.1cm 例2.(2026~天津河西·二模)如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA,BC上分别截取线段 BE和BF,使BE=BF:分别以点E,F为圆心，大于2EF的长为半径画弧，两弧交于∠ABC内部的一点P, 作射线BP,交AD于点M,过点M作MN⊥AB于点N.若MN=2,AD=4MD,则AN的长为() P M ■ A NE B A.6 B.5 C 4 D.2v10 例3.(25-26八年级上：上海阶段检测)如图，已知，∠BAC=30°，D为∠BAC平分线上一点DF∥AC交AB于 角平分线的性质、角平分线的判定、角平分线的作图问题专项训练 F,DE⊥AC于E,若DE=2,则DF= B D E 例4.(25-26八年级下陕西西安期中)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD平分∠ACB,AC=4,BD=1, 则△ACD的面积是 D 8h 变式1.(25-26八年级下广东佛山期中)如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是60、70、80，其三条角 平分线将△AB 分为三个三角形，则5mSm成0等于() A.8:7:6 B.1:2:3 C.3:7:4 D.6:7:8 变式2.(25-26八年级下·广东佛山期中)如图射线OC平分∠AOB,点D在OC上，DE⊥A0,DF⊥B0,若 DE=3,则DF的长度为() B D E A A.1 B.2 C.3 D.4 变式3.(25-26八年级下·宁夏银川期中)如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB,DE=3,AC=4, 则△ADC的面积为一， 2 角平分线的性质、角平分线的判定、角平分线的作图问题专项训练 B D 变式4.(25-26八年级下·宁夏银川期中)如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E, S.ARc =45cm2,AB=10cm,BC=8cm ,则DE= cm. D 角平分线的性质、角平分线的判定、角平分线的作图问题专项训练 考点二 角平分线的判定 例1.(2026~陕西西安模拟预测)如图，DE⊥AB的延长线于E,DF⊥AC于F,若BD=CD,BE=CF,求 证：AD平分∠BAC」 E B 例2.(25-26八年级下陕西汉中期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D在BC上，DE⊥AB 于点E,且CD=DE D B (1)求证：AD平分∠CAB: (2)求证：点E在BC的垂直平分线上. 角平分线的性质、角平分线的判定、角平分线的作图问题专项训练 例3.(25-26八年级下山东青岛期中)已知，如图所示，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, BE=CF,BD=CD (I)求证：DE=DF； (2)求证：AD平分∠BAC. 变式1.(25-26八年级下辽宁沈阳阶段检测)已知：如图，AW⊥OB,BM⊥OA,垂足分别为N,M, AM=BN,BM相交于点P. M (1)求证：OP平分∠AOB: (2)若∠A0P=15°，AW=2,求AM的长. 角平分线的性质、角平分线的判定、角平分线的作图问题专项训练 变式2.(2526八年级上甘肃天水期末)如图，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD,BE=CF B F (1)求证：AD平分∠BAC: (2)已知AD=13,DE=5,CF=3,求AB的长. 变式3.(2526八年级下陕西宝鸡阶段检测)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，直线DE是AB的垂直 平分线，与AB交于点E,与BC交于点D,连接AD. D B (I)求证：AD平分∠BAC: (2)若CD=2,求△ABD的面积. 6 角平分线的性质、角平分线的判定、角平分线的作图问题专项训练 考点三 角平分线的作图问题 例1.(25-26八年级下重庆期末)如图，在△ABC中，AB=BC,CE是△ABC的角平分线. (I)用直尺和圆规完成以下基本作图：作∠BAC的角平分线，交BC于点D.(不写作法，保留作图痕迹)， (2)应用与证明：BD=BE 例2.(25-26八年级下江苏无锡期末)如图，四边形ABCD是矩形. D B B 备用图 (I)尺规作图：在边AD上确定一点E,使得BE平分∠AEC;(不写作法，保留痕迹) ②在)的条件下，若CD=25,DCE=45”,求E的长.《请直接写出4E的长度) > 角平分线的性质、角平分线的判定、角平分线的作图问题专项训练 例3.(2026：河南三门峡三模)如图，在锐角△ABC中，AD为BC边上的高. B D (I)仅用无刻度的直尺与圆规，作∠ABC的平分线交AD于点E,交AC于点F;(要求：保留作图痕迹，不需写作 法和证明) (2)在(I)的条件下，若BE=AC,∠ABC=45°，求证：∠BAC=∠C. 变式1.(25-26八年级下福建福州月考)如图，已知△ABC B (I)作BC边上的高AD,交BC于点D;作∠BAC的平分线AE,交BC于点E(要求：尺规作图，不写作法，保留 作图痕迹)； (2)若∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度数. 角平分线的性质、角平分线的判定、角平分线的作图问题专项训练 变式2.(25-26八年级下广西南宁·阶段检测)如图，在△ABC中，∠C=90°. (I)尺规作图：作∠BAC的角平分线AD,交BC于点D, (2)应用与计算：若AC=6,BC=8,，AB=10,求点D到AB的距离. 变式3.(25-26八年级下内蒙古乌兰察布期中)如图，已知△ABC. B (I)尺规作图：作∠B的平分线BD,交AC于点D;(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，作AE∥BC交BD的延长线于点E.求证：△ABE是等腰三角形. 9