6.2 平行四边形的判定 暑期专项练习2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦平行四边形判定定理的系统应用，通过基础辨析、图形变换、坐标综合等题型，构建“概念-判定-应用”逻辑链条，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判定|单选1-4、填空13|直接应用判定定理（对角线互相平分、两组对边平行等），辨析易混条件|从定义出发，通过“条件-结论”对应建立判定定理认知体系| |图形变换|单选5、填空11-12|利用平移、拼接转化图形，结合梯形性质构造平行四边形|通过图形操作深化对“对边平行/相等”判定条件的理解| |坐标综合|单选9、解答19-20|中点坐标公式、平移性质求顶点坐标，分类讨论对角线情况|将几何判定与代数运算结合，体现数形结合思想|

6.2 平行四边形的判定暑期专项练习2025-2026学年北师大版八年级数学下册 一、单选题 1．满足下列条件的四边形是平行四边形的是（     ） A．对角线相等的四边形 B．一组对边平行的四边形 C．对角线互相平分的四边形 D．一组对角相等的四边形 2．如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（     ） A．， B．， C．， D．， 3．如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列条件正确的是（     ） A． B． C． D． 4．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，能推出四边形是平行四边形的依据是（    ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 5．直角边不等的两个全等直角三角形能拼成的不同平行四边形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（     ） A． B．a C． D． 7．如图，在平行四边形中，E、F分别为边、的中点，O为的中点，过点O的直线分别交边、于点G、H，连接、、、．下列结论正确的是（     ） A．的大小是的一半； B．边的长度是边的一半； C．四边形的面积是四边形面积的一半； D．四边形的周长是四边形周长的一半． 8．某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 9．平行四边形的三个顶点坐标依次为、、，则第四个顶点的坐标不可能为（     ） A． B． C． D． 10．如图，点是对角线上一点，已知且，都经过点，连接，，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在梯形中，，，过点作，交于点．若，则_______． 12．如图，已知梯形 中，，，，上底，腰，则下底长为_______． 13．如图，在四边形中，，请添加一个条件使四边形是平行四边形，可添加的条件是_____（只填一个即可）． 14．如图，在中，，点分别在边上运动，若满足，连接，则的最小值___________． 15．如图，在中，，，、两点分别在边、上，且，，则的值为__________． 三、解答题 16．如图，C是的中点，，连接．求证：四边形是平行四边形． 17．如图，在中，点，分别是边，的中点．求证：． 18．如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加适当的条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． 19．已知、、三个点． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，描出、、三个点，并顺次连接、、，得； (2)求的周长； (3)在平面上找一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，与直线相交于点，过点作轴于点． (1)求直线的解析式及点的坐标； (2)点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交直线于点，交直线于点，当时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，坐标平面内是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请直接写出点的坐标，如不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D A C B C C D B 1．C 【详解】解：A、∵对角线相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形对角线相等但不是平行四边形，∴A错误； B、∵一组对边平行的四边形可能是梯形，不一定是平行四边形，∴B错误； C、∵平行四边形的判定定理明确：对角线互相平分的四边形是平行四边形，满足判定条件，∴C正确； D、∵一组对角相等的四边形不满足平行四边形的判定要求，不一定是平行四边形，∴D错误． 2．B 【详解】解：A、∵ 又∵， ∴ ∴ ∴ 同理可得， ∴四边形为平行四边形，故A不符合题意； B、由，无法证明四边形为平行四边形，故B符合题意； C、∵， ∴四边形为平行四边形，故C不符合题意； D、∵， ∴四边形为平行四边形，故D不符合题意． 3．D 【分析】根据平行四边形的判定逐项判断即可． 【详解】解：由题意已有，还差或； A、，一边平行，另一边相等，不能判定四边形是平行四边形； B、，不能判定四边形是平行四边形； C、由可得，不能判定四边形是平行四边形； D、，则，根据两组对边平行的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形． 4．A 【详解】解：由题意可知，，， 四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． 5．C 【分析】因为直角边不等，直角三角形三条边长度均不同，每种对应边重合可得到不同平行四边形，统计个数即可． 【详解】解：分别将两条不同直角边、斜边依次重合拼接，共得到3种不同的平行四边形，如图： ∴能拼成的不同平行四边形的个数是3． 6．B 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、三角形的面积公式与平行四边形的面积公式等知识正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，，根据平行四边形的性质可得的面积的面积，再利用平行四边形的性质可得作 ，从而可得 ，进而可得的面积的面积，然后再根据作 ，可证四边形是平行四边形，从而可得的面积的面积，进而可得的面积的面积，即可解答． 【详解】解：连接，， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的面积的面积， ， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 的面积的面积， ∵四边形面积为， 的面积为， 故选：B． 7．C 【分析】由题意易得四边形都为平行四边形，四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质可进行排除选项． 【详解】解：由题意可得如图所示： ∵四边形是平行四边形，O为的中点， ∴， ∵E、F分别为边、的中点， ∴， ∴四边形都为平行四边形， ∵O为的中点， ∴， ∵过点O的直线分别交边、于点G、H， ∴根据平行四边形是中心对称图形可知：， ∵， ∴四边形是平行四边形， 对于A、B选项，随着直线的位置变化，平行四边形的形状也会随之改变，进而可知：的大小不一定是的一半，边的长度不一定是边的一半，故错误； 对于C选项：∵， ∴， ∵， ∴，故该选项正确； 根据三角形三边关系可知：， ∴， 即， ∴四边形的周长不一定是四边形周长的一半，故该选项错误． 8．C 【分析】由题意得出四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，得出的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，得出四边形的面积四边形的面积，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：    ，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， 的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，故A，D选项正确 四边形的面积四边形的面积，故B选项正确 ∴A、B、D正确，C不正确； 故选：C． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，利用平行四边形性质比较三角形面积大小，结合图形解题较为简便． 9．D 【分析】利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合中点坐标公式，分三种情况讨论得到第四个顶点所有可能的坐标，即可判断出不可能的选项． 【详解】解：设三个已知顶点为，，，第四个顶点为，平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论： 若对角线为和 ，∵ 中点坐标为，即，平行四边形对角线中点重合，中点坐标与中点坐标相等， ∴ ，，解得，，即，故选项C是可能的； 若对角线为和，∵ 中点坐标为，平行四边形对角线中点重合，中点坐标与中点坐标相等， ∴ ，，解得，，即，故选项A是可能的； 若对角线为和，∵ 中点坐标为，平行四边形对角线中点重合，中点坐标与中点坐标相等， ∴ ，，解得，，即，故选项B是可能的； 因此第四个顶点的坐标不可能为选项D． 10．B 【分析】首先，根据已知条件证得四边形均是平行四边形， A选项：如图1，过B作于M，过D作于N， 先证得，得，再运用三角形同底等高证得， 可得， 进而得，A选项正确，不符合题意； B选项：根据已知条件可证得， 但不一定等于，即不一定等于，B选项错误，符合题意； C选项：根据已知条件可证得，同理可得，进而得，C选项正确，不符合题意； D选项：如图2，过H作于K，过G作于T，根据已知条件可证得，又， ，可得，D选项正确，不符合题意， 最后可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形均是平行四边形． ∵是的对角线， ∴． A选项：如图1，过B作于M，过D作于N， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵四边形均是平行四边形， ∴， ∴，A选项正确，不符合题意； B选项：∵四边形均是平行四边形， ∴，， ∴， ∵P在上的位置不确定， ∴不一定等于，即不一定等于，B选项错误，符合题意； C选项：∵四边形均是平行四边形且与同底等高，与同底等高， ∴， 同理可得， ∴，C选项正确，不符合题意； D选项：如图2，过H作于K，过G作于T， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ， ∴，D选项正确，不符合题意； 综上，故选B． 11．20 【分析】证明四边形为平行四边形，可得，即可解答． 【详解】解：，， ∴四边形为平行四边形，， ， ， ． 12． 【分析】过点作交于点，得出四边形是平行四边形，则，，，进而根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理求得，根据等角对等边可得，进而求得的长． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 13．（答案不唯一） 【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可． 【详解】解：添加， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 14． 【分析】延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，则，，结合垂直平分线的性质，得到，，过点作，且，则四边形是平行四边形，进而得出，再根据两点间线段最短求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、， ， ，， ， ， ，， 垂直平分，垂直平分， ，， 过点作，且， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 当、、三点共线时，有最小值． 15． 【分析】过点作的平行线，过点作的平行线，交于点，结合平行四边形的性质、勾股定理、面积法解题即可． 【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线，交于点， 则有四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∵， ∴； 由勾股定理可知，， ∴； ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴ ． 16．证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴且． ∵C是的中点， ∴． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． 【分析】先利用已知的且，判断四边形是平行四边形，等量代换得到，结合与平行，证明四边形是平行四边形． 【详解】略． 17．证明：∵在中，点，分别是边，的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【分析】由平行四边形及中点的定义得，，，，证明四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】略 18．解：可以添加条件：，理由如下： ∵的对角线与相交于点O， ∴， 又∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形．（答案不唯一） 【分析】从对角线的角度添加条件即可；利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可说明理由． 【详解】略 19．(1) (2) (3)． 【分析】（1）描出、、三个点，并顺次连接、、，得即可； （2）根据勾股定理求出边长，求出周长即可； （3）由平移的性质和平行四边形的判定和性质进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵、、 ∴ ∴的周长为 （3）解：如图， 把点向右平移2个单位得到点，则，， ∴四边形是平行四边形， 把点向作平移2个单位得到点，则，， ∴四边形是平行四边形， 设延长与相交于点， ∵四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵、、 ∴点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到， ∵， ∴点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到，即 综上可知，点D的坐标为． 20．(1)直线的解析式为，点的坐标为 (2)点的坐标为或 (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）设直线的解析式为，代入、坐标即可 （2）设，用含a的式子表示出线段的长度，一定要加绝对值符号，根据列出方程即可 （3）设，分别以为对角线，利用对角线中点重合列出方程即可 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 代入、得， ， 解得：， 直线的解析式为， 与直线联立得， 解得：， ； （2）解：由（1）知，直线的解析式为，如图， 设， 轴， ，， ， 又， ， 解得：或， 点的坐标为或； （3）解：由（1）知直线的解析式为，， 轴， ， ①当点的坐标为时， ， 设， Ⅰ当以为对角线时，四边形为平行四边形，则共中点，如图， ， 解得， ， Ⅱ当以为对角线时，四边形为平行四边形，则共中点，如图， ， 解得， ， Ⅲ当以为对角线时，四边形为平行四边形，则共中点，如图， ， 解得， ， ②当点的坐标为时， 同理可得（舍），（舍），， 综上所述，存在一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，熟练掌握数形结合和分类讨论思想，见动点设坐标，不能确定动点位置时，长度要加绝对值符号，平行四边形找顶点时，分别以三条已知线段为对角线，利用对角线中点重合列出方程． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $