第四周 第5天 函数的表示法（含分段函数） 暑假自学讲义 - 2026年新高一数学人教A版必修第一册

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第四周 第 5天 函数的表示法（含分段函数）今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.掌握函数的三种表示方法. (重点) 2.会求函数的解析式. (重点) 3.会用解析法及图象法表示分段函数，能用分段函数解决生活中的一些简单问题. (难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 函数的表示法 💡知识梳理 1、函数的表示法有三种，分别是解析法、列表法、图象法 ⚠️ 注意点： 集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关. (1)解析法必须注明函数的定义域； (2)列表法必须罗列出所有的自变量的值与函数值的对应关系； (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”． 🎯教材例题 某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x). 🎯例1某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分，试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系． 1、函数三种表示法的优缺点比较： 反思 归纳 2、列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，且三种表示法互相兼容或补充，但是无论是用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念. 反思 归纳 🎯跟踪练习1 中秋节到了，小明想买几块月饼，已知每块月饼的单价是6元，买x(x∈{1，2，3，4，5，6})块月饼需要y元，你能用函数的三种表示法表示函数y=f(x)吗？ 知识点2 求函数的解析式 🎯例2 求下列函数的解析式： (1)若f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式； (2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)的解析式． 求函数解析式的四种常用方法 (1)换元法：设t=g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可.注意换元时t的取值范围. (2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可. (3)待定系数法：若已知函数f(x)的类型，求解析式时，用待定系数法.先设出它的一般形式，根据条件确定相关的系数即可. (4)方程组法(或消元法)：当题目中出现f(x)和f(-x)，f(x)与f 的关系式时，经常通过构造方程组来求解. 注意：写解析式时，应注明定义域. 反思 归纳 🎯跟踪练习2 （1）已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，则f(x)的解析式为________________． （2）已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求f(x)的解析式． （3）已知f(x)+2f(-x)=9x+2，求f(x)的解析式. 知识点3 分段函数 ❓ 问题　函数y=是两个函数吗？ 💡知识梳理 分段函数定义：函数y=f(x)在定义域上不同范围内的自变量有不同的对应关系，则函数y=f(x)称为分段函数. ⚠️ 注意点： (1)分段函数是一个函数而不是几个函数． (2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围． (3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 🎯教材例题 给定函数f(x)=x+1，g(x)=(x+1)2，x∈R， (1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象； (2)∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x)=max{f(x)，g(x)}. 例如，当x=2时，M(2)=max{f(2)，g(2)}=max{3，9}=9. 请分别用图象法和解析法表示函数M(x). 🎯例3 已知函数f(x)＝ (1)求f(2)，f； (2)若f(a)＝，求a. 1、分段函数的图象需要分段画.作分段函数的图象时，我们要先忽略各段上定义域的限制，分别作出各段解析式对应的图象，然后根据各段的定义域，从相应的图象上截取需要保留的一段图象即可.作图时要特别注意衔接点处点的虚实情况，保证不重不漏. 2、分段函数求函数值的步骤 ①确定要求值的自变量属于哪一段区间． ②代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． 3、已知函数值求字母取值(范围)的步骤 ①先将字母分情况代入解析式，列出方程(不等式). ②解方程(不等式)求字母的值(范围)，并检验是否符合字母的取值范围． ③符合题意的所有值(范围的并集)即为所求． 反思 归纳 🎯跟踪练习3 (多选)下列给出的函数是分段函数的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 2．已知f(x)＝若f(x)>2，求x的取值范围． 自学小节 函数的表示法 1.知识清单： (1)函数的三种表示法. (2)函数的解析式常见求法. (3)分段函数求值(范围)问题. (4)分段函数的应用. 2.方法归纳：待定系数法、换元法、配凑法、消元法、方程组法、分类讨论、数形结合法. 3.常见误区： (1)求函数解析式时容易忽视定义域. (2)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实. (3)求分段函数的函数值时要依据自变量的取值范围确定对应的解析式. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．已知函数f(x)的图象如图所示，其中点A，B的坐标分别为(0，3)，(3，0)，则f(f(0))＝(　　) A．2　　　　　　　　　　　 B．4 C．0 D．3 2．购买某种饮料x听，所需钱数为y元，若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数为(　　) A．y＝2x B．y＝2x(x∈R) C．y＝2x(x∈{1，2，3，…}) D．y＝2x(x∈{1，2，3，4}) 3．已知函数f(x)＝x－，且此函数的图象过点(5，4)，则实数m的值为________． 4．已知函数p＝f(m)的图象如图所示．求： (1)函数p＝f(m)的定义域； (2)函数p＝f(m)的值域． 5．若函数f(x)＝则f的值为(　　) A．　　　　　　　　　　 B．－ C． D．18 6．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于(　　) A.－3 B．－1 C．1 D．3 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第四周 第 5天 函数的表示法（含分段函数）今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.掌握函数的三种表示方法. (重点) 2.会求函数的解析式. (重点) 3.会用解析法及图象法表示分段函数，能用分段函数解决生活中的一些简单问题. (难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 函数的表示法 💡知识梳理 1、函数的表示法有三种，分别是解析法、列表法、图象法 ⚠️ 注意点： 集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关. (1)解析法必须注明函数的定义域； (2)列表法必须罗列出所有的自变量的值与函数值的对应关系； (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”． 🎯教材例题 某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x). 【解】　这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}.用解析法可将函数y=f(x)表示为 y=5x，x∈{1，2，3，4，5}. 用列表法可将函数y=f(x)表示为 笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25 用图象法可将函数y=f(x)表示为如图所示. 🎯例1某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分，试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系． 【解】　(1)该函数关系用列表法表示为： x/道 0 1 2 3 4 5 y/分 50 40 30 20 10 0 (2)该函数关系用图象法表示，如图所示． (3)该函数关系用解析法表示为y＝50－10x(x∈{0，1，2，3，4，5}). 1、函数三种表示法的优缺点比较： 反思 归纳 2、列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，且三种表示法互相兼容或补充，但是无论是用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念. 反思 归纳 🎯跟踪练习1 中秋节到了，小明想买几块月饼，已知每块月饼的单价是6元，买x(x∈{1，2，3，4，5，6})块月饼需要y元，你能用函数的三种表示法表示函数y=f(x)吗？ 解　函数的定义域是数集{1，2，3，4，5，6}，用解析法可将函数表示为 f(x)=6x，x∈{1，2，3，4，5，6}. 列表法可将函数表示为 月饼数x 1 2 3 4 5 6 钱数y 6 12 18 24 30 36 图象法可将函数表示为 知识点2 求函数的解析式 🎯例2 求下列函数的解析式： (1)若f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式； (2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)的解析式． 【解】　(1)方法一(换元法)： 设t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1). 所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1， 所以f(x)＝x2－1(x≥1). 方法二(配凑法)： 因为x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1， 所以f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)， 所以f(x)＝x2－1(x≥1). (2)(待定系数法) 因为f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 所以有3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17，即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， 因此应有解得 故f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7. (3)(解方程组法) 因为f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，所以将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，联立以上两式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，所以所求函数解析式为f(x)＝x2－2x. 求函数解析式的四种常用方法 (1)换元法：设t=g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可.注意换元时t的取值范围. (2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可. (3)待定系数法：若已知函数f(x)的类型，求解析式时，用待定系数法.先设出它的一般形式，根据条件确定相关的系数即可. (4)方程组法(或消元法)：当题目中出现f(x)和f(-x)，f(x)与f 的关系式时，经常通过构造方程组来求解. 注意：写解析式时，应注明定义域. 反思 归纳 🎯跟踪练习2 （1）已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，则f(x)的解析式为________________． 【解】　因为f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4， 令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)， 所以f(x)＝x2－4(x≥2). 答案：f(x)＝x2－4(x≥2) （2）已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求f(x)的解析式． 【解】　设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由题意得解得 故f(x)＝x2＋1. （3）已知f(x)+2f(-x)=9x+2，求f(x)的解析式. 【解】∵f(x)+2f(-x)=9x+2， ① ∴f(-x)+2f(x)=9(-x)+2， ② ②×2-①得3f(x)=-27x+2， 即f(x)=-9x+. 知识点3 分段函数 ❓ 问题　函数y=是两个函数吗？ 💬 提示　是一个函数，只不过x的取值范围不同，解析式不同. 💡知识梳理 分段函数定义：函数y=f(x)在定义域上不同范围内的自变量有不同的对应关系，则函数y=f(x)称为分段函数. ⚠️ 注意点： (1)分段函数是一个函数而不是几个函数． (2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围． (3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 🎯教材例题 给定函数f(x)=x+1，g(x)=(x+1)2，x∈R， (1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象； (2)∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x)=max{f(x)，g(x)}. 例如，当x=2时，M(2)=max{f(2)，g(2)}=max{3，9}=9. 请分别用图象法和解析法表示函数M(x). 【解】(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象(如图). (2)由图中函数取值的情况，结合函数M(x)的定义，可得函数M(x)的图象(如图). 由(x+1)2=x+1，得x(x+1)=0. 解得x=-1，或x=0. 结合图象，得出函数M(x)的解析式为M(x)= 🎯例3 已知函数f(x)＝ (1)求f(2)，f； (2)若f(a)＝，求a. 【解】　(1)因为2＞1，所以f(2)＝1＋＝. 因为－2＜－1，所以f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，所以f＝f(－1)＝(－1)2＋1＝2. (2)当a＞1时，f(a)＝1＋＝，所以a＝2＞1； 当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝，所以a＝±∈[－1，1]； 当a＜－1时，f(a)＝2a＋3＝，所以a＝－＞－1(舍去). 综上，a＝2或a＝±. 1、分段函数的图象需要分段画.作分段函数的图象时，我们要先忽略各段上定义域的限制，分别作出各段解析式对应的图象，然后根据各段的定义域，从相应的图象上截取需要保留的一段图象即可.作图时要特别注意衔接点处点的虚实情况，保证不重不漏. 2、分段函数求函数值的步骤 ①确定要求值的自变量属于哪一段区间． ②代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． 3、已知函数值求字母取值(范围)的步骤 ①先将字母分情况代入解析式，列出方程(不等式). ②解方程(不等式)求字母的值(范围)，并检验是否符合字母的取值范围． ③符合题意的所有值(范围的并集)即为所求． 反思 归纳 🎯跟踪练习3 (多选)下列给出的函数是分段函数的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 【解】B中的函数f(x)＝中，当x＝4时，有两个函数值与之对应，不满足函数的定义，不是分段函数；C中的函数f(x)＝中，当x＝1时，有两个函数值与之对应，不满足函数的定义，不是分段函数；只有A，D中的函数满足分段函数的定义，是分段函数．故选AD. 2．已知f(x)＝若f(x)>2，求x的取值范围． 【解】当x≥－2时，f(x)＝x＋2， 由f(x)>2，得x＋2>2，解得x>0，故x>0； 当x<－2时，f(x)＝－x－2， 由f(x)>2，得－x－2>2， 解得x<－4，故x<－4. 综上所述，x的取值范围为(－∞，－4)∪(0，＋∞). 自学小节 函数的表示法 1.知识清单： (1)函数的三种表示法. (2)函数的解析式常见求法. (3)分段函数求值(范围)问题. (4)分段函数的应用. 2.方法归纳：待定系数法、换元法、配凑法、消元法、方程组法、分类讨论、数形结合法. 3.常见误区： (1)求函数解析式时容易忽视定义域. (2)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实. (3)求分段函数的函数值时要依据自变量的取值范围确定对应的解析式. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．已知函数f(x)的图象如图所示，其中点A，B的坐标分别为(0，3)，(3，0)，则f(f(0))＝(　　) A．2　　　　　　　　　　　 B．4 C．0 D．3 【解】结合题图可得f(0)＝3，则f(f(0))＝f(3)＝0. 选C. 2．购买某种饮料x听，所需钱数为y元，若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数为(　　) A．y＝2x B．y＝2x(x∈R) C．y＝2x(x∈{1，2，3，…}) D．y＝2x(x∈{1，2，3，4}) 【解】题中已给出自变量的取值范围，x∈{1，2，3，4}，故选D. 3．已知函数f(x)＝x－，且此函数的图象过点(5，4)，则实数m的值为________． 【解】因为函数f(x)＝x－的图象过点(5，4)，所以4＝5－，解得m＝5. 答案：5 4．已知函数p＝f(m)的图象如图所示．求： (1)函数p＝f(m)的定义域； (2)函数p＝f(m)的值域． 【解】(1)观察函数p＝f(m)的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m≤0或1≤m≤4，故定义域为[－3，0]∪[1，4]. (2)由题图知值域为[－2，2]. 5．若函数f(x)＝则f的值为(　　) A．　　　　　　　　　　 B．－ C． D．18 【解】f(2)＝22＋2－2＝4，f＝f＝1－＝.故选A. 6．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于(　　) A.－3 B．－1 C．1 D．3 【解】因为f(a)＋f(1)＝0，所以f(a)＝－f(1)＝－2.当a＞0时，2a＝－2，解得a＝－1，舍去；当a≤0时，a＋1＝－2，解得a＝－3. 故选A. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $