第三周 第5天 二次函数与一元二次方程、不等式 暑假自学讲义 - 2026年新高一数学人教A版必修第一册

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第三周 第5天 二次函数与一元二次方程、不等式 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.从函数观点看一元二次方程.了解二次函数的零点与方程根的关系.(重点) 2.从函数观点看一元二次不等式.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.(重难点) 3.借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.(重点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 一元二次不等式的概念 ❓ 问题1　园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长要满足什么条件？ 💬 提示　设这个矩形的一条边长为x m，则另一条边长为(12-x)m. 由题意，得(12-x)x>20，其中x∈{x|0<x<12}. 整理得x2-12x+20<0，x∈{x|0<x<12}. 💡知识梳理 定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 🎯例1 下面哪些不等式是一元二次不等式(其中a，b，c为常数)? (1)x2＞0； (2)－x－x2≤5； (3)x3＋5x－6＞0； (4)x2－5y＜0； (5)ax2＋bx＋c＞0. 【解】(1)(2)是一元二次不等式． (3)不是，因为x的最高次数为3. (4)不是，因为它有x，y两个未知数． (5)不确定，因为当a＝0时，不是一元二次不等式． 一元二次不等式是只含一个未知数 且未知数的最高次数是2的不等式，但需要注意二次项的系数不为0.如果不等式含多个字母，且已经指定了未知数，可将其余字母看成相应的系数，若该未知数的最高次数是2，且二次项的系数不为0，这样的不等式也是一元二次不等式. 反思 归纳 🎯跟踪练习 若ab≠0，把a2b+2ab2+9>0看成关于a的一元二次不等式，则a的二次项系数为　　　　. 【解】由ab≠0知，b≠0且a≠0，a2b+2ab2+9>0可化为ba2+2b2a+9>0，故a的二次项系数为b. 知识点2 不含参一元二次不等式的解法 💡知识梳理 1.一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点. 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} {x|x≠－} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ ⚠️ 要点点拨： 三个“二次”关系的实质： (1)ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的解⇔y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标； (2)ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集⇔y＝ax2＋bx＋c的图象上的点(x，y)在x轴上方时，对应x的取值集合； (3)ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集⇔y＝ax2＋bx＋c的图象上的点(x，y)在x轴下方时，对应x的取值集合． 🎯教材例题 解下列不等式： (1)x2-5x+6>0； (2)9x2-6x+1>0； (3)-x2+2x-3>0. 【解】　(1)对于方程x2-5x+6=0，因为Δ>0，所以它有两个实数根.解得x1=2，x2=3. 画出二次函数y=x2-5x+6的图象(如图)，结合图象得不等式x2-5x+6>0的解集为{x|x<2，或x>3}. (2)对于方程9x2-6x+1=0，因为Δ=0，所以它有两个相等的实数根，解得x1=x2=. 画出二次函数y=9x2-6x+1的图象(如图)，结合图象得不等式9x2-6x+1>0的解集为. (3)不等式可化为x2-2x+3<0. 因为Δ=-8<0，所以方程x2-2x+3=0无实数根. 画出二次函数y=x2-2x+3的图象(如图). 结合图象得不等式x2-2x+3<0的解集为∅. 因此，原不等式的解集为∅. 🎯例2 解下列不等式． (1)2x2＋7x＋3＞0； (2)－4x2＋18x－≥0； (3)－2x2＋3x－2<0. 【解】　(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不相等的实数根x1＝－3，x2＝－. 又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为. (2)原不等式可化为≤0，所以原不等式的解集为. (3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0， 所以方程2x2－3x＋2＝0无实数根．又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上， 所以原不等式的解集为R. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.结合图象写出不等式的解集. 反思 归纳 🎯跟踪练习1 不等式－2x2＋x＋3<0的解集是(　　) A．{x|x<－1}　　　　　　 B． C． D． 【解】不等式－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0.因为Δ＝(－1)2－4×2×(－3)＝25＞0，所以方程2x2－x－3＝0的两根为x1＝－1，x2＝.又二次函数y＝2x2－x－3的图象开口向上，所以不等式－2x2＋x＋3<0的解集是.故选D. 🎯跟踪练习2 解不等式－2<x2－3x≤10. 【解】原不等式等价于不等式组 不等式①可化为x2－3x＋2>0，解得x>2或x<1. 不等式②可化为x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5. 故原不等式的解集为{x|－2≤x<1或2<x≤5}． 知识点3 含参的一元二次不等式的解法 🎯例3 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.(a＜1) 【解】　①当a＝0时，原不等式即为－x＋1＜0，解得x＞1. ②当a＜0时，原不等式化为(x－1)＞0，解得x＜或x＞1. ③当0＜a＜1时，即＞1时，解得1＜x＜.综上可知，当a＜0时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞1}； 当0＜a＜1时，不等式的解集为. 解含参数的一元二次不等式的步骤： 反思 归纳 🎯跟踪练习3 求[x+(a-1)][x-(a+3)]>0(a∈R)的解集. 【解】　易知方程[x+(a-1)][x-(a+3)]=0的两根为x1=1-a，x2=a+3， (1)当1-a>a+3，即a<-1时， 不等式的解集为{x|x>1-a或x<a+3}. (2)当1-a=a+3，即a=-1时， 不等式的解集为{x|x≠2}. (3)当1-a<a+3，即a>-1时， 不等式的解集为{x|x>a+3或x<1-a}. 知识点4 三个“二次”之间的关系 🎯例4 若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集． 【解】　由题意知 所以 代入不等式cx2－bx＋a>0中得ax2＋ax＋a>0(a<0). 即x2＋x＋1<0，化简得x2＋5x＋6<0， 解得－3<x<－2. 所以所求不等式的解集为{x|－3<x<－2}． 三个“二次”之间的关系： (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是为了将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 反思 归纳 🎯一题多变 (变条件)若将本例中“”改为“{x|<x<}”，其他条件不变，如何求解？ 【解】由题意知即 代入不等式cx2－bx＋a>0，得ax2＋ax＋a>0(a>0)， 即x2＋x＋1>0， 化简得x2＋5x＋6>0， 解得x>－2或x<－3. 所以所求不等式的解集为{x|x>－2或x<－3}． 🎯跟踪练习4 关于x的不等式ax－b＞0的解集是{x|x＞1}，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是　(　　) A.{x|－1＜x＜3}　　　　　 B．{x|1＜x＜3} C．{x|x＜1或x＞3} D．{x|x＜－1或x＞3} 【解】因为不等式ax－b＞0的解集是{x|x＞1}， 所以a＞0，＝1， 所以(ax＋b)(x－3)＞0等价于a(x＋1)(x－3)＞0，其解集应为{x|x＜－1或x＞3}，故选D. 自学小结 二次函数与一元二次方程、不等式 1.知识清单： (1)一元二次不等式的概念及解法. (2)含参的一元二次不等式的解法. (3)三个“二次”的关系 2.方法归纳：数形结合法、分类讨论法. 3.常见误区：解含参数的一元二次不等式时找不到分类讨论的标准. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．不等式3x2－7x＋2<0的解集为(　　) A．　　　　　 B． C． D．{x|x>2} 【解】因为3x2－7x＋2＝(x－2)(3x－1)<0，所以<x<2. 2．不等式(3x－2)(2－x)≥0的解集是(　　) A． B． C． D． 【解】原不等式等价于(x－2)≤0，解得≤x≤2，故选A. 3．若不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|1<x<2}，则a＋b的值为(　　) A．3 B．1 C．－3 D．－1 【解】因为不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|1<x＜2}，所以1和2为方程(x－a)(x－b)＝0的两个根，则有或所以a＋b＝1＋2＝3，即a＋b的值为3. 4．解下列不等式： (1)x(7－x)≥12； (2)x2＞2(x－1). 【解】(1)原不等式可化为x2－7x＋12≤0， 因为方程x2－7x－12＝0的两根为x1＝3，x2＝4， 所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}． (2)原不等式可以化为x2－2x＋2＞0， 因为判别式Δ＝4－8＝－4＜0， 所以方程x2－2x＋2＝0无实根， 而抛物线y＝x2－2x＋2的图象开口向上， 所以原不等式的解集为R. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第三周 第5天 二次函数与一元二次方程、不等式 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.从函数观点看一元二次方程.了解二次函数的零点与方程根的关系.(重点) 2.从函数观点看一元二次不等式.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.(重难点) 3.借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.(重点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 一元二次不等式的概念 ❓ 问题1　园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长要满足什么条件？ 💡知识梳理 定义 一般地，我们把只含有一个_________，并且未知数的最高次数是____的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 🎯例1 下面哪些不等式是一元二次不等式(其中a，b，c为常数)? (1)x2＞0； (2)－x－x2≤5； (3)x3＋5x－6＞0； (4)x2－5y＜0； (5)ax2＋bx＋c＞0. 一元二次不等式是只含一个未知数 且未知数的最高次数是2的不等式，但需要注意二次项的系数不为0.如果不等式含多个字母，且已经指定了未知数，可将其余字母看成相应的系数，若该未知数的最高次数是2，且二次项的系数不为0，这样的不等式也是一元二次不等式. 反思 归纳 🎯跟踪练习 若ab≠0，把a2b+2ab2+9>0看成关于a的一元二次不等式，则a的二次项系数为　　　　. 知识点2 不含参一元二次不等式的解法 💡知识梳理 1.一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使________的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的____. 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ________ ____________ ____ ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 ____________ ∅ ________ ⚠️ 要点点拨： 三个“二次”关系的实质： (1)ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的解⇔y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标； (2)ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集⇔y＝ax2＋bx＋c的图象上的点(x，y)在x轴上方时，对应x的取值集合； (3)ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集⇔y＝ax2＋bx＋c的图象上的点(x，y)在x轴下方时，对应x的取值集合． 🎯教材例题 解下列不等式： (1)x2-5x+6>0； (2)9x2-6x+1>0； (3)-x2+2x-3>0. 🎯例2 解下列不等式． (1)2x2＋7x＋3＞0； (2)－4x2＋18x－≥0； (3)－2x2＋3x－2<0. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.结合图象写出不等式的解集. 反思 归纳 🎯跟踪练习1 不等式－2x2＋x＋3<0的解集是(　　) A．{x|x<－1}　　　　　　 B． C． D． 🎯跟踪练习2 解不等式－2<x2－3x≤10. 知识点3 含参的一元二次不等式的解法 🎯例3 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.(a＜1) 解含参数的一元二次不等式的步骤： 反思 归纳 🎯跟踪练习3 求[x+(a-1)][x-(a+3)]>0(a∈R)的解集. 知识点4 三个“二次”之间的关系 🎯例4 若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集． 三个“二次”之间的关系： (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是为了将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 反思 归纳 🎯一题多变 (变条件)若将本例中“”改为“{x|<x<}”，其他条件不变，如何求解？ 🎯跟踪练习4 关于x的不等式ax－b＞0的解集是{x|x＞1}，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是　(　　) A.{x|－1＜x＜3}　　　　　 B．{x|1＜x＜3} C．{x|x＜1或x＞3} D．{x|x＜－1或x＞3} 自学小结 二次函数与一元二次方程、不等式 1.知识清单： (1)一元二次不等式的概念及解法. (2)含参的一元二次不等式的解法. (3)三个“二次”的关系 2.方法归纳：数形结合法、分类讨论法. 3.常见误区：解含参数的一元二次不等式时找不到分类讨论的标准. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．不等式3x2－7x＋2<0的解集为(　　) A．　　　　　 B． C． D．{x|x>2} 2．不等式(3x－2)(2－x)≥0的解集是(　　) A． B． C． D． 3．若不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|1<x<2}，则a＋b的值为(　　) A．3 B．1 C．－3 D．－1 4．解下列不等式： (1)x(7－x)≥12； (2)x2＞2(x－1). 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $