26.1 二次函数的概念2026-2027学年九年级数学上册人教版

该初中数学课件聚焦二次函数概念，通过拱桥、篮球入框等现实曲线情境导入，结合正方体表面积、比赛场次等实例，衔接函数定义、一次函数及一元二次方程旧知，搭建完整学习支架。 其亮点是以实际问题驱动，通过定义辨析、例题解析和分层练习，培养抽象能力、推理意识与模型观念。如动点问题构建函数模型，当堂小练与拓展延伸结合，助力学生提升数学思维，教师可高效开展概念教学与应用训练。

第二十六章 二次函数 26.1 二次函数的概念 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 二次函数的概念 6. 课堂小结 7. 当堂小练 CONTENTS 8. 拓展与延伸 3. 新课导入 2. 知识回顾 5. 知识点2 在实际问题中建立二次函数模型 1. 会通过分析实际问题的情境确定二次函数的解析式，体会二次函数的意义，提高抽象能力. 2. 了解二次函数的概念，能准确判断一个函数关系是不是二次函数关系，并能说出二次函数各项的系数. 学习目标 知识回顾 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 函数的定义 一般地，形如(k，b是常数，)的函数，叫做一次函数.当时，一次函数即，叫做正比例函数． 一次函数与正比例函数 ax2+bx+c=0 (a≠0). 一元二次方程的一般形式 新课导入 篮球入框 你观察过公园的拱桥吗？ 公园里的喷泉 雨后的彩虹 这些都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？ 新课导入 正方体的六个面是全等的正方形(如图)，设正方体的棱长为x，表面积为y．显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为 ． 这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数． y＝6x2 新课讲解 知识点1 二次函数的概念 问题1 n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？ 对于n的每一个值，m 都有一个对应值，即 m 是 n 的函数． 分析：每个队要与其他 个球队各比赛一场，而甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛. 所以比赛的场次数为 即 （n-1） m是n的函数吗？ 新课讲解 问题2 某种产品现在的年产量是 20 t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定，y 与 x 之间的关系应怎样表示？ 分析：这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是 t，再经过一年后的产量是 t，即两年后的产量y=________． 20(1+x) 20(1+x)2 20(1+x)·(1+x) 解： y=20x2+40x+20 此式中对于 x 的每一个值，y 都有一个对应值，即 y 是 x 的函数． 新课讲解 思考 上面三个问题中的三个函数有什么共同点? 1. 含有自变量的代数式是整式； 2. 化简后自变量的最高次数是2； 3. 二次项系数不为0. y=6x2 y=20x2+40x+20 m=n²−n 新课讲解 一般地，形如 (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数． 其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项． 二次函数的定义 1. 含有自变量的代数式必须是整式； 2. 化简后自变量的最高次数是2； 3. 二次项系数不为0. 这三点同时满足时，函数才是二次函数. 确定二次函数的“三要素”： 二次项 一次项 常数项 1. 等号左边是变量，右边是关于自变量的整式； 2. 为常数，且； 3. 等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项()和常数项()，但不能没有二次项. 注意 新课讲解 例                                                                                     1. 下列函数中是二次函数的有 。 √ a=0 × 最高次数是4 × × √ =x2 √ ①⑤⑥ 运用定义法判断一个函数是否为二次函数的步骤： 1. 将函数解析式化为的形式； 2. 判断右边含自变量的代数式是否是整式； 3. 判断自变量的最高次数是否是2； 4. 判断二次项系数是否不等于0。 新课讲解 例 2. 已知是关于的二次函数，求出它的解析式. 解：根据二次函数的定义可得 解得或. 当时，； 当时，. 综上所述，该二次函数的解析式为：或. 新课讲解 例 3. 已知函数 (1) 当时，函数的值为多少? (2) 当为多少时，函数值为0? 解：(1) 当时，. (2) 当时，， 解得，. 新课讲解 二次函数的一般形式： y＝ax2＋bx＋c. (其中a，b，c是常数，) 二次函数的特殊形式： 当a≠0，b＝0时， y＝ax2＋c ； 当a≠0，c＝0时， y＝ax2＋bx ； 当a≠0，b＝0，c＝0时， y＝ax2. 新课讲解 练一练 1. 下列函数中，一定是二次函数的有（ ） ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ . A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ① ，是二次函数； ② ，由于  不是整式，所以不是二次函数； ③ ，不是二次函数； ④ ， 的最高次数是 3，不是二次函数； ⑤ y=ax2+bx+c，当 a=0 时，y=bx+c不是二次函数. A 新课讲解 练一练 2. 若函数是二次函数，则 ___. 3 B A. 1,9 B. ,9 C. 1， D. ， 3. 把函数 化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是 ( ) 新课讲解 知识点2 在实际问题中建立二次函数模型 4. (1) 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于半径 r 的函数解析式. (2) 一种产品某年的销售量为 8 万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是 .写出两年后该产品的年销售量 y（单位：万件）关于 x 的函数解析式. 例 解：(1) 圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，所以 ，即 (2) 一年后该产品的年销售量为 8(1-x) 万件，两年后该产品的年销售量为8(1-x)(1-x)万件，所以y=8(1-x)2.即 y=8x2-16x+8. 新课讲解 例 5. 如图 ，在 △ ABC 中，∠ B=90°， AB=6 mm， BC=12 mm， 动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点B 以 1 mm/s 的速度移动(不与点 B 重合)，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2 mm/s 的速度移动(不与点 C 重合)，点 P， Q 同时出发，设运动时间为 t s(t>0)， 四边形 APQC 的面积为 y mm2. (1) 求 y 关于 t 的函数解析式 . (2) 求自变量 t 的取值范围 . (3) 四边形 APQC 的面积能等于 43 mm2 吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由 . 解：(1) 由题意得 PB=(6－t)mm，BQ=2t mm， 所以， 即. (2) 因为 0<6－t<6， 0<2t<12，所以 0<t<6. (3) 不能 . 理由如下： 当 y=43 时， t 2－6t+36=43， 解得t1=7， t2=－1. 因为 0<t<6， 所以 t1=7， t2=－1 均不在取值范围内 . 故四边形 APQC 的面积不能等于 43 mm2. 新课讲解 建立二次函数模型的一般步骤 一审 审题，弄清题意，找出已知量和未知量，分析它们之间的关系 二找 找到两个未知量之间的关系，用等式表示出来 三列 结合已给或设出的未知量的字母，根据等量关系列出函数解析式，注意自变量的取值范围 新课讲解 练一练 解：(1)当t=2时，y=20×2-5×22=40-20=20， 故抛出小球2 s后，小球的飞行高度是20 m. 即当t=2时，计算此时对应的y值 1. 从地面向上抛一个小球，小球的飞行高度y(m)与飞行时间t(s)之间的关系式为y=20t－5t2. (1)抛出小球2 s后，小球的飞行高度是多少？ (2)小球飞行多长时间后，飞行高度是15 m？ 即当y=15时，计算此时对应的t值 (2)当y=15时，20t－5t2=15，即 t2－4t+3=0， 解得 t1=1，t2=3. 故小球飞行1 s和3 s时，飞行高度是15 m. 新课讲解 练一练 2. 某小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15m 长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库ABCD，仓库总面积为ym2. 为方便取物，在各个仓库之间留出了1 m 宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个 1 m 宽的缺口作小门，若设AB=x m， 则 y 关于 x 的函数解析式，并写出x的取值范围. 解：因为铁栅栏的全长为15 m，AB=x m， 所以平行于墙的一边BC 的长为 m. 由题意得 ， 解得 . 根据题意，得 (. 3. 如图，用长为 的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度是 )，围成中间有一道篱笆的矩形花圃，设该花圃的一边长是，面积是 . (1) 求与的函数关系式及 的取值范围. (2) 如果要围成面积为的矩形花圃， 那么 的长应为多少米？ 新课讲解 练一练 解：(1) . (2) 当时，，解得， . ， . 答：的长应为 . 课堂小结 定义 应用 二次函数的概念 系数 一般地，形如y=ax2+bx+c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数 其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项 根据实际问题的数量关系，构建二次函数模型 当堂小练 写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 y=8x2−16x+8 y=x2 y=−x2+5x y=2(x−1)2−5=2x2−4x−3 8 1 2 -16 0 5 -4 8 0 0 -3 解： 当堂小练 2. 下列关于x的函数中，一定是二次函数的为( ) A. y=ax2+bx+c B. y2=x2-4x+1 C. y=x2 D. y=2+ C A. B. C. D. 3. 已知二次函数 的二次项系数与一次项系数的和为 ，差为2，则常数项为 ( ) A 当堂小练 4. 2025年广州“十五运”期间，吉祥物“喜洋洋”与“乐融融”受到人们的广泛喜爱.某网店以30元/个的价格购进了一批吉祥物.经市场调查发现，吉祥物每天的销售量（个）与售价 （元/个）之间的函数关系式为.设吉祥物每天的销售利润为 元. (1) 写出与 之间的函数解析式； (2) 指出(1)中函数的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：(1) . (2) 二次项系数是，一次项系数是140，常数项是 . 当堂小练 11 5. 如图，它是一个运算程序示意图，若第一次输入1，则输出的结 果是____. 当堂小练 6. “科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度与飞行时间 满足的关系为．若“水火箭”的升空高度为 ，则此时的飞行时间为 ( ) C 解：，且 ， ，整理，得 ， 解得， ， ． A. B. C. D. 或 当堂小练 7. 如图，在矩形ABCD 中，AB=10 cm，BC= 20 cm，P，Q 两点同时从点A 出发，分别以1 cm/s 和2 cm/s 的速度沿A → B → C → D → A 运动，设点P，Q 的运动时间为t s. 当点P，Q 分别在AB 边和BC 边上运动时（点P，Q 均不与点B 重合)，设以P，B，Q 为顶点的三角形的面积为 S cm2，请写出S 关于t 的函数解析式及自变量t 的取值范围. 解：由题意，得BP=(10-t) cm，BQ=(2t-10) cm. 所以S= (2t-10)(10-t)=-t2+15t-50. 故S关于t的函数解析式是S=-t2+15t-50. 因为点P，Q分别在AB边和BC边上运动， 所以解得5<t<10.即t的取值范围为5<t<10. 当堂小练 8. 刀削面堪称天下一绝，传统的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里.如图，面刚被削离时与开水锅的高度差，与锅的水平距离，锅的半径 . 若将削出的小面条（看作点）的运动轨迹视为抛物线的一部分，要使其落入锅中（锅的厚度忽略不计），则其水平初速度 不可能为（提示：，，水平移动距离 ） ( ) A. B. C. D. D 解：由题意得， 解得， （不合题意，舍去） 要使其落入锅中， ，即， . ， 选项D不可能. 拓展与延伸 1. 如图，点，，，分别在正方形的边， ，，上，且，.设线段的长为 ，四边形的面积为，求关于 的函数解析式. 解：四边形 是正方形， ， . ， ， ， ， ， 四边形 是菱形. ， ， ， 菱形 是正方形. ，， . 在中， ， ， 即 . 拓展与延伸 2. 如图，在梯形 中，， ， 于点，，， . 从初始时刻开始，动点，分别从点， 同时出发，运动速度均为，动点沿 的方向运动，到点停止；动点沿 的方向运动，到点停止，设运动时间为，的面积为 ，（这里规定：线段是面积为 的三角形） 解答下列问题： (1) 当时，___；当时，___； (2) 当时，求与 之间的函数关系式； 2 9 解：易知四边形 是矩形， ， . 当，即 时，如图①， 此时 ； 拓展与延伸 当，即 时，如图②， 此时 ； 综上， 当，即 时，如图③， 此时 . 拓展与延伸 2. 如图，在梯形 中，， ， 于点，，， . 从初始时刻开始，动点，分别从点， 同时出发，运动速度均为，动点沿 的方向运动，到点停止；动点沿 的方向运动，到点停止，设运动时间为，的面积为 ，（这里规定：线段是面积为 的三角形） 解答下列问题： (3) 当动点在线段 上运动时，求出当时， 的值. 解：当动点在线段 上运动时， ， ，即 ， 解得 . 当时， . $