陕西省咸阳市秦都区 2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

2025—2026学年度第二学期期末 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写学校、姓名、班级、监测号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．答作图题时，先用铅笔作图，再用规定的签字笔描黑． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1．若分式有意义，则的取值范围是 A． B． C． D． 2．下列图标中，是中心对称图形的是 A． B． C． D． 3．若，则下列不等式正确的是 A． B． C． D． 4．下列式子从左到右的变形是因式分解的是 A． B． C． D． 5．如图，在中，，点是边上一点，点是的中点，连接、，若，则的度数为 A． B． C． D． 6．古代算书中记载了这样一个问题，大意是：现有商人贩布，若每匹布降价3钱，则用48钱买到布的数量，是用48钱按原价购买数量的2倍．问每匹布原价多少钱？若设每匹布原价钱，则可列方程为 A． B． C． D． 7．如图，在中，连接，点、分别是、的中点，连接，若，则的长为 A．8 B．9 C．10 D．11 8．若关于的分式方程有增根，则的值为 A．或 B．或 C．或 D．或 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9．因式分解：________． 10．若一个多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数是________． 11．如图，将等边沿着向右平移一定距离后得到，点在上．若，，则平移的距离为________． 12．如图，在中，，，点在边上，且，点是边上的动点，连接、，若的最小值是3，则的度数为_______． 13．在不等式组的解集中，整数解共有_______个． 14．如图，在中，，，，点在边上，连接、，若，则的长为________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15．（5分）先因式分解，再求值：，其中，． 16．（5分）解方程：． 17．（5分）解不等式，并将解集表示在如图所示的数轴上． 18．（5分）如图，已知，利用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得（不写作法，保留作图痕迹） 19．（5分）如图，在梯形中，，点是边上一点，连接、、，与交于点，，求证：四边形是平行四边形． 20．（5分）先化简，再从，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）画出将先向下平移5个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的，点、、的对应点分别为点、、； （2）画出将绕原点顺时针旋转后得到的，点、、的对应点分别为点、、． 22．（7分）咸阳博物院位于咸阳市中山街中段，是国家一级博物馆．某校组织一名带队老师与部分学生去咸阳博物院研学，现有甲、乙两家旅行社可供选择，两家旅行社的初始报价均为200元/人． 甲旅行社：若带队老师买全票一张，则学生可享受半价优惠； 乙旅行社：带队老师及学生全部按6折收费． 设学生人数为（人），选择甲、乙旅行社的总费用分别为（元）、（元）． （1）分别求出、与之间的函数关系式； （2）当学生人数在什么范围时，选择甲旅行社更优惠？ 23．（7分）【阅读材料】因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法． 请根据以上方法解答下列问题： （1）因式分解：； （2）因式分解：． 24．（8分）如图，在中，点在边上，于点，于点，连接，，． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 25．（8分）端午节，又称端阳节、龙舟节，主要习俗有吃粽子、赛龙舟、佩戴香囊等．某商家购进甲、乙两种款式的香囊，已知每个甲款香囊的进价是每个乙款香囊进价的倍，该商家购进甲款香囊共花费元，购进乙款香囊共花费元，且购进的乙款香囊比甲款香囊多个． （1）求每个乙款香囊的进价； （2）该商家将购进的乙款香囊以每个元的价格进行销售，当售出乙款香囊数量的时，决定降价促销，若要使乙款香囊的总销售利润不低于元，求剩余的乙款香囊每个的售价最低是多少元？（除进价外不计其他成本） 26．（12分）【问题探究】 （1）如图1，在中，，点、、分别是、、的中点，连接． ①的度数为________； ②若，，点是上的动点，连接、，求的最小值； 【问题解决】 （2）如图2，是某工业园的平面图，、是原有的两条小路（点、分别在、上），现要在小路上设立一个自助售货机，再从分别向点和上的点铺设两条石板小路和．已知点到点的距离等于，点是的中点，，，，当与两条石板小路长度之和最小时，求点到点的距离．（小路的宽度与售货机的大小均忽略不计） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末 八年级数学试题参考答案及评分标准 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1．C 2．B 3．C 4．D 5．B 6．C 7．A 8．D 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9． 10．5（或五） 11．6 12．20 13．4 14．2 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15．解：原式 （3分） ． （5分） 16．解：去分母，得， （1分） 去括号，得， （2分） 移项、合并同类项，得， （3分） 系数化为1，得， （4分） 检验：当时，， ∴原方程的解为． （5分） 17．解：去分母，得， （1分） 移项、合并同类项，得， （3分） 系数化为1，得， ∴不等式的解集为． （4分） 将解集在数轴上表示如图所示： （5分） 18．解：如图所示，点即为所求．（作法不唯一） （5分） 19．证明：， ． （1分） 在和中，，，， ， （3分） ， （4分） 四边形是平行四边形． （5分） （方法不唯一） 20．解：原式 （2分） ， （4分） 当时，原式． （5分） 注：，取代入计算正确可参照给分． 21．解：（1）如图所示． （3分） （2）如图所示． （6分） 22．解：（1）由题意可得， （2分） ． （4分） （2）由题意可得， （6分） 解得， 当学生人数大于4人时，选择甲旅行社购票更优惠． （7分） 23．解：（1）令， 原式 （2分） （3分） ． （4分） （2）令， 原式 （5分） （6分） ． （7分） 24．（1）证明：， ． （1分） ，， 和是直角三角形． （2分） 在和中，，， ， （3分） ， （4分） 平分． （5分） （方法不唯一） （2）解：平分，， ． （6分） ， ， （7分） ． （8分） （方法不唯一） 25．解：（1）设每个乙款香囊的进价为元，则每个甲款香囊的进价为元， 根据题意，得， （2分） 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意． 答：每个乙款香囊的进价是5元． （4分） （2）由（1）可得该商家购进乙款香囊（个）， （5分） 设剩余的乙款香囊每个售价为元， 根据题意得， （7分） 解得， 剩余的乙款香囊每个的售价最低是8元． （8分） 26．解：（1）①90． （1分） ②连接、，如图1． 由①易得． 点是的中点， 垂直平分， ， ， （3分） 当、、三点共线时，最小，即最小，最小值为的长．（4分） ，点是的中点， ． （5分） ， ， 的最小值为5． （6分） （2）连接、，过点作于点，交于点，如图2． 四边形是平行四边形，，， ，． （7分） ， ， ，则． （8分） 点到点的距离等于， 点在的垂直平分线上． 点是的中点， 点在的垂直平分线上， 垂直平分， （9分） ， ， 当、、三点共线，且时，最小，此时点与点重合，点与点重合，最小值为的长，即与两条小路长度之和最小时，． （11分） ，，， ， 与两条小路长度之和最小时，点到点的距离为． （12分） 学科网（北京）股份有限公司 $