1.1 集合的概念（9个题型归纳）（原卷版）人教A版2026年新高一数学暑假预习讲义

2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【1.1 集合的概念】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．元素与集合的概念 （1）元素：一般地，把___研究对象______统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． （2）集合：把一些元素组成的_总体____叫做集合（简称为_集_）．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． （3）集合相等：只要构成两个集合的__元素____是一样的，就称这两个集合是相等的． （4）元素的特性：___确定性____、____无序性___、___互异性____． （5）．确定性——对于一个给定的集合，它的元素必须是_确定的__.也就是说，如果给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了. （6）.无序性——对于一个给定的集合，它的元素并无_先后顺序__，即任何两个元素都是可以交换顺序的. （7）．互异性——对于一个给定的集合，它的元素一定是_互不相同__的.也就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算为_一个__元素. 2．集合的表示 （1）列举法：把集合的元素一个一个列举出来，放在____中. （2）描述法 把集合所有元素的性质表示出来，写成，其中称为代表元，表示___元素的属性___________. 3．元素与集合 （1）集合中元素的特性：__确定性_____、___互异性____、__无序性_____. （2）元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a___属于____集合A，记作_______；如果a不是集合A中的元素，就说a__不属于_____集合A，记作_______. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. （4）常用数集及其记法： 数集 非负整数集（或自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数 集 复数 集 符号 ______N_______ N*或（N＋） Z Q R C 注：图表中所列举的字母符号均是集合的形式，不要加{}，这是因为{R}不是实数集，它表示一个集合，该集合中只有一个元素R. 4．无限集：元素_无限多_______的集合叫无限集（或无穷集）. 5．有限集：元素个数__有限______的集合叫有限集（或有穷集）. 6．列举法：把集合中的元素__一一列举______出来，这种表示法叫作列举法．常用的格式是在一个大括号里写出每个元素的名字，相邻的名字用逗号分隔． 7．描述法一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质称为集合A的一个_特征性质_______.此时，集合A可以用它的特征性质表示为.这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为__描述法_______. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：判断元素能否构成集合】 【练方法】 公式结论 集合三要素确定性互异性无序性 一组对象能构成集合必须同时满足三条性质 方法技巧 1判定核心能否清晰客观判断任意对象是否属于该群体 2出现模糊形容词如好看高大优秀直接判定不能构成集合 3逐条核对三要素缺任意一条都无法组成集合 易错提醒 1混淆确定性标准主观模糊描述误判为可构成集合 2忽略互异性认为群体有重复元素也能构成集合 3无序性不影响集合成立不要因元素无顺序否定集合 （24-25高一上·全国·阶段检测）下列各对象可以组成集合的是（ ）经典例题1例题 A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 【答案】D 【详解】对于A，“非常接近”不具有确定性，根据元素的确定性可知A错误. 对于B，“著名”不具有确定性，根据元素的确定性可知B错误. 对于C，“视力比较好”不具有确定性，根据元素的确定性可知C错误. 对于D，根据元素的确定性可知D正确， （2026高一·全国·专题练习）（多选）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ）经典例题2例题 A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 【答案】ACD 【分析】根据集合中元素的确定性逐项判断即可得解. 【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性； 而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合． 下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（    ）小试牛刀1 （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数. A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】集合元素必须具备确定性.（1）（2）（5）描述模糊、无统一标准，无法构成集合； （3）（4）（6）对象确定，可构成集合，共3组不能构成集合. 下列各项对象中，能够构成一个确定集合的是（    ）小试牛刀2 A．班级里身材高挑的学生 B．数值很大的正数 C．的近似小数 D．平方等于的实数 【答案】D 【分析】直接由集合的定义判断可得. 【详解】因为构成集合的核心前提是元素具有确定性. 对A、B、C选项描述模糊，无统一判定标准，因而不能确定哪些对象是集合的元素， 即元素不确定，故A、B、C错误； 对D选项，平方等于的实数只有元素确定，可构成集合，因此D正确. 给出下列说法：①所有无限接近的数构成集合；②年高考数学新高考卷填空题构成集合；③高端数码产品构成集合；④所有不大于的非负整数构成集合；⑤组成的集合含个元素.其中正确的是（    ）小试牛刀3 A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【答案】D 【详解】因为构成集合的核心前提是集合的元素的确定性及互异性. 对①“无限接近的数”无标准，即集合的元素不确定，因此不能成集合,所以①错误； 对②试卷填空题数量、内容确定，即集合的元素的确定且互异，故可成集合,所以②正确； 对③“高端数码产品”定义模糊，即集合的元素不确定，因此不能成集合,所以③错误； 对④不大于的非负整数为确定且互异，因此可成集合,所以④正确； 对⑤因为 元素重复，集合仅有个元素，故⑤错误. 综上所述，②④正确. 【题型2：元素与集合的关系】 【练方法】 公式结论 1代表元素属于集合 2代表元素不属于集合 方法技巧 1对照集合约束条件检验元素是否符合要求 2常用数集对应记忆自然数集正整数集整数集有理数集实数集 3点集代入横纵坐标同时验证等式约束 易错提醒 1符号混用是元素对集合是集合对集合二者不可替换 2数集范围记混误把0归入 3点集判断只代入横坐标忽略纵坐标约束 （24-25高一上·广西河池·期中）已知集合，下列各式正确的是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求解不等式的解集，再判断即可. 【详解】由题意得，，故A选项正确，BCD错误. （25-26高三下·河南周口·阶段检测）设集合，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到集合表示小于的无理数，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由集合，可得集合表示小于的无理数， 对于A，由，所以，所以A错误； 对于B，由且，所以，所以B正确； 对于C，由且，所以，所以C不正确； 对于D，由，所以，所以D不正确. （25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若集合，则下列关系正确的是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程求得集合，由此确定正确答案. 【详解】由得，解得或， 故，故，，. 故选：C （25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知集合，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式得到，得到答案. 【详解】， 故，其中. 故选：C （25-26高一上·天津和平·阶段检测）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ）小试牛刀3 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系逐一判断即可. 【详解】因为是实数，所以，①正确； 因为是整数，所以，②正确； 因为是正整数，所以，③错误； 因为是无理数，所以，所以④错误. 故选：B 【题型3：由元素的互异性求参数】 【练方法】 公式结论 集合内任意两个元素数值互不相等 方法技巧 1联立方程解出参数所有可能取值 2将解回代原集合检验所有元素两两不重复 3舍去使元素重复的参数解 易错提醒 1求出参数不回代检验互异性保留造成元素重复的解 2分类讨论不完整漏掉部分参数取值情况 3只满足等式相等忽略元素不能相同隐藏条件 （25-26高二下·重庆·期中）已知集合，且，则（   ）经典例题1例题 A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. （25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知集合，若，则________经典例题2例题 【答案】 【分析】分、两种情况讨论，结合集合的互异性可得. 【详解】若，则，此时，集合不满足互异性； 若，则或（舍）， 当时，，符合题意， 综上， 故答案为： （25-26高一上·浙江·期中）（多选）已知集合，且，则的值可以为（    ）小试牛刀1 A．3 B． C．-3 D． 【答案】ABD 【分析】由题得到或，求出参数m，再由集合元素互异性检验即可. 【详解】集合，且， 所以或，解得或， 当时，，符合； 当时，，符合； 当时，，符合. 故的值可以为. 故选：ABD （25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知，则实数的取值集合为___________.小试牛刀2 【答案】 【分析】根据3是集合的元素进行分类讨论，注意验证集合的元素是否互异可得. 【详解】由，所以 ①当时，得，解得或， 但时，，集合里的元素出现重复，故舍去，所以. ②当时，得，解得或， 但时，，集合里的元素出现重复，故舍去，所以. 综上可知，实数的取值集合为， 故答案为： （24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）已知集合，且，则________．小试牛刀3 【答案】 【分析】由，可得或，然后分情况求出的值，再利用集合中的元素的互异性判断即可 【详解】由，可得或， 由，解得，经过验证，不满足条件，舍去. 由，解得或，经过验证：不满足条件，舍去. ∴. 故答案为：. 【题型4：集合的表示方法】 【练方法】 公式结论 1列举法有限集合逐个写出全部元素 2描述法竖线前为代表元后为取值限制 3自然语言文字清晰描述集合包含对象 方法技巧 1元素个数有限且数量少用列举法无限集合统一用描述法 2描述法先写代表元再写取值范围与等式不等式约束 3点集描述法代表元写数集代表元只写单个字母 易错提醒 1列举法写出重复元素违背互异性 2描述法缺失代表元竖线前后变量不统一 3无限集合强行全部列举无法完整表达集合 （2026高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合：经典例题1例题 (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）根据题意可知，； （2）根据题意可知，36的所有整因数组成的集合为； （3）二次函数的函数值为y， ∴二次函数的函数值y组成的集合为； （4）反比例函数的自变量为x， ∴反比例函数的自变量组成的集合为； （5）由，得，∴不等式的解集为； （6）由题意被9除余2的所有整数组成的集合可用描述法表示为. （2026高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合：经典例题2例题 (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据语言描述，用列举法表示集合； （2）解方程求出，再利用列举法表示结合； （3）根据语言描述和偶数性质，用列举法表示集合； （4）根据质数的性质，用列举法表示集合． 【详解】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， ． （2）设方程的所有实数根组成的集合为B，解方程得或， ． （3）由题意，设大于1且小于13的所有偶数组成的集合为， ． （4）由题意，设由1~15以内的所有质数组成的集合为， ． 用描述法表示下列集合：小试牛刀1 (1)比1大又比10小的所有有理数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合． 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）比1大又比10小的所有有理数组成的集合可表示为； （2）正偶数组成的集合是． （3）函数的图象上所有的点组成的集合是． （多选）下列描述法表示集合正确的是（    ）小试牛刀2 A．奇数集： B．小于8的整数： C．大于2的实数： D．不等式的解集： 【答案】ACD 【详解】对A：可表示奇数集，故A正确； 对B：可表示小于8的非负整数，不含负整数，故B错误； 对C：可表示大于2的实数，故C正确； 对D：不等式的解集为，故D正确. （25-26高一上·安徽·阶段检测）用适当的方法表示下列集合：小试牛刀3 (1)大于且小于10的偶数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)被3除余2的正整数组成的集合； (4)将抛物线沿轴向下平移一个单位长度后得到的抛物线上所有点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据集合中元素的特点及个数分别选择用列举法、描述法表示即可. 【详解】（1）列举法表示为：； （2）由可得，， 列举法表示： （3）描述法表示为： （4）描述法表示为： 【题型5：常用的数集】 【练方法】 公式结论 1自然数集含0 2正整数集不含0 3全体整数全体有理数全体实数 方法技巧 1判断数字归属对照数集范围分层筛选 2区分有理数与无理数无限不循环小数不属于 3 0只属于不属于 易错提醒 1混淆与错把0归入正整数集 2误将等无理数划入有理数集 3符号书写颠倒混淆整数集与自然数集范围 用符号或填空：经典例题1例题 （1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______. 【答案】 【分析】根据常用数集定义判断. 【详解】0是自然数， ； 是无理数，不属于有理数集， ； -5是整数， ； 是实数， ； 3.14不是正整数， . （25-26高一上·广东广州·期中）（多选）下列表示不正确的是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由元素和集合的关系依次判断各选项即可. 【详解】，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D错误. 故选：AD. （25-26高一上·浙江台州·期中）下列关系中正确的个数是（   ）小试牛刀1 ①  ②  ③  ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用常用数集的意义逐一判断即可. 【详解】依题意，，①正确；，②错误；，③错误；，④错误， 因此正确命题的个数是1. 故选：A （25-26高一上·浙江·阶段检测）下列关系中正确的是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系逐一判断即可求解. 【详解】由，故A正确，，故B错误，，故C错误，，故D错误. 故选：A. （24-25高一上·福建莆田·阶段检测）下列关系中，正确的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据自然数集、整数集、有理数集、正整数集的定义判断各选项中元素与集合的关系. 【详解】对于A，因为不是正整数，所以，故A错误； 对于B，因为是无理数，所以，故B错误； 对于C，因为0是自然数，所以，故C正确； 对于D，因为不是整数，所以，故D错误. 故选：C. 【题型6：由集合的相等求参数】 【练方法】 公式结论 两个集合相等当且仅当元素完全相同与书写顺序无关 方法技巧 1对应元素建立方程组分多类匹配情况讨论 2每组解回代原集合检验互异性 3无序匹配不局限左右元素一一对应书写顺序 易错提醒 1只满足元素数量相等不验证所有元素完全对应 2分类讨论不完整漏掉多组元素匹配方案 3求出参数后出现重复元素不主动舍去 （24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ）经典例题1例题 A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B （23-24高三上·湖南岳阳·开学考试）集合 ，则（    ）经典例题2例题 A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合相等可知方程有相等实根2，即可由根与系数关系求解. 【详解】因为集合 ， 所以方程有相等实根2， 根据根与系数的关系可知，， 所以， 故选：B （25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知，，，若，则（   ）小试牛刀1 A．5 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】分类讨论，得到方程组，结合元素互异性，得到，求出答案. 【详解】由， 若，解得，此时中元素不满足互异性，舍去； 若，解得或， 当时，中元素不满足互异性，舍去； 当时，中元素满足互异性，所以. 故选：A （多选）已知集合，，若，则的值可能为（    ）小试牛刀2 A． B．2 C． D．12 【答案】ABD 【分析】根据，得到或，分类讨论得到的值，根据元素的互异性，舍去不合要求的解，求出的值. 【详解】因为，所以或. ①当时，，， 所以或，得或4. 当时，不合题设，舍去. 当时，，，此时. ②当时，，， 所以或，解得：或或 当时，不合题设，舍去. 当时，，此时. 当时，，此时. 故选：ABD （24-25高一上·湖南永州·阶段检测）若集合，且，则实数的值为 （    ）.小试牛刀3 A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据集合相等可得，运算求解即可. 【详解】因为，且， 则，解得或. 故选：D. 【题型7：由集合中元素个数求参数】 【练方法】 公式结论 1一元一次方程对应集合1个元素 2一元二次方程判别式两个元素一个元素空集 方法技巧 1二次式先讨论二次项系数是否为0区分一次二次方程 2根据目标元素个数列判别式不等式或等式 3解出参数后代入检验无重复元素 易错提醒 1遗漏二次项系数为0的一次方程特殊情况 2只看方程根个数忽略互异性导致实际元素变少 3判别式符号写反求出参数范围完全相反 若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可. 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， （2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ）经典例题2例题 A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值. 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意, 综上可得或. （25-26高一上·上海·期中）已知集合.小试牛刀1 (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入于方程，求解出并解方程，则可知； （2）当时，直接分析即可；当时，考虑，由此可求结果. 【详解】（1）因为，所以，所以， 由，解得或， 所以； （2）当时，，，所以，满足条件； 当时，方程无解或仅有解，则只需，解得， 综上所述，的取值范围是. （24-25高一上·广东中山·阶段检测）已知集合.小试牛刀2 (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【详解】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. （25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知集合至多有一个元素，求a的取值范围.小试牛刀3 【答案】 【分析】结合题意分和两种情况讨论求解即可. 【详解】由题意，集合至多有一个元素， 当时，方程为，解得，此时，满足题意； 当时，由，解得. 综上所述，a的取值范围为. 【题型8：点集的表示】 【练方法】 公式结论 平面点集标准形式代表坐标 方法技巧 1区分数集与点集不可互相代换 2判断点是否属于集合需要横纵坐标同时满足约束 3方程组解集为交点坐标用列举法写坐标形式 易错提醒 1点集写成单变量形式混淆数集与点集 2验证点时只代入横坐标忽略纵坐标约束条件 3多个交点直接罗列数字不写成坐标括号格式 （多选）直线与的交点构成的集合为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】联立直线方程可得交点坐标，然后由集合表示方法可得答案. 【详解】，即直线交点坐标为，则交点构成的集合为：或. （25-26高一上·青海西宁·阶段检测）在平面直角坐标系中，轴上方的所有点组成的集合可以表示为______．经典例题2例题 【答案】 【分析】根据轴上方的点的特征，利用描述法表示集合即可. 【详解】若点在轴上方，则， 故轴上方的所有点组成的集合可以表示为 故答案为： （25-26高一上·河南·阶段检测）集合用列举法表示为___________．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据集合的描述法确定集合的元素，即可得结论. 【详解】联立，解得，则， 则. 故答案为：. （2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组的解集是（    ）小试牛刀2 A．，或 B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程组，用集合表示即可判断. 【详解】由方程组，解得，所以该方程组的解集为， 而. 故选：D. （24-25高一上·上海宝山·阶段检测）集合是指（   ）小试牛刀3 A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第一象限也不在第三象限内的所有点组成的集合 【答案】D 【分析】由已知可得或，集合元素是点集，再结合点的坐标的特点即可判断． 【详解】因为，所以或， 所以集合表示第二象限和第四象限内的所有点，以及在轴上的点， 即不在第一、第三象限内的所有点. 故选：D. 【题型9：判断是否为同一集合】 【练方法】 公式结论 两集合元素完全相同则为同一集合书写顺序不影响相等关系 方法技巧 1列举法直接对比全部元素 2描述法对比代表元含义与取值约束二者完全一致才相等 3区分自变量集合与函数值集合和一般不相等 易错提醒 1受元素书写顺序干扰误判顺序不同的相等集合 2代表元字母不同直接判定不相等忽略取值范围一致情况 3混淆定义域集合与值域集合错判为同一集合 （25-26高一上·四川遂宁·阶段检测）（多选）下列四个命题中不正确的是（    ）经典例题1例题 A．集合用列举法表示为 B．若，则 C．方程组的解组成的集合为 D．集合与是同一个集合 【答案】BCD 【分析】根据方程的根，即可求解A，根据集合中元素的性质即可求解BCD. 【详解】对于A, 由于，故方程的根为，因此,故A正确， 对于B, ,故，故B错误， 对于C, 方程组的解组成的集合为，故C错误， 对于D, ，而表示点集，故两个不是同一集合，故D错误， 故选：BCD （25-26高一上·四川成都·阶段检测）（多选）下列集合中表示同一集合的是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据集合的定义判断． 【详解】对A，两个集合的元素不相同，不是同一集合； 对B，两个集合都是2和3两个元素，是同一集合， 对C，集合的元素是点（或有序实数对），集合的元素是实数，不是同一集合， 对D，两个集合都是由大于2的实数构成，是同一集合， 故选：BD． （25-26高一上·陕西安康·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的是（    ）小试牛刀1 ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】根据集合定义逐一判断即可. 【详解】对①，集合的元素为实数，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对②，集合的元素为有序数对，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对③，，两集合相等； 对④，集合为数集，集合为点集，表示不同集合. 故表示同一集合的只有③. 故选：C （25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）下列各项中表示同一集合的是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的概念及分类对选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，是坐标系内不同的两个点，故不表示同一集合，A错误； B选项，是同一个集合，B正确； C选项，是点集，是数集，不是同一集合，C错误； D选项，为点集，为数集，D错误. 故选：B （24-25高一上·江苏宿迁·阶段检测）（多选）下面四个说法中正确的是（    ）小试牛刀3 A．10以内的质数组成的集合是 B．由2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解组成的集合是 D．0与表示同一个集合 【答案】AB 【分析】结合集合的表示及元素与集合的基本关系分别检验各选项即可判断. 【详解】对于A，10以内的质数为，组成的集合是，故A正确； 对于B，由集合中元素的无序性知和表示同一集合，故B正确； 对于C，由集合中元素的互异性可知不存在集合，故C错误； 对于D，由集合的表示方法知0不是集合，故D错误. 故选：AB. 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据常用数集的概念进行判断即可. 【详解】对于①，是有理数，但不是整数，故①错误； 对于②，是无理数，不是有理数，故②正确； 对于③，0是自然数，所以不成立，故③错误； 对于④，是无理数，也是实数，故④正确； 故正确的个数为2. 故选：B. 2．（25-26高一上·贵州贵阳·期中）由单词“”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（ ） A．4 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】利用集合的互异性来写出集合，再得出元素个数即可. 【详解】因为集合，所以集合A中的元素有4个. 故选：A. 3．（2026高一·全国·专题练习）已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或， 当时，，集合为，元素各不相同，符合题意； 当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意； 因此实数的值为或，故C正确. 4．下列集合中，有限集的个数为（    ） （1）一元一次方程 的实数解组成的集合； （2）能被5整除的全体整数组成的集合； （3）一周所有星期名称组成的集合； （4）所有正奇数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】（1）一元一次方程 的实数解为，为有限集； （2）能被5整除的全体整数（末位是0或5的整数均可）有无数个，为无限集； （3）一周所有星期名称共7个，为有限集； （4）正奇数有无数个，为无限集. 所以有限集有2个. 5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】分析可知，结合，，分析求解即可. 【详解】因为，则，且，，可得， 当时，； 当时，； 当时，； 即，所以中元素的个数为6. 6．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义运算求得，进而确定正确答案. 【详解】由，得时的值恒为1. 当时，；当时，. 所以，元素个数为2. 故选：B 7．下列说法正确的是（    ） A．本校擅长打篮球的学生可构成集合 B．七大洲可以构成一个确定集合 C．数集含有7个元素 D．不大于3的正整数组成的集合为 【答案】B 【分析】根据集合的确定性判断A，B，应用互异性判断C，列举法判断D. 【详解】A选项，“擅长”标准模糊，不满足确定性； B选项，七大洲对象确定，可构成集合； C选项，违背互异性，重复元素只算1个，仅有5个元素； D选项，不大于3的正整数不含0，正确集合为. 8．（24-25高三上·江苏·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据为集合中的元素，先求，再根据，进行验证，即可求解. 【详解】当，得，，满足条件， ，得，，不满足条件， ，得，，满足条件， ，得，，不满足条件， 所以. 故选：C 9．平面直角坐标系中，除去、两点的所有点构成的集合为（    ） A．且 B．或或或 C．且 D． 【答案】C 【详解】选项A：表示去掉了直线和上所有点，错误； 选项B：错误保留了需要去掉的点，例如满足，会被包含在集合中，错误； 选项C：表示排除点，表示排除点， 同时满足即可精准剔除两点，正确； 选项D：，会去掉所有横坐标为1、横坐标为3、纵坐标为2、纵坐标为4的点，错误. 10．（25-26高一上·河北·阶段检测）设集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据且，建立不等式求解即可. 【详解】因为集合，而且 且，解得. 故选：B 11．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）若，则，则称是伙伴关系集合，在集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】B 【分析】由已知，根据给出的定义列举出所有满足条件的情况即可. 【详解】时，则；时，则； 时，则；时，则， 集合的所有满足新定义的元素有6个， 那么，，，，， ，，，， ，，， ，，，共有15个. 故选：B 12．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段检测）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据集合的描述法，转化为集合的列举法，或者化简描述法集合，逐一判断即可. 【详解】因为，所以①正确； 因为，，所以②不正确； 因为，，故③正确； ，故④错误. 故选：C 二、多选题 13．（25-26高一上·湖北荆州·阶段检测）下列说法中正确的是（    ） A．若集合由方程和方程的所有实数根组成，则 B．若集合由“”中的字母构成，则中有个元素 C．一个集合中有三个元素，，，其中，，是的三边长，则不可能是等边三角形 D．若集合由不等式的所有整数解组成，则 【答案】AC 【分析】求出集合进而判断ABD；利用集合元素的互异性判断C. 【详解】对于A，解方程，得；解方程，得或， 因此，，A正确； 对于B，，中有个元素，B错误； 对于C，由集合中有三个元素，得互不相等，则不可能是等边三角形，C正确； 对于D，解不等式，得，则，，D错误. 故选：AC 14．（2025·四川成都·模拟预测）已知集合，则（　　） A． B． C．存在，使得 D．存在，使得 【答案】BD 【分析】利用集合的描述法及元素与集合的关系分析验证即可得出答案. 【详解】因为，所以是偶数，是奇数，所以集合中的元素都是奇数， 即代入……可得. 对于A，由上分析可知错误； 选项B，由上分析可知正确； 对于C，因为，所以可以推出都是奇数，而是偶数，所以不可能在集合中； 对于D，因为，所以可以推出都是奇数，而是奇数，所以可能在集合中， 例如. 故选：BD 三、填空题 15．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，则用列举法表示集合________. 【答案】 【分析】当，，必然不是自然数，依次代入，验证是否是自然数，从而得到结果. 【详解】当时， ；当时， ；当时， ； 当时， ；当时， ；当时， . 所以. 故答案为： 16．（25-26高一上·福建龙岩·开学考试）若，则_______. 【答案】 【分析】由已知可得或，求出值并验证互异性. 【详解】因为，所以或. 若，则或， 当时，，不满足集合中元素的互异性； 当时，，此时，符合题意； 若，则，由上可知，不满足互异性. 综上可知，. 故答案为： 17．（25-26高一上·上海·期中）已知，，若集合，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据集合相等的定义判断的取值进行计算. 【详解】因为，所以，， 此时两个集合即，所以，解得或， 若，则两个集合都是不满足互异性， 所以此时两个集合都是，满足条件. 所以， 故答案为：. 18．（25-26高一上·上海·阶段检测）设a是实数，集合，若，则__________. 【答案】 【分析】根据已知讨论、、求出对应参数值，结合元素的互异性确定参数值. 【详解】由， 当，则，不满足元素的互异性， 当， 若，则，， 若，则，， 此时，满足. 当或， 若，则 ，不满足元素的互异性， 若，则 ，不满足元素的互异性， 综上，. 故答案为： 19．设集合，已知且，则实数的取值集合为__________. 【答案】 【分析】由或解出的值，再验证集合中元素的互异性即得解. 【详解】当时，可得或， 若时，则，不合题意； 若时，则，符合题意； 当，可得或， 若，则，不合题意； 若，则，不合题意. 综上所述：. 故答案为： 四、解答题 20．已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． (3)且． 【分析】（1）由，两种情况讨论即可； （2）由（1），再结合中没有元素讨论即可； （3）由求解即可. 【详解】（1）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， 故当，即时，原方程的解为，符合题意． 综上，当或时，集合中只有一个元素． （2）集合中至多有一个元素，即集合中只有一个元素或没有元素． 当集合中只有一个元素时，由（1）可知，或． 当中没有元素时，，且，即． 综上，当集合中至多有一个元素时，实数的取值范围是或． （3）由题意得，且， 所以且， 故实数的取值范围是且． 21．（2026高一·全国·专题练习）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，直接解出集合即可； （2）解方程，对实数的取值进行分类讨论，求出集合，根据集合的元素之和为进行检验或求出的值，即可得解. 【详解】（1）当时，， 解得或或，故． （2）因为， 解该方程可得或或． 根据集合中元素的互异性知当方程有重根时， 重根只能算作集合的一个元素， 当时，可得，不符合题意； 当，即时，可得，符合题意； 当且时，，则， 解得，此时，符合题意． 综上，实数的值为或； 当时，；当时，． 22．（24-25高一上·上海·阶段检测）（1）求关于的方程的解集：； （2）已知集合，若关于的方程存在两个不相等实根且，求与集合． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【分析】（1）分、、讨论，解方程可得答案； （2）利用韦达定理求出，再分、讨论求出集合即可. 【详解】（1）由得， 当时，解得， 当时，，方程无解， 当时，解得， 综上所述，当时，原方程的解为； 当时，原方程无解； 当时，原方程的解为， （2）因为关于的方程存在两个不相等实根, 所以，得，或， 且， 所以， 解得， 当时，由解得，或，所以集合； 当时，由解得， 所以方程无解，所以集合； 综上所述，当时，集合； 当时，集合. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【1.1 集合的概念】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．元素与集合的概念 （1）元素：一般地，把___研究对象______统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． （2）集合：把一些元素组成的_总体____叫做集合（简称为_集_）．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． （3）集合相等：只要构成两个集合的__元素____是一样的，就称这两个集合是相等的． （4）元素的特性：___确定性____、____无序性___、___互异性____． （5）．确定性——对于一个给定的集合，它的元素必须是_确定的__.也就是说，如果给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了. （6）.无序性——对于一个给定的集合，它的元素并无_先后顺序__，即任何两个元素都是可以交换顺序的. （7）．互异性——对于一个给定的集合，它的元素一定是_互不相同__的.也就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算为_一个__元素. 2．集合的表示 （1）列举法：把集合的元素一个一个列举出来，放在____中. （2）描述法 把集合所有元素的性质表示出来，写成，其中称为代表元，表示___元素的属性___________. 3．元素与集合 （1）集合中元素的特性：__确定性_____、___互异性____、__无序性_____. （2）元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a___属于____集合A，记作_______；如果a不是集合A中的元素，就说a__不属于_____集合A，记作_______. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. （4）常用数集及其记法： 数集 非负整数集（或自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数 集 复数 集 符号 ______N_______ N*或（N＋） Z Q R C 注：图表中所列举的字母符号均是集合的形式，不要加{}，这是因为{R}不是实数集，它表示一个集合，该集合中只有一个元素R. 4．无限集：元素_无限多_______的集合叫无限集（或无穷集）. 5．有限集：元素个数__有限______的集合叫有限集（或有穷集）. 6．列举法：把集合中的元素__一一列举______出来，这种表示法叫作列举法．常用的格式是在一个大括号里写出每个元素的名字，相邻的名字用逗号分隔． 7．描述法一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质称为集合A的一个_特征性质_______.此时，集合A可以用它的特征性质表示为.这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为__描述法_______. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：判断元素能否构成集合】 【练方法】 公式结论 集合三要素确定性互异性无序性 一组对象能构成集合必须同时满足三条性质 方法技巧 1判定核心能否清晰客观判断任意对象是否属于该群体 2出现模糊形容词如好看高大优秀直接判定不能构成集合 3逐条核对三要素缺任意一条都无法组成集合 易错提醒 1混淆确定性标准主观模糊描述误判为可构成集合 2忽略互异性认为群体有重复元素也能构成集合 3无序性不影响集合成立不要因元素无顺序否定集合 （24-25高一上·全国·阶段检测）下列各对象可以组成集合的是（ ）经典例题1例题 A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 （2026高一·全国·专题练习）（多选）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ）经典例题2例题 A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（    ）小试牛刀1 （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数. A．2 B．3 C．4 D．6 下列各项对象中，能够构成一个确定集合的是（    ）小试牛刀2 A．班级里身材高挑的学生 B．数值很大的正数 C．的近似小数 D．平方等于的实数 给出下列说法：①所有无限接近的数构成集合；②年高考数学新高考卷填空题构成集合；③高端数码产品构成集合；④所有不大于的非负整数构成集合；⑤组成的集合含个元素.其中正确的是（    ）小试牛刀3 A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【题型2：元素与集合的关系】 【练方法】 公式结论 1代表元素属于集合 2代表元素不属于集合 方法技巧 1对照集合约束条件检验元素是否符合要求 2常用数集对应记忆自然数集正整数集整数集有理数集实数集 3点集代入横纵坐标同时验证等式约束 易错提醒 1符号混用是元素对集合是集合对集合二者不可替换 2数集范围记混误把0归入 3点集判断只代入横坐标忽略纵坐标约束 （24-25高一上·广西河池·期中）已知集合，下列各式正确的是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三下·河南周口·阶段检测）设集合，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若集合，则下列关系正确的是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知集合，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一上·天津和平·阶段检测）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ）小试牛刀3 A．1 B．2 C．3 D．4 【题型3：由元素的互异性求参数】 【练方法】 公式结论 集合内任意两个元素数值互不相等 方法技巧 1联立方程解出参数所有可能取值 2将解回代原集合检验所有元素两两不重复 3舍去使元素重复的参数解 易错提醒 1求出参数不回代检验互异性保留造成元素重复的解 2分类讨论不完整漏掉部分参数取值情况 3只满足等式相等忽略元素不能相同隐藏条件 （25-26高二下·重庆·期中）已知集合，且，则（   ）经典例题1例题 A． B．或 C． D． （25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知集合，若，则________经典例题2例题 （25-26高一上·浙江·期中）（多选）已知集合，且，则的值可以为（    ）小试牛刀1 A．3 B． C．-3 D． （25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知，则实数的取值集合为___________.小试牛刀2 （24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）已知集合，且，则________．小试牛刀3 【题型4：集合的表示方法】 【练方法】 公式结论 1列举法有限集合逐个写出全部元素 2描述法竖线前为代表元后为取值限制 3自然语言文字清晰描述集合包含对象 方法技巧 1元素个数有限且数量少用列举法无限集合统一用描述法 2描述法先写代表元再写取值范围与等式不等式约束 3点集描述法代表元写数集代表元只写单个字母 易错提醒 1列举法写出重复元素违背互异性 2描述法缺失代表元竖线前后变量不统一 3无限集合强行全部列举无法完整表达集合 （2026高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合：经典例题1例题 (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. （2026高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合：经典例题2例题 (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 用描述法表示下列集合：小试牛刀1 (1)比1大又比10小的所有有理数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合． （多选）下列描述法表示集合正确的是（    ）小试牛刀2 A．奇数集： B．小于8的整数： C．大于2的实数： D．不等式的解集： （25-26高一上·安徽·阶段检测）用适当的方法表示下列集合：小试牛刀3 (1)大于且小于10的偶数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)被3除余2的正整数组成的集合； (4)将抛物线沿轴向下平移一个单位长度后得到的抛物线上所有点组成的集合． 【题型5：常用的数集】 【练方法】 公式结论 1自然数集含0 2正整数集不含0 3全体整数全体有理数全体实数 方法技巧 1判断数字归属对照数集范围分层筛选 2区分有理数与无理数无限不循环小数不属于 3 0只属于不属于 易错提醒 1混淆与错把0归入正整数集 2误将等无理数划入有理数集 3符号书写颠倒混淆整数集与自然数集范围 用符号或填空：经典例题1例题 （1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______. （25-26高一上·广东广州·期中）（多选）下列表示不正确的是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高一上·浙江台州·期中）下列关系中正确的个数是（   ）小试牛刀1 ①  ②  ③  ④ A．1 B．2 C．3 D．4 （25-26高一上·浙江·阶段检测）下列关系中正确的是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一上·福建莆田·阶段检测）下列关系中，正确的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型6：由集合的相等求参数】 【练方法】 公式结论 两个集合相等当且仅当元素完全相同与书写顺序无关 方法技巧 1对应元素建立方程组分多类匹配情况讨论 2每组解回代原集合检验互异性 3无序匹配不局限左右元素一一对应书写顺序 易错提醒 1只满足元素数量相等不验证所有元素完全对应 2分类讨论不完整漏掉多组元素匹配方案 3求出参数后出现重复元素不主动舍去 （24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ）经典例题1例题 A． B．0 C．1 D．2 （23-24高三上·湖南岳阳·开学考试）集合 ，则（    ）经典例题2例题 A． B．0 C．1 D．2 （25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知，，，若，则（   ）小试牛刀1 A．5 B．3 C．2 D．0 （多选）已知集合，，若，则的值可能为（    ）小试牛刀2 A． B．2 C． D．12 （24-25高一上·湖南永州·阶段检测）若集合，且，则实数的值为 （    ）.小试牛刀3 A．或 B． C． D．或 【题型7：由集合中元素个数求参数】 【练方法】 公式结论 1一元一次方程对应集合1个元素 2一元二次方程判别式两个元素一个元素空集 方法技巧 1二次式先讨论二次项系数是否为0区分一次二次方程 2根据目标元素个数列判别式不等式或等式 3解出参数后代入检验无重复元素 易错提醒 1遗漏二次项系数为0的一次方程特殊情况 2只看方程根个数忽略互异性导致实际元素变少 3判别式符号写反求出参数范围完全相反 若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ）经典例题2例题 A．0或4 B．4 C．0或 D．0 （25-26高一上·上海·期中）已知集合.小试牛刀1 (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． （24-25高一上·广东中山·阶段检测）已知集合.小试牛刀2 (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. （25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知集合至多有一个元素，求a的取值范围.小试牛刀3 【题型8：点集的表示】 【练方法】 公式结论 平面点集标准形式代表坐标 方法技巧 1区分数集与点集不可互相代换 2判断点是否属于集合需要横纵坐标同时满足约束 3方程组解集为交点坐标用列举法写坐标形式 易错提醒 1点集写成单变量形式混淆数集与点集 2验证点时只代入横坐标忽略纵坐标约束条件 3多个交点直接罗列数字不写成坐标括号格式 （多选）直线与的交点构成的集合为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一上·青海西宁·阶段检测）在平面直角坐标系中，轴上方的所有点组成的集合可以表示为______．经典例题2例题 （25-26高一上·河南·阶段检测）集合用列举法表示为___________．小试牛刀1 （2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组的解集是（    ）小试牛刀2 A．，或 B． C． D． （24-25高一上·上海宝山·阶段检测）集合是指（   ）小试牛刀3 A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第一象限也不在第三象限内的所有点组成的集合 【题型9：判断是否为同一集合】 【练方法】 公式结论 两集合元素完全相同则为同一集合书写顺序不影响相等关系 方法技巧 1列举法直接对比全部元素 2描述法对比代表元含义与取值约束二者完全一致才相等 3区分自变量集合与函数值集合和一般不相等 易错提醒 1受元素书写顺序干扰误判顺序不同的相等集合 2代表元字母不同直接判定不相等忽略取值范围一致情况 3混淆定义域集合与值域集合错判为同一集合 （25-26高一上·四川遂宁·阶段检测）（多选）下列四个命题中不正确的是（    ）经典例题1例题 A．集合用列举法表示为 B．若，则 C．方程组的解组成的集合为 D．集合与是同一个集合 （25-26高一上·四川成都·阶段检测）（多选）下列集合中表示同一集合的是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高一上·陕西安康·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的是（    ）小试牛刀1 ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ （25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）下列各项中表示同一集合的是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一上·江苏宿迁·阶段检测）（多选）下面四个说法中正确的是（    ）小试牛刀3 A．10以内的质数组成的集合是 B．由2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解组成的集合是 D．0与表示同一个集合 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高一上·贵州贵阳·期中）由单词“”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（ ） A．4 B．5 C．3 D．2 3．（2026高一·全国·专题练习）已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 4．（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）下列集合中，有限集的个数为（    ） （1）一元一次方程 的实数解组成的集合； （2）能被5整除的全体整数组成的集合； （3）一周所有星期名称组成的集合； （4）所有正奇数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（    ） A．本校擅长打篮球的学生可构成集合 B．七大洲可以构成一个确定集合 C．数集含有7个元素 D．不大于3的正整数组成的集合为 8．（24-25高三上·江苏·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 9．平面直角坐标系中，除去、两点的所有点构成的集合为（    ） A．且 B．或或或 C．且 D． 10．（25-26高一上·河北·阶段检测）设集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）若，则，则称是伙伴关系集合，在集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 12．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段检测）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、多选题 13．（25-26高一上·湖北荆州·阶段检测）下列说法中正确的是（    ） A．若集合由方程和方程的所有实数根组成，则 B．若集合由“”中的字母构成，则中有个元素 C．一个集合中有三个元素，，，其中，，是的三边长，则不可能是等边三角形 D．若集合由不等式的所有整数解组成，则 14．（2025·四川成都·模拟预测）已知集合，则（　　） A． B． C．存在，使得 D．存在，使得 三、填空题 15．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，则用列举法表示集合________. 16．（25-26高一上·福建龙岩·开学考试）若，则_______. 17．（25-26高一上·上海·期中）已知，，若集合，则的值为_______． 18．（25-26高一上·上海·阶段检测）设a是实数，集合，若，则__________. 19．设集合，已知且，则实数的取值集合为__________. 四、解答题 20．已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 21．（2026高一·全国·专题练习）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 22．（24-25高一上·上海·阶段检测）（1）求关于的方程的解集：； （2）已知集合，若关于的方程存在两个不相等实根且，求与集合． 1 学科网（北京）股份有限公司 $