第三讲 集合的基本运算（讲义）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦集合的基本运算核心知识点，系统梳理并集、交集的概念（含自然语言、符号语言、图形语言）及运算性质，延伸至补集与全集的定义和性质，最终通过Venn图实现集合关系与运算的直观表达，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 该资料以9类题型为载体，通过“概念理解-运算应用-参数求解-新定义探究”的梯度设计，培养学生逻辑推理（数学思维）和几何直观（数学眼光）能力，如Venn图题型（例8）强化图形语言转化，新定义问题（例9）激发创新意识。课中助力教师分层教学，课后练习覆盖全面，便于学生查漏补缺，提升数学表达与应用能力。

第三讲 集合的基本运算 【题型1 并集的概念及运算】 【题型2 根据并集结果求集合或参数】 【题型3 交集的概念及运算】 【题型4 根据交集结果求集合或参数】 【题型5 补集的概念及运算】 【题型6 交、并、补集的混合运算】 【题型7 集合混合运算中的求参问题】 【题型8 Venn图表达集合的关系和运算】 【题型9 集合运算中的新定义问题】 知识点1 并集与交集 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 【题型1 并集的概念及运算】 【例1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|x＞0}，则集合A∪B＝（ ） A．{x|0<x<2} B．{x|-1≤x<2} C．{x|x>0} D．{x|x≥-1} 【变式1-2】若集合，则中元素的个数为（  ） A．1 B．3 C．4 D．5 【题型2 根据并集结果求集合或参数】 【例2】已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知集合A＝{x|x2+mx＝0}，B＝{1}．若A∪B＝{0，1}，则m＝（　 　） A．0 B．1 C．﹣1 D．0或﹣1 【变式2-2】已知集合A＝{1，3，a2}，集合B＝{1，2+a}，若A∪B＝A，则a＝　　 ． 【变式2-3】已知集合，，且，则实数的取值集合是（ ） A． B． C． D． 【变式2-4】（多选）设A＝{x|x2﹣6x+8＝0}，B＝{x|ax﹣2＝0}，若A∪B＝A，则实数a的值可以为（　　） A．0 B． C．1 D．2 【题型3 交集的概念及运算】 【例3】已知集合，，那么（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知集合，B＝{x|0＜x＜2}，则A∩B＝（　 　） A．{x|1<x<2} B．{x|1≤x<2} C．{x|x>0} D．{x|0<x≤1} 【变式3-2】已知集合则，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】已知集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{y|y＝x2﹣1，x∈M}，则M∩N等于（　　） A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，1} 【题型4 根据交集结果求集合或参数】 【例4】设集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知集合，，若，则实数（    ） A． B．1 C．2 D．或2 【变式4-2】集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x＜a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是（　 　） A.x<1 B．x≤1 C．x>3 D．x≥3 【变式4-3】（多选）设A＝{x|x2﹣4x+3＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若A∩B＝B，则实数a的取值可以是（　 　） A．0 B． C．1 D．3 【变式4-4】设集合，若中恰含有3个整数，则实数的取值范围是（   ） A． {a|5<a≤6} B． C． D． 【变式4-5】已知集合A＝{x|1＜x＜7}，B＝{x|a﹣1＜x＜3a﹣1}． （1）如果A∩B＝B，求a的取值范围． （2）如果A∩B＝∅，求a的取值范围． 知识点2 补集与全集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义：(1)∁UA表示一个集合；(2)A是U的子集，即A⊆U；(3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 3．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【题型5 补集的概念及运算】 【例5】设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合M＝{1，2，3，5}，则∁UM＝（　　） A．{6，7} B．{4，6，7} C．{1，6，7} D．{1，2，3，4，5，6，7} 【变式5-1】已知，，则的子集个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-2】设全集，，则（   ） A． B． C． D． 【题型6 交、并、补集的混合运算】 【例6】设全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x＞1}． （1）求集合（∁RB）∩A； （2）设集合M＝{x|a≤x≤a+6}，且A∪M＝M，求实数a的取值范围． 【题型7 集合混合运算中的求参问题】 【例7】已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【变式7-1】已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】设集合，． （1）当时，求和； （2）若，求实数的取值范围． 知识点3 Venn图表达集合的关系和运算 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 【题型8 Venn图表达集合的关系和运算】 【例8】已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式8-1】已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型9 集合运算中的新定义问题】 【例9】（2025·江西九江·模拟预测）设集合，集合，定义，则中元素个数是（     ） A．7 B．10 C． D． 【变式9-1】定义集合运算：.若集合，则（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称（A1，A2）为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为同一种分拆，则集合A＝{0，1，2}的不同分拆种数为（ 　） A．8 B．16 C．20 D．27 【课后练习】 1．已知集合M＝{0，1，8}，N＝{﹣1，0，1}，则M∪N＝（　　） A．{1} B．{0，1} C．{﹣1，8} D．{﹣1，0，1，8} 2.若集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{0，2，5}，则A∪B中的元素个数是（　 　） A．2 B．3 C．4 D．6 3.设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合M＝{1，2，3，5}，则∁UM＝（ 　） A．{6，7} B．{4，6，7} C．{1，6，7} D．{1，2，3，4，5，6，7} 4.已知集合A，B为实数集的子集，且A＝{x|x∈R，且x∉B}，则A∪B＝（　 　） A．∅ B．Z C．Q D．R 5．（多选）已知集合M＝{﹣1，1}，N＝{x|mx＝1}，且M∪N＝M，则实数m的值可以为（　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 6.已知集合A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x+1＞0}，则A∩B＝（　 　） A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣2，﹣1，0，1，2} D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2} 7.设全集U＝{5，7，9，11，13}，集合P满足∁UP＝{7，9}，则（ ） A．5∈P B．7∈P C．11∉P D．13∉P 8.（多选）设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合M＝{0，1，4}，N＝{0，1，3}，则（ 　） A．M∩N＝{0，1} B．∁UN＝{4} C．M∪N＝{0，1，3，4} D．M∩（∁UN）＝{4} 9.（多选）已知全集U＝R，M＝{x|x2﹣2x﹣3＝0}，N＝{x|ax﹣1≠0}．若∁UN⊆M，则满足条件的实数a的值可能是（ ） A．﹣1 B．0 C． D．1 10.若全集U＝A∪B＝{1，2，3，4，5}，集合A∩∁UB＝{1，2}，∁UA∪∁UB＝{1，2，4，5}，则集合A＝（　　） A．{1，2} B．{1，2，4，5} C．{1，2，3，4，5} D．{1，2，3} 11.（多选）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{x∈N|x＜5}，B＝{1，3，5，7}，则图中阴影部分所表示的集合为（　 　） A．{0，2，4} B．∁U（A∩B） C．A∩（∁UB） D．（∁UA）∩（∁UB） 12.（多选）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|2x﹣4＜0}，则下列关系式正确的是（　 　） A．A∩B＝{x|﹣1＜＜2} B．A∪B＝{x|x≤3} C．A∪（∁RB）＝{x|x＞﹣1} D．A∩（∁RB）＝{x|2≤x＜3} 13.（多选）已知集合A＝{a2，a+1，﹣3}，B＝{a﹣3，2a﹣1，a2+1}，若A∩B＝{﹣3}，则实数a的值不可能是（ 　） A．0 B．1 C．﹣1 D．2 14.（多选）我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁SA＝{x|x∈S且x∉A}，类似地，对于集合A、B我们把集合{x|x∈A且x∉B}，叫做集合A和B的差集，记作A﹣B，例如：A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A﹣B＝{1，2，3}，B﹣A＝{6，7，8}，下列解析正确的是（　　） A．已知A＝{4，5，6，7，9}，B＝{3，5，6，8，9}，则B﹣A＝{3，7，8} B．如果A﹣B＝∅，那么A⊆B C．已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则B﹣A⊆∁UB D．已知A＝{x|x＜﹣1或x＞3}，B＝{x|﹣2≤x＜4}，则A﹣B＝{x|x＜﹣2或x≥4} 15.已知集合A＝{1，2，k}，B＝{2，5}．若A∪B＝{1，2，4，5}，则k＝　　 ． 16.设集合A＝{x|x+1≤0或x﹣4≥0}，B＝{x|2a≤x≤a+2}．若A∩B＝B，则实数a的取值范围是________　 17.设A＝{x|x2﹣5x﹣6＝0，x∈R}，B＝{x|mx2﹣x+6＝0，x∈R}，且A∩B＝B，则m的取值范围为　　 ． 18.已知集合A＝{x|x2+（a+1）x+a2﹣4＝0}，B＝{x|x2﹣3x+2＝0}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为　　 ． 19.已知集合A＝{x|﹣2≤x≤1}，B＝{x|m﹣1≤x＜m+1}，若A∩B＝B，则实数m的取值范围为　　 ． 20.已知U＝R，A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|x﹣a＞0}． （1）若A∩B＝A，求实数a的取值范围； （2）若A∩B≠∅，求实数a的取值范围． 21.已知集合A＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，B＝{x|﹣2＜x＜4}． （1）当时，求A∪B； （2）若A∩B＝A，求实数m的取值范围． 22．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|0＜x＜4}，P＝{x|0＜x＜m+1}． （1）求M∪N； （2）求M∩（∁RN）； （3）若N∪P＝P，求实数m的取值范围． 23.设A＝{x|x2﹣ax+a2﹣31＝0}，B＝{x|x2﹣5x﹣6＝0}，C＝{x|x2+3x+2＝0}． （1）是否存在实数a，使A＝B，如果存在，求出实数a的值，如果不存在，说明理由； （2）若A∩B≠∅，A∩C＝∅，求实数a的值． 24.设集合A＝{x|ax﹣1＝0}，B＝{x|x2+2（b+1）x+（b+3）＝0}，C＝{x|x2﹣3x+2＝0}． （1）若A∩C＝A，求实数a的取值范围； （2）若B∪C＝C，求实数b的取值范围． 25.设集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣5＝0}． （1）若A∩B＝{2}，求实数a的值； （2）若集合B中有两个元素x1，x2，求实数a的取值范围，并用含a的代数式表示|x1﹣x2|； （3）若A∩B＝B，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三讲 集合的基本运算 【题型1 并集的概念及运算】 【题型2 根据并集结果求集合或参数】 【题型3 交集的概念及运算】 【题型4 根据交集结果求集合或参数】 【题型5 补集的概念及运算】 【题型6 交、并、补集的混合运算】 【题型7 集合混合运算中的求参问题】 【题型8 Venn图表达集合的关系和运算】 【题型9 集合运算中的新定义问题】 知识点1 并集与交集 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 【题型1 并集的概念及运算】 【例1】已知集合，，则（ A  ） A． B． C． D． 【解析】 由. 【变式1-1】已知集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|x＞0}，则集合A∪B＝（　D　） A．{x|0<x<2} B．{x|-1≤x<2} C．{x|x>0} D．{x|x≥-1} 【解析】 集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|x＞0}，所以A∪B＝{x|x≥-1} 【变式1-2】若集合，则中元素的个数为（ C   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【解析】 因为，所以中有4个元素． 【题型2 根据并集结果求集合或参数】 【例2】已知集合，，若，则实数的取值范围是（  D  ） A． B． C． D． 【解析】 因为集合，，且，则，所以. 【变式2-1】已知集合A＝{x|x2+mx＝0}，B＝{1}．若A∪B＝{0，1}，则m＝（　D　） A．0 B．1 C．﹣1 D．0或﹣1 【解析】 集合A＝{x|x2+mx＝0}，由x2+mx＝0可得x＝0或x＝﹣m，当m≠0时，A＝{0，﹣m}；当m＝0时，A＝{0}；因B＝{1}，且A∪B＝{0，1}，则m＝0或m＝﹣1． 【变式2-2】已知集合A＝{1，3，a2}，集合B＝{1，2+a}，若A∪B＝A，则a＝　　 ．2 【解析】 因为A∪B＝A，所以2+a＝3或a2＝2+a．若2+a＝3，则a＝1，此时a2＝1，集合A中的元素不满足互异性，故a＝1舍去．若a2＝2+a则a＝﹣1或a＝2．当a＝﹣1时，a2＝1，集合A中的元素不满足互异性，故a＝﹣1舍去；当a＝2时，A＝{1，3，4}，B＝{1，3}，A∪B＝A，故a＝2符合题意． 【变式2-3】已知集合，，且，则实数的取值集合是（ B  ） A． B． C． D． 【解析】由，，因为，所以，则，即实数的取值集合是. 【变式2-4】（多选）设A＝{x|x2﹣6x+8＝0}，B＝{x|ax﹣2＝0}，若A∪B＝A，则实数a的值可以为（　ABC　） A．0 B． C．1 D．2 【解析】 由x2﹣6x+8＝0，可得x＝2或x＝4，故A＝{2，4}，因为A∪B＝A，所以B⊆A，又A＝{2，4}，所以B＝∅或B＝{2}或B＝{4}，若B＝{2}，则方程ax﹣2＝0有且仅有一个根2，故a＝1，若B＝{4}，则方程ax﹣2＝0有且仅有一个根4，故，若B＝∅，则方程ax﹣2＝0的解集为∅，故a＝0． 【题型3 交集的概念及运算】 【例3】已知集合，，那么（   B  ） A． B． C． D． 【解析】 因为集合，，因此. 【变式3-1】已知集合，B＝{x|0＜x＜2}，则A∩B＝（　B　） A．{x|1<x<2} B．{x|1≤x<2} C．{x|x>0} D．{x|0<x≤1} 【解析】 已知集合{x|x≥1}，B＝{x|0＜x＜2}，则A∩B＝[1，2）． 【变式3-2】（24-25高一上·陕西汉中·期末）已知集合则，则（ D   ） A． B． C． D． 【解析】 ,所以， 【变式3-3】（24-25高一上·河南郑州·期中）已知集合，，则（   D ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以 【变式3-4】已知集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{y|y＝x2﹣1，x∈M}，则M∩N等于（　B　） A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，1} 【解析】 ∵集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{y|y＝x2﹣1，x∈M}＝{﹣1，0}，∴M∩N＝{﹣1，0}． 【题型4 根据交集结果求集合或参数】 【例4】设集合，，若，则的取值范围是（ B   ） A． B． C． D． 【解析】 由知，又，，所以， 【变式4-1】已知集合，，若，则实数（  C  ） A． B．1 C．2 D．或2 【解析】因为，所以，所以且，所以或，解得或或，当时，，，与集合中元素互异性矛盾，不符合；当时，，，满足，符合；当时，，，与集合中元素互异性矛盾，不符合.综上，. 【变式4-2】集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x＜a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是（　C　） A.x<1 B．x≤1 C．x>3 D．x≥3 【解析】 因为A∩B＝A，则A⊆B，集合B＝{x|x＜a}，A＝{1，2，3}，可得a＞3，所以实数a的取值范围是（3，+∞）． 【变式4-3】（多选）设A＝{x|x2﹣4x+3＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若A∩B＝B，则实数a的取值可以是（　ABC　） A．0 B． C．1 D．3 【解析】 由题意可知，集合A＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}，因为A∩B＝B，所以B⊆A，当B＝∅时，a＝0，当B≠∅时，可得，所以或，解得a＝1或，综上可得，实数a的值可以是0或1或． 【变式4-4】设集合，若中恰含有3个整数，则实数的取值范围是（  B  ） A．{a|5<a≤6} B． C． D． 【解析】 若中恰含有3个整数且可得，若，由集合可得，不符合题意；若，由集合可得，此时，因为，所以， 所以实数a的取值范围是， 【变式4-5】已知集合A＝{x|1＜x＜7}，B＝{x|a﹣1＜x＜3a﹣1}． （1）如果A∩B＝B，求a的取值范围． （2）如果A∩B＝∅，求a的取值范围． 【解析】 （1）若A∩B＝B，则B⊆A，当B＝∅时，a﹣1≥3a﹣1，即a≤0，符合题意；当B≠∅时，，解得2，故a的取值范围为{a|a≤0或2}； （2）若A∩B＝∅，当B＝∅时，a﹣1≥3a﹣1，即a≤0；当B≠∅时，3a﹣1≤1，a＞0或a﹣1≥7，a＞0，所以0＜a或a≥8，故此时a的范围为{a|a或a≥8}． 知识点2 补集与全集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合A相 对全集U的补集，简称为集合A的补集， 记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 3．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【题型5 补集的概念及运算】 【例5】设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合M＝{1，2，3，5}，则∁UM＝（　B　） A．{6，7} B．{4，6，7} C．{1，6，7} D．{1，2，3，4，5，6，7} 【解析】 由全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合M＝{1，2，3，5}，故∁UM＝{4，6，7}． 【变式5-1】已知，，则的子集个数为（ C   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】 依题意，，所以的子集有个. 【变式5-2】设全集，，则（  C  ） A． B． C． D． 【解析】 ，，，，，，，ABD错误，C正确. 【题型6 交、并、补集的混合运算】 【例6】设全集，集合，，则（ A   ） A． B． C． D． 【解析】因为，，故，故. 【变式6-1】已知集合，则（ B ） A． B． C． D． 【解析】由题意，所以． 【变式6-2】设全集，集合，则（  D  ） A． B． C． D． 【解析】对于A：由，选项A错误；对于B：，选项B错误；对于C：，选项C错误； 对于D：因为，所以，所以选项D正确. 【变式6-3】已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x＞1}． （1）求集合（∁RB）∩A； （2）设集合M＝{x|a≤x≤a+6}，且A∪M＝M，求实数a的取值范围． 【解析】 （1）A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x＞1}，则∁RB＝{x|x≤1}，所以（∁RB）∩A＝{x|﹣2≤x≤1}； （2）∵A∪M＝M，∴A⊆M，又M＝{x|a≤x≤a+6}，A＝{x|﹣2≤x≤2}，∴解得﹣4≤a≤﹣2，∴实数a的取值范围为[﹣4，﹣2]． 【题型7 集合混合运算中的求参问题】 【例7】已知集合.若，则实数的取值范围为（  A  ） A． B． C．或 D． 【解析】 由，得到，分两种情况考虑： ①当，即时，，符合题意；②当，即时，需， 解得：，综上得：，则实数的取值范围为. 【变式7-1】已知集合，，若，则的取值范围是（  A  ） A． B． C． D． 【解析】 由集合，，可得或，因为，则满足. 【变式7-2】设集合，． （1）当时，求和； （2）若，求实数的取值范围． 【解析】 （1）当时，， 所以， （2）由题意，得或，因为，所以，①当时，，满足； ②当时，，所以， 所以，解得 ，综上所述，实数的取值范围是. 知识点3 Venn图表达集合的关系和运算 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 【题型8 Venn图表达集合的关系和运算】 【例8】已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为（  A ） A．或 B．或 C． D． 【解析】 由题意知，，，所以图中阴影部分表示或. 【变式8-1】已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为（  B  ） A． B． C． D． 【解析】 由图可知，阴影部分的元素为属于但不属于的元素构成，所以用集合表示为．因为集合，，则，所以， 【变式8-2】如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（   D ） A． B． C． D． 【解析】 由题意得，阴影部分的区域内的元素且，所以阴影部分可表示为或或. 【变式8-3】已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（ C  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】 由图可知阴影部分所表示的集合为，，故②③正确；因为，，所以，故①正确；，故④错误.所以正确的有3个. 【题型9 集合运算中的新定义问题】 【例9】（2025·江西九江·模拟预测）设集合，集合，定义，则中元素个数是（ B   ） A．7 B．10 C． D． 【解析】 集合，集合，， ，共有10个元素. 【变式9-1】定义集合运算：.若集合，则（  D  ） A． B． C． D． 【解析】 ，当，或，或，或，解得或或 或，所以，，所以. 【变式9-2】若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称（A1，A2）为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为同一种分拆，则集合A＝{0，1，2}的不同分拆种数为（　D　） A．8 B．16 C．20 D．27 【解析】 由题知，集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称（A1，A2）为集合A的一个分拆，且A1＝A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为同一种分拆，又集合A＝{0，1，2}，若A1＝∅，则A2＝{0，1，2}；若A1＝{0}，则A2＝{1，2}或{0，1，2}；若A1＝{1}，则A2＝{0，2}或{0，1，2}；若A1＝{2}，则A2＝{1，0}或{0，1，2}；若A1＝{0，1}，则A2＝{2}或{0，2}或{1，2}或{0，1，2}；若A1＝{0，2}，则A2＝{1}或{0，1}或{1，2}或{0，1，2}；若A1＝{1，2}，则A2＝{0}或{0，1}或{0，2}或{0，1，2}；若A1＝{0，1，2}，则A2＝∅或{0}或{1}或{2}或{0，1}或{0，2}或{1，2}或{0，1，2}；所以集合A＝{0，1，2}的不同分拆种数27． 【课后练习】 1．已知集合M＝{0，1，8}，N＝{﹣1，0，1}，则M∪N＝（　D　） A．{1} B．{0，1} C．{﹣1，8} D．{﹣1，0，1，8} 【解析】 由已知可得：M∪N＝{﹣1，0，1，8}． 2.若集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{0，2，5}，则A∪B中的元素个数是（　C　） A．2 B．3 C．4 D．6 【解析】 A＝{﹣1，0，2}，B＝{0，2，5}，所以A∪B＝{﹣1，0，2，5}． 3.设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合M＝{1，2，3，5}，则∁UM＝（　B　） A．{6，7} B．{4，6，7} C．{1，6，7} D．{1，2，3，4，5，6，7} 【解析】 由全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合M＝{1，2，3，5}，故∁UM＝{4，6，7}． 4.已知集合A，B为实数集的子集，且A＝{x|x∈R，且x∉B}，则A∪B＝（　D　） A．∅ B．Z C．Q D．R 【解析】 因为A＝{x|x∈R，且x∉B}，所以A＝∁RB，可得A∪B＝R． 5．（多选）已知集合M＝{﹣1，1}，N＝{x|mx＝1}，且M∪N＝M，则实数m的值可以为（　BCD　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【解析】 由M∪N＝M可得，N⊆M．当N＝∅时，满足N⊆M，此时m＝0；当N≠∅时，m≠0，解mx＝1可得，．因为N⊆M，所以或．当时，m＝﹣1；当时，m＝1．综上所述，m＝0或m＝﹣1或m＝1． 6.已知集合A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x+1＞0}，则A∩B＝（　A　） A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣2，﹣1，0，1，2} D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2} 【解析】 集合A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x+1＞0}＝{x|x＞﹣1}，所以A∩B＝{0，1，2}． 7.设全集U＝{5，7，9，11，13}，集合P满足∁UP＝{7，9}，则（　A　） A．5∈P B．7∈P C．11∉P D．13∉P 【解析】 由补集定义可得：P＝{5，11，13}．所以5∈P，7∉P，11∈P，13∈P． 8.（多选）设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合M＝{0，1，4}，N＝{0，1，3}，则（ ACD　） A．M∩N＝{0，1} B．∁UN＝{4} C．M∪N＝{0，1，3，4} D．M∩（∁UN）＝{4} 【解析】 因为全集U＝{0，1，2，3，4}，集合M＝{0，1，4}，N＝{0，1，3}，则M∩N＝{0，1}，故A正确；∁UN＝{2，4}，故B错误；M∪N＝{0，1，3，4}，故C正确；因为∁UN＝{2，4}，则M∩（∁UN）＝{4}，故D正确． 9.（多选）已知全集U＝R，M＝{x|x2﹣2x﹣3＝0}，N＝{x|ax﹣1≠0}．若∁UN⊆M，则满足条件的实数a的值可能是（　ABC　） A．﹣1 B．0 C． D．1 【解析】 因为M＝{x|x2﹣2x﹣3＝0}＝{﹣1，3}，N＝{x|ax﹣1≠0}，又∁UN⊆M，则∁UN＝∅或∁UN＝{﹣1}或∁UN＝{3}，当∁UN＝∅时，ax﹣1＝0无解，则a＝0；当∁UN＝{﹣1}时，则﹣a﹣1＝0，解得a＝﹣1，当∁UN＝{3}时，则3a﹣1＝0，解得a．综上所述，实数a的值可能是﹣1，0，． 10.若全集U＝A∪B＝{1，2，3，4，5}，集合A∩∁UB＝{1，2}，∁UA∪∁UB＝{1，2，4，5}，则集合A＝（　D　） A．{1，2} B．{1，2，4，5} C．{1，2，3，4，5} D．{1，2，3} 【解析】 对于A：若A＝{1，2}，则∁UA＝{3，4，5}，所以3∈（∁UA∪∁UB），与∁UA∪∁UB＝{1，2，4，5}矛盾，故A错误；对于B：若A＝{1，2，4，5}，则∁UA＝{3}，所以3∈（∁UA∪∁UB），与∁UA∪∁UB＝{1，2，4，5}矛盾，故B错误；对于C：若A＝{1，2，3，4，5}，则∁UA＝∅，由A∩∁UB＝{1，2}，得∁UB＝{1，2}，所以∁UA∪∁UB＝{1，2}，与∁UA∪∁UB＝{1，2，4，5}矛盾，故C错误；对于D：若A＝{1，2，3}，则∁UA＝{4，5}，由A∩∁UB＝{1，2}，得1∈∁UB，2∈∁UB，3∉∁UB，所以∁UA∪∁UB＝{1，2，4，5}，故D正确． 11.（多选）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{x∈N|x＜5}，B＝{1，3，5，7}，则图中阴影部分所表示的集合为（　AC　） A．{0，2，4} B．∁U（A∩B） C．A∩（∁UB） D．（∁UA）∩（∁UB） 【解析】 由图可知阴影部分所表示的集合为A∩（∁UB），C正确，B，D错误，因为A＝{0，1，2，3，4}，∁UB＝{0，2，4，6}，所以A∩（∁UB）＝{0，2，4}，故A正确． 12.（多选）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|2x﹣4＜0}，则下列关系式正确的是（　ACD　） A．A∩B＝{x|﹣1＜x＜2} B．A∪B＝{x|x≤3} C．A∪（∁RB）＝{x|x＞﹣1} D．A∩（∁RB）＝{x|2≤x＜3} 【解析】 集合B＝{x|2x﹣4＜0}＝{x|x＜2}，A∩B＝{x|﹣1＜x＜2}，A正确；A∪B＝{x|x＜3}，B错误； ∁RB＝{x|x≥2}，则A∪（∁RB）＝{x|x＞﹣1}，C正确；A∩（∁RB）＝{x|2≤x＜3}，D正确． 13.（多选）已知集合A＝{a2，a+1，﹣3}，B＝{a﹣3，2a﹣1，a2+1}，若A∩B＝{﹣3}，则实数a的值不可能是（　ABD　） A．0 B．1 C．﹣1 D．2 【解析】 ∵A∩B＝{﹣3}，∴﹣3∈B＝{a﹣3，2a﹣1，a2+1}，∵a2+1≥1≠﹣3，则：①若a﹣3＝﹣3，则a＝0，此时A＝{0，1，﹣3}，B＝{﹣3，﹣1，1}，A∩B＝{﹣3，1}，不满足题意；②若2a﹣1＝﹣3，则a＝﹣1，此时A＝{1，0，﹣3}，B＝{﹣4，﹣3，2}，A∩B＝{﹣3}，满足题意；∴a＝﹣1． 14.（多选）我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁SA＝{x|x∈S且x∉A}，类似地，对于集合A、B我们把集合{x|x∈A且x∉B}，叫做集合A和B的差集，记作A﹣B，例如：A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A﹣B＝{1，2，3}，B﹣A＝{6，7，8}，下列解析正确的是（　BD　） A．已知A＝{4，5，6，7，9}，B＝{3，5，6，8，9}，则B﹣A＝{3，7，8} B．如果A﹣B＝∅，那么A⊆B C．已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则B﹣A⊆∁UB D．已知A＝{x|x＜﹣1或x＞3}，B＝{x|﹣2≤x＜4}，则A﹣B＝{x|x＜﹣2或x≥4} 【解析】 对于A：由B﹣A＝{x|x∈B且x∉A}，故B﹣A＝{3，8}，故A错误；对于B：由A﹣B＝{x|x∈A且x∉B}，则A﹣B＝∅，故A⊆B，故B正确；对于C：由韦恩图知：B﹣A如图阴影部分，所以B﹣A＝B∩∁UA，故C错误；对于D：∁UB＝{x|x＜﹣2或x≥4}，则A﹣B＝A∩∁UB＝{x|x＜﹣2或x≥4}，故D正确． 15.已知集合A＝{1，2，k}，B＝{2，5}．若A∪B＝{1，2，4，5}，则k＝　　 ．4 【解析】 集合A＝{1，2，k}，B＝{2，5}，若A∪B＝{1，2，4，5}，则k＝4．当k＝4时，集合A＝{1，2，4}，符合题意． 16.设集合A＝{x|x+1≤0或x﹣4≥0}，B＝{x|2a≤x≤a+2}．若A∩B＝B，则实数a的取值范围是________　{a|a≤﹣3或a≥2}　 ． 【解析】 由A∩B＝B，知B⊆A．①当B≠∅时，则或，解得a≤﹣3或a＝2． ②当B＝∅时，满足B⊆A，则2a＞a+2，得a＞2；综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤﹣3或a≥2}．故答案为：{a|a≤﹣3或a≥2}． 17.设A＝{x|x2﹣5x﹣6＝0，x∈R}，B＝{x|mx2﹣x+6＝0，x∈R}，且A∩B＝B，则m的取值范围为　　 ．{m|m＝0或m} 【解析】 A＝{x|x2﹣5x﹣6＝0，x∈R}＝{6，﹣1}，B＝{x|mx2﹣x+6＝0，x∈R}，若A∩B＝B，则B⊆A，当m＝0时，B＝{6}；当m≠0时，对于二次方程mx2﹣x+6＝0有Δ＝1﹣24m，当B＝∅时，， 当B＝{6}时，将x＝6代入方程得36m﹣6+6＝0＝m＝0，当B＝{﹣1}时，将x＝﹣1代入方程得：m+1+6＝0→m＝﹣7，此时Δ＞0（舍），当B＝A＝{6，﹣1}时，由韦达定理有：，∴此时m∈∅，综上：m＝0或，即或． 18.已知集合A＝{x|x2+（a+1）x+a2﹣4＝0}，B＝{x|x2﹣3x+2＝0}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为　　 ．1或﹣2 【解析】 B＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，A＝{x|x2+（a+1）x+a2﹣4＝0}，又A∩B＝{1}，所以1∈A，2∉A，所以1+（a+1）+a2﹣4＝0，4+2（a+1）+a2﹣4≠0，所以a2+a﹣2＝0，a2+2a+2≠0，解得a＝1或a＝﹣2． 19.已知集合A＝{x|﹣2≤x≤1}，B＝{x|m﹣1≤x＜m+1}，若A∩B＝B，则实数m的取值范围为　　 ．{m|﹣1≤m≤0} 【解析】 集合A＝{x|﹣2≤x≤1}，B＝{x|m﹣1≤x＜m+1}，由A∩B＝B，可得B⊆A，所以，解得﹣1≤m≤0． 20.已知U＝R，A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|x﹣a＞0}． （1）若A∩B＝A，求实数a的取值范围； （2）若A∩B≠∅，求实数a的取值范围． 【解析】 （1）U＝R，A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|x﹣a＞0}＝{x|x＞a} ∵A∩B＝A，∴A⊆B，解得a＜﹣1，∴实数a的取值范围是{a|a＜﹣1}． （2）∵A∩B≠∅，∴a＜3，∴实数a的取值范围是{a|a＜3}． 21.已知集合A＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，B＝{x|﹣2＜x＜4}． （1）当时，求A∪B； （2）若A∩B＝A，求实数m的取值范围． 【解析】 （1）当m时，A＝{x|}，B＝{x|﹣2＜x＜4}，故． （2）∵A∩B＝A，∴A⊆B，当A＝∅，即2m+1≤m﹣1，解得m≤﹣2，符合题意，当A≠∅时，，解得﹣1，故实数m的取值范围为[﹣1，]∪[﹣∞，﹣2]． 22．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|0＜x＜4}，P＝{x|0＜x＜m+1}． （1）求M∪N； （2）求M∩（∁RN）； （3）若N∪P＝P，求实数m的取值范围． 【解析】 （1）由题意可知，集合M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|0＜x＜4}，所以M∪N＝{x|﹣1＜x＜4}； （2）因为N＝{x|0＜x＜4}，所以∁RN＝{x|x≤0或x≥4}，又因为M＝{x|﹣1＜x＜3}，所以M∩（∁RN）＝{x|﹣1＜x≤0}； （3）若N∪P＝P，则N⊆P，所以m+1≥4，解得m≥3，故m的取值范围为[3，+∞）． 23.设A＝{x|x2﹣ax+a2﹣31＝0}，B＝{x|x2﹣5x﹣6＝0}，C＝{x|x2+3x+2＝0}． （1）是否存在实数a，使A＝B，如果存在，求出实数a的值，如果不存在，说明理由； （2）若A∩B≠∅，A∩C＝∅，求实数a的值． 【解析】 （1）由x2﹣5x﹣6＝0得x1＝﹣1，x2＝6，故B＝{﹣1，6}，若A＝B，则x1＝﹣1，x2＝6是方程x2﹣ax+a2﹣31＝0的两个根，即，解得a＝5，此时A＝{﹣1，6}＝B，即存在a＝5满足题意； （2）由x2+3x+2＝0得x3＝﹣1，x4＝﹣2，即C＝{﹣1，﹣2}，因为A∩B≠∅，A∩C＝∅，则6是方程x2﹣ax+a2﹣31＝0的一个根，代入得a2﹣6a+5＝0＝（a﹣1）（a﹣5），解得a＝1或a＝5，若a＝1，此时x2﹣x﹣30＝0，即A＝{6，﹣5}，满足题意；若a＝5，此时x2﹣5x﹣6＝0，即A＝B＝{﹣1，6}，此时A∩C＝{﹣1}≠∅，不满足题意；综上所述a＝1． 24.设集合A＝{x|ax﹣1＝0}，B＝{x|x2+2（b+1）x+（b+3）＝0}，C＝{x|x2﹣3x+2＝0}． （1）若A∩C＝A，求实数a的取值范围； （2）若B∪C＝C，求实数b的取值范围． 【解析】 （1）根据x2﹣3x+2＝0的解为x＝1或2，可得集合C＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，由A∩C＝A，可得A⊆C，集合A可能是∅或{1}或{2}或{1，2}，根据集合A＝{x|ax﹣1＝0}，可知有如下几种情况： ①a＝0时，方程ax﹣1＝0变为﹣1＝0，没有实数根，此时A＝∅，满足A⊆C；②a≠0时，方程ax﹣1＝0等价于，即，若 A＝{1}，则，解得a＝1；若A＝{2}，则，解得；③若A＝{1，2}，则不可能同时等于1，2，此种情况不成立．综上所述，实数a的取值范围是a∈； （2）根据B∪C＝C，可得B⊆C，则集合B可能是∅或{1}或{2}或{1，2}，集合B＝{x|x2+2（b+1）x+（b+3）＝0}，方程x2+2（b+1）x+（b+3）＝0的根据的判别式Δ＝4（b+1）2﹣4（b+3）＝4（b+2）（b﹣1）， ①当Δ＜0时，B＝∅，符合题意，此时4（b+2）（b﹣1）＜0，解得﹣2＜b＜1；②当B是单元素集时，Δ＝0，即4（b+2）（b﹣1）＝0，解得b＝﹣2或b＝1，若b＝﹣2，则方程x2+2（b+1）x+（b+3）＝0变为x2﹣2x+1＝（x﹣1）2＝0，此时B＝{1}，满足B⊆C，若b＝1，则方程x2+2（b+1）x+（b+3）＝0变为x2+4x+4＝（x+2）2＝0，此时B＝{﹣2}，不满足B⊆C，舍去；③当B＝C＝{1，2}时，方程x2+2（b+1）x+（b+3）＝0与x2﹣3x+2＝0同解，可得，找不到符合条件的实数b．综上所述，﹣2≤b＜1，实数b的取值范围是[﹣2，1）． 25.设集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣5＝0}． （1）若A∩B＝{2}，求实数a的值； （2）若集合B中有两个元素x1，x2，求实数a的取值范围，并用含a的代数式表示|x1﹣x2|； （3）若A∩B＝B，求实数a的取值范围． 【解析】 （1）由题意得A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，因为A∩B＝{2}，所以2∈B，1∉B，所以4+4a+4+a2﹣5＝0，解得a＝﹣3或a＝﹣1，检验：当a＝﹣3时，B＝{x|x2﹣4x+4＝0}＝{2}，满足A∩B＝{2}， 当a＝﹣1时，B＝{x|x2﹣4＝0}＝{﹣2，2}，满足A∩B＝{2}，所以a＝﹣3或a＝﹣1． （2）因为B集合中有两个元素x1，x2，所以方程x2+2（a+1）x+（a2﹣5）＝0有两个根，所以Δ＝4（a+1）2﹣4（a2﹣5）＝8a+24＞0且x1+x2＝﹣2（a+1），，所以a＞﹣3，． （3）因为A∩B＝B，所以B⊆A，又A＝{1，2}，所以B＝∅或B＝{1}或B＝{2}或B＝{1，2}，当B＝∅时，Δ＝8a+24＜0，解得a＜﹣3，符合题意。当B＝{1}时，则，无解；当B＝{2}时，则，所以a＝﹣3；当B＝{1，2}时，则，无解，综上，a的范围为{a|a≤﹣3}． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $