第25章一元二次方程预习卷-2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上册人教版第25章一元二次方程预习卷，覆盖方程定义、解法、根的判别式及实际应用，题型梯度分明，注重数学思维与模型意识培养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|9题|方程定义、配方法、根的判别式|基础概念辨析，强化运算能力| |填空题|7题|根与系数关系、新定义“同族二次方程”、动点面积|创新情境设计，考查知识迁移| |解答题|6题|方程求解、证明、销售利润、动点综合|实际问题建模，突出逻辑推理与应用意识|

第25章一元二次方程预习卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024） 一、单选题 1．关于的一元二次方程的一次项系数是（    ） A．2 B．3 C． D．1 2．用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 3．将一元二次方程化成（为常数）的形式，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．一元二次方程的根的情况是（   ）． A．无实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 5．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．若，则的值是（　　） A．3 B． C．3或 D．不存在 6．为满足消费者需要，红星厂一月份生产手提电脑200台，计划二、三月份共生产1200台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 7．用配方法将方程转化为的形式，则的值为（） A．2028 B． C．2024 D． 8．已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 9．已知实数，满足，（），则的值是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 10．关于x的一元二次方程有一根为，则k的值为______． 11．已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”） 12．设，是方程的两个实数根，则的值为______． 13．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 14．关于的方程的解是，(a，m，b均为常数，)，则方程的解是___________． 15．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是_____． 16．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则_________后的面积为？ 三、解答题 17．解下列一元二次方程： (1) (2) 18．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，设方程的两个实数根分别为，，求的值． 19．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，墙的长度为，若矩形养鸡场的面积为，求垂直于墙的一边的长度． 20．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某商场准备购进甲，乙两种头盔进行销售，用元购进甲种头盔，用元购进乙种头盔，乙种头盔的购进单价是甲种头盔购进单价的1.2倍，乙种头盔的购进数量比甲种头盔的购进数量少40个． (1)求购进甲，乙两种头盔的单价分别是多少元？ (2)调查甲种头盔的销售情况后发现，当售价为元/个时，月销售量为个．商场决定对甲种头盔适当提价，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．为使甲种头盔的月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则甲种头盔的售价应上涨多少元/个？ 21．如图，在中，，动点从点出发沿边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点出发沿边向点以的速度移动，规定其中一个动点到达终点，另一个也随之停止运动．如果点，分别从点，同时出发，设运动的时间为，当时，点，位置如图所示，回答下列问题： (1)填空：当时，___________，___________，___________，___________（用含有的代数式作答） (2)当时，为何值时，可使； (3)当为何值时，的面积为． 22．如果方程的两个根是，那么，，请根据以上结论，解决下列问题： (1)已知关于x的方程的两个实数根之差的绝对值为，求a的值； (2)已知关于x的方程有两个实数根，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C D B D A B B A D 1．C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．一元二次方程的一般形式为，其中为一次项系数． 【详解】解：∵ 方程 ， ∴ ，，， ∴ 一次项系数为， 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了利用配方法求解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤，使用配方法解一元二次方程，将常数项移项后，两边加上一次项系数一半的平方，形成完全平方式． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故选：D． 3．B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，注意配方时添加常数项． 通过配方法将方程化为标准形式，先使二次项系数为1，再配方． 【详解】解：∵ ， ∴ 两边除以2：， ∴ 移项：， ∴ 配方：，即 ， ∴ 与 比较，得 ，， 故选：B． 4．D 【分析】本题考查一元二次方程的解，掌握好判别式的符号与根的关系是解题关键． 通过计算一元二次方程的判别式，根据判别式的值判断根的情况． 【详解】解：∵ 方程 中，，，， ∴ 判别式 ， ∵ ， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 5．A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式． 先由一元二次方程有两个不相等的实数根，根据判别式大于零求出k的取值范围；再根据根与系数的关系，将条件转化为关于k的方程，解出k的值，并验证是否满足取值范围． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得 又∵，， ∴， 整理得，， 解得或， ∵， ∴符合，不符合 故， 故选：A． 6．B 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；根据平均增长率x，二月份产量为，三月份产量为，二、三月份总产量为1200台，由此列方程即可． 【详解】解：设二、三月份每月的平均增长率为x， 由题意可列方程为； 故选B． 7．B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是关键． 先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此求出、的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程， ∴移项得， 配方得，即， 与比较，得，， ∴， 故选：B． 8．A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键． 通过变量替换，令，将新方程转化为原方程形式，利用已知解求解关于的方程． 【详解】令，则方程化为, ∵方程的解为，， ∴或， ∴或， 解得或 ∴新方程的解为， 故选：A． 9．D 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 设，则，进而得到，即是方程的根，进而得到是方程的根，由得到，根据可知，是方程的两个根，则或，排除，进而根据计算即可． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴是方程的根， ∵， ∴是方程的根， ∵， ∴两边同时除以得， 即， ∵， ∴ ∵ ∴，是方程的两个根， ∵是方程的根， ∴或， 当时，，不成立； 当时， ． 故选：D． 10． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，由于是方程的一个根，将其代入方程即可求解k的值． 【详解】解：将代入方程得：，解得， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了配方法的应用及整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 通过计算M与N的差值，得到，从而判断M恒小于N． 【详解】解： ， ∵, ∴ ∴． 故答案为：． 12． 2028 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数的关系得到，则，再利用整体代入的方法计算即可．熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 13． 且 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据一元二次方程的定义和根的判别式，方程有两个不相等的实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于零再进行计算，即可作答． 【详解】方程 是一元二次方程，因此二次项系数 ， 判别式 由于方程有两个不相等的实数根，故 ，即 ，解得 ， 故答案为且． 14．， 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，解一元二次方程——直接开平方法等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 通过已知方程的解求出参数m的值及a与b的关系，然后代入新方程求解． 【详解】解：由方程的解为，， 代入得和． 两式相减可得， 开方，得：或(不成立)， 即， 整理得， 所以． 将代入，得， 即． 将和代入方程， 得， 即， 整理得． 由于， 两边除以得， 即， 解得∶，． 故答案为：，． 15．2027 【分析】本题考查了新定义，配方法的应用，根据同族二次方程的定义，两个方程必须具有相同的c和k，由第二个方程确定，，令第一个方程中的c相等，解出（舍去），再令k相等，解出，代入代数式，结合配方法求最小值，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴，，， 解得，， 则 ， 当时，则， ∴， 即代数式的最小值是， 故答案为：． 16．2秒或4秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， ， ， ， ∴， 解得：，． 答：运动2秒或4秒后的面积为． 故答案为：2秒或4秒 17．(1)， (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）移项后根据因式分解法求解即可． （2）整理后根据配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 或 ， 解得， ； （2）解： 解得． 18．(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，一元二次方程的根与系数的关系，由一元二次方程的解求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，整理原方程为，则，故无论取何值，，即； （2）由得，因为设方程的两个实数根分别为，，得，，把数值代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， 则， ∵无论取何值，， ∴， 即无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵设方程的两个实数根分别为，， ∴，， 则， ∴． 19．垂直于墙的一边的长度为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设垂直于墙的一边的长度为，则，再根据矩形面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边的长度为，则， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 答：垂直于墙的一边的长度为． 20．(1)购进甲种头盔的单价是30元，乙种头盔的单价是36元 (2)甲种头盔的售价应上涨10元/个 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设购进甲种头盔的单价是元，则购进乙种头盔的单价是元，根据乙种头盔的购进数量比甲种头盔的购进数量少40个建立方程，解方程即可得； （2）设甲种头盔的售价应上涨元/个，根据月销售利润（售价进价）月销售量建立方程，解方程可得的值，再根据尽可能让顾客得到实惠解答即可得． 【详解】（1）解：设购进甲种头盔的单价是元，则购进乙种头盔的单价是元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， 则， 答：购进甲种头盔的单价是30元，乙种头盔的单价是36元． （2）解：设甲种头盔的售价应上涨元/个， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：甲种头盔的售价应上涨10元/个． 21．(1)，，， (2)为，可使 (3)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，相似三角形的判定，运用分类讨论思想是解题的关键； （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据，可得到，即可求解； （3）根据的面积为和运动情况，分类讨论：①当时，②当时，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，，，，， 故答案为：，，，； （2）解：当时，， ∵， ∴， 解得， ∴为，可使； （3）解：∵的面积为， ∴①当时，， ∵，， ∴，整理得， 解得，， ∵， ∴； ②当时，如图所示，过点作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴，整理得， 解得， ∵， ∴， 综上可知，当或时，的面积为． 22．(1)； (2) 【分析】（1）由韦达定理可得，，根据题意，得，，解方程即可； （2）设方程有两个实数根是，根据题意，得，，设新方程的两个根为，且，求解即可． 【详解】（1）解：设方程的两个根是， 根据题意，得，， 由， 得， 故， 整理，得， 解得； （2）解：设方程有两个实数根是， 根据题意，得，， 设新方程的两个根为，且， 故， 故构造的新方程为：， 故． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $