湖南株洲市第二中学2024-2025学年高二下学期入学考试数学试题

株洲市二中2025年上学期高二年级入学考试试卷 数学答案 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1． 【答案】B 2． 【答案】D 3． 【答案】A 4． 【答案】D 5． 【答案】D 6． 【答案】C 7． 【答案】A 8． 【答案】C 二、多项选择题 9． 【答案】AC 10． 【答案】BCD 11． 【答案】AD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12． 【答案】7 13． 【答案】 14． 【答案】 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15． 【详解】（1）底面，平面，．，． 又，平面．5分 （2） 设，取的中点，易得三角形是正三角形，，． 又底面，，平面，，． 在中，，，所以，可建立如图所示的空间直角坐标系，7分 则，，，，， ，，，，，， 设平面的一个法向量为，则即令，得． 设平面的一个法向量为，则即令，得． 所以，．10分 设平面的一个法向量为，， 则即令，得． 点到平面的距离为．13分 16． 【详解】（1）对求导得，1分 令，解得或．对分类讨论： 当时，令，解得或；令，解得． 在区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；3分 当时，在区间上单调递增；5分 同理可得：当时，在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增．7分 （2）若在区间有最大值2和最小值， 由知，在区间上单调递减，上单调递增． 若，则在区间上单调递减，，， 所以，解得，9分 若，则在区间上单调递减，上单调递增． 的最小值为，的最大值为和中较大的值．10分 当，即，即时， 即，解得，，舍去；12分 当，即，即时，， 即，即，无解．14分 综上可得，．15分 17． 【答案】（1）；（2）存在，理由见解析 【详解】（1）设双曲线的方程为，则有，，， ，所以双曲线方程为，5分 （2）联立方程得 消去得，6分 依题意有解得且①，8分 设，，则由韦达定理得，，9分 依题意有，所以；，10分 所以，化简得，符合①，所以存在这样的圆．15分 18． 【详解】（1）因为，所以，，因为，，所以，，，．又数列是等差数列，所以的公差，故数列的通项公式，3分 所以，即的通项公式．5分 （2）由（1）知，则．9分 （3）由（1）知， 当为偶数时，， 故，11分 此时，由，又且，所以解得，即．12分 当为奇数时，，此时．14分 综上可得，17分 19． 【答案】（1）是，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【详解】（1）函数是函数在区间上的级控制数． 理由如下：因为，且，所以，， 所以，即成立， 所以函数是函数在区间上的级控制函数，4分 （2）由函数是函数在区间上的级控制函数， 得，又，由指数函数性质得在上单调递增， 所以，即恒成立．6分 令，所以当，且时，恒成立， 故在上恒成立．8分 因为，所以在上恒成立， 则恒成立，即，由指数函数性质在上单调递增， 故，则，由题意得，所以， 综上，可以得到实数的取值范围是．10分 （3）因为函数在区间上存在两个零点，， 所以我们不妨设，且， 因为函数是函数在区间上的级控制函数， 所以， 即，， 可以得到，，． 要证，即证，即证，即证， 令，构造，所以， 所以在上单调递增，所以，即时，， 即成立，所以得证．17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲市二中2025年上学期高二年级入学考试试卷 数学试题 时量：120分钟 分值：150分 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．在空间四点，，，中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（ ） A．，，，四点不共线 B．，，，四点共面，但不共线 C．，，，四点不共面 D．，，，点中任意三点不共线 2．直线的倾斜角是（ ） A． B． C． D． 3．若数列是等差数列，且，，则（ ） A．30 B． C．20 D． 4．函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．若等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则（ ） A． B．3 C．9 D．27 6．已知点在椭圆上，点，，则的最大值为（ ） A． B．4 C． D．5 7．设，若函数，关于的方程有且仅有1个实根，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．若数列，满足，且，，则下列结论成立的是（ ） A． B．，满足 C．，满足 D．，使得成立 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9．在棱长为4的正方体中，M为棱中点，N为侧面的中心，P为线段（含端点）上一动点，平面交于Q，则（ ） A．三棱锥的体积为定值 B．的最小值为 C． D．平面将正方体分成两部分，这两部分的体积之比为 10．已知数列：，，，，，，，，，，，，，（其中第一项是，接下来的项是，，，再接下来的项是，，，，，，，依此类推），其前n项和为，则下列判断正确的是（ ） A．存在常数M，使得恒成立 B．是的第2036项 C． D．满足不等式的正整数n的最小值是2100 11．若函数有极值点，且，，则下列说法正确的是（ ） A．，有 B．，使得 C． D． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知数列的前n项和，第k项满足，则__________． 13．底面直径为10的圆柱被与底面成的平面所截，截口是一个椭圆，该椭圆的离心率为__________． 14．一个顶点为P，底面中心为O的圆锥的体积为，若正四棱锥内接于该圆锥，平面与该圆锥底面平行，点A，B，C，D都在圆锥的侧面上，则正四棱锥的体积的最大值是__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）如图，在四棱锥中，底面，，，，． （1）求证：平面． （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求点到平面的距离． 16．（15分）设函数． （1）讨论的单调性； （2）是否存在，使得在区间上的最小值为且最大值为？若存在，求实数，的值；若不存在，请说明理由． 17．（15分）中心在原点的双曲线的右焦点为，渐近线方程为． （1）求双曲线的方程； （2）直线与双曲线交于，两点，试探究，是否存在以线段为直径的圆过原点．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 18．（17分）已知数列，，其中数列是等差数列，且满足，，． （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）设数列的前项和为，记集合，求集合中所有元素的和． 19．（17分）若对且，函数，满足： ，则称函数是函数在区间上的级控制函数． （1）判断函数是否是函数在区间上的1级控制函数，并说明理由； （2）若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的取值范围； （3）若函数是函数在区间上的级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，，求证． 学科网（北京）股份有限公司 $