精品解析：湖南衡阳市衡阳县第一中学2025-2026学年高二下学期入学检测数学试题

2026年上学期高二入学检测 数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，则（ ）. A. B. C. D. 3 3. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 4. 正三棱柱的所有棱长都为，分别是的中点，则的长是（ ） A. B. C. D. 5. 2024年6月至10月全国进出口总值同比增长速度依次为，，则该组数据的极差与中位数之和为（ ） A. B. C. D. 6. 从点射出的一束光线在轴上反射后与圆相切，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左，右焦点分别为，点在上，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若数列满足：，，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 已知A为双曲线上位于第一象限内一点，过点A作x轴的垂线，垂足为M，点B与点A关于原点对称，点F为双曲线C的左焦点，则（ ） A. 若，则 B. 若，则的面积为2 C. D. 的最小值为4 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域是 B. 曲线在点处的切线方程是 C. D. 有两个不同的解，且 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数，则=___________ 13. 已知正三棱锥的侧棱两两垂直，，若空间中的动点到顶点的距离为，则平面截点的轨迹所得曲线的周长为______． 14. 若一组样本数据的平均数为10，另一组样本数据的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数是__________，方差是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为. （1）求； （2）若的面积为，求的周长. 16. 如图，在四棱锥中，底面，，，，设为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知等差数列满足，的前项和为. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 已知函数． （1）讨论的极值点个数； （2）若关于的方程有两个不同实根，求的取值范围，并证明：． 19. 已知圆，圆，若动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为. （1）求的方程； （2）已知点，过点且斜率不为0的一条直线，交曲线于、两点，直线、分别与直线交于、两点. ①求证：直线与直线的斜率之积为常数； ②求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期高二入学检测 数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， ，. 2. 在中，，，，则（ ）. A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得： ， 所以. 故选：B. 3. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得的值. 【详解】因为，故. 故选：D. 4. 正三棱柱的所有棱长都为，分别是的中点，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点为，连接，结合勾股定理即可求解； 【详解】 取的中点为，连接， 由正三棱柱的性质易知：平面, 又面， 所以，又， 所以， 故选：A 5. 2024年6月至10月全国进出口总值同比增长速度依次为，，则该组数据的极差与中位数之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察数据，算出该组数据的极差与中位数，求和即可. 【详解】将数据按从小到大的顺序排列：， 由题意得该组数据的极差为，中位数为， 则该组数据的极差与中位数之和为． 故选：B 6. 从点射出的一束光线在轴上反射后与圆相切，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设反射光线与轴的交点为，因为反射光线与直线关于直线对称，则反射光线的斜率与直线的斜率互为相反数，表示出反射光线的方程，由反射光线与已知圆相切，可得出圆心到反射光线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出反射光线所在直线的方程． 【详解】 由圆的方程化为, 则圆心为，半径为， 设反射光线与轴的交点为，则直线的斜率为， 因为反射光线与直线关于直线对称， 所以反射光线的斜率为， 则反射光线所在的直线方程为，即． 因为反射光线与圆相切，所以， 化简可得，解得经检验，不满足条件，舍去或， 所以反射光线方程为． 故选:B. 7. 已知椭圆的左，右焦点分别为，点在上，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用椭圆的定义求出各边长，利用余弦定理得到方程，即可求出离心率. 【详解】 由，可得在同一条直线上， 设，则， 由椭圆的定义， 则 因为，则即，解得， 所以 在中，， 在中，， 则，化简得，即,解得：. 故选：B. 8. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由得，先根据，逐一求出，，…，可以推出周期为4，根据周期可得答案． 【详解】由得.. 因为，所以，， ， ， 所以可知数列是以4为周期的数列，所以 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若数列满足：，，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】时，可得，，再由数列是等比数列得到，判断AB两个选项；时，类推得到，再由，计算出，判断CD两个选项. 【详解】时，，所以，，故A正确； 由得， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，，故B正确； 时，，所以，，， 以此类推，当为奇数时，，当为偶数时，，从而，故C错误； 由得， 所以，故D正确； 故选：ABD. 10. 已知A为双曲线上位于第一象限内一点，过点A作x轴的垂线，垂足为M，点B与点A关于原点对称，点F为双曲线C的左焦点，则（ ） A. 若，则 B. 若，则的面积为2 C. D. 的最小值为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，可得四边形为矩形，进而可判断选项A；结合双曲线的定义、勾股定理和三角形面积公式即可判断选项B；在中，得到的表达式，结合渐近线方程即可判断选项C；易知，当且仅当时，取到最小值，最小值为4，此时可判断选项D. 【详解】 设双曲线右焦点为，根据双曲线是中心对称图形可知四边形为平行四边形， 因为双曲线C的方程为，所以，，， 对于选项A：因为，所以， 即四边形为矩形，则，故选项A正确； 对于选项B：由双曲线定义可知：，又， 若，此时四边形为矩形， 则，所以， 即，解得，所以， 则，故选项B错误； 对于选项C：在中，， 易知双曲线的渐近线方程为，所以， 此时，即，故选项C正确； 对于选项D：因为， 当且仅当时，取到最小值，最小值为4，故选项D正确． 故选： 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域是 B. 曲线在点处的切线方程是 C. D. 有两个不同的解，且 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据对数、分式的性质求定义域判断A，应用导数几何意义求切线方程判断B，根据解析式化简判断C；利用导数研究的零点判断D. 【详解】由解析式知，故函数的定义域为，A对； 由且，则， 所以曲线在点处的切线方程， 则，B对； ，C错； 令，则， 所以在上都单调递增， 在区间上，时趋向，时趋向，故该区间存在一个零点， 在区间上，时趋向，时趋向，故该区间存在一个零点， 所以在定义域内存在两个不同零点，分别位于、内， 若零点，则，且，即， 此时， 所以是的一个零点，即，故，D对. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数，则=___________ 【答案】 【解析】 【分析】应用复数除法求复数，再由复数乘方运算及模长求法求结果. 【详解】由， 所以，故. 故答案为： 13. 已知正三棱锥的侧棱两两垂直，，若空间中的动点到顶点的距离为，则平面截点的轨迹所得曲线的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】设点在底面内的射影为点，连接、、，求出、的长，可知平面截点的轨迹所得曲线是以点为圆心，半径长为的圆，结合圆的周长公式可求得结果. 【详解】设点在底面内的射影为点，连接、、， 则为等边的中心， 因为正三棱锥的侧棱两两垂直，，则， 则是边长为的等边三角形， 由正弦定理可得，则， 因为平面，、平面，则，， 所以，，则， 所以，平面截点的轨迹所得曲线是以点为圆心，半径长为的圆， 所以，平面截点的轨迹所得曲线的周长为. 故答案为：. 14. 若一组样本数据的平均数为10，另一组样本数据的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数是__________，方差是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】计算出、的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的平均数和方差. 【详解】由题意可知，数据的平均数为， 所以，则， 所以数据、、、的平均数为， 方差为， 所以， 将两组数据合并后，得到新数据， 则其平均数为， 方差为. 故答案为：；. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解平均数与方差的计算公式，并进行计算. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为. （1）求； （2）若的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）解法一：利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可化简求得，由此可得；解法二：利用余弦定理角化边，进而利用余弦定理求出，由此可得； （2）由三角形面积公式可求得，利用余弦定理可构造方程求得，由此可得三角形周长. 【小问1详解】 解法一： 因为， 由正弦定理得， 所以， ， 即， 因为，所以， 因为，所以. 解法二： 因为， 由余弦定理得， 即， 即， 所以， 所以， 因为，所以. 【小问2详解】 解法一：因为的面积， 所以， 因为，所以， 由（1）得， 所以，故， 解得， 所以的周长. 解法二： 由（1）得， 因为， 所以，整理得， 即，又，所以为等边三角形， 即， 因为的面积， 所以， 所以的周长为6 解法三： （2）由（1）得， 所以， 当且仅当时取”， 因为， 所以， 因为的面积， 所以， 所以的周长为6. 16. 如图，在四棱锥中，底面，，，，设为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，根据线线平行证明面面平行，进而证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用坐标法可得平面法向量，进而可得面面角余弦值. 【小问1详解】 取中点，连接，， 则， 又， 四边形为平行四边形， ， 点是中点， ， 由，平面，，平面，且，， 平面平面， 平面， 平面； 【小问2详解】 由已知，，， 四边形是以为底边的等腰梯形，且，梯形的高为， 平面，平面， ， ， 如图所示，以点为坐标原点，，所在直线分别为轴与轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 即，，，， 设平面的法向量， 则， 令，得， 设平面的法向量， 则， 令，得， ， 平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知等差数列满足，的前项和为. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可求解公差和首项，即可求解， （2）根据裂项相消法以及等比求和公式分别求解，即可由分组求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由可得，解得， 故， 【小问2详解】 ， 故， 由于， ， 其中分别为前项中奇数项的和以及偶数项的和， 故 18. 已知函数． （1）讨论的极值点个数； （2）若关于的方程有两个不同实根，求的取值范围，并证明：． 【答案】（1）当时, 有两个极值点,当时, 没有极值点. （2）,证明见解析 【解析】 【分析】（1）讨论函数极值点的个数,先对函数求导,根据导数的性质和判别式分析导数零点的情况,进而确定极值点的个数; （2）对于方程有两个不同实根求参数范围,通过对方程变形,构造新函数,利用单调性和极值确定参数范围; 证明,通过对已知条件进行变形,利用对数运算性质和构造函数进行证明. 【小问1详解】 函数的定义域为,求导得, 令,, 若,解得或, 当时,有两个根,, 由,,得函数有两个极值点; 当时,因为函数的定义域为,所以, 故在恒成立,所以函数在 上单调递增,没有极值点; 当时,,函数,即,所以函数在 上单调递增,没有极值点. 综上:当时, 有两个极值点, 当时, 没有极值点. 【小问2详解】 因为,所以方程, 令,求导得, 当时,,在上单调递增,最多一个零点,不符合题意; 当时,在上单调递增,在上单调递减, 所以函数在时有极大值， 又因为当时,, 当时,, 所以要使方程有两个不同实根, 则,即,解得, 故的取值范围为: ; 由方程有两个不同实根, 得,, 所以, 由,得, , 令,则, 因为要证明,即要证明,也就是要证明, 即证明, 令,求导得, 所以在单调递增,所以,即, 整理得,,即,所以. 19. 已知圆，圆，若动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为. （1）求的方程； （2）已知点，过点且斜率不为0的一条直线，交曲线于、两点，直线、分别与直线交于、两点. ①求证：直线与直线的斜率之积为常数； ②求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义判断的轨迹为椭圆，进而求出椭圆方程； （2）①设直线，联立方程利用韦达定理求出，，根据斜率相等求出，然后代入斜率公式表示出化简即可得；②由①知，，所以，然后利用基本不等式求出最值即可 【小问1详解】 设动圆的半径为，由题意， 又，故的轨迹为椭圆. ，， 故的轨迹方程为 【小问2详解】 ①由（1）知，，设直线，，， 联立消去，整理得， 则， 根据题意可设，， 则由，可得， 由，可得， 所以直线与直线的斜率之积 所以直线与直线的斜率之积为定值. ②由①知，，所以. ， ， 所以 当且仅当或时等号成立， 所以面积的取值范围是. 【点睛】关键点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $