精品解析：北京市平谷区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2025北京平谷初二（下）期末 数学 考生须知 1．本试卷共6页，三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．请将条形码粘贴在答题卡相应位置处． 3．试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效；在答题卡上，选择题和画图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答． 4．考试结束后，请将试卷和草稿纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 数学中有许多精美的曲线．下面这四个曲线中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A 星形线 B. 三叶玫瑰线 C. 阿基米德螺线 D. 笛卡笛卡尔叶形线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是（ ） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，正多边形的外角和为360度，据此求出边数即可得到答案． 【详解】解：， ∴这个多边形的边数为5，即该多边形是 正五边形， 故选：C． 3. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程左右两边相等的未知数的值．根据一元二次方程的根的定义代入计算即可． 【详解】解：因为一元二次方程有一个根是0， 所以， 解得． 故选：C． 4. 一个同学整理了平行四边形和特殊平行四边形之间的关系图，如图所示，从下列条件， ①②③④中，选择其中一个条件填入（）中，补全关系图，其中所有正确选项的序号是（ ） A. ①②③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定，菱形的性质与判定等知识，掌握正方形的判定是解答本题的关键．结合图形可知，由菱形变形到正方形所需要的条件，根据菱形的性质以及正方形的判定判断即可作答． 【详解】解：由图可知： 平行四边形中，当时，平行四边形为菱形， 菱形中，， 当时，菱形为正方形，当时，菱形为正方形， ∴所有正确选项的序号是②④． 故选：B． 5. 如图，在点中，一次函数的图象不可能经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，掌握一次函数的图象分布规律是解题的关键．根据一次函数的性质可判断图象过一、三、四象限，不经过第二象限，再结合点M在第二象限，即可解答． 【详解】解：因为，， 所以的图象过一、三、四象限，不经过第二象限， 由图可得，点M在第二象限， 所以一次函数图象不可能经过点M． 故选：A． 6. 已知：如图，四边形是平行四边形，点为上的一点（不与点重合），连接．求作：点，使得点在上，且． 甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下： 甲：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接； 乙：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接； 丙：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接． 上述三名同学的作法一定正确的是（ ） A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 甲、丙 D. 甲、乙、丙 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了基本的尺规作图，平行四边形的性质与判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．结合基本的尺规操作，利用平行四边形的判定定理逐项进行判定即可． 【详解】解：甲：如图所示， 此时，四边形不是平行四边形， ∴与不平行，故甲作法错误； 乙：如图所示， 此时， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴，故乙作法正确； 丙：如图所示， 此时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，故丙作法正确； ∴作法一定正确的是乙、丙； 故选：B． 7. 有7个互不相等的数组成了一组数据，其平均数a与这7个数都不相等，把a和这7个数组成一组新的数据，下列结论正确的是（ ） A. 新数据的平均值比原数据的平均值小 B. 新数据的方差比原数据的方差大 C. 这两组数据的中位数可能相同 D. 以上结论都不正确 【答案】D 【解析】 【分析】设7个数据为，则，根据平均数，方差，中位数的定义计算判定即可．本题考查了中位数，方差，平均数的计算，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：设7个数据为，且， 则，即， 则，故平均数不变，A错误； 根据方差定义，得起始数据的方差为：， 新数据的方差为： ， 分子相同，分母变大，故新方差变小，故B错误； 根据，则起始数据的中位数为， 新数据的中位数是从小到大排列后中间两个数的平均数，即第4个，第5个数据的平均数， ∵平均数a与这7个数都不相等，即新数据中的8个数据互不相等， ∴新数据从小到大排列后第4个，第5个数据的平均数不与相等，故C错误； 故D正确． 故选：D． 8. 为平行四边形的对角线，，于点，于点，，交于点，连接和，射线交线段的延长线于点．①；②；③；④；上述结论正确的有（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】通过判断为等腰直角三角形，得到，再证明，易证，于是可对①进行判断；根据平行四边形的性质得到，可对②进行判断；由H不是的中点，可对③进行判断；依据勾股定理即可得到，，可对④进行判断． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵平行四边形中，， ∴，故②正确； ∵H不是的中点， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确． ∴其中正确的结论有①②④． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可． 【详解】解：根据题意可得； 解得， ∴函数中，自变量的取值范围是． 故答案为：． 10. 若函数是关于的一次函数，随增大而增大，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象性质，根据一次函数的图象性质可得，解得k的取值范围即可． 【详解】解：若函数是关于的一次函数，随增大而增大， 则， 解得：， 故答案为：． 11. 若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是_． 【答案】＞ 【解析】 【分析】由关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，可得：＜ 再列不等式，解不等式可得答案． 【详解】解： 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根， ＜ ＜ ＜ ＜ ＞ 故答案为：＞ 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，一元一次不等式的解法，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 12. 如图，矩形的对角线，相交于点，于点，，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理．先由勾股定理得到，从而求得，根据矩形的性质得到，从而根据的面积即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在矩形中，， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：6 13. 把方程化成的形式，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程． 将原方程配方，求出、的值，再计算即可． 详解】解：将配方得， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，点在同一条直线上，正方形，正方形的边长分别为为的中点，则BM的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、直角三角形斜边上的中线与斜边的关系、勾股定理． 连接，利用勾股定理可以求得的长，然后根据正方形的性质可以得到的形状，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到的长． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴， ∴， ∵M为线段的中点， ∴， ∵正方形，正方形的边长分别为6，2 ∴，， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 15. 有一块长、宽的矩形铁皮，如果在铁皮的四个角上各截去一个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为的无盖的盒子，设截去小正方形的边长为，则可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式学会通过图形求出面积是解题关键．设截去的小正方形的边长为，从而得出这个长方体盒子的底面的长是，宽是，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，得出方程求出即可． 【详解】解：设截去的小正方形的边长为，根据题意列方程，得 ． 故答案为：． 16. 关于函数和函数，有以下结论： ①当时，的取值范围是； ②函数上的两点，若，则； ③函数的图象和函数的图象的交点在第四象限； ④若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则． 其中所有正确的结论的序号是_____． 【答案】①④ 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的图象和性质，不等式的性质，掌握一次函数的图象和性质是正确解答的前提． 根据一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的增减性逐项进行判断即可． 【详解】解：①当时，，当时，， 而一次函数，y随x的增大而减小，所以，所以①正确； ②一次函数，y随x的增大而增大， ∴当时，，因此②不正确； ③解方程组，解得，则函数的图象与函数的图象的交点坐标为， 当时，，，此时交点在第一象限，所以③不正确； ④若点点在函数的图象上，点在函数的图象上， 则， ， ∴，， 当时，，即，因此④正确． 综上所述，正确的结论有①④． 故答案：①④ 三、解答题（本题共68分，第17题10分，第18－25题，每题5分，第26－28题每小题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先移项，再利用提公因式法分解因式，进而解方程即可； （2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解： 或 解得； 【小问2详解】 解： 或 ． 18. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）若点为轴上一点，且的面积为6，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式等知识，正确求出函数解析式是关键． （1）利用待定系数法进行解答即即可； （2）点C的坐标为，则，根据的面积为6得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：一次函数的图象经过点和点． ∴ 解得， ∴ 【小问2详解】 画出一次函数图象如下： 设点C的坐标为，则， ∵的面积为6， ∴ 解得，或 ∴或 19. 如图，中，于，，交的延长线于点，求证：四边形为矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，由平行四边形的性质得到，由得出，根据矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴ ， ∴四边形是矩形； 20. 已知：如图，在中，． 求作：以为边作菱形． 作法： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线与交于点； ②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； ③连接． 四边形ABCD为所求的菱形． （1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成以下证明． 证明：平分， ， 又， 四边形为平行四边形（ ）（填推理的依据） 又 平行四边形是菱形．（ ）．（填推理的依据） （3）若，则菱形的面积为 ． 【答案】（1）见解析 （2）；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形 （3） 【解析】 【分析】本题考查尺柜作图，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可； （3）根据菱形的性质得，由勾股定理求出，再利用菱形的面积公式求解． 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 证明：∵，平分， ∴， 又∵， .四边形为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， 又∵， ∴平行四边形是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）； 故答案为：，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的平行四边形是菱形； 【小问3详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 故答案为：24． 21. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根为正数，求实数的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式、解一元一次不等式等知识，对于一元二次方程，则有方程有两实根，方程有两不等实根，方程有两相等实根， 方程没有实根． （1）先求出的值，再根据的意义即可得到结论； （2）利用因式分解法求得方程的根为，然后根据方程有一根为正数列出关于k的不等式并解答． 【小问1详解】 证明：（1）， ， ， ， ， 方程总有两个实数根． 【小问2详解】 ， ， 方程有一根为正数， ， ． 22. 在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移2个单位得到的直线，直线经过点． （1）求与的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于0，又小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移的性质，一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，熟知一次函数的性质是解题的关键． （1）先根据直线向上平移 2 个单位得出，再将点代入，求出的值即可； （2）先画图，再得出函数的图象经过定点，再把代入，得出，结合题意以及运用数形结合思想得且，即可作答． 【小问1详解】 解：∵将函数的图象向上平移2个单位得到的直线， ∴， 则， 依题意，把代入， 得， ∴， 【小问2详解】 解：由（1）可知，，， ∴平移后直线解析式为， 如图所示： 当时，则， 即函数的图象经过定点 把代入，得出， ∵当时，对于的每一个值，函数的值既大于0，又小于一次函数的值， ∴且， 解得． 23. 如图，菱形的对角线与交于点，为的中点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求平行四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，勾股定理，三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握菱形的性质，平行四边形的判定是解题的关键． （1）先得到为的中位线，则根据三角形中位线的性质以及已知添加证明，即可证明； （2）先求出，再由勾股定理求出，然后过点作于点，由面积法得到，即可求解，再由平行四边形面积公式求解． 【小问1详解】 证明：菱形 ． 为中点 为的中位线 ． 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：过点作于点 菱形 ， 解得：． ． 24. 平谷区某家具城每月付给销售人员的工资有如下两种方案． 方案一：没有底薪，只付销售提成； 方案二：底薪加销售提成． 如图，射线、射线分别表示该家具城每月按方案一、方案二付给销售人员的工资（单位：元）和（单位：元）与销售人员当月家具销售总价（单位：万元）（）的函数关系． （1）直接写出方案二中的底薪是 元； （2）求与的函数解析式； （3）若该公司某销售人员今年5月的家具销售总价没有超过10万元，但其5月的工资超过了5000元，请你判断该公司采用了哪种工资方案付给这名销售人员的5月工资，并说明你的理由． 【答案】（1）3000 （2） （3）采用了方案一，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题关键是结合题意能判断出对应的图象，并熟练掌握待定系数法求函数解析式． （1）方案二是底薪加销售提成，可判断出不过原点的图象是，根据过点，可求解； （2）由过点和，通过设，利用待定系数法即可求解； （3）用待定系数法先求出解析式，根据工资超过5000元，分别构建不等式求出两种销售总价的范围，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意及图象知过点，说明方案二中的底薪是3000； 【小问2详解】 设， 图象过和， ∴， 解得， ； 【小问3详解】 采用了方案一，理由如下： 设， 图象过， ∴， 解得， ∴， 若按照方案一发工资，则，解得：， 若按照方案二发工资，则，解得， 销量没有超过10万元， 采用了方案一． 25. 2025年2月，北京市教育委员会发布《关于进一步加强新时代中小学体育工作的若干措施》，明确要求中小学每天综合体育活动时间不低于2小时．某校从初二年级随机抽取50名学生，记录这50名学生某日校外体育活动时长（单位：分钟）．研究小组对数据进行整理分析，得到如下信息： a．50名学生校外体育活动时长的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： b．50名学生校外体育活动时长在这一组的是： 55 55 56 56 56 56 56 56 56 56 56 56 56 57 57 58 58 59 59 59 c．50名学生校外体育活动时长的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 （1）根据以上信息，回答下列问题： ①补全频数分布直方图； ②的值为 ，的值为 ． （2）甲、乙、丙三名学生参加为期5天的专项训练，每日活动时长记录如下（单位：分钟）： 学生 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 甲 64 58 60 60 59 乙 60 63 60 60 59 丙 60 60 60 59 对每一名学生计算5天活动时长的平均数和方差．规定平均数较大的学生排序靠前；若平均数相同，则方差较小的学生排序靠前．若丙在甲、乙、丙三名学生中的排序居中，则这三名学生中排序最靠前的是 ，表中（为整数）的值为 ． 【答案】（1）补全频数分布直方图见解析，，； （2）乙，． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，求一组数据的平均数，中位数、众数和方差，列不等式求p的值是解题的关键． （）样本容量减去已知各组的人数，即得这一组的人数，即可补全图形； 在这一组的数据从小到大排列的第8和第9个数据就是中间两个数据，它们的平均值即为中位数；这一组中的数据56的人数最多，是人，且超过其他组的最多人数，故求得众数； （）计算，的值，即知三名学生中排序最靠前的是甲学生；根据列出不等式，求得，所以或，再分两种情况分别求出三位学生的方差值验证即可． 【小问1详解】 解：这一组的频数为， 故可补全频数分布直方图如下： ； 根据频数分布直方图可知，和两组共有17人， 因此中位数在这一组中产生， 在这一组的数据从小到大排列的第8和第9个数据均为56， 故中位数为：； 根据频数分布直方图可知，这一组中的数据56的人数最多，是11人，且超过其他组的最多人数， 所以众数的值为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵丙在甲、乙、丙三名学生中的排序居中， ∴只需比较甲乙， 由，， ， 所以这三名学生中排序最靠前的是乙学生； ， ， 丙在甲、乙、丙三名学生中的排序居中， ， ， 解得， 整数， 或， 当时，， 此时，，，符合题意； 当时，， 此时，，，不符合题意； 综上所述，表中的值为． 故答案为：乙，． 26. 某班“数学兴趣小组”在学完一次函数后，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： （1）列表： … 0 1 2 3 4 5 … … 7 3 1 1 3 5 … 表格中： ； （2）在平面直角坐标系中画出该函数图象； （3）观察图象： ①的图象关于 对称； ②直线与的图象有两个交点，的取值范围是 ； ③当时，的取值范围 ． （4）进一步研究：若点是函数图象上任意两点，若对于，都有，则的取值范围是 ． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）①直线；②；③； （4）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，分段函数． （1）直接将代入计算即可； （2）描点连线即可； （3）①根据函数图象作答即可； ②根据函数图象作答即可； ③根据函数图象作答即可； （4）先求出函数图象开口向上，对称轴为直线，确定函数增减性，由“对于，，都有”可知，，得到，求出，进而计算即可． 【小问1详解】 解：将代入可得： ， 即， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图： ； 【小问3详解】 解：①由图像可知，的图象关于直线对称， 故答案为：直线； ②由图像可知，直线与的图象有两个交点，的取值范围是， 故答案为：； ③由图像可知，当时，的取值范围， 故答案为：； 【小问4详解】 解：中，令，则， 由（2）可知函数图象开口向上，顶点为，对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， ∵对于，，都有， ∴，， ∴，即， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 27. 在正方形中，E为边上一点（不与点A，D重合），将线段沿直线翻折，得到线段，连接并延长，与线段的延长线相交于点G，连接． （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）依题意补全图形即可； （2）设，利用正方形和翻折的性质得到，，再利用等腰三角形的性质即可求出的度数； （3）作，交的延长线于点H，连接，利用正方形和翻折的性质证明，得到，，推出是等腰直角三角形，则有，等量代换即可得出结论． 【小问1详解】 解：补全图形如图1所示： 【小问2详解】 解：设． 四边形是正方形， ，， ， 将线段沿直线翻折，得到线段， ，， ， ， ． 【小问3详解】 解：，证明如下： 如图2，作，交的延长线于点H，连接． ， ， 四边形是正方形， ，， ，即， 将线段沿直线翻折，得到线段， ，， ，， ， ， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ． 28. 对于实数和平面直角坐标系中的两点和给出如下定义：如果或者，则称点和点是阶遥远点．如果图形上任意点和图形上任意点都是阶遥远点，则称图形和图形是阶遥远图形． 已知点，，，． （1）下列各点中，点A的阶遥远点是 ； ，，，． （2）如果直线与四边形是1阶遥远图形，求的取值范围． （3）已知点，，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角，若等腰直角与四边形为阶遥远图形，直接写出实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据题设定义逐个判断即可； （2）由题可知直线经过定点，分类讨论当时，临界点为，当时，临界点为，代入求解即可； （3）根据在正方形左侧、右侧、内部分别讨论求解． 【小问1详解】 ：，符合； ：，，不符合； ：，，不符合； ：，符合； 综上，点A的阶遥远点是和． 故答案为：，； 【小问2详解】 设所在直线为为为， 解得为， 同理可求为． 对于，当时，，过定点， 设与轴交点为，如图， 若，则经过一、二、三象限． 当为时，求得， 均是等腰直角三角形， 和直线上任意两点间的最短距离均相等． 延长交于点，即是等腰直角三角形， 由得， 过作轴垂线，垂足为，则为等腰直角三角形， 对于和，则． 当绕着沿顺时针旋转时，如图中为等腰直角三角形， 对于和，满足题意． 当绕着沿逆时针旋转时，如图中，为等腰直角三角形， 对于和，不满足题意． 故，求得． 再根据对称性，当时，同理求得． 综上所述，或； 【小问3详解】 由题可得，，， ∴或，根据对称性，此处只需考虑的情况. ①在正方形左侧时，如图，只需使点和点是阶遥远点， 则，所以； ②在正方形右侧时，如图，只需满足点和点是阶遥远点即可， 则，所以； ③在正方形内时， （i）如图， 过作于；过作轴，过作轴，和交于点；过作于． 四边形为矩形，， 轴，，又， 是等腰直角三角形， 故对于和， 当时，，为等腰直角三角形， ，故 （ii）如图， 延长交于，过作轴于，过作于． 是等腰直角三角形， 故易知也是等腰直角三角形， 对于和， 当时， ，故． 当介于上述（i）和（ii）之间时，满足题意，故． 综上，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025北京平谷初二（下）期末 数学 考生须知 1．本试卷共6页，三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．请将条形码粘贴在答题卡相应位置处． 3．试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效；在答题卡上，选择题和画图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答． 4．考试结束后，请将试卷和草稿纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 数学中有许多精美的曲线．下面这四个曲线中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. 星形线 B. 三叶玫瑰线 C. 阿基米德螺线 D. 笛卡笛卡尔叶形线 2. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是（ ） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 3. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 2或 4. 一个同学整理了平行四边形和特殊平行四边形之间的关系图，如图所示，从下列条件， ①②③④中，选择其中一个条件填入（）中，补全关系图，其中所有正确选项的序号是（ ） A. ①②③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④ 5. 如图，在点中，一次函数的图象不可能经过的点是（ ） A. B. C. D. 6. 已知：如图，四边形是平行四边形，点为上的一点（不与点重合），连接．求作：点，使得点在上，且． 甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下： 甲：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接； 乙：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接； 丙：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接． 上述三名同学的作法一定正确的是（ ） A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 甲、丙 D. 甲、乙、丙 7. 有7个互不相等的数组成了一组数据，其平均数a与这7个数都不相等，把a和这7个数组成一组新的数据，下列结论正确的是（ ） A. 新数据的平均值比原数据的平均值小 B. 新数据的方差比原数据的方差大 C. 这两组数据的中位数可能相同 D. 以上结论都不正确 8. 为平行四边形的对角线，，于点，于点，，交于点，连接和，射线交线段的延长线于点．①；②；③；④；上述结论正确的有（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 函数中，自变量的取值范围是______． 10. 若函数是关于的一次函数，随增大而增大，则的取值范围是_____． 11. 若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是_． 12. 如图，矩形的对角线，相交于点，于点，，则_____． 13. 把方程化成的形式，则_____． 14. 如图，点在同一条直线上，正方形，正方形的边长分别为为的中点，则BM的长为_____． 15. 有一块长、宽的矩形铁皮，如果在铁皮的四个角上各截去一个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为的无盖的盒子，设截去小正方形的边长为，则可列方程为_____． 16. 关于函数和函数，有以下结论： ①当时，的取值范围是； ②函数上的两点，若，则； ③函数的图象和函数的图象的交点在第四象限； ④若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则． 其中所有正确的结论的序号是_____． 三、解答题（本题共68分，第17题10分，第18－25题，每题5分，第26－28题每小题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程： （1） （2） 18. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）若点为轴上一点，且面积为6，求点的坐标． 19. 如图，中，于，，交的延长线于点，求证：四边形为矩形． 20. 已知：如图，在中，． 求作：以为边作菱形． 作法： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线与交于点； ②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； ③连接． 四边形ABCD为所求的菱形． （1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成以下证明． 证明：平分， ， 又， 四边形为平行四边形（ ）（填推理的依据） 又 平行四边形是菱形．（ ）．（填推理的依据） （3）若，则菱形的面积为 ． 21. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根为正数，求实数的取值范围． 22. 在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移2个单位得到的直线，直线经过点． （1）求与值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于0，又小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 23. 如图，菱形的对角线与交于点，为的中点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求平行四边形的面积． 24. 平谷区某家具城每月付给销售人员的工资有如下两种方案． 方案一：没有底薪，只付销售提成； 方案二：底薪加销售提成． 如图，射线、射线分别表示该家具城每月按方案一、方案二付给销售人员的工资（单位：元）和（单位：元）与销售人员当月家具销售总价（单位：万元）（）的函数关系． （1）直接写出方案二中的底薪是 元； （2）求与的函数解析式； （3）若该公司某销售人员今年5月的家具销售总价没有超过10万元，但其5月的工资超过了5000元，请你判断该公司采用了哪种工资方案付给这名销售人员的5月工资，并说明你的理由． 25. 2025年2月，北京市教育委员会发布《关于进一步加强新时代中小学体育工作的若干措施》，明确要求中小学每天综合体育活动时间不低于2小时．某校从初二年级随机抽取50名学生，记录这50名学生某日校外体育活动时长（单位：分钟）．研究小组对数据进行整理分析，得到如下信息： a．50名学生校外体育活动时长的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： b．50名学生校外体育活动时长在这一组的是： 55 55 56 56 56 56 56 56 56 56 56 56 56 57 57 58 58 59 59 59 c．50名学生校外体育活动时长的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 （1）根据以上信息，回答下列问题： ①补全频数分布直方图； ②的值为 ，的值为 ． （2）甲、乙、丙三名学生参加为期5天的专项训练，每日活动时长记录如下（单位：分钟）： 学生 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 甲 64 58 60 60 59 乙 60 63 60 60 59 丙 60 60 60 59 对每一名学生计算5天活动时长的平均数和方差．规定平均数较大的学生排序靠前；若平均数相同，则方差较小的学生排序靠前．若丙在甲、乙、丙三名学生中的排序居中，则这三名学生中排序最靠前的是 ，表中（为整数）的值为 ． 26. 某班“数学兴趣小组”在学完一次函数后，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： （1）列表： … 0 1 2 3 4 5 … … 7 3 1 1 3 5 … 表格中： ； （2）在平面直角坐标系中画出该函数图象； （3）观察图象： ①的图象关于 对称； ②直线与图象有两个交点，的取值范围是 ； ③当时，的取值范围 ． （4）进一步研究：若点是函数图象上任意两点，若对于，都有，则的取值范围是 ． 27. 在正方形中，E为边上一点（不与点A，D重合），将线段沿直线翻折，得到线段，连接并延长，与线段延长线相交于点G，连接． （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 对于实数和平面直角坐标系中的两点和给出如下定义：如果或者，则称点和点是阶遥远点．如果图形上任意点和图形上任意点都是阶遥远点，则称图形和图形是阶遥远图形． 已知点，，，． （1）下列各点中，点A的阶遥远点是 ； ，，，． （2）如果直线与四边形是1阶遥远图形，求的取值范围． （3）已知点，，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角，若等腰直角与四边形为阶遥远图形，直接写出实数取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$