专题11.1 统计-2027届高三数学一轮复习讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦统计核心考点，涵盖随机抽样与分层抽样、频率直方图、数字特征及方差标准差，按“抽样方法—数据描述—特征分析”逻辑架构知识体系。通过考点梳理（定义与特征）、方法指导（如分层抽样比例计算）、真题训练（典型例题与分层练习），帮助学生系统突破统计难点。 讲义突出数学思维与数据意识培养，如分层抽样中结合校学生牙齿健康案例（例1）引导比例推理，频率直方图通过面积求频数强化直观想象。设置基础到综合分层练习，配合即时反馈，助力学生高效掌握统计方法，为教师提供精准复习节奏把控依据，提升学生应考能力。

专题11.1 统计 11.1.1 随机抽样和分层抽样 1、抽样调查 （1）总体：统计中所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合称为总体． （2）个体：构成总体的每一个元素叫做个体． （3）样本：从总体中抽取若干个个体进行考察，这若干个个体所构成的集合叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量． 2、简单随机抽样 （1）定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.这样抽取的样本，叫做简单随机样本． （2）两种常用的简单随机抽样方法 ①抽签法：一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本． ②随机数法：即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．这里仅介绍随机数表法．随机数表由数字0，1，2，…，9组成，并且每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样的． （3）抽签法与随机数法的适用情况 抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况，但是当总体容量很大时，需要的样本容量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便． （4）简单随机抽样的特征 ①有限性：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析． ②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作． ③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算． ④等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样方法的公平． 3、分层抽样 （1）定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的． （2）分层抽样问题类型及解题思路 ①求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算． ②已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算． ③分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中：抽样比=. 注意：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取 个个体（其中i是层数，n是抽取的样本容量，是第i层中个体的个数，N是总体容量）． 例1.某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为 . 解：设高一、高二抽取的人数分别为，则，解得. 故答案为：70. 例2.总体由编号为01，02，…，30的30个个体组成.利用所给的随机数表选取6个个体，选取的方法是从随机数表第1行的第3列开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（    ） （第一行）1712    1340    3320    3826    1389    5103    7417    7637 （第二行）1304    0774    2119    3056    6218    3735    9683    5087 A．20 B．26 C．17 D．03 解：从随机数表第1行的第3列开始，由左到右依次选取两个数字，选出的编号依次为：12,13,40,33,20,38,26,13,89,51,03,，剔除掉总体编号以外的编号，以及重复的编号，则选出来的个体的编号依次为：12,13,20,26,03,，所以选出来的第5个个体的编号为03. 故选：D. 例3.现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，O型､A型､B型和AB型血的学生依次有300，200，180，120人.为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（     ） A．①②都采用简单随机抽样 B．①②都采用分层随机抽样 C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样 D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样 解：由题意对于①，40台刚出厂的大型挖掘机被抽取Possibility一样，故为简单随机抽样； 对于②，为了研究血型与色弱的关系，说明某校800名学生被抽取的可能性要按照血型比例分层抽取，故为分层随机抽样.故选：C. 例4.为客观了解上海市民家庭存书量，上海市统计局社情民意调查中心通过电话调查系统开展专项调查，成功访问了2007位市民，在这项调查中，总体、样本及样本的容量分别是（    ） A．总体是上海市民家庭总数量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007 B．总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007 C．总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民，样本的容量是2007 D．总体是上海市民家庭总数量，样本是2007位市民，样本的容量是2007 解：根据题目可知，总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007，故选：B. 1.为了解某校高一1200名学生的身高，从中抽取100名学生测身高，下列说法正确的是（ ） A.1200名学生是总体 B.每名高一学生是个体 C.100名学生的身高构成样本 D.样本容量是100名学生 解：总体、个体、样本均指数值指标（身高），不是学生实体；样本容量是纯数字，无单位. A错：总体是1200名高一学生的身高；B错：个体是每一名高一学生的身高；C对； D错：样本容量是100，不能带“名学生”.故选：C. 2.下列抽样方式属于简单随机抽样的有（ ） ①从无限颗糖果中抽取10颗； ②从50个零件中一次性抽取5个； ③将50个零件编号写纸条，搅拌均匀后逐个不放回抽取； ④利用随机数表从800名学生中抽取50人. A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 解：简单随机抽样四大硬性条件：总体有限、逐个抽取、不放回、等可能. ①总体无限，不满足，排除； ②一次性抽取≠逐个抽取，不满足，排除； ③抽签法、④随机数表法，均符合全部条件.故选：B. 3.总体分为三层，第一层200人，第二层300人，第三层500人；分层抽样共抽取100个样本，则第二层抽取人数为 . 解：总容量，第二层抽取：. 故答案为：30人. 4.社区居民分为青年、中年、老年三层，人数分别为1200、1500、900；分层抽样抽取120人调查养老意愿，则青年抽取人数为 ，中年抽取人数为 ，老年抽取人数为 . 解：总体总人数，抽样比， 青年：；中年：；老年：. 故答案为：青年40人，中年50人，老年30人. 5.某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（     ） 32 21 18 34 29  78 64 54 07 32  52 42 06 44 38  12 23 43 56 77  35 78 90 56 42 84 42 12 53 31  34 57 86 07 36  25 30 07 32 86  23 45 78 89 07  23 68 96 08 04 32 56 78 08 43  67 89 53 55 77  34 89 94 83 75  22 53 55 78 32  45 77 89 23 45 A．623 B．328 C．072 D．457 解：从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007，第五个是328，第六个数是623，故选：A. 6.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取______名学生． 解：∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6， ∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：.故答案为60. 7.某校高三文科2个班共90人，理科6个班共270人；分层抽样抽取40人调研模考成绩，则文科、理科抽取人数的差值为 . 解：总体总人数：，抽样比：，文科抽取：；理科抽取：，人数差值为：.故答案为：20. 8.关于分层抽样计算公式，说法正确的是（ ） A.抽样比 B.第层抽取个体数量 C.每层的抽样比不相等 D.每层抽取数量与该层个体总数无关 解：分层抽样核心公式：抽样比，每层抽样比完全相同； 每层抽取数量：. A公式写反，C、D违背分层抽样比例原则.故选：B. 11.1.2 统计图-频率直方图 频率、频数、样本容量的计算方法： （1）． （2），，样本容量×频率=频数. （3）频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于1． 例1.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[5.31,5.33)、 [5.33,5.35)、...、[5.45,5.47)、[5.47,5.49)，并整理得到频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径不小于5.43mm的个数为（ ） A．10 B．18 C．26 D．36 解：由频率分布直方图可知，直径不小于5.43mm的零件所占的频率为（6.25+5×2）×0.02=0.325，因此，在被抽取的零件中，直径不小于5.43mm的个数为80×0.325=26. 故选：C. 例2.2021年4月23日是第26个世界读书日，某市举行以“颂读百年路，展阅新征程”为主题的读书大赛活动，以庆祝中国共产党成立100周年．比赛分初赛和复赛两个阶段进行， 规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有1000名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30,150]内，其频率分布直方图如下图所示，则该校获得复赛资格的人数为（ ） A．650 B．660 C．680 D．700 解：设初赛成绩在(90,110]的频率为x，因为频率直方图中，所有小矩形的面积之和为1， 所以(0.0025+0.0075+0.0075+0.0125+0.005)×20+x，解得：x=0.3. 由频率直方图可知：初赛成绩大于90分的频率为：(0.0125+0.005)×20+x=0.35+0.3=0.65， 因此该校获得复赛资格的人数为0.65×1000=650.故选：A 例3.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为 （     ） A．0.27,78 B．0.27,83 C．2.7,78 D．2.7,83 解：由频率分布直方图知组距为，间的频数为.间的频数为.又前组的频数成等比数列，公比为.根据后组频数成等差数列，且共有人.从而间的频数最大，且为，，设公差为，则.，从而.故选A. 例4.某学校艺术专业300名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图： (1)从总体的300名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率； (2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数； (3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例． 解：（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于的频率为， 所以样本中分数小于的频率为. 所以从总体的名学生中随机抽取一人，其分数小于的概率估计值为. （2）根据题意，样本中分数不小于的频率为， 故样本中分数小于的频率为，故分数在区间内的人数为. 所以总体中分数在区间内的人数估计为. （3）由题意可知，样本中分数不小于的学生人数为， 所以样本中分数不小于的男生人数为. 所以样本中的男生人数为， 女生人数为， 男生和女生人数的比例为. 所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为. 1.将1916到2015年的全球年平均气温（单位：℃），共100个数据，分成6组： [13.55,13.75)，[13.75,13.95)，[13.95,14.15)，[14.15,14.35)，[14.35,14.55)，[14.55,14.75]， 并整理得到如下的频率分布直方图，则全球年平均气温在区间[14.35,14.75]内的有（     ） A．22年 B．23年 C．25年 D．35年 解：全球年平均气温在区间内的频率为， 则全球年平均气温在区间内的有年.故选：B. 2.从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66,70)、[70,74)、、[94,98]，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82,86)内的影视作品数量是（    ） A．20 B．40 C．64 D．80 解：由频率分布直方图可知，评分在区间内的影视作品数量为.故选：D. 3.为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁~18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如图所示，根据该图可得这100名学生中体重在[56.5,64.5]的学生人数是（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 解：由频率直方图得，体重在的频率为，所求人数为.故选：C. 4.在某次高中数学模拟考试中，对800名考生的考试成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间分别为，，，，，.若考生成绩在内的人数为，考生成绩在内的人数为，则（    ） A．20 B．10 C．60 D．40 解：由频率分布直方图可得， ，所以.故选：D. 5.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20,40), [40,60),[60,80),[80,100).若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（     ） A． B． C． D． 解：每一组的频率等于本组矩形的面积， 所以的面积是，所以这组的频数就是，故选B. 6.对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间[20，25)上的为一等品，在区间[15，20)和区间[25，30)上的为二等品，在区间[10，15)和[30，35]上的为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（    ）    A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45 解：组距为，二等品的概率为.所以，从该批产品中随机抽取件，则其是二等品的概率为，所以选D. 7.某中学为了解学生的数学学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图，根据频率分布直方图，推测这3000名学生在该次数学考试中成绩不低于80分的学生人数是___________. 解：由频率分布直方图成绩不低于80的学生的频率为10×（0.020+0.008）＝0.28， 所以成绩不低于80分的学生数是3000×0.28＝840.故答案为：840. 8.为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20 000人，并根据所得数据画出样本的频率直方图如图所示(最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值)．现按月收入分层，用分层抽样的方法在这20 000人中抽出200人做进一步调查，则月收入在[1 500，2 000)(单位：元)内的应抽取________人． 解：月收入在[1 500，2 000)内的频率为1－(0.000 2＋0.000 5×2＋0.000 3＋0.000 1)×500＝0.2，故应抽取200×0.2＝40(人)．故答案为：40. 11.1.3 平均数、中位数、众数、百分位数 1.频率分布直方图中数字特征的计算 （1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． （2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为x，利用左（右）侧矩形面积之和等于0.5，即可求出x． （3）平均数等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积． 2.百分位数 （1）定义：一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有1-p%的数据大于或等于这个值． （2）计算一组n个数据的的第p百分位数的步骤 ①按从小到大排列原始数据． ②计算i=n×p%． ③若i不是整数而大于i的比邻整数j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第i+1项数据的平均数． （3）四分位数 我们之前学过的中位数，相当于是第50百分位数．在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数． 3.样本的数字特征 （1）众数、中位数、平均数 ①众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平． ②中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的中间水平． ③平均数：n个样本数据的平均数为. 例1.某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图（如图）．其中，成绩分组区间为[60,70），[70,80），...，[140,150]．用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的估计值为 ． 解：观察频率分布直方图，数学成绩在区间的频率为，数学成绩在区间的频率为，因此数学成绩的中位数，且，解得，所以这次考试数学成绩的中位数的估计值为114.故答案为：114. 例2.样本数据58，49，53，46，56，56，51，71，56，53的80%分位数是（    ） A．50 B．56 C．57 D．58 解：样本数据从小到大排序为：，共10个，因为，所以所求80%分位数为.故选：C. 例3.已知样本数据的均值，则样本数据的均值为 ． 解：因为样本数据的均值，所以样本数据的均值为.故答案为：. 例4.如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是（　　） A．12.5,12.5 B．13.5,13 C．13.5,12.5 D．13，13 解：根据频率分布直方图可以得到第一组的频率为0.2， 第二组的频率为0.5，则第三组的频率为0.3， 则平均数为7.5×0.2+12.5×0.5+17.5×0.3=13， 由中位数的概念可以得到中位数在第二组区间（10，15]的的位置， 即中位数为10+（15-10）×=13．故选D． 1.（多选）某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成6组：[90,91），[91,92），...，[95,96]，得到如图所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中正确的是（ ） A．b=0.25 B．长度落在区间[93,94）内的个数为35 C．长度的众数一定落在区间[93,94）内 D．长度的中位数一定落在区间[93,94）内 解：对于A，由频率和为1，得（0.35+b+0.15+0.1×2+0.05）×1=1，解得：b=0.25,则A正确. 对于B，长度落在区间[93,94）内的个数为100×0.35=35，所以B正确. 对于C，频率分布直方图上不能判断长度众数所在区间，不一定落在区间[93,94）内，所以C错误. 对于D，[93,94）有45个数，[93,94）内有20个数，所以长度的中位数一定落在区间[93,94）内，所以D正确.故选:ABD. 2.某台机器每天生产10000个零件，现连续12天检测，得到每天的次品零件个数依次为：8，12，9，18，16，17，15，9，18，20，13，11，则这组样本数据的中位数与第60百分位数之和是（    ） A．29 B．30 C．30.5 D．31 解：将这12个数据从小到大排列为：， ，所以排列后的第8个数即为60百分位数：，中位数为，故所求为：.故选：B. 3.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均值为，则（    ） A.me=m0= B.me=m0< C.me<m0< D.m0<me< 解：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分.中位数为第15,16个数（分别为5,6）的平均数，即，5出现的次数最多，故， ，于是得. 4.某校高三年级举行数学知识竞赛，并将100名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（    ） A．85 B．86 C．86.5 D．87 解：由，解得：，所以前4组频率和为，前5组频率和为，设这组数据的第85百分位数为，则，解得：，故选：B. 5.已知一组数据的平均数为4，则a的值是 . 解：数据的平均数为4，，即. 故答案为：. 6.某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n个学生的成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），估计该校高三学生此项体育成绩的中位数为 .（结果保留整数） 解：，解得， 由，， 设中位数为，则，有，解得. 故答案为：. 7.某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图： 估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为 千米． 解：. 故答案为：300. 8.某公司针对新购买的50000个手机配件的重量随机抽出1000台进行检测，如图是根据抽样检测后的重量（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中配件重量的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106].用样本估计总体，则下列说法错误的是（ ） A．这批配件重量的平均数是101.30（精确到0.01） B．这批配件重量的中位数是在[101，102]之间 C．a=0.125 D．这批配件重量在[96,100)范围的有7500个 解：对于C选项，由直方图的面积之和为1可得(0.05+0.1+0.15+a+0.075)×2=1，解得a=0.125，C选项正确； 对于A选项，由频率分布直方图可知，这批配件重量的平均数为97×0.1+99×0.2+101×0.3+103×0.25+105×0.15=103.10（克），A选项正确； 对于B选项，前两组的频率之和为(0.05+0.1)×2=0.3，前三组的频率之和为(0.05+0.1+0.15)×2=0.6，设中位数为m，则m∈（100,102），由题意可得0.3+(m-100)×0.15=0.5，解得m≈101.33，B选项正确； 对于D选项，这批配件重量在[96，100)范围的有50000×0.15×2=15000个，D选项错误. 故选：D. 11.1.4 极差、方差、标准差 1.极差：一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差. 2.标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示． 假设样本数据是，表示这组数据的平均数，则标准差: ． 3.方差：方差就是标准差的平方，即．显然， 在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的． 4.数据特征:标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小．标准差、方差越大，则数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．反之亦可由离散程度的大小推算标准差、方差的大小． 5.平均数、方差的性质 如果数据的平均数为，方差为，则一组新数据 的平均数为，方差是． 6.分层随机抽样的方差： 设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为，，方差分别为，，则这个样本的方差为s2=[+(-)2]+[+(-)2]. 例1.已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ） A．=70，<75 B．=70，>75 C．>70，<75 D．>70，>75 解：由题意，可得， 设收集的48个准确数据分别记为， 则 =， 则 =，所以．故选:A． 例2.若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为（     ） A．8 B．15 C．16 D．32 解：样本数据的标准差为，所以方差为，由可得数据的方差为，所以标准差为.故选：C. 例3.（多选）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（     ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 解：对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则：. 因为没有确定与的大小关系，所以无法判断的大小. 例如：，可得；例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设，可知的中位数等于的中位数，均为，故B正确； 对于选项C：因为是最小值，是最大值，则的波动性不大于的波动性，即的标准差不大于的标准差. 例如：，则平均数：. 标准差：. 对于，则平均数， 标准差：. 显然，即；故C错误； 对于选项D：不妨设，则，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：BD. 1.若样本数据的标准差为4，则数据的标准差为（ ） A．4 B．8 C．16 D．-8 解：设原数据的平均数为，则新数据的平均数为， 则原数据的方差为：，则新数据的方差为：. 故数据标准差为：8．故选：B． 2.甲、乙、丙、丁四名射击手在选拔赛中的平均环数 及其标准差s如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是（ ）. 甲 乙 丙 丁 7 8 8 7 s 2.5 2.5 2.8 3 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解：平均数反映平均水平大小，标准差表明稳定性．标准差越小，稳定性越好．乙的平均数大并且标准差小，故选乙.故选：B. 3.已知数据平均数，方差，则新数据的平均数为 ，方差为 . 解：新数据，均值，方差，均值：，方差：. 故答案为：5,12. 4.样本平均数为 10，方差为 2；令，则的平均数为 ，方差为 . 解：变换，，均值：；方差：. 故答案为：0,2. 5.（多选）有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（    ） A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同 解：A:且，故平均数不相同，错误； B:若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误； C:，故方差相同，正确； D:由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确；故选：CD. 6.样本共 8 个分为两层：第一层，，；第二层，，. (1) 求总样本均值 ； (2) 计算原始样本总方差； (3) 所有数据做变换 ，求新样本 的方差. 解：(1) 总均值计算：. (2) 分层方差计算： . (3) 线性变换方差性质：数据做变换，新方差，与常数无关 . 7.工厂分A、B两条生产线抽样零件，共抽取件： A线样本，零件尺寸均值，层内方差； B线样本，零件尺寸均值，层内方差. 计算全部20件零件尺寸的总方差（结果保留两位小数）. 解：求全部样本总均值： 代入公式计算总方差：. 8.分层样本总量，第一层，，；第二层，，总均值，总样本方差，求第二层层内方差. 解：将已知条件代入分层方差公式： 逐步化简求解：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.1 统计 11.1.1 随机抽样和分层抽样 1、抽样调查 （1）总体：统计中所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合称为总体． （2）个体：构成总体的每一个元素叫做个体． （3）样本：从总体中抽取若干个个体进行考察，这若干个个体所构成的集合叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量． 2、简单随机抽样 （1）定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.这样抽取的样本，叫做简单随机样本． （2）两种常用的简单随机抽样方法 ①抽签法：一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本． ②随机数法：即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．这里仅介绍随机数表法．随机数表由数字0，1，2，…，9组成，并且每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样的． （3）抽签法与随机数法的适用情况 抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况，但是当总体容量很大时，需要的样本容量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便． （4）简单随机抽样的特征 ①有限性：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析． ②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作． ③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算． ④等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样方法的公平． 3、分层抽样 （1）定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的． （2）分层抽样问题类型及解题思路 ①求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算． ②已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算． ③分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中：抽样比=. 注意：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取 个个体（其中i是层数，n是抽取的样本容量，是第i层中个体的个数，N是总体容量）． 例1.某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为 . 例2.总体由编号为01，02，…，30的30个个体组成.利用所给的随机数表选取6个个体，选取的方法是从随机数表第1行的第3列开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（    ） （第一行）1712    1340    3320    3826    1389    5103    7417    7637 （第二行）1304    0774    2119    3056    6218    3735    9683    5087 A．20 B．26 C．17 D．03 例3.现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，O型､A型､B型和AB型血的学生依次有300，200，180，120人.为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（     ） A．①②都采用简单随机抽样 B．①②都采用分层随机抽样 C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样 D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样 例4.为客观了解上海市民家庭存书量，上海市统计局社情民意调查中心通过电话调查系统开展专项调查，成功访问了2007位市民，在这项调查中，总体、样本及样本的容量分别是（    ） A．总体是上海市民家庭总数量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007 B．总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007 C．总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民，样本的容量是2007 D．总体是上海市民家庭总数量，样本是2007位市民，样本的容量是2007 1.为了解某校高一1200名学生的身高，从中抽取100名学生测身高，下列说法正确的是（ ） A.1200名学生是总体 B.每名高一学生是个体 C.100名学生的身高构成样本 D.样本容量是100名学生 2.下列抽样方式属于简单随机抽样的有（ ） ①从无限颗糖果中抽取10颗； ②从50个零件中一次性抽取5个； ③将50个零件编号写纸条，搅拌均匀后逐个不放回抽取； ④利用随机数表从800名学生中抽取50人. A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 3.总体分为三层，第一层200人，第二层300人，第三层500人；分层抽样共抽取100个样本，则第二层抽取人数为 . 4.社区居民分为青年、中年、老年三层，人数分别为1200、1500、900；分层抽样抽取120人调查养老意愿，则青年抽取人数为 ，中年抽取人数为 ，老年抽取人数为 . 5.某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（     ） 32 21 18 34 29  78 64 54 07 32  52 42 06 44 38  12 23 43 56 77  35 78 90 56 42 84 42 12 53 31  34 57 86 07 36  25 30 07 32 86  23 45 78 89 07  23 68 96 08 04 32 56 78 08 43  67 89 53 55 77  34 89 94 83 75  22 53 55 78 32  45 77 89 23 45 A．623 B．328 C．072 D．457 6.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取______名学生． 7.某校高三文科2个班共90人，理科6个班共270人；分层抽样抽取40人调研模考成绩，则文科、理科抽取人数的差值为 . 8.关于分层抽样计算公式，说法正确的是（ ） A.抽样比 B.第层抽取个体数量 C.每层的抽样比不相等 D.每层抽取数量与该层个体总数无关 11.1.2 统计图-频率直方图 频率、频数、样本容量的计算方法： （1）． （2），，样本容量×频率=频数. （3）频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于1． 例1.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[5.31,5.33)、 [5.33,5.35)、...、[5.45,5.47)、[5.47,5.49)，并整理得到频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径不小于5.43mm的个数为（ ） A．10 B．18 C．26 D．36 例2.2021年4月23日是第26个世界读书日，某市举行以“颂读百年路，展阅新征程”为主题的读书大赛活动，以庆祝中国共产党成立100周年．比赛分初赛和复赛两个阶段进行， 规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有1000名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30,150]内，其频率分布直方图如下图所示，则该校获得复赛资格的人数为（ ） A．650 B．660 C．680 D．700 例3.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为 （     ） A．0.27,78 B．0.27,83 C．2.7,78 D．2.7,83 例4.某学校艺术专业300名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图： (1)从总体的300名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率； (2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数； (3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例． 1.将1916到2015年的全球年平均气温（单位：℃），共100个数据，分成6组： [13.55,13.75)，[13.75,13.95)，[13.95,14.15)，[14.15,14.35)，[14.35,14.55)，[14.55,14.75]， 并整理得到如下的频率分布直方图，则全球年平均气温在区间[14.35,14.75]内的有（     ） A．22年 B．23年 C．25年 D．35年 2.从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66,70)、[70,74)、、[94,98]，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82,86)内的影视作品数量是（    ） A．20 B．40 C．64 D．80 3.为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁~18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如图所示，根据该图可得这100名学生中体重在[56.5,64.5]的学生人数是（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 4.在某次高中数学模拟考试中，对800名考生的考试成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间分别为，，，，，.若考生成绩在内的人数为，考生成绩在内的人数为，则（    ） A．20 B．10 C．60 D．40 5.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20,40), [40,60),[60,80),[80,100).若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（     ） A． B． C． D． 6.对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间[20，25)上的为一等品，在区间[15，20)和区间[25，30)上的为二等品，在区间[10，15)和[30，35]上的为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（    ）    A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45 7.某中学为了解学生的数学学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图，根据频率分布直方图，推测这3000名学生在该次数学考试中成绩不低于80分的学生人数是___________. 8.为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20 000人，并根据所得数据画出样本的频率直方图如图所示(最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值)．现按月收入分层，用分层抽样的方法在这20 000人中抽出200人做进一步调查，则月收入在[1 500，2 000)(单位：元)内的应抽取________人． 11.1.3 平均数、中位数、众数、百分位数 1.频率分布直方图中数字特征的计算 （1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． （2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为x，利用左（右）侧矩形面积之和等于0.5，即可求出x． （3）平均数等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积． 2.百分位数 （1）定义：一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有1-p%的数据大于或等于这个值． （2）计算一组n个数据的的第p百分位数的步骤 ①按从小到大排列原始数据． ②计算i=n×p%． ③若i不是整数而大于i的比邻整数j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第i+1项数据的平均数． （3）四分位数 我们之前学过的中位数，相当于是第50百分位数．在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数． 3.样本的数字特征 （1）众数、中位数、平均数 ①众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平． ②中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的中间水平． ③平均数：n个样本数据的平均数为. 例1.某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图（如图）．其中，成绩分组区间为[60,70），[70,80），...，[140,150]．用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的估计值为 ． 例2.样本数据58，49，53，46，56，56，51，71，56，53的80%分位数是（    ） A．50 B．56 C．57 D．58 例3.已知样本数据的均值，则样本数据的均值为 ． 例4.如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是（　　） A．12.5,12.5 B．13.5,13 C．13.5,12.5 D．13，13 1.（多选）某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成6组：[90,91），[91,92），...，[95,96]，得到如图所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中正确的是（ ） A．b=0.25 B．长度落在区间[93,94）内的个数为35 C．长度的众数一定落在区间[93,94）内 D．长度的中位数一定落在区间[93,94）内 2.某台机器每天生产10000个零件，现连续12天检测，得到每天的次品零件个数依次为：8，12，9，18，16，17，15，9，18，20，13，11，则这组样本数据的中位数与第60百分位数之和是（    ） A．29 B．30 C．30.5 D．31 3.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均值为，则（    ） A.me=m0= B.me=m0< C.me<m0< D.m0<me< 4.某校高三年级举行数学知识竞赛，并将100名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（    ） A．85 B．86 C．86.5 D．87 5.已知一组数据的平均数为4，则a的值是 . 6.某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n个学生的成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），估计该校高三学生此项体育成绩的中位数为 .（结果保留整数） 7.某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图： 估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为 千米． 8.某公司针对新购买的50000个手机配件的重量随机抽出1000台进行检测，如图是根据抽样检测后的重量（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中配件重量的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106].用样本估计总体，则下列说法错误的是（ ） A．这批配件重量的平均数是101.30（精确到0.01） B．这批配件重量的中位数是在[101，102]之间 C．a=0.125 D．这批配件重量在[96,100)范围的有7500个 11.1.4 极差、方差、标准差 1.极差：一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差. 2.标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示． 假设样本数据是，表示这组数据的平均数，则标准差: ． 3.方差：方差就是标准差的平方，即．显然， 在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的． 4.数据特征:标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小．标准差、方差越大，则数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．反之亦可由离散程度的大小推算标准差、方差的大小． 5.平均数、方差的性质 如果数据的平均数为，方差为，则一组新数据 的平均数为，方差是． 6.分层随机抽样的方差： 设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为，，方差分别为，，则这个样本的方差为s2=[+(-)2]+[+(-)2]. 例1.已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ） A．=70，<75 B．=70，>75 C．>70，<75 D．>70，>75 例2.若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为（     ） A．8 B．15 C．16 D．32 例3.（多选）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（     ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 1.若样本数据的标准差为4，则数据的标准差为（ ） A．4 B．8 C．16 D．-8 2.甲、乙、丙、丁四名射击手在选拔赛中的平均环数 及其标准差s如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是（ ）. 甲 乙 丙 丁 7 8 8 7 s 2.5 2.5 2.8 3 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3.已知数据平均数，方差，则新数据的平均数为 ，方差为 . 4.样本平均数为 10，方差为 2；令，则的平均数为 ，方差为 . 5.（多选）有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（    ） A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同 6.样本共 8 个分为两层：第一层，，；第二层，，. (1) 求总样本均值 ； (2) 计算原始样本总方差； (3) 所有数据做变换 ，求新样本 的方差. 7.工厂分A、B两条生产线抽样零件，共抽取件： A线样本，零件尺寸均值，层内方差； B线样本，零件尺寸均值，层内方差. 计算全部20件零件尺寸的总方差（结果保留两位小数）. 8.分层样本总量，第一层，，；第二层，，总均值，总样本方差，求第二层层内方差. 1 学科网（北京）股份有限公司 $