2.1 等式性质与不等式性质（知识点+6题型+过关检测）讲义-2025-2026学年新高一暑假数学自学课

2.1 等式性质与不等式性质 模块一 筑·知能要点 一、用不等式(组)表示不等关系 1.常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 注意点： (1)仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致. (2)用适当的不等号连接.œ (3)多个不等关系用不等式组表示. 2.用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等. (2)适当地设未知数表示变量. (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式(组). 注意隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围. 二、作差法比较大小 1.基本事实 依据 a>b⇔a-b>0； a=b⇔a-b=0； a<b⇔a-b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 注意点： (1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式. (2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小∑. (3)对于某些问题也可以采用取中间值的方法比较大小. 2.作差法比较两个实数大小的基本步骤 三、等式性质与不等式的性质 知识梳理　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a+c>b+c ⇔ 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a+c>b+d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向同正 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 注意点： (1)若a>b>0，则0<； 若a<b<0，则0>. (2)不等式只有同向可加和同向同正可乘，没有减法和除法运算. (3)若a>b>0，m>0，则(b-m>0)(b-m>0). 四、利用不等式的性质证明不等式 1.利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件. 2.用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件. 五、利用不等式的性质求代数式的取值范围 利用不等式的性质求取值范围的策略 1.建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围. 2.同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. 模块二 破·题型攻坚 一、题型一 不等关系的表示 1．下列不等式中可以用来表示“的2倍比的平方的相反数小”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，先用表示代数式，再建立不等关系即得. 【详解】因的2倍为的平方的相反数为， 则不等式为：. 故选：D. 2．一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设可得每天加工的商品数为件，即可求出结果. 【详解】由题意得现在工厂每天加工的商品数为件，则该工厂30天加工的商品数为件， 所以题中关系表示为. 故选：B. 3．在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出不等关系即可. 【详解】由题意得. 故选：D 4．为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来． 【答案】答案见解析 【分析】由题意列不等式组即可． 【详解】组建中型图书角x个，则组建小型图书角个， 由题意得 5．用一段长为40m的铁皮围成一个一边靠墙的矩形仓库，墙长20m，平行于墙的一条边长为. (1)若要求仓库的面积不小于，用不等式组表示其中的不等关系； (2)若矩形的长、宽都不能超过14m，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据题意列出不等式组即可求解； （2）根据题意列出不等式组，解不等式组即可求解. 【详解】（1）由题可得， 则矩形仓库的另一条边长为， 所以仓库的面积， 故该题中的不等关系可表示为. （2）因为矩形的长、宽都不能超过14m， 所以，解得. 二、题型二 不等式性质 6．若，，，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质和反例即可判断. 【详解】对于AB：取，满足，显然，不成立，错误； 对于C：因为，所以，正确； 对于D：取，显然不成立，错误， 故选：C 7．已知，则（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由不等式的性质分析B，举反例可得ACD错误. 【详解】，当时，有，A选项错误； ，有，所以，B选项正确； 当，满足，，， 有，C选项错误； 满足，，，有，D选项错误. 故选：B. 8．若a＞b，c＞d，则（   ） A． B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质，或举出反例，逐一检验选项即可. 【详解】 选项A：若，则.所以选项错误. 选项B：若,满足，但是.所以选项B错误. 选项C：因为所以又因为，所以所以选项C正确 选项D：若,满足，但是,所以选项D错误. 故选：C. 9．下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】由不等式的性质及特殊值逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，显然不成立，错误； 对于B，由，可知，所以，正确； 对于C，取，此时，错误； 对于D，取，此时，错误； 故选：ACD 10．下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】A选项，利用立方根的性质可得A正确；BC选项，可根据不等式的性质进行推理，D选项可举出反例. 【详解】A选项，若，则，A正确； B选项，因为，所以，B正确； C选项，因为，所以由倒数法则得， 因为，由不等式性质（同向同正可乘性）知，C正确； D选项，举反例：当时，满足，， 此时，则，D错误. 故选：ABC 三、题型三 比较大小 11．比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【分析】利用作差法求解即可. 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以. 12．（1）若，，，试比较与的大小； （2）比较两个代数式的大小：与. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）用作差法比较，作差后通分，并因式分解，然后判断正负后可得； （2）作差后再配方即可判断大小关系. 【详解】（1） ，， ，，，， ，. ，，又， ，即. （2）， 则. 13．（1）设，试比较与的大小． （2）已知且，试比较与的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对两个多项式比较大小，一般先作差后分解因式再比较大小．若两式相除可以约去一些公共项，也可选用作商法比较． （2）两个分式比较大小，根据式子特征构造两式之差或商再比较大小即可． 【详解】（1）方法一：作差法． ． 因为，所以，所以， 所以． 方法二：作商法． 因为，所以， 两式作商可得， 所以． （2）方法一：作差法． ．因为且，所以． 又因为，所以，则 又因为，所以，即． 方法二：作商法． 因为，所以， 两式作商可得， 因为，由倒数法则可知， 又，所以由不等式的性质得， 则由同向可加性得知， 则，即． 14．从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析 【分析】①利用分子有理化可得，再由即可得的大小关系； ②用作差法比较即可； ③用作差法或作商法比较即可. 【详解】①， 因为， 所以， 即； . ②， . ③方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. . 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 15．比较下列各组中两式的大小： (1)设，，比较，大小； (2)当时，比较与的值的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】作差法比较即可 【详解】（1）， 则. （2）， 则 四、题型四 糖水不等式 16．原有酒精溶液（单位：g），其中含有酒精（单位：g），其酒精浓度为.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精（单位：g），新溶液的浓度变为.根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命题：若，，则.试加以证明. 【答案】证明见解析 【分析】先利用不等式的性质证得，再利用作差法证明即可. 【详解】因为，，所以，所以； 又， 因为，，所以，， 所以，即 综上. 17．下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若， ，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】举例说明判断A、C、D；作差比较大小判断B. 【详解】对于A，取，得，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：ACD 18．若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 【答案】B 【分析】应用不等式性质及特殊值法、作差法判断各项的正误. 【详解】取，有，A错误； 因为，所以，所以，所以，B正确； 取，显然，C错误； 因为，所以，即，D错误． 故选：B 19．集合，． (1)若，，求实数的值； (2)命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围． (3)阅读材料： ①若，且，则有； ②若，则有． 请依据以上材料解答问题：已知是三角形的三边，求证： 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析. 【分析】（1）由条件可得，列关系式，求， （2）由条件结合必要条件的定义可得，列不等式求的取值范围， （3）由三角形性质可得，，，结合结论①证明， ，，再利用结论②完成证明. 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以， （2）因为是的必要条件， 所以，又，， 所以，， 所以， 所以的取值范围为， （3）因为是三角形的三边，所以，，， 由结论①可得， ， ， 由结论②可得，又， 所以， 故. 五、题型五 代数式的范围求解 20．若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，解得. ，，相加得. 【点睛】错误思路：先单独求、各自范围，再代入求. 两式相加: 两式相减: 再算： 得到：. 和不是相互独立变量，与有约束关联，不能先拆开单独求范围再直接代入，拆开后放大了取值范围，求出的是虚假宽泛区间，不是真实范围. 21．已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求解计算即可. 【详解】，， ，， . 故选：C. 22．已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用不等式的性质求各项代数式的范围. 【详解】A：由不等式的同向可加性得，即，对； B：同乘，不等式变号，得，又， 由不等式的同向可加性得，即，对； C：由B项结论及，利用不等式的同向同正可乘性得，即，对； D：因为，则有又， 由不等式的同向同正可乘性得，则，错. 故选：D 23．已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的基本性质，计算选项中各表达式的取值范围，进而判断选项正误． 【详解】选项A：，，即，故A错误； 选项B：，，又， ，即，故B错误； 选项C：，， ，异号，， ，故C正确； 选项D：，，，又，， ，异号，， ，故D错误． 故选：C． 24．已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得出判断. 【详解】因为，， 所以，，， ， 故A选项错误，C选项正确； 所以，，故BD选项错误； 故选：C 六、题型六 不等式的证明 25．已知，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】应用不等式的性质得，利用同正相乘符号不变，即可证. 【详解】因为，所以， 所以，即， 因为，所以． 26．已知，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用不等式的性质求证即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 即， 即 27．（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）因为，所以．又，所以，则，所以，即．又，所以． （2）要证，只需证，即证，即证，即证，即证，显然成立，所以． 28．（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用不等式性质4，5得出，再取倒数，再利用性质6即可证明； （2）对不等式进行等价变形，利用分析法的思路来转化证明不等式． 【详解】证明：（1）因为，所以． 又．所以，所以． 又因为， 所以． （2）因为，要证，只需证明， 展开得， 即， 因为成立， 所以成立． 29．（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理、运算，即可求解. 【详解】（1）因为，可得，所以， 又因为，可得. （2）因为，所以， 又因为，所以，可得， 因为，根据不等式的性质，可得，即以. （3）因为，要证，只需证明， 展开得，即，即， 又因为，所以. 模块三 巩·过关检测 一、单选题 1．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为（   ） A．且 B．或 C．且 D．或 【答案】A 【分析】直接根据速度与车距的限制列不等式即可. 【详解】由速度v的最大值为120km/h，故， 由车间距d不得小于10m，故， 即有且. 故选：A. 2．已知，下列不等式中一定成立是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举反例判断ABC即可，利用不等式性质判断； 【详解】对A：当时不成立，故A错误； 对B：当时不成立，故B错误； 对C：当时不成立，故C错误； 对D：因为，所以，则，即成立，故D正确. 故选：D. 3．糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析加糖前后糖水浓度的变化即可求解. 【详解】加入克糖后糖水变甜了，即糖水的浓度增加了. 加糖之前，糖水的浓度为；加糖之后，糖水的浓度为，所以. 故选：A. 4．已知且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质判断D；举例说明即可判断ABC. 【详解】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，但不成立，故B错误； C：当时，，故C错误； D：由，得，故D正确. 故选：D 34．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式性质即可分析判断AC；举反例即可判断BD. 【详解】因为，所以，则，A错误； 当，，时满足，此时，B错误； 由，，得，C正确； 当时，，此时，D错误． 故选：C 6．已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差比较法求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 7．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，由杠杆原理可推出：左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金质量（    ） A．大于10克 B．小于10克 C．等于10克 D．当时，大于10克；当时，小于10克 【答案】A 【分析】设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案. 【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为， 所以，所以， 先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为. 由杠杆的平衡原理：，．解得，， 则. 下面比较与10的大小： 因为， 因为，所以，即， 所以这样可知称出的黄金质量大于. 故选：A. 8．已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一：利用待定系数法，结合不等式的基本性质可求得的取值范围. 方法二：利用双换元法，结合不等式的性质求得正确答案. 【详解】方法一：设，则， 所以解得即， 因为则 因此． 方法二：设，则， 所以， 又因为，所以， 因此． 故选：D 二、多选题 9．已知实数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由作差法，举特例可判断各选项正误. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，，又，故，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD 10．已知实数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】应用不等式性质及特殊值法判断各项的正误. 【详解】取，则，A错误； 由题设，得，B正确； 由于,故, 则，C正确； 取，则，D错误． 故选：BC 11．已知，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据条件，利用不等式的基本性质逐项判断即可. 【详解】对于A，∵，，∴，，∴，故A正确； 对于B，∵，，∴，故B正确； 对于C，∵，∴，又∵，∴，故C不正确； 对于D，∵，∴，又，∴，∴，∴，故D正确； 故选：ABD 三、填空题 12．比较大小：______（填“<”或“>”）. 【答案】 【分析】平方计算判断大小. 【详解】因为，，所以，所以. 故答案为：<. 13．已知是正实数，那么“”是“”的______条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既不必要也不充分”）. 【答案】充要 【分析】由是正实数，可知，进而化简可得结果. 【详解】因为是正实数， 所以，, 所以“”是“”的充要条件. 故答案为：充要 14．如果，，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据同向不等式的运算规则，计算不等式的范围. 【详解】, , 又, , 两式相加得, 故答案为:. 四、解答题 15．比较下列各组M，N的大小. (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用作差法结合因式分解比大小即可； （2）利用分子有理化比较即可. 【详解】（1）由题意知 ， 而，所以，则 （2）易知，且， 又，所以. 16．已知，． (1)求实数的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式基本性质即可得到答案； （2）利用待定系数法,设，得到方程组解出，再根据不等式基本性质即可得到答案. 【详解】（1）因为，， 两式相加得，所以， 所以实数的取值范围为． （2）设， 所以，所以解得 所以． 因为，， 所以， 所以的取值范围为． 17．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米? (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了?并说明理由. 【答案】(1) (2) 设窗户面积为,地板面积为，增加面积为， ∵，且，∴， 即，所以公寓采光效果变好了. 【分析】（1）根据题意列不等式即可求解， （2）利用作差法即可求解. 【详解】（1）设窗户面积为，则地板面积为. 由题意知且，解得. 所以窗户面积至少为. （2）略 18．（1）已知，求证： （2）已知，求的取值范围 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）利用作差法推理得证. （2）利用待定系数法，结合不等式性质求出范围. 【详解】（1）证明：因为， 所以； （2）设， 于是，解得，则， 由，得，因此，即， 所以的取值范围是 19．（1）证明：． （2）已知，且，求证：和至少有一个大于． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）利用分析法进行证明即可. （2）利用反证法进行证明即可． 【详解】（1）要证不等式，只要证， 即证明，即证明，即证明． 显然恒成立，所以不等式成立． （2）假设和都不大于，则 又因为，所以， 所以两式相加得，与矛盾， 故假设不成立，所以和至少有一个大于． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 等式性质与不等式性质 模块一 筑·知能要点 一、用不等式(组)表示不等关系 1.常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 注意点： (1)仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致. (2)用适当的不等号连接. (3)多个不等关系用不等式组表示. 2.用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等. (2)适当地设未知数表示变量. (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式(组). 注意隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围. 二、作差法比较大小 1.基本事实 依据 a>b⇔a-b>0； a=b⇔a-b=0； a<b⇔a-b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 注意点： (1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式. (2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小. (3)对于某些问题也可以采用取中间值的方法比较大小. 2.作差法比较两个实数大小的基本步骤 三、等式性质与不等式的性质 知识梳理　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a+c>b+c ⇔ 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a+c>b+d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向同正 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 注意点： (1)若a>b>0，则0<； 若a<b<0，则0>. (2)不等式只有同向可加和同向同正可乘，没有减法和除法运算. (3)若a>b>0，m>0，则(b-m>0)(b-m>0). 四、利用不等式的性质证明不等式 1.利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件. 2.用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件. 五、利用不等式的性质求代数式的取值范围 利用不等式的性质求取值范围的策略 1.建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围. 2.同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. 模块二 破·题型攻坚 一、题型一 不等关系的表示 1．下列不等式中可以用来表示“的2倍比的平方的相反数小”的是（    ） A． B． C． D． 2．一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 3．在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 4．为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来． 5．用一段长为40m的铁皮围成一个一边靠墙的矩形仓库，墙长20m，平行于墙的一条边长为. (1)若要求仓库的面积不小于，用不等式组表示其中的不等关系； (2)若矩形的长、宽都不能超过14m，求的取值范围. 二、题型二 不等式性质 6．若，，，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 7．已知，则（      ） A． B． C． D． 8．若a＞b，c＞d，则（   ） A． B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 9．下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、题型三 比较大小 11．比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 12．（1）若，，，试比较与的大小； （2）比较两个代数式的大小：与. 13．（1）设，试比较与的大小． （2）已知且，试比较与的大小． 14．从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 15．比较下列各组中两式的大小： (1)设，，比较，大小； (2)当时，比较与的值的大小． 四、题型四 糖水不等式 16．原有酒精溶液（单位：g），其中含有酒精（单位：g），其酒精浓度为.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精（单位：g），新溶液的浓度变为.根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命题：若，，则.试加以证明. 17．下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若， ，则 C．若，，则 D．若，则 18．若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 19．集合，． (1)若，，求实数的值； (2)命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围． (3)阅读材料： ①若，且，则有； ②若，则有． 请依据以上材料解答问题：已知是三角形的三边，求证： 五、题型五 代数式的范围求解 20．若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 21．已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 23．已知，则（　　） A． B． C． D． 24．已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 六、题型六 不等式的证明 25．已知，证明：． 26．已知，．求证：． 27．（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 28．（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 29．（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 模块三 巩·过关检测 一、单选题 1．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为（   ） A．且 B．或 C．且 D．或 2．已知，下列不等式中一定成立是（    ） A． B． C． D． 3．糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，由杠杆原理可推出：左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金质量（    ） A．大于10克 B．小于10克C．等于10克 D．当时，大于10克；当时，小于10克 8．已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知实数，且，则（    ） A． B． C． D． 10．已知实数满足，则（   ） A． B． C． D． 11．已知，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．比较大小：______（填“<”或“>”）. 13．已知是正实数，那么“”是“”的______条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既不必要也不充分”）. 14．如果，，则的取值范围是__________. 四、解答题 15．比较下列各组M，N的大小. (1)； (2) 16．已知，． (1)求实数的取值范围； (2)求的取值范围． 17．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米? (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了?并说明理由. 18．（1）已知，求证： （2）已知，求的取值范围 19．（1）证明：． （2）已知，且，求证：和至少有一个大于． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $