第三周 第4天 基本不等式的应用 暑假自学讲义 - 2026年新高一数学上学期人教A版必修第一册

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第三周 第3天 基本不等式的应用 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.(重点) 2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.(难点) 3.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题.(难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 利用基本不等式求复杂式子的最值问题 📐方法1 配凑法求最值　 🎯例1 已知x＞3，求y＝2x＋的最小值． 【解】　因为x＞3， 所以2x－6＞0， 所以y＝2x＋＝(2x－6)＋＋6≥2＋6＝2×2＋6＝10， 当且仅当2x－6＝， 即x＝4时取等号． 所以y＝2x＋的最小值是10. 配凑法的应用技巧： 为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值． 反思 归纳 📐方法2 拆裂项求最值 🎯例2 对任意的正实数x，y，不等式x＋4y≥m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|0＜m≤4}　　　　　　 B．{m|0＜m≤2} C．{m|m≤4} D．{m|m≤2} 【解】　由题设可得m≤＝＋4，又 ＋4≥2＝4， 当且仅当x＝4y时，等号成立，所以m≤4.故选C. 裂项与拆项的应用技巧: 裂项是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分离——将分式分离为整式与“真分式”的和，再根据分式分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式求最值创造条件，进而求出最值． 反思 归纳 📐方法3 常数代换法求最值 🎯例3 已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值． 【解】　因为＋＝1， 所以x＋y＝(x＋y)＝10＋＋. 因为x＞0，y＞0，所以＋≥2＝6， 当且仅当＝，即y＝3x时，取等号． 因为＋＝1， 所以当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. 常数代换法的应用技巧: 常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商． 反思 归纳 🎯一题多变 　若x>0，y>0，x+y=1，则的最小值为　　　　　　　　. 【解】∵x+y=1，x>0，y>0， ∴(x+y)=10+≥10+2=16， 当且仅当即x=y=时，等号成立， 即的最小值为16. 知识点2 利用基本不等式证明不等式 🎯例4 已知a，b，c为不全相等的正实数．求证：a＋b＋c>＋＋. 【证明】　因为a>0，b>0，c>0， 所以a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2. 所以2(a＋b＋c)≥2(＋＋)， 即a＋b＋c≥＋＋. 由于a，b，c为不全相等的正实数， 故等号不成立． 所以a＋b＋c>＋＋. 利用基本不等式证明不等式的策略 (1)利用基本不等式证明不等式时，可依据要求证不等式的两端的结构，合理选择基本不等式及其变形不等式来证，如a2+b2≥2ab(a，b∈R)，可变形为ab≤(a>0，b>0)可变形为ab≤等.同时要从整体上把握基本不等式，如a4+b4≥2a2b2，a2b2+b2c2≥2(ab)(bc)，都是对“a2+b2≥2ab，a，b∈R”的灵活应用. (2)在证明条件不等式时，要注意“1”的代换，另外要特别注意多次运用基本不等式时等号成立的条件. (3)当不能直接利用基本不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式. 反思 归纳 🎯跟踪练习 已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1. 求证：≥8. 证明　因为a，b，c均为正实数，a+b+c=1， 所以-1= 同理-1≥-1≥. 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得=8， 当且仅当a=b=c=时，等号成立. 知识点3 基本不等式在实际问题中的应用 🎯教材例题 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ (2)用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【解】　设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m，y m，篱笆的长度为2(x+y)m. (1)由已知得xy=100.由， 可得x+y≥2=20，所以2(x+y)≥40， 当且仅当x=y=10时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为10 m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40 m. (2)由已知得2(x+y)=36，矩形菜园的面积为xy m2. 由=9，可得xy≤81， 当且仅当x=y=9时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为9 m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81 m2. 🎯例5 某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5)，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/时． (1)请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y(元)表示为航行速度x(海里/时)的函数； (2)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？ 【解】　(1)由题意，每小时的燃料费用为0.5x2元，从甲地到乙地所用的时间为小时， 则y＝0.5x2·＋800·＝150(0＜x≤50). (2)由(1)得y＝150≥300＝12 000， 当且仅当x＝，即x＝40时取等号． 故当货轮的航行速度为40海里/时时，能使该货轮从甲地到乙地的运输成本最少． 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意.设变量，并理解变量的实际意义； (2)构造定值.利用基本不等式求最值； (3)检验.检验等号成立的条件是否满足题意； (4)结论. 反思 归纳 🎯跟踪练习 如图， 动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ 【解】设每间虎笼长x m，宽y m， 则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18. 设每间虎笼的面积为S，则S＝xy. 方法一：由于2x＋3y≥2＝2，所以2≤18，得xy≤，当且仅当2x＝3y时，等号成立．即Smax＝，由解得故每间虎笼的长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼的面积最大． 方法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.因为x＞0，所以0＜y＜6，S＝xy＝y＝y(6－y).因为0＜y＜6，所以6－y＞0，S≤＝.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼的长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼的面积最大． 自学小结 基本不等式的应用 1.知识清单： (1)利用基本不等式求复杂式子的最值问题. (2)利用基本不等式证明不等式. (3)基本不等式在实际问题中的应用. 2.方法归纳：消元法、换元法、常数代换法. 3.常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件或符号导致错误. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．若x>0，y>0且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是(　　) A．> B．＋≥1 C．≥2 D．≥1 【解】由x＋y＝4，得＝1，所以＋＝·(x＋y)＝≥×(2＋2)＝1，当且仅当x＝y＝2时，等号成立． 2．某电商自营店，其主打商品每年需要6 000件，每年n次进货，每次购买x件，每次购买商品需手续费300元，已购进未卖出的商品要付库存费，可认为平均库存量为，每件商品库存费是每年10元，则要使总费用(手续费＋库存费)最低，则每年进货次数为________． 【解】由题可得nx＝6 000，每年的手续费为300n元，库存费为×10＝5x＝元，则总费用为300n＋. 因为n＞0，所以300n＋≥2×3 000＝6 000， 当且仅当300n＝， 即n＝10时，总费用最低． 3．已知a，b，c，d都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd. 证明：因为a，b，c，d都是正数，所以ab＋cd≥2，ac＋bd≥2， 于是(ab＋cd)(ac＋bd)≥2·2＝4abcd. 当且仅当ab＝cd，且ac＝bd时等号成立． 故(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd. 4.已知x，y是正数且x+y=1，则的最小值为(　　) A. B. C.2 D.3 【解】由x+y=1，得(x+2)+(y+1)=4， 即[(x+2)+(y+1)]=1， ∴=[(x+2)+(y+1)]=≥×(5+4)= 当且仅当即x=y=时等号成立. ∴的最小值为. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第三周 第3天 基本不等式的应用 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.(重点) 2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.(难点) 3.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题.(难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 利用基本不等式求复杂式子的最值问题 📐方法1 配凑法求最值　 🎯例1 已知x＞3，求y＝2x＋的最小值． 配凑法的应用技巧： 为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值． 反思 归纳 📐方法2 拆裂项求最值 🎯例2 对任意的正实数x，y，不等式x＋4y≥m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|0＜m≤4}　　　　　　 B．{m|0＜m≤2} C．{m|m≤4} D．{m|m≤2} 裂项与拆项的应用技巧: 裂项是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分离——将分式分离为整式与“真分式”的和，再根据分式分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式求最值创造条件，进而求出最值． 反思 归纳 📐方法3 常数代换法求最值 🎯例3 已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值． 常数代换法的应用技巧: 常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商． 反思 归纳 🎯一题多变 　若x>0，y>0，x+y=1，则的最小值为　　　　　　　　. 知识点2 利用基本不等式证明不等式 🎯例4 已知a，b，c为不全相等的正实数．求证：a＋b＋c>＋＋. 利用基本不等式证明不等式的策略 (1)利用基本不等式证明不等式时，可依据要求证不等式的两端的结构，合理选择基本不等式及其变形不等式来证，如a2+b2≥2ab(a，b∈R)，可变形为ab≤(a>0，b>0)可变形为ab≤等.同时要从整体上把握基本不等式，如a4+b4≥2a2b2，a2b2+b2c2≥2(ab)(bc)，都是对“a2+b2≥2ab，a，b∈R”的灵活应用. (2)在证明条件不等式时，要注意“1”的代换，另外要特别注意多次运用基本不等式时等号成立的条件. (3)当不能直接利用基本不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式. 反思 归纳 🎯跟踪练习 已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1. 求证：≥8. 知识点3 基本不等式在实际问题中的应用 🎯教材例题 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ (2)用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 🎯例5 某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5)，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/时． (1)请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y(元)表示为航行速度x(海里/时)的函数； (2)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？ 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意.设变量，并理解变量的实际意义； (2)构造定值.利用基本不等式求最值； (3)检验.检验等号成立的条件是否满足题意； (4)结论. 反思 归纳 🎯跟踪练习 如图， 动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ 自学小结 基本不等式的应用 1.知识清单： (1)利用基本不等式求复杂式子的最值问题. (2)利用基本不等式证明不等式. (3)基本不等式在实际问题中的应用. 2.方法归纳：消元法、换元法、常数代换法. 3.常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件或符号导致错误. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．若x>0，y>0且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是(　　) A．> B．＋≥1 C．≥2 D．≥1 2．某电商自营店，其主打商品每年需要6 000件，每年n次进货，每次购买x件，每次购买商品需手续费300元，已购进未卖出的商品要付库存费，可认为平均库存量为，每件商品库存费是每年10元，则要使总费用(手续费＋库存费)最低，则每年进货次数为________． 3．已知a，b，c，d都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd. 4.已知x，y是正数且x+y=1，则的最小值为(　　) A. B. C.2 D.3 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $