第07讲 等式性质与不等式性质-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

第07讲 等式性质与不等式性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：3大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 实数的大小顺序与运算性质的关系 (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔a－b<0. 知识点2 不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a＞b＞0⇒＞ (n∈N，n≥2). 知识点3 比较大小 1.作差：作差比较，根据a－b>0a>b，欲证a>b只需证a－b>0； 2.作商：作商比较，当b>0时，a>b>1。 3.找中介 “1”或“0” 教材习题01 甲、乙两人同时从A地出发沿同一路线走到B地，所用时间分别为，．甲有一半的时间以m m/s的速度行走，另一半的时间以n m/s的速度行走；乙有一半的路程以m m/s的速度行走，另一半的路程以n m/s的速度行走，且． (1)请用含m，n的代数式表示甲、乙两人所用的时间和； (2)比较与的大小，并判断甲、乙两人谁先到达B地． 解题方法 （1）设A地到B地的路程为， 因为甲有一半的时间以m m/s的速度行走，另一半的时间以n m/s的速度行走， 所以，所以， 因为乙有一半的路程以m m/s的速度行走，另一半的路程以n m/s的速度行走， 所以, （2） 因为，所以，因为 所以 所以，所以甲先到达B地． 【答案】(1)；. (2)，甲先到达B地． 教材习题02 判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，，则； (4)若，则． 解题方法 （1）若，当时，则；故为假命题， （2）由于，故，则，进而可得；故为真命题， （3）若，，则， 此时满足，，但是无法得到，故为假命题 （4）若，不妨取，则无意义，故无法得到，故为假命题 【答案】(1)假命题 (2)真命题 (3)假命题 (4)假命题 教材习题03 试比较与的大小． 解题方法 , 所以. 【答案】 考点一 用不等式表示不等关系 1．某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万．下列不等式表示“经过年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是（   ） A． B． C． D． 2．下列不等式中可以用来表示“的2倍比的平方的相反数小”的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，直角中，，，，在斜边上，在（包括边界）内，在线段上，，在线段上.四边形和四边形是矩形，，.    (1)试找出与之间的不等量关系式； (2)求矩形和矩形面积之和的最大值. 4．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，设靠墙的一边长为．试用不等式表示其中的不等关系． 考点二 作商法、作差法比较大小 （多选题）1．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． （多选题）2．设，则P，Q，R的大小关系是（   ） A． B． C． D． （多选题）3．若，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为 . 5．设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 考点三 利用不等式性质比较大小 1．若，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知x，y是实数，则“”是“”是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （多选题）3．下列说法正确的是（   ） A．若，，且，则 B．若，，则 C．若，，且，则 D．若，，且，则 4．设，则M与N的大小关系是 ． 5．已知，且． (1)求证：； (2)求证：． 考点四 由等式性质证明不等式 1．已知：，；：，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．就不充分又不必要条件 （多选题）2．若，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 4．（1）已知，求的取值范围； （2）若，求证：. 5．已知，． (1)求证：； (2)求证：． 知识导图记忆 知识目标复核 1．实数的大小顺序与运算性质的关系 2．不等式的性质 3．比较大小 1．设a，b为实数，则“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．有下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．给出下列命题，其中正确的命题是（   ） A． B． C． D． 6．设，若，则下列不等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． （多选题）7．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 （多选题）8．已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． （多选题）9．下列不等式，其中恒成立的有（   ） A． B． C． D． 10．若实数x，y满足，则的取值范围是 ；若实数x，y满足，则的取值范围是 ． 11．已知，若，则的取值范围是 ；若，且，则的取值范围是 ． 12．已知实数a，b满足，则的取值范围为 . 13．如果，，则的取值范围是 . 14．比较大小： （填“<”或“>”）. 15．（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 16．若，试比较与的大小． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 等式性质与不等式性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：3大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 实数的大小顺序与运算性质的关系 (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔a－b<0. 知识点2 不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a＞b＞0⇒＞ (n∈N，n≥2). 知识点3 比较大小 1.作差：作差比较，根据a－b>0a>b，欲证a>b只需证a－b>0； 2.作商：作商比较，当b>0时，a>b>1。 3.找中介 “1”或“0” 教材习题01 甲、乙两人同时从A地出发沿同一路线走到B地，所用时间分别为，．甲有一半的时间以m m/s的速度行走，另一半的时间以n m/s的速度行走；乙有一半的路程以m m/s的速度行走，另一半的路程以n m/s的速度行走，且． (1)请用含m，n的代数式表示甲、乙两人所用的时间和； (2)比较与的大小，并判断甲、乙两人谁先到达B地． 解题方法 （1）设A地到B地的路程为， 因为甲有一半的时间以m m/s的速度行走，另一半的时间以n m/s的速度行走， 所以，所以， 因为乙有一半的路程以m m/s的速度行走，另一半的路程以n m/s的速度行走， 所以, （2） 因为，所以，因为 所以 所以，所以甲先到达B地． 【答案】(1)；. (2)，甲先到达B地． 教材习题02 判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，，则； (4)若，则． 解题方法 （1）若，当时，则；故为假命题， （2）由于，故，则，进而可得；故为真命题， （3）若，，则， 此时满足，，但是无法得到，故为假命题 （4）若，不妨取，则无意义，故无法得到，故为假命题 【答案】(1)假命题 (2)真命题 (3)假命题 (4)假命题 教材习题03 试比较与的大小． 解题方法 , 所以. 【答案】 考点一 用不等式表示不等关系 1．某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万．下列不等式表示“经过年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 方法总结  用不等式（组）表示不等关系的步骤 1．审清题意，明确表示不等关系的关键词语； 2．适当地设未知数表示变量； 3. 用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式（组）． 2．下列不等式中可以用来表示“的2倍比的平方的相反数小”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因的2倍为的平方的相反数为， 则不等式为：. 故选：D. 3．如图，直角中，，，，在斜边上，在（包括边界）内，在线段上，，在线段上.四边形和四边形是矩形，，.    (1)试找出与之间的不等量关系式； (2)求矩形和矩形面积之和的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）的延长线交于，交于，如图，    此时，所以， 因为，， 所以， 而由题意，所以， 可得， 因为，所以，解得，即， 所以与之间的不等量关系式为，其中. （2）矩形和矩形面积之和， 因为，故，故，故， 故，而，故，故， 而，故当时， 4．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，设靠墙的一边长为．试用不等式表示其中的不等关系． 【答案】 【详解】由于矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18m， 则，菜园的另一条边长为． 可得菜园面积， 依题意有，即， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为. 考点二 作商法、作差法比较大小 （多选题）1．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为，则，A错误； 选项B： 因为，所以，，则，所以，故B正确. 因为，所以，故C正确. 因为，所以幂函数在单调递减， 所以，D错误， 故选：BC （多选题）2．设，则P，Q，R的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为，所以． 因为， 又，所以，所以． （多选题）3．若，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，，所以，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 4．已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为 . 【答案】aabb>abba 【详解】 ∵＝＝（）a－b，又a>b>0，∴ >1，a－b>0，∴ （）a－b>1，即>1.又abba>0，∴ aabb>abba. 5．设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 考点三 利用不等式性质比较大小 1．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以，，所以，，故A正确，B错误；当时，，，故C错误，D错误． 2．已知x，y是实数，则“”是“”是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若，满足，此时，所以不是的充分条件， 反过来，若，满足，此时，所以也不是的必要条件，所以”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D （多选题）3．下列说法正确的是（   ） A．若，，且，则 B．若，，则 C．若，，且，则 D．若，，且，则 【答案】AD 【详解】对于选项A，因为，所以，即，故A正确；对于选项B，取，，，，满足，，但，故B错误；对于选项C，取，，满足，，且，但，故C错误；对于选项D，因为，所以，，则，故D正确． 4．设，则M与N的大小关系是 ． 【答案】 【详解】因为，所以． 5．已知，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）解法1  因为且，所以，且，两边取倒数得，又，则，从而得证． 解法2  因为且，所以，且，所以，即． （2）因为且，所以，，则，，由，可得，即，所以，即．综上，． 考点四 由等式性质证明不等式 1．已知：，；：，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．就不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】当时，，，但， 则由不能得到；当，时，，，则由可得到, 故是的充分不必要条件. 故选：A （多选题）2．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】根据，则，A正确； 由，又，则，B正确； 当时，，C错误； 当时，，D错误. 故选：AB 3．已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）因为，，所以， 当，时，则，，此时， 当，时，则，此时，得到， 当，时，则，此时，得到， 当，时，， 又当或时，， 综上，. （2）因为， 又，，则，， 所以，得到. 4．（1）已知，求的取值范围； （2）若，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【详解】（1）设， 所以，解得， ， 即 的取值范围是. （2）证明： ， ， . 5．已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 知识导图记忆 知识目标复核 1．实数的大小顺序与运算性质的关系 2．不等式的性质 3．比较大小 1．设a，b为实数，则“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由不等式的性质比较数（式）大小 【详解】由，知可得，可推出，反向推不出，故A满足题意；由，得，推不出，反向可推出，故B不满足题意；由，得或或，推不出，反向可推出，故C不满足题意；由，得，推不出，反向可推出，故D不满足题意. 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【详解】因为，所以．由于，故在不等式上同时乘以a得，即，因此，． 3．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、作差法比较代数式的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【详解】．当时，结合，可得．反之，如，亦成立，却推不出．故“”是“”的充分不必要条件． 4．有下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【详解】对于①，由，得，，要证，则需证，即，这显然成立，故①正确；对于②，由，得，由①知，②正确；对于③，当，时，显然不成立，所以③错误；对于④，当，时，有，④错误． 5．给出下列命题，其中正确的命题是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】通过举反例可判断A、C、D是假命题；利用作差法比较大小可判断B正确. 【详解】对于A，当时，，故A是假命题； 对于B，若，则， 由于不同时为0，所以，故B是真命题； 对于C，当时，，故C是假命题； 对于D，当时，不成立，故D是假命题； 故选：B 6．设，若，则下列不等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】应用不等式的性质及作差法判断A，B，C，再应用特殊值法判断D. 【详解】因为，则，则，A选项正确； 因为，则，则，B选项正确； 因为，则，则，C选项正确； 取，所以，D选项错误； 故选：D. （多选题）7．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【详解】对于A，取，则不成立，故A错误；对于B，若，则，所以，故B正确；对于C，若，则，所以，所以，故C正确；对于D，若且，则，而b可能为0，故D错误． （多选题）8．已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】应用作差法计算比较判断A，应用不等式性质计算判断C，D，应用特殊值法计算判断B. 【详解】因为，， 对于A，因为，而，，故无法确定与的大小，A错； 对于B，因为，所以，B错； 对于C，由不等式的性质可得，从而，C对； 对于D，由不等式的性质可得，D对. 故选：CD. （多选题）9．下列不等式，其中恒成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】作差法比较代数式的大小 【详解】由，知A正确；由，知B错误；由，知C错误；由，知D正确． 10．若实数x，y满足，则的取值范围是 ；若实数x，y满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【详解】若x，y满足，则，从而．若，设，所以解得，则有，所以． 11．已知，若，则的取值范围是 ；若，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【详解】若，则，而，所以有．设，则解得若，，则有，所以，即． 易错警示 题中的第二空易错误的利用如下解法：先由条件得出a，b的范围，再由此得出的范围，即得出的错误结果（其取值范围扩大了）. 12．已知实数a，b满足，则的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据不等式性质直接求解即可. 【详解】， . 故答案为：. 13．如果，，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据同向不等式的运算规则，计算不等式的范围. 【详解】, , 又, , 两式相加得, 故答案为:. 14．比较大小： （填“<”或“>”）. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】平方计算判断大小. 【详解】因为，，所以，所以. 故答案为：<. 15．（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由不等式的性质证明不等式、分析法证明 【详解】（1）因为，所以．又，所以，则，所以，即．又，所以． （2）要证，只需证，即证，即证，即证，即证，显然成立，所以． 16．若，试比较与的大小． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】分组因式分解，得到，结合条件即得. 【详解】 ， 因为，所以， 故. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$