精品解析：河南省洛阳市洛宁县2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题

2025-2026学年第二学期期末学情调研七年级 数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，3大题23小题；时间100分钟，满分120分；闭卷考试． 2．本试卷设有答题卡，请将答案写涂在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 关于x的方程的解是3，则a的值为（　　） A. 4 B. C. 5 D. 2. 已知方程组的解满足，则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 如图，将正五边形与正方形按如图所示摆放，公共顶点为O．若点A，B，C，D在同一条直线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 为了估计池塘两岸A、B间的距离，小明在池塘的一侧选取了一点P，测得，，那么AB间的距离不可能是（ ） A. 5m B. 10m C. 15m D. 20m 7. 如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，在△ABC中，∠C=20°，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于点F，则∠AFB的度数是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，将向右平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 10. 若不等式组恰有两个整数解，则a的取值范围是（　　） A. -1≤a＜0 B. -1＜a≤0 C. -1≤a≤0 D. -1＜a＜0 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 若关于的方程是一元一次方程，则的值是_________． 12. 已知关于的不等式组，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为__________． 13. 一个等腰三角形的两边长x、y恰是二元一次方程组的解，则此等腰三角形的周长为______． 14. 如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=______度． 15. 如图，在中，，和的平分线交于点得和的平分线交于点得和 的平分线交于点 则 ______° 三、解答题：（本题共8小题，共75分．） 16. 解方程： （1） （2） 17. 解方程组： （1） （2） 18. （1）解不等式，并在数轴上表示它的解集； （2）解不等式组，并写出它的所有正整数解． 19. 如图，将沿所在直线向右平移后得到，连结． （1）若，则的度数为 °； （2）若的周长为12，求平移的距离 20. 某电器超市销售进价分别为200元/台，170元/台的A、B两种型号的电风扇．下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 5台 1800元 第二周 4台 10台 3100元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）如果购买A、B两种型号的电风扇共30台，且购买A种型号的数量不高于B种型号数量的3倍，求最多可购买多少台A种型号的电风扇？ （3）在（2）的前提下，要求销售完这批电风扇实现利润不低于1410元，请问有哪几种购买方案？哪种方案利润最高？ 21. 如图所示，已知于点D，． （1）若，，求的长； （2）求证：． 22. 按要求完成尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，并完成计算． 已知：在中，，． （1）作边上的高，作的平分线，与相交于点． （2）求所作图形中的度数． 23. 探究与发现： 如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这种图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？请解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究∠BPC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下问题： ①如图2：已知△ABC，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，直接写出∠BPC与∠A之间存在的等量关系为： ． 迁移运用：如图3：在△ABC中，∠A=80°，点O是∠ABC，∠ACB角平分线的交点，点P是∠BOC，∠OCB角平分线的交点，若∠OPC=100°，则∠ACB的度数 ． ②如图4：若D点是△ABC内任意一点，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD．直接写出∠BDC、∠BPC、∠A之间存在的等量关系为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末学情调研七年级 数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，3大题23小题；时间100分钟，满分120分；闭卷考试． 2．本试卷设有答题卡，请将答案写涂在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 关于x的方程的解是3，则a的值为（　　） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的解的定义，把方程中的未知数x换成3，再解关于a的一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意将代入得：， 解得：，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查方程解的含义，解题的关键是熟练掌握方程的解，就是能使等式成立的未知数的值． 2. 已知方程组的解满足，则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，根据方程组的解求参数等内容，解题的关键是掌握加减法． 两方程相加得到，然后利用根的和进行求解即可． 【详解】解： ①+②得， ∴， 解得， 故选：C． 3. 如图，将正五边形与正方形按如图所示摆放，公共顶点为O．若点A，B，C，D在同一条直线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正五边形的内角和求出，根据正方形的一个内角为求出,根据三角形外角求出． 【详解】解：正五边形一个内角的度数为： ， ∴， 正方形的一个内角为， ∵点A，B，C，D在同一条直线上， ∴, ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正多边形的内角，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 4. 一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形外角的定义及性质，由题意得：，，，得出，由平行线的性质可得，再由三角形外角的定义及性质可得，计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， 由题意得：，，， ， ， ， ， 故选：B． 5. 如图，，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内接和定理是解答本题的关键，先根据三角形的内角和定理及，先求出，再由，可得大小； 【详解】， ， ， ， 故选择：A 6. 为了估计池塘两岸A、B间的距离，小明在池塘的一侧选取了一点P，测得，，那么AB间的距离不可能是（ ） A. 5m B. 10m C. 15m D. 20m 【答案】A 【解析】 【分析】由PA=15m，PB=9m，直接利用三角形的三边关系求解即可求得AB的取值范围，继而求得答案． 【详解】解：∵PA=15m，PB=9m， ∴PA-PB＜AB＜PA+PB， 即6m＜AB＜24m， ∴AB间的距离不可能是：5m． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系．注意要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 7. 如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ， ∴， ∴；故②错误； ，故③正确； 由②知，，故④正确； 故选：C． 8. 如图，在△ABC中，∠C=20°，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于点F，则∠AFB的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据旋转的性质得∠CAE=60°，再利用三角形内角和定理计算出∠AFC=100°，然后根据邻补角的定义易得∠AFB=80°． 【详解】∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得△ADE， ∴∠CAE=60°， ∵∠C=20°， ∴∠AFC=100°， ∴∠AFB=80°． 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 9. 如图，将向右平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由平移得，进而可得，据此即可求解． 【详解】解：由平移得，， ∴， ∴， ∴． 10. 若不等式组恰有两个整数解，则a的取值范围是（　　） A. -1≤a＜0 B. -1＜a≤0 C. -1≤a≤0 D. -1＜a＜0 【答案】A 【解析】 【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组有两个整数解即可确定整数解，从而得到关于a的不等式，求得a的范围． 【详解】， 解①得x＜1， 解②得x＞a-1， 则不等式组的解集是a-1＜x＜1． 又∵不等式组有两个整数解， ∴整数解是0，-1． ∴-2≤a-1-＜-1， 解得：-1≤a＜0． 故选A． 【点睛】本题考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 若关于的方程是一元一次方程，则的值是_________． 【答案】-1 【解析】 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程叫做一元一次方程，据此进一步求解即可. 【详解】∵关于的方程是一元一次方程， ∴， ∴且， 即：， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握相关概念是解题关键. 12. 已知关于的不等式组，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为__________． 【答案】x＞a． 【解析】 【分析】先根据数轴确定a，b的大小，再根据确定不等式组的解集原则：大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大找不了（无解）确定解集即可． 【详解】∵由数轴可知，a＞b， ∴关于的不等式组的解集为x＞a， 故答案为：x＞a． 【点睛】本题考查的是由数轴确定不等式组的解集，根据“大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大找不了（无解）”得出不等式组的解集是解答此题的关键． 13. 一个等腰三角形的两边长x、y恰是二元一次方程组的解，则此等腰三角形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方程组的解，也考查了三角形三边的关系，先解出方程组的解，根据三角形三边的关系得到等腰三角形的三边，最后计算它的周长． 【详解】解：解方程组， 可得：， 而， 所以等腰三角形的三边为5、5、2， 所以它的周长为． 故答案为：12 14. 如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=______度． 【答案】24 【解析】 【分析】根据角平分线和垂直平分线的性质得到角之间的关系，再利用三角形内角和180度求角. 【详解】∵DE是AC的垂直平分线, ∴EA=EC， ∠EAC=∠C, ∴∠FAC=∠FAE+∠EAC=19°+∠EAC， ∵AF平分∠BAC， ∴∠FAB=∠FAC. 在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°所以70°+∠C+2∠FAC=180°， ∴70°+∠EAC+2×(19°+∠EAC)=180° ， ∴∠C=∠EAC=24°， 故本题正确答案为24. 【点睛】本题主要考查角平分线和垂直平分线的性质、三角形内角和等于180度的应用、角的概念及其计算. 15. 如图，在中，，和的平分线交于点得和的平分线交于点得和 的平分线交于点 则 ______° 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得， ，再根据外角的性质可得，找出规律即可求出． 【详解】解：平分，平分， ， ， ，， ， 同理可得， ， …… 以此类推，． 三、解答题：（本题共8小题，共75分．） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 【小问2详解】 解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 17. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解方程组步骤，采用消元思想是解题的关键． （1）运用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）运用加减消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解： 将②代入①，得． 解这个一元一次方程，得． 将代入②，得． 所以原方程组的解是； 【小问2详解】 解： ②，得． ③ ③①得， ． 将代入②，得， 所以原方程组的解是 ． 18. （1）解不等式，并在数轴上表示它的解集； （2）解不等式组，并写出它的所有正整数解． 【答案】（1），见解析 （2），正整数解是1，2 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式和求一元一次不等式组的整数解，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式和解一元一次不等式组的方法以是解题的关键． （1）按去分母、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解，再用数轴表示出不等式解集即可； （2）分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”确定出解集即可． 【详解】解：(1)去分母得，， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集在数轴上表示为： (2)解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是， 则不等式组的正整数解是1，2． 19. 如图，将沿所在直线向右平移后得到，连结． （1）若，则的度数为 °； （2）若的周长为12，求平移的距离 【答案】（1）90 （2）3 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和，得到，再由平移，得到，即可解答； （2）由平移的性质，得到，求出继而求出平移的距离，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 由平移，得 ； 【小问2详解】 解：由平移的性质可知， ， ∴平移的距离． 20. 某电器超市销售进价分别为200元/台，170元/台的A、B两种型号的电风扇．下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 5台 1800元 第二周 4台 10台 3100元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）如果购买A、B两种型号的电风扇共30台，且购买A种型号的数量不高于B种型号数量的3倍，求最多可购买多少台A种型号的电风扇？ （3）在（2）的前提下，要求销售完这批电风扇实现利润不低于1410元，请问有哪几种购买方案？哪种方案利润最高？ 【答案】（1）A、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元； （2）最多可购买22台A种型号的电风扇； （3）有两种购买方案：方案一：购买21台A种型号的电风扇，购买9台B种型号的电风扇；方案二：购买22台A种型号的电风扇，购买8台B种型号的电风扇；方案二利润最高． 【解析】 【分析】（1）设A、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，根据台型号台型号的电扇收入元，台型号台型号的电扇收入元，列方程组求解； （2）设采购A种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据“购买A种型号的数量不高于B种型号数量的3倍”，列不等式求解； （3）根据“利润不低于1410元”列不等式求出a的取值范围，可得有两种购买方案，再分别求出利润，然后可得答案． 【小问1详解】 解：设A、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元， 依题意得：， 解得：， 答：A、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元； 【小问2详解】 设采购A种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台， 依题意得：， 解得：， ∵a为整数， ∴a的最大值为22， 答：最多可购买22台A种型号的电风扇； 【小问3详解】 依题意有：， 解得：， 由（2）知，且a为整数， ∴或， ∴或8， ∴有两种购买方案： 方案一：购买21台A种型号的电风扇，购买9台B种型号的电风扇； 方案二：购买22台A种型号的电风扇，购买8台B种型号的电风扇； 方案一利润为：（元）， 方案二利润为：（元）， ∴方案二利润最高． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列出方程组和不等式求解． 21. 如图所示，已知于点D，． （1）若，，求的长； （2）求证：． 【答案】（1）3 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据，得出， ，根据即可求解； （2）根据全等的性质得出，易得， 则，即可求证． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，对应角相等． 22. 按要求完成尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，并完成计算． 已知：在中，，． （1）作边上的高，作的平分线，与相交于点． （2）求所作图形中的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本作图，过点作于，再利用基本作图作的平分线， 与相交于点； （2）首先根据直角三角形两锐角互余计算出，再根据角平分线的性质得出，根据同角的余角相等得，最后根据三角形内角和定理即可得出结果． 【小问1详解】 如图，线段是边上的高，线段是的角平分线． 【小问2详解】 ，， ，， 是的角平分线， ， 线段是边上的高， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了作图——基本作图，也考查了三角形内角和定理，角平分线性质，熟练掌握基本几何图形的性质是解本题的关键． 23. 探究与发现： 如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这种图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？请解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究∠BPC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下问题： ①如图2：已知△ABC，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，直接写出∠BPC与∠A之间存在的等量关系为： ． 迁移运用：如图3：在△ABC中，∠A=80°，点O是∠ABC，∠ACB角平分线的交点，点P是∠BOC，∠OCB角平分线的交点，若∠OPC=100°，则∠ACB的度数 ． ②如图4：若D点是△ABC内任意一点，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD．直接写出∠BDC、∠BPC、∠A之间存在的等量关系为 ． 【答案】(1)∠BPC=∠A+∠B+∠C，理由见解析；(2)①∠BPC=90°+∠A，60°；②2∠BPC=∠BDC+∠A． 【解析】 【分析】（1）首先连接AP并延长至点F，然后根据外角的性质，即可判断出∠BPC=∠A+∠B+∠C； （2）①利用角平分线的定义，三角形的内角和定理证明即可； 迁移运用：设∠BCP=∠PCO=x，∠BOP=∠COP=y，由∠P=100°，推出x+y=80°，推出2x+2y=160°，推出∠OBC=180°-160°=20°，可得∠ABC=40°，由此即可解决问题； ②根据角平分线的定义和四边形的内角和即可得到结论． 【详解】(1)如图，连接AP并延长至点F， 根据外角的性质，可得 ∠BPF=∠BAP+∠B，∠CPF=∠C+∠CAP， 又∵∠BPC=∠BPF+∠CPF，∠BAC=∠BAP+∠CAP， ∴∠BPC=∠A+∠B+∠C； (2)①结论：∠BPC=90°+∠A． 理由：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB， ∴∠BPC=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A； 迁移运用：设∠BCP=∠PCO=x，∠BOP=∠COP=y， ∵∠P=100°， ∴x+y=80°， ∴2x+2y=160°， ∴∠OBC=180°-160°=20°， ∵BO平分∠ABC， ∴∠ABC=40°， ∵∠A=80°， ∴∠ACB=180°-40°-80°=60°； 故答案为∠BPC=90°+∠A，60°； ②∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD， ∴∠PBD=∠ABP，∠PCD=∠ACP， 四边形BPDC中，∠P+∠ABD+∠ACD+360°-∠D=360°， ∴∠ABD+∠ACD=∠D-∠P， 在四边形ABPC中，∠A+∠ABD+∠ACD+360°-∠P=360°， ∴∠A+∠D-∠P-∠P=0， ∴2∠BPC=∠BDC+∠A． 故答案为2∠BPC=∠BDC+∠A． 【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $