专题 2.1 一元二次方程的概念（暑假预习讲义）2026-2027学年苏科版九年级数学册

专题2.1 一元二次方程的概念 【本节预习目标】 1.理解一元二次方程的定义，掌握判定一元二次方程的三大核心要素，能准确识别一元二次方程。 2.掌握一元二次方程的一般形式，能正确识别二次项、一次项、常数项及对应系数，熟练完成方程的一般形式转化。 3.理解一元二次方程的解（根）的概念，能利用方程的解进行代入求参、代数式降次求值。 4.能从生活、传统文化、几何等实际情境中抽象出一元二次方程模型，发展数学建模核心素养。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知内容 本节新知关联 一元一次方程 只含一个未知数，未知数最高次数为1的整式方程，一般形式为 一元二次方程是整式方程的次数升级，保留“一元、整式”特征，未知数最高次数变为2 方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值，代入可使等式成立 一元二次方程的解（根）定义与之一致，代入求值的方法通用 整式运算 多项式乘法、完全平方公式、去括号与合并同类项 一元二次方程一般形式的化简依赖整式运算，实际问题列方程需先建立代数式模型 知识点1：一元二次方程的定义 1.定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 2.判定三要素（缺一不可）： ①是整式方程：分母、根号内不含未知数； ②是一元方程：只含有一个未知数； ③是二次方程：未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。 知识点2：一元二次方程的一般形式 1.一般形式： 其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，是一次项系数；是常数项。 2.核心要点： ①是一元二次方程的必要前提，和可以为0； ②方程的各项及系数均包含其前面的符号； ③三种特殊形式： 当时，； 当时，； 当时，。 知识点3：一元二次方程的解（根） 1.定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 2.基本性质：若是方程的根，则必有，可据此求解参数或计算代数式的值。 【基础巩固题型】 【题型1】一元二次方程的识别 1.核心知识点 一元二次方程的定义三要素；整式方程的判定 2.解题方法技巧 ①第一步先判断是否为整式方程，排除分母含未知数、根号内含未知数的方程； ②第二步确认未知数个数是否为1，排除二元及以上的方程； ③第三步化简方程，验证未知数最高次数是否为2，且二次项系数不为0； ④含字母参数的方程，需注意对二次项系数的分类讨论。 【例题1】.（25-26八年级下·安徽合肥·期末）下列是一元二次方程的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为且二次项系数不为，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：中，未知数最高次数为1，是一元一次方程，故不满足题意； 选项B：中，未说明，若则不是一元二次方程，故不满足题意； 选项D：中，分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故不满足题意； 选项C：中，是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且二次项系数，满足一元二次方程的所有条件，故满足题意． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项B：方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项C：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项D：方程是一元二次方程，故此选项符合题意． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·安徽六安·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2． 【详解】解：选项A：含有两个未知数，不符合一元要求，A错误； 选项B：中不是整式，方程不是整式方程，B错误； 选项C：，展开整理得：，移项合并得，未知数最高次数为1，不是一元二次方程，C错误； 选项D：，满足只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义，D正确． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·福建泉州·期末）下列方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，即“只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程”由此判断选项即可． 【详解】解：A选项：方程整理得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合一元二次方程定义； B选项：方程，当时，方程变为，是一元一次方程，不一定是一元二次方程； C选项：方程含有两个未知数和，是二元方程，不符合一元二次方程定义； D选项：方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义． 故选：D． 【题型2】由一元二次方程的定义求参数 1.核心知识点 一元二次方程的定义；二次项系数不为0的隐含条件 2.解题方法技巧 ①根据“未知数最高次数为2”列方程，令对应次数等于2，初步求解参数； ②根据“二次项系数不为0”列不等式，对初步结果进行取舍； ③若已知方程有一根为0，代入求参数后，同样要验证二次项系数不为0。 【例题2】.（25-26八年级下·重庆·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，即， ∴ 或 ， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 【变式题2-1】.（25-26八年级·全国·暑假作业）关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【答案】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】 【详解】解：关于的方程是一元二次方程 未知数的最高次数为，可得 解得，此时二次项系数为，符合一元二次方程的定义． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·福建莆田·期末）方程为一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为且二次项系数不为，由此确定的值 【详解】解：方程为一元二次方程，则未知数的最高次数必须为，且二次项的系数，满足条件， 故． 故答案为 【题型3】一元二次方程的一般形式转化与系数识别 1.核心知识点 整式的去括号、合并同类项运算；一元二次方程一般形式的结构与各项系数定义 2.解题方法技巧 ①先通过去括号、移项、合并同类项将方程整理为右边为0的形式，按未知数降幂排列得到一般形式；若要求二次项系数为1，可在等式两边同除以原二次项系数。 ②必须在一般形式下识别二次项、一次项、常数项及对应系数，各项系数均包含前面的符号；方程无一次项或常数项时，对应项的系数为0。 【例题3】.（25-26九年级上·云南怒江·期中）把一元二次方程化成一般形式是_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式． 将方程左边展开，然后移项化为一般形式． 【详解】解：∵， ∴， 移项得． 故答案为：． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，先利用完全平方公式展开方程左边，再移项合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵ 展开左边得 移项得 合并同类项得． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式为，只需展开原式，移项合并同类项即可得到结果 【详解】解：原方程为， ∵展开方程左边，得， 合并同类项得， 移项整理为一般形式，两边同乘得 【变式题3-3】.（25-26八年级下·安徽六安·期末）将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【题型4】判断一元二次方程的解 1.核心知识点 一元二次方程的解的定义；代入验证法 2.解题方法技巧 ①将数值分别代入方程左右两边，计算两边是否相等，相等则为方程的解； ②牢记两个特殊结论：若，则是方程的根；若，则是方程的根。 【例题4】.（25-26九年级上·福建厦门·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：A、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； B、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； C、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； D、把代入，可得，所以是方程的根，符合题意； 故选：D． 【变式题4-1】.（25-26九年级上·河北保定·期中）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） 0 1 2 3 ... ... A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查列表法求一元二次方程的解，将方程变形为 ，从表格中找出使该式值为6的x值，即为方程的解． 【详解】解：∵ 可化为 ， 由表可知，当 或 时，， ∴ 方程的解为 或 ． 故选：D． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的解，由可知令即成立，则可求出答案． 【详解】解：当时，方程为， 方程必有一个根是， 故选：C． 【变式题4-3】.（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（　　） A．1，2 B．1，0 C．，0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键 根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是或， 故选：D． 【培优提升题型】 【题型5】由方程的解求参数的值 1.核心知识点 方程的解的定义；代入法解一元一次方程 2.解题方法技巧 ①将已知根代入原方程，得到关于参数的方程（组）； ②求解参数，注意结合二次项系数不为0的条件进行检验； ③若方程有一根为0，直接代入可得常数项为0，可快速简化计算。 【例题5】.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）一元二次方程的一个解是，则的值是______． 【答案】 【详解】解：是一元二次方程的一个解， 满足一元二次方程， 将代入方程得， 整理得， 移项得． 【变式题5-1】.（2026·广东·中考真题）已知方程的一个根是1，则_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解: 因为是方程的根， 将代入方程得：， 整理得， 移项得． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·安徽安庆·期末）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是__________． 【答案】 【分析】把代入方程得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：根据题意，把代入方程得， ， 整理得，， ． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知是方程的一个根，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，解该方程即可得到的值． 【详解】解：是方程的一个根， 将代入方程得：， 整理得 ， 移项得 ， 系数化为得． 【题型6】利用方程的根降次求代数式的值 1.核心知识点 方程的解的性质；整体代入与降次思想 2.解题方法技巧 ①先由根的定义得到二次式的等量关系，如的形式； ②将高次代数式中的高次幂用低次式替换，逐步降次，直到可整体代入计算； ③优先用整体代入法，无需解出参数的具体值，简化运算过程。 【例题6】.（25-26九年级下·湖南长沙·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为__________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， ，即， ． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·山东德州·期末）若是方程的一个根，则的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根，以及代数式求值，利用方程根的性质，将、表示出来，然后代入表达式化简计算，即可解题． 【详解】解：∵ a是方程的根， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，首先根据是关于的一元二次方程的根，可得：，再利用整体代入法求代数式的值即可． 【详解】解：是方程 的根， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）已知是一元二次方程的一个根，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，由一元二次方程的根的定义可得，再代入代数式计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【题型7】增长率与下降率类实际问题建模 1.核心知识点 增长率数量模型；一元二次方程建模 2.解题方法技巧 ①明确基数、平均增长率、增长次数三者关系：增长后量=基数平均增长率； ②若为下降率，则公式为：下降后量=基数平均下降率； ③注意区分“累计总量”与“第n期数值”的不同表述，准确匹配等量关系。 【例题7】.（25-26九年级上·江苏南京·期中）某游乐场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人．设该游乐场游客人数的周平均增长率为x，可列方程为________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 根据平均增长率模型，从第一周到第三周经过两周增长，利用增长公式列出方程即可． 【详解】解：设周平均增长率为，则第二周人数为，第三周人数为， 根据题意，第三周接待游客8470人， 故列方程为， 故答案为：． 【变式题7-1】.（25-26九年级下·安徽·阶段检测）某市政府2024年投入3亿元资金用于基础设施建设，并规划投入资金逐年增加，2026年将投入8亿元资金．设2024年至2026年的投入资金的年平均增长率为，根据题意可列方程为_____． 【答案】 【分析】根据2024年投入的资金2026年投入的资金，列出方程即可． 【详解】由题意可列方程为． 【变式题7-2】.（2026·山西长治·二模）2026年3月，国际金价回调，国内金店同步降价．某品牌足金从1400元/克连续两次下调，现降至1260元/克，若两次降价的降低率相同，求该降低率．设两次降价的降低率为，可列方程为____________． 【答案】 【分析】根据降低率问题的数量关系，结合两次降价后的现价即可列出对应方程． 【详解】解：设两次降价的降低率为． 第一次降价后的价格为元/克， 第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行降价，因此第二次降价后的价格为元/克， 已知两次降价后价格为元/克， 因此可列方程． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·江苏扬州·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题根据总利润每件衬衫的利润每天的销售量列方程，先分别表示出降价后每件衬衫的利润与每天的销售量，再代入等量关系即可得到方程． 【详解】解：设每件衬衫应降价元，根据题意，降价后每件衬衫的利润为元，每件降价元后，每天多售出件， 因此每天的销售量为件， 已知商场平均每天盈利元，结合总利润公式可得方程． 【题型8】几何与社交类实际问题建模 1.核心知识点 面积问题、握手问题、互赠问题的数量关系；一元二次方程建模 2.解题方法技巧 ①面积类：平移道路将种植区域拼接为矩形，用新的长与宽表示面积列方程； ②单循环（握手、比赛）类：总场次；双循环（互赠礼物）类：总件数； ③列方程后需化为一般形式，验证方程是否符合实际意义。 【例题8】.（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，学校计划用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜地，菜地的一边利用墙、设菜地垂直于墙的一边长为，可列方程是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由篱笆的总长及垂直于墙的篱笆长度，可得出平行于墙的篱笆长为，根据长方形菜地的面积为，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：∵要用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜地，垂直于墙的边长为， ∴平行于墙的边长为， 根据题意，可得． 故答案为：． 【变式题8-1】.（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）在小华亲友微信群中，群内每人给群内其他人都发一个红包，若该微信群共发了420个红包，设该群共有x人，则根据题意，可列方程为 _______________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系是关键． 每人给其他人都发一个红包，则每人发红包数为个，x人共发个红包，总红包数为420，故列方程． 【详解】解：设该群共有x人，则每人需要给其他人发红包， ∴每人发红包数为个，由于有x人， ∴总红包数为个， ∴列方程得， 故答案为：． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在一块长12m、宽8m的长方形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为，根据题意，可列方程：______． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键． 把所修的两条道路分别移到矩形的最上边和最左边，根据平行四边形与矩形面积公式可知：路的面积没变，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：∵道路的宽应为， ∴由题意得，， 故答案为：． 【变式题8-3】.（2026·辽宁抚顺·模拟预测）冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主要病原体．某班级最初有人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有人患流感，若设每轮传染中平均一人传染了人，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据每轮传染中所有病人均参与传染，两轮后总人数为初始人数乘以，即可作答． 【详解】解：∵最初有人患流感， ∴第一轮传染后，患病人数为， ∴第二轮传染后，患病人数为 ∵两轮传染后该班级共有32人患流感， ∴可列方程为． 【压轴素养题型】 【题型9】同构方程的根的迁移 1.核心知识点 方程的解的定义；整体换元思想 2.解题方法技巧 ①观察两个方程的结构相似性，将第二个方程通过变形，与第一个方程建立对应关系； ②利用整体换元，令新的整体等于原方程的根，解出新方程的根； ③对于系数颠倒的方程，可两边同除以，转化为原方程的倒数形式求解。 【例题9】.（25-26八年级下·北京·期中）若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将所求方程整理变形，使其与原方程结构一致，通过换元利用已知方程的解求解即可. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一解为 ∴ 整理所求方程 移项得 提取公因式得 令，则方程变为，与原方程结构完全相同，故该方程的一个解为 即 解得 因此所求方程必有一解为 【变式题9-1】.（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）已知关于的方程（，，为常数，）的解是，，那么方程的解是__________． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意得到关于的一元一次方程是解题的关键．可把方程看作关于的一元二次方程，从而得到或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程， 方程的解是，， 方程可变形为，该方程的结构与相同， ∴的取值等于原方程中的取值， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 【变式题9-2】.（25-26九年级上·福建三明·阶段检测）已知为方程的解，也为方程（，为常数）的解，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，将变形为，代入得，根据m有两个值，则，即可求解． 【详解】解：∵m为方程 的解， ∴， ∴， ∵m是方程 ， ∴ 把代入，得， ∴ ∴， ∴， ∵方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数解， ∵m为方程 的解，m也为方程 的解， ∴是两个不相等的值， ∴对于来说，， ∴， 故答案为：． 【变式题9-3】.（25-26九年级上·全国·课后作业）关于x的方程的解是，（均为常数，），则方程的解是__． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据关于x的方程的解是，得出或，即方程的解是． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的方程的解是， ∴或 ∴方程的解是 故答案为： 【题型10】新定义类一元二次方程问题 1.核心知识点 一元二次方程的定义与解；新定义运算的转化 2.解题方法技巧 ①准确理解新定义的运算规则，将新运算转化为常规的代数式运算； ②根据定义列出方程，整理为一元二次方程的一般形式； ③结合方程的解、参数求解等考点综合计算，注意对参数取值的分类讨论。 【例题10】.（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．已知关于的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程的解，先解一元一次方程可得，将代入一元二次方程，计算即可得解，理解“相伴方程”的定义是解此题的关键． 【详解】解：解一元一次方程可得， ∵关于的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”， ∴将代入一元二次方程可得， 解得：， 故答案为：． 【变式题10-1】.（25-26九年级上·广东中山·期末）定义：方程 是一元二次方程 的“倒方程”，其中a，b，c为常数，且a≠0，c≠0．若x= -1是一元二次方程 的“倒方程”的解，则c的值为________． 【答案】 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念是解题的关键． 根据倒方程的定义，方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； 【详解】解：由题知，原方程中，，，，其倒方程为，即， 将代入倒方程：， 解得 验证，，符合条件 故答案为：． 【变式题10-2】.（26-27九年级·江苏·暑假作业）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 【变式题10-3】.（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 易错点 1、识别一元二次方程时，忽略“整式方程”条件，误将分式方程、无理方程判定为一元二次方程；或忽略二次项系数不为0的隐含条件，导致参数求解出现增根。 2、确定方程各项系数时，未先化为一般形式就直接判断，或遗漏系数前面的负号；混淆“项”与“项的系数”的概念。 3、实际问题列方程时，混淆单循环与双循环的数量关系，或增长率问题中错把“累计总量”当成“单次期末量”列方程。 重点 1、一元二次方程的定义与三大判定要素，能准确识别方程并根据定义求解参数。 2、一元二次方程的一般形式，能正确转化形式并识别各项及对应系数。 3、一元二次方程的解的定义，能利用代入法求参数，掌握降次求值的整体思想。 难点 1、一元二次方程定义中“二次项系数不为0”隐含条件的应用，以及多参数问题的分类讨论。 2、复杂情境下的一元二次方程建模，以及同构方程、降次求值等进阶方法的灵活运用。 一、单选题 1．若1是方程的根，则的值为（     ） A．3 B．2 C．0 D． 【答案】C 【分析】将代入原方程，即可求出所求代数式的值． 【详解】解：∵是方程的根 ∴将代入原方程得， ∴ ，即的值为． 2．一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（    ） A．2、 B．2、3 C．1、 D．、3 【答案】D 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中为一次项系数，为常数项，对应题目方程即可得到结果． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数、常数项分别是、． 3．已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据方程根的定义，方程的根满足原方程，将代入原方程变形即可得到所求代数式的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 移项得， ∴代数式的值为． 二、填空题 4．（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 【答案】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到，求解即可； （2）根据一元一次方程的定义得到，求解即可． 【详解】解：（1）∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． （2）∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴． 5．若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为________． 【答案】 【分析】将已知根代入一元二次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值. 【详解】解：把代入方程得： 解得. 6．已知、是一元二次方程的两个根，则的值为_____． 【答案】9 【分析】根据、是一元二次方程的两个根，得到，，，化简代入计算即可． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ，，， ． 三、解答题 7．已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【答案】(1)，二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11 (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程定义得到，求出m的值，即可解答； （2）根据一元一次方程的定义得到或，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴或， ∴或． 8．已知a为方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，一元二次方程解的定义，灵活运用所学知识是解题的关键． 先根据一元二次方程解的定义得到，再把所求式子化简为，由此求解即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 9．已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)如果是方程的一个根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】(1) 等腰三角形，理由见解析 (2) ， 【分析】（1）将代入方程中可得，结合，，分别为三边的长即可知三角形形状； （2）由等边三角形性质可得，代入方程后求解即可． 【详解】（1）解：是一元二次方程的一个根，，，分别为三边的长， ， ， 即是等腰三角形； （2）解：是等边三角形， ， 代入方程得， ， 解得，． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的解、等腰三角形的判定、等边三角形的性质、解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 一元二次方程的概念 【本节预习目标】 1.理解一元二次方程的定义，掌握判定一元二次方程的三大核心要素，能准确识别一元二次方程。 2.掌握一元二次方程的一般形式，能正确识别二次项、一次项、常数项及对应系数，熟练完成方程的一般形式转化。 3.理解一元二次方程的解（根）的概念，能利用方程的解进行代入求参、代数式降次求值。 4.能从生活、传统文化、几何等实际情境中抽象出一元二次方程模型，发展数学建模核心素养。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知内容 本节新知关联 一元一次方程 只含一个未知数，未知数最高次数为1的整式方程，一般形式为 一元二次方程是整式方程的次数升级，保留“一元、整式”特征，未知数最高次数变为2 方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值，代入可使等式成立 一元二次方程的解（根）定义与之一致，代入求值的方法通用 整式运算 多项式乘法、完全平方公式、去括号与合并同类项 一元二次方程一般形式的化简依赖整式运算，实际问题列方程需先建立代数式模型 知识点1：一元二次方程的定义 1.定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 2.判定三要素（缺一不可）： ①是整式方程：分母、根号内不含未知数； ②是一元方程：只含有一个未知数； ③是二次方程：未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。 知识点2：一元二次方程的一般形式 1.一般形式： 其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，是一次项系数；是常数项。 2.核心要点： ①是一元二次方程的必要前提，和可以为0； ②方程的各项及系数均包含其前面的符号； ③三种特殊形式： 当时，； 当时，； 当时，。 知识点3：一元二次方程的解（根） 1.定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 2.基本性质：若是方程的根，则必有，可据此求解参数或计算代数式的值。 【基础巩固题型】 【题型1】一元二次方程的识别 1.核心知识点 一元二次方程的定义三要素；整式方程的判定 2.解题方法技巧 ①第一步先判断是否为整式方程，排除分母含未知数、根号内含未知数的方程； ②第二步确认未知数个数是否为1，排除二元及以上的方程； ③第三步化简方程，验证未知数最高次数是否为2，且二次项系数不为0； ④含字母参数的方程，需注意对二次项系数的分类讨论。 【例题1】.（25-26八年级下·安徽合肥·期末）下列是一元二次方程的是（     ）． A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·安徽六安·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·福建泉州·期末）下列方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【题型2】由一元二次方程的定义求参数 1.核心知识点 一元二次方程的定义；二次项系数不为0的隐含条件 2.解题方法技巧 ①根据“未知数最高次数为2”列方程，令对应次数等于2，初步求解参数； ②根据“二次项系数不为0”列不等式，对初步结果进行取舍； ③若已知方程有一根为0，代入求参数后，同样要验证二次项系数不为0。 【例题2】.（25-26八年级下·重庆·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级·全国·暑假作业）关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·福建莆田·期末）方程为一元二次方程，则的值为_____． 【题型3】一元二次方程的一般形式转化与系数识别 1.核心知识点 整式的去括号、合并同类项运算；一元二次方程一般形式的结构与各项系数定义 2.解题方法技巧 ①先通过去括号、移项、合并同类项将方程整理为右边为0的形式，按未知数降幂排列得到一般形式；若要求二次项系数为1，可在等式两边同除以原二次项系数。 ②必须在一般形式下识别二次项、一次项、常数项及对应系数，各项系数均包含前面的符号；方程无一次项或常数项时，对应项的系数为0。 【例题3】.（25-26九年级上·云南怒江·期中）把一元二次方程化成一般形式是_________． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·安徽六安·期末）将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 【题型4】判断一元二次方程的解 1.核心知识点 一元二次方程的解的定义；代入验证法 2.解题方法技巧 ①将数值分别代入方程左右两边，计算两边是否相等，相等则为方程的解； ②牢记两个特殊结论：若，则是方程的根；若，则是方程的根。 【例题4】.（25-26九年级上·福建厦门·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26九年级上·河北保定·期中）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） 0 1 2 3 ... ... A． B． C．或 D．或 【变式题4-2】.（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 【变式题4-3】.（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（　　） A．1，2 B．1，0 C．，0 D．1 【培优提升题型】 【题型5】由方程的解求参数的值 1.核心知识点 方程的解的定义；代入法解一元一次方程 2.解题方法技巧 ①将已知根代入原方程，得到关于参数的方程（组）； ②求解参数，注意结合二次项系数不为0的条件进行检验； ③若方程有一根为0，直接代入可得常数项为0，可快速简化计算。 【例题5】.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）一元二次方程的一个解是，则的值是______． 【变式题5-1】.（2026·广东·中考真题）已知方程的一个根是1，则_____． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·安徽安庆·期末）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是__________． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知是方程的一个根，则的值为_______． 【题型6】利用方程的根降次求代数式的值 1.核心知识点 方程的解的性质；整体代入与降次思想 2.解题方法技巧 ①先由根的定义得到二次式的等量关系，如的形式； ②将高次代数式中的高次幂用低次式替换，逐步降次，直到可整体代入计算； ③优先用整体代入法，无需解出参数的具体值，简化运算过程。 【例题6】.（25-26九年级下·湖南长沙·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为__________． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·山东德州·期末）若是方程的一个根，则的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A．4 B． C．2 D． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）已知是一元二次方程的一个根，则的值是______． 【题型7】增长率与下降率类实际问题建模 1.核心知识点 增长率数量模型；一元二次方程建模 2.解题方法技巧 ①明确基数、平均增长率、增长次数三者关系：增长后量=基数平均增长率； ②若为下降率，则公式为：下降后量=基数平均下降率； ③注意区分“累计总量”与“第n期数值”的不同表述，准确匹配等量关系。 【例题7】.（25-26九年级上·江苏南京·期中）某游乐场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人．设该游乐场游客人数的周平均增长率为x，可列方程为________． 【变式题7-1】.（25-26九年级下·安徽·阶段检测）某市政府2024年投入3亿元资金用于基础设施建设，并规划投入资金逐年增加，2026年将投入8亿元资金．设2024年至2026年的投入资金的年平均增长率为，根据题意可列方程为_____． 【变式题7-2】.（2026·山西长治·二模）2026年3月，国际金价回调，国内金店同步降价．某品牌足金从1400元/克连续两次下调，现降至1260元/克，若两次降价的降低率相同，求该降低率．设两次降价的降低率为，可列方程为____________． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·江苏扬州·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 【题型8】几何与社交类实际问题建模 1.核心知识点 面积问题、握手问题、互赠问题的数量关系；一元二次方程建模 2.解题方法技巧 ①面积类：平移道路将种植区域拼接为矩形，用新的长与宽表示面积列方程； ②单循环（握手、比赛）类：总场次；双循环（互赠礼物）类：总件数； ③列方程后需化为一般形式，验证方程是否符合实际意义。 【例题8】.（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，学校计划用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜地，菜地的一边利用墙、设菜地垂直于墙的一边长为，可列方程是_______． 【变式题8-1】.（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）在小华亲友微信群中，群内每人给群内其他人都发一个红包，若该微信群共发了420个红包，设该群共有x人，则根据题意，可列方程为 _______________ ． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在一块长12m、宽8m的长方形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为，根据题意，可列方程：______． 【变式题8-3】.（2026·辽宁抚顺·模拟预测）冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主要病原体．某班级最初有人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有人患流感，若设每轮传染中平均一人传染了人，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【压轴素养题型】 【题型9】同构方程的根的迁移 1.核心知识点 方程的解的定义；整体换元思想 2.解题方法技巧 ①观察两个方程的结构相似性，将第二个方程通过变形，与第一个方程建立对应关系； ②利用整体换元，令新的整体等于原方程的根，解出新方程的根； ③对于系数颠倒的方程，可两边同除以，转化为原方程的倒数形式求解。 【例题9】.（25-26八年级下·北京·期中）若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 【变式题9-1】.（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）已知关于的方程（，，为常数，）的解是，，那么方程的解是__________． 【变式题9-2】.（25-26九年级上·福建三明·阶段检测）已知为方程的解，也为方程（，为常数）的解，则的值为__________． 【变式题9-3】.（25-26九年级上·全国·课后作业）关于x的方程的解是，（均为常数，），则方程的解是__． 【题型10】新定义类一元二次方程问题 1.核心知识点 一元二次方程的定义与解；新定义运算的转化 2.解题方法技巧 ①准确理解新定义的运算规则，将新运算转化为常规的代数式运算； ②根据定义列出方程，整理为一元二次方程的一般形式； ③结合方程的解、参数求解等考点综合计算，注意对参数取值的分类讨论。 【例题10】.（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．已知关于的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，则的值为___________． 【变式题10-1】.（25-26九年级上·广东中山·期末）定义：方程 是一元二次方程 的“倒方程”，其中a，b，c为常数，且a≠0，c≠0．若x= -1是一元二次方程 的“倒方程”的解，则c的值为________． 【变式题10-2】.（26-27九年级·江苏·暑假作业）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【变式题10-3】.（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 易错点 1、识别一元二次方程时，忽略“整式方程”条件，误将分式方程、无理方程判定为一元二次方程；或忽略二次项系数不为0的隐含条件，导致参数求解出现增根。 2、确定方程各项系数时，未先化为一般形式就直接判断，或遗漏系数前面的负号；混淆“项”与“项的系数”的概念。 3、实际问题列方程时，混淆单循环与双循环的数量关系，或增长率问题中错把“累计总量”当成“单次期末量”列方程。 重点 1、一元二次方程的定义与三大判定要素，能准确识别方程并根据定义求解参数。 2、一元二次方程的一般形式，能正确转化形式并识别各项及对应系数。 3、一元二次方程的解的定义，能利用代入法求参数，掌握降次求值的整体思想。 难点 1、一元二次方程定义中“二次项系数不为0”隐含条件的应用，以及多参数问题的分类讨论。 2、复杂情境下的一元二次方程建模，以及同构方程、降次求值等进阶方法的灵活运用。 一、单选题 1．若1是方程的根，则的值为（     ） A．3 B．2 C．0 D． 2．一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（    ） A．2、 B．2、3 C．1、 D．、3 3．已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．或 二、填空题 4．（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 5．若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为________． 6．已知、是一元二次方程的两个根，则的值为_____． 三、解答题 7．已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 8．已知a为方程的一个根，求代数式的值． 9．已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)如果是方程的一个根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $