第04讲 一元二次方程的概念10大题型（暑假预习讲义）新九年级数学新教材苏科版

第04讲 一元二次方程的概念 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 一元二次方程的定义 题型2 化成一元二次方程的一般式 题型3 由一元二次方程的定义求参数 题型4 判断是否是一元二次方程的解 题型5 由一元二次方程的解求参数 题型6 由一元二次方程的解求代数式的值 题型7 整体代入求一元二次方程的解 题型8 由一元二次方程的解求另一个方程的解 题型9 一元二次方程的解的估算 题型10 一元二次方程的新定义问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一元二次方程的定义 一元二次方程的一般式 一元二次方程的解 1. 理解一元二次方程的核心定义，准确把握方程的三大必备特征。 2. 掌握一元二次方程的一般形式，分清二次项、一次项和常数项。 3. 能准确识别各项系数，重点记住二次项系数不为零的条件。 4. 会将复杂方程整理为一般形式，提升式子变形整理能力。 5. 培养严谨数学思维，能够准确判断方程是否为一元二次方程。 学习重点：掌握一元二次方程定义与一般形式，准确区分各项及系数，熟练整理标准方程。 学习难点：准确辨析含参方程类型，依据二次项系数非零条件正确求解参数取值范围。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 判断一个方程是否为一元二次方程，必须抓住以下三个条件： ①是整式方程， ②只含有一个未知数， ③未知数的最高次数是2次的，三个条件，任何一个不满足，则方程不是一元二次方程. 常见误区 （1）不整理化简直接判断，被括号、平方原式表象误导； （2）只看最高次数为2，忽略二次项系数不为0； （3）把分式方程、带根号非整式方程当成一元二次方程； （4）识别系数时忽略符号，漏看负号； （5）含参题型只限定次数，忘记舍去二次项系数为0的参数值。 即时即练 1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．构造一个一元二次方程，要求：①常数项是；②有一个根为2．这个一元二次方程可以是___________．（写出一个即可） 知识点02 一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，这种形式就叫做一元二次方程的一般形式. 其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 1.由一元二次方程定义可知：二次项系数不等于0，一次项系数和常数项均可以等于0，即“，b和c均可以为0”； 2.一般情况下，二次项系数为正数，若二次项系数为负数，可以在方程两边同时乘，使二次项系数变为正数； 3.在求各项系数时，应先把一元二次方程化成一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号. 即时即练 4．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 5．将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为____． 6．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 知识点03 一元二次方程的根 能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 1.一元二次方程根的情况：（关于根的个数判断在后面会详细讲解，这里先做个简单的了解） ①可能有两个不相等的实数根； ②可能有两个相等的实数根； ③可能没有实数根. 2.关于一元二次方程根的结论： ①若，则必有一个根，反之也成立； ②若，则必有一个根，反之也成立； ③若一元二次方程有一个根，则，反之也成立. 即时即练 7．下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 8．已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 9．关于的方程（均为常数，）的解是，则方程的解是___________． 题型1 一元二次方程的定义 1．下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是（     ） A．①②④ B．②④⑥ C．①③④ D．①④⑥ 2．下列各方程一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列方程中，①7x2+6＝3x；②＝7；③x2﹣x＝0；④2x2﹣5y＝0；⑤﹣x2＝0中是一元二次方程的有_____． 5．下列方程中，是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D．（为常数） 【易错警示】 判断一元二次方程切勿直接观察原式表象，必须先化简整理。做题常只关注未知数最高次数为2，忽略二次项系数不为0的关键条件。易误将分式、无理整式方程判定为一元二次方程，识别系数漏看负号，含参求解时常遗漏舍去二次项系数为0的错误解。 题型2 化成一元二次方程的一般式 6．方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．1，3 B．1， C．1， D．， 8．一元二次方程化为一般式后，a，b，c的值分别为________． 9．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 10．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 【易错警示】 将方程化为一般式时，常忽略移项变号、漏写负号，导致各项系数符号出错。化简后易遗漏常数项、误丢一次项。未合并同类项就判定方程类型，含参化简时常忽略二次项系数不为0的条件，最终造成方程整理不标准、判断失误。 题型3 由一元二次方程的定义求参数 11．已知 是关于x的一元二次方程，则a的值为(　　) A． B． C． D． 12．若关于x的方程是一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 13．已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 14．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程为一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程为一元二次方程？ 15．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【易错警示】 利用一元二次方程定义求参数时，仅根据未知数最高次数为2求值，极易忽略二次项系数不为0的核心条件。常出现求出参数后不检验，保留使方程退化为一次方程或无解的错解，未联立双重条件解题，是高频丢分点。 题型4 判断是否是一元二次方程的解 16．下表是随着的不同取值，代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） ．．． -1 4 5 6 ．．． ．．． 8 0 0 8 ．．． A． B． C． D． 17．若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 18．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为______． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 19．下表是某同学求代数式的值的情况，根据表中的数据，可知方程的根是（    ）． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C．， D．， 20．如表是小钰同学求代数式（，为常数）的值的情况．根据表中的数据可知，关于的一元二次方程的实数根是（   ） … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 题型5 由一元二次方程的解求参数 21．若是方程的一个解，则m的值为（   ） A． B．6 C． D．3 22．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．0 23．若一元二次方程的一个解为，则的值为______． 24．若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为________． 25．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为__________. 题型6 由一元二次方程的解求代数式的值 26．若是一元二次方程的根，则代数式的值为（  ） A． B． C． D． 27．已知为方程的根，那么的值为（　　） A．-2022 B．2022 C．0 D．4044 28．若是方程的根，则代数式的值是____． 29．如果m是方程的一个根，那么代数式的值为______． 30．已知是方程的一个根，试求的值． 题型7 整体代入求一元二次方程的解 31．设a是方程的一个根，则（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．无法确定 32．已知是方程的一个根，则的值为（  ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 33．已知是方程的一个根，则______． 34．已知a是一元二次方程的一个根，则_____． 35．已知m是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 题型8 由一元二次方程的解求另一个方程的解 36．若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 37．如果，则方程必有一解为________． 38．关于x的方程的解是． （1）关于x的方程的根是_______________． （2）关于x的方程的根是_______________． 39．关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是________． 40．若关于的方程（）有一个实数根为，则方程（）必有实数根为（    ） A． B． C． D． 题型9 一元二次方程的解的估算 41．根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 42．根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 43．根据表格中的数据，判断一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为（　　） x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.16 0.59 A． B． C． D．0.6＜x＜0.7 44．根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是________． 45．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【易错警示】 估算一元二次方程的解时，易仅凭单次函数值符号判定根的位置，忽略取值区间的连续性。常盲目取值估算，未精准锁定根的范围，混淆正负解区间。同时容易忽略估算值仅为近似解，误将估算数值当作方程准确解，导致答题出错。 题型10 一元二次方程的新定义问题 46．对于实数a，b，我们定义一种新的运算#，规定：，若关于x的方程的一个实数根为4，则_____． 47．数学家笛卡尔为了解决一元二次方程在实数范围内无解的问题，引进虚数单位i，规定．形如（，为实数）的数统称为复数，当时，称为虚数；当时，称为实数． （1）化简________； （2）关于的一元二次方程有一个根是，其中，是实数，则________． 48．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 49．定义：方程 是一元二次方程 的“倒方程”，其中a，b，c为常数，且a≠0，c≠0．若x= -1是一元二次方程 的“倒方程”的解，则c的值为________． 50．新定义：关于的一元二次方程：与（均为常数）称为“同类方程”．如与是“同类方程”．若关于的一元二次方程：与是“同类方程”，那么___________． 51．定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为 （填序号）． (2)已知关于x的一元二次方程）是“黄金方程”，求代数式的最小值． 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若是方程的解，则的值是（     ） A． B．3 C． D．1 3．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．4，1，3 B． C． D． 5．若是关于的方程的一个实根，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 6．已知关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是（     ） A． B．0 C．1 D．5 7．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 8．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 9．已知关于的一元二次方程． ①若，则该方程一定有一个根为； ②若方程的两个根为和2，则和的数量关系为． 下列判断正确的是（     ） A．①②的说法都正确 B．①②的说法都错误 C．①的说法错误，②的说法正确 D．①的说法正确，②的说法错误 10．已知代数式，，，若，且z为方程的一个实根，则的值为（   ） A．2026 B．2028 C．4052 D．4054 11．下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 12．把一元二次方程化为一般形式为______________________ 13．若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为__________． 14．已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为____． 15．若是关于的一元二次方程（）的解，则代数式的值是_____． 16．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值是 _____ ． 17．已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 18．若a是方程的根，则代数式值是_________． 19．若实数x满足，则______． 20．已知是关于x的一元二次方程的一个根． （1）若，且，则b的取值范围是______； （2）若，则c的值为______． 21．已知m是方程的一个根，求代数式的值． 22．已知是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 23．已知是方程的一个解，求代数式的值． 24．已知是方程的一个根，求的值． 25．当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 26．已知关于x的方程 是一元二次方程，求 m的值． 27．已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值． 28．已知a是一元二次方程的一个根： (1)求的值 (2)求的值． 29．已知m是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 30．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 一元二次方程的概念 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 一元二次方程的定义 题型2 化成一元二次方程的一般式 题型3 由一元二次方程的定义求参数 题型4 判断是否是一元二次方程的解 题型5 由一元二次方程的解求参数 题型6 由一元二次方程的解求代数式的值 题型7 整体代入求一元二次方程的解 题型8 由一元二次方程的解求另一个方程的解 题型9 一元二次方程的解的估算 题型10 一元二次方程的新定义问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一元二次方程的定义 一元二次方程的一般式 一元二次方程的解 1. 理解一元二次方程的核心定义，准确把握方程的三大必备特征。 2. 掌握一元二次方程的一般形式，分清二次项、一次项和常数项。 3. 能准确识别各项系数，重点记住二次项系数不为零的条件。 4. 会将复杂方程整理为一般形式，提升式子变形整理能力。 5. 培养严谨数学思维，能够准确判断方程是否为一元二次方程。 学习重点：掌握一元二次方程定义与一般形式，准确区分各项及系数，熟练整理标准方程。 学习难点：准确辨析含参方程类型，依据二次项系数非零条件正确求解参数取值范围。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 判断一个方程是否为一元二次方程，必须抓住以下三个条件： ①是整式方程， ②只含有一个未知数， ③未知数的最高次数是2次的，三个条件，任何一个不满足，则方程不是一元二次方程. 常见误区 （1）不整理化简直接判断，被括号、平方原式表象误导； （2）只看最高次数为2，忽略二次项系数不为0； （3）把分式方程、带根号非整式方程当成一元二次方程； （4）识别系数时忽略符号，漏看负号； （5）含参题型只限定次数，忘记舍去二次项系数为0的参数值。 即时即练 1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，根据定义逐一判断选项即可. 【详解】解：∵一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程， 对各选项逐一判断： A. ，满足所有条件，是一元二次方程； B. ，含有和两个未知数，不满足定义，不是一元二次方程； C. ，分母含有未知数，不是整式方程，不满足定义，不是一元二次方程； D. ，整理后未知数最高次数为1，是一元一次方程，不满足定义，不是一元二次方程. 2．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A. 中含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意； B. 含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意； C. 整理后，消去得，不是一元二次方程，不合题意； D. 整理得，只含一个未知数的整式方程，且未知数最高次数为2，符合一元二次方程的定义，符合题意． 3．构造一个一元二次方程，要求：①常数项是；②有一个根为2．这个一元二次方程可以是___________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，正确掌握相关定义是解题关键． 由题意设这个一元二次方程为：，由一元二次方程的解可得，可得进而得出答案． 【详解】解：由题意设这个一元二次方程为：， 代入得，， 即， 可取， ∴这个一元二次方程可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 知识点02 一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，这种形式就叫做一元二次方程的一般形式. 其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 1.由一元二次方程定义可知：二次项系数不等于0，一次项系数和常数项均可以等于0，即“，b和c均可以为0”； 2.一般情况下，二次项系数为正数，若二次项系数为负数，可以在方程两边同时乘，使二次项系数变为正数； 3.在求各项系数时，应先把一元二次方程化成一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号. 即时即练 4．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式为 ，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为5和． 5．将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为____． 【答案】 【详解】解：， ， ； 故一次项系数为. 6．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 先把一元二次方程化成一般式，然后根据二次项、一次项、常数项的定义解答即可． 【详解】解：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 9 4 1 2 知识点03 一元二次方程的根 能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 1.一元二次方程根的情况：（关于根的个数判断在后面会详细讲解，这里先做个简单的了解） ①可能有两个不相等的实数根； ②可能有两个相等的实数根； ③可能没有实数根. 2.关于一元二次方程根的结论： ①若，则必有一个根，反之也成立； ②若，则必有一个根，反之也成立； ③若一元二次方程有一个根，则，反之也成立. 即时即练 7．下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，将代入方程左边得：左边右边，是的根，符合题意； D、即，不是一元二次方程，不符合题意． 8．已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键．根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵一元二次方程，，，满足，， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：D． 9．关于的方程（均为常数，）的解是，则方程的解是___________． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的解．可把方程看作关于的一元二次方程，从而得到或，解之即可得出结论． 【详解】解：可把方程看作关于的一元二次方程， ∵关于x的方程的解是， ∴关于的方程的解是或， ∴或． 故答案为：或． 题型1 一元二次方程的定义 1．下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是（     ） A．①②④ B．②④⑥ C．①③④ D．①④⑥ 【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程的定义判定，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2且二次项系数不为0，逐个验证每个方程即可得出结果． 【详解】解：①，由于题目未规定，当时方程不是二次方程，则①不是一元二次方程； ②展开整理得：，则②是一元二次方程； ③是分式方程，不是整式方程，则③不是一元二次方程； ④，由于，则，则④是一元二次方程； ⑤是无理方程，不是整式方程，则⑤不是一元二次方程； ⑥，满足一元二次方程所有定义条件，则⑥是一元二次方程； 综上所述，②④⑥是一元二次方程． 2．下列各方程一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程必须满足四个条件：整式方程；只含一个未知数；未知数最高次数为2；二次项系数不为0，逐一判断选项即可 【详解】解：一元二次方程必须是整式方程，选项A中是分式，该方程是分式方程， A不符合要求； 选项B中未规定，当时方程不是一元二次方程， B不符合要求； 对选项C，，可得，即二次项系数一定不为0，方程是只含一个未知数的整式方程，且最高次数为2，一定是一元二次方程， C符合要求； 整理选项D的方程得，当时二次项系数为0，方程不是一元二次方程， D不符合要求 3．下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的概念逐一判断即可． 【详解】解：①是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ②中当时，它不是一元二次方程， ③整理得，它不是一元二次方程， ④不是一元二次方程， ⑤是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ⑥不是一元二次方程， 综上，一元二次方程有2个． 4．下列方程中，①7x2+6＝3x；②＝7；③x2﹣x＝0；④2x2﹣5y＝0；⑤﹣x2＝0中是一元二次方程的有_____． 【答案】①③⑤． 【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】①③⑤是一元二次方程，②是分式方程，④是二元二次方程， 故答案为：①③⑤． 【点睛】此题考查一元二次方程的概念，解题关键在于掌握判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 5．下列方程中，是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D．（为常数） 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟记一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、化简后是，是一元一次方程，则此项不符合题意； B、是一元二次方程，则此项符合题意； C、中是分式，则不是一元二次方程，则此项不符合题意； D、当时，方程是一元一次方程；当时，方程是一元二次方程，则此项不符合题意； 故选：B． 【易错警示】 判断一元二次方程切勿直接观察原式表象，必须先化简整理。做题常只关注未知数最高次数为2，忽略二次项系数不为0的关键条件。易误将分式、无理整式方程判定为一元二次方程，识别系数漏看负号，含参求解时常遗漏舍去二次项系数为0的错误解。 题型2 化成一元二次方程的一般式 6．方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】由一元二次方程的一般形式为（），其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项，将原方程整理为一般形式即可得到对应系数． 【详解】解：∵原方程为， ∴整理为一般形式得， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 7．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．1，3 B．1， C．1， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先将方程化为一元二次方程的一般形式，再根据一般形式的定义确定二次项系数和一次项系数由此求解即可． 【详解】解：将方程展开得：， ∴该方程的二次项系数为1，一次项系数为． 故选：C． 8．一元二次方程化为一般式后，a，b，c的值分别为________． 【答案】2，， 【分析】将原方程整理为一元二次方程的一般形式，即可确定出，，的值． 【详解】解：， 整理得： ∴，，． 9．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； (2)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； (3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； (4)，二次项系数为，一次项系数为，常数项． 【分析】（）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】（1）解：， ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （2）解：， ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （3）解： ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （4）解： ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项． 10．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 (2)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6 (3)，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为 【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案： （1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； 【详解】（1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 【易错警示】 将方程化为一般式时，常忽略移项变号、漏写负号，导致各项系数符号出错。化简后易遗漏常数项、误丢一次项。未合并同类项就判定方程类型，含参化简时常忽略二次项系数不为0的条件，最终造成方程整理不标准、判断失误。 题型3 由一元二次方程的定义求参数 11．已知 是关于x的一元二次方程，则a的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2次的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知，， 解得： 12．若关于x的方程是一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得． 13．已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且． 解得． 故答案为：． 14．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程为一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程为一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）由题意，得解得． （2）由题意，得，∴． 15．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）根据一元一次方程的定义可以解答本题； （2）根据一元二次方程的定义可以解答本题 【详解】（1）解：， 如果此方程是一元一次方程， 则， 解得：， 即时，此方程是一元一次方程； （2）解：， 如果此方程是一元二次方程， 则， 解得，且， 即且，方程是一元二次方程． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和一元一次方程的定义． 【易错警示】 利用一元二次方程定义求参数时，仅根据未知数最高次数为2求值，极易忽略二次项系数不为0的核心条件。常出现求出参数后不检验，保留使方程退化为一次方程或无解的错解，未联立双重条件解题，是高频丢分点。 题型4 判断是否是一元二次方程的解 16．下表是随着的不同取值，代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） ．．． -1 4 5 6 ．．． ．．． 8 0 0 8 ．．． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程等价于，从表格中直接找出时对应的值即可． 【详解】解：∵等价于， 从表格中，当时，；当时，， ∴方程的根为，． 故选：C． 17．若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：A、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； B、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； C、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； D、把代入，可得，所以是方程的根，符合题意； 故选：D． 18．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为______． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，当取特定值时，表达式 的值等于6，这些x值即为方程 的根，再计算两根之和，即可作答． 【详解】解：由表格可知，当时，； 当时，， ∵， ∴ 故一元二次方程的两根为， 则， 故答案为：1 19．下表是某同学求代数式的值的情况，根据表中的数据，可知方程的根是（    ）． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，直接找出使代数式的值等于2的值，这些值即为方程的根． 【详解】由表格可知，当时，；当时，． ∴方程的根是， ． 故选：D． 20．如表是小钰同学求代数式（，为常数）的值的情况．根据表中的数据可知，关于的一元二次方程的实数根是（   ） … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了判断是否是一元二次方程的解．通过观察表格数据，找到使代数式的值为2的值，这些值即为方程 的实数根，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，方程可化为， 由表格可知，当 或 时，， ∴方程的实数根为，， 故选：B 题型5 由一元二次方程的解求参数 21．若是方程的一个解，则m的值为（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】A 【分析】将代入方程得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵是方程的根，   ∴ 将代入方程得， 解得：． 22．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】A 【分析】先利用一元二次方程二次项系数不为0得到a的限制条件，再将根代入方程求出a的可能值，最后筛选出符合条件的结果． 【详解】解：∵原方程是关于x的一元二次方程， ∴二次项系数满足，即 ∵是原方程的一个根， ∴将代入原方程得：， 解得或， 结合的限制条件，可得． 23．若一元二次方程的一个解为，则的值为______． 【答案】 【分析】将代入原方程求解，再根据一元二次方程定义排除不符合条件的值即可得到结果． 【详解】解：把代入一元二次方程， 得，解得． 又∵是关于的一元二次方程， ∴，即， ∴符合条件． 24．若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为________． 【答案】 【分析】将已知根代入方程即可求解． 【详解】解：把代入方程得， ， ， 解得． 25．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为__________. 【答案】 【分析】根据题意得到且，即可求出a的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴且， 解得． 题型6 由一元二次方程的解求代数式的值 26．若是一元二次方程的根，则代数式的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简原方程，将代入方程得到关于的等式，变形求出，最后代入代数式计算结果． 【详解】解：，整理得：． ∵是该一元二次方程的根， ∴，移项得：， ∴． 27．已知为方程的根，那么的值为（　　） A．-2022 B．2022 C．0 D．4044 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，将方程的根代入方程，化简得，将代数式变形，整体代入求值即可． 【详解】解：∵为方程的根， ∴， ∴， ∴原式 ． 故选：C． 28．若是方程的根，则代数式的值是____． 【答案】2029 【分析】利用方程的根的定义，得到；两边同除以，构造出的形式；对平方，求出的值；代入代数式，直接算出最终结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ， 方程两边同时除以，得： 整理得： ∴ 化简得： 移项得： 将其代入代数式得： ． 29．如果m是方程的一个根，那么代数式的值为______． 【答案】36 【分析】利用m是方程的一个根，求得，将原式整理得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 30．已知是方程的一个根，试求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，分式的求值，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，则，，则原式可变形为，进一步变形得到，即，据此可得答案． 【详解】解：∵a是方程一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 题型7 整体代入求一元二次方程的解 31．设a是方程的一个根，则（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值等知识，正确掌握相关知识是解题的关键． 利用方程根的性质，将原表达式化简，并利用已知条件求值即可． 【详解】解：∵a是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴． ． 由方程两边除以a得， ∴． 故选A． 32．已知是方程的一个根，则的值为（  ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，则把代入，得，整理得，再把整理得，然后代数进行计算，即可作答． 【详解】解：是方程的一个根， ， 即， ∴， 则 ． 故选：C． 33．已知是方程的一个根，则______． 【答案】 【分析】是方程的一个根，推出．推出，，整体代入求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴． ∴，， ， ． 34．已知a是一元二次方程的一个根，则_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，已知一元二次方程的一个解，则这个解一定满足方程，将其代入方程去推理、判断． 将a代入可得，则， ，代入要求的代数式，整理化简即可求解． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：2． 35．已知m是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】由m是方程的一个根可得，，，然后逐步代入求解即可． 【详解】解：m是方程的一个根， ∴． ∴，， ∵时，方程左边等于1，不等于右边， ∴， 把的两边都除以得，． ∴． 题型8 由一元二次方程的解求另一个方程的解 36．若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将所求方程整理变形，使其与原方程结构一致，通过换元利用已知方程的解求解即可. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一解为 ∴ 整理所求方程 移项得 提取公因式得 令，则方程变为，与原方程结构完全相同，故该方程的一个解为 即 解得 因此所求方程必有一解为 37．如果，则方程必有一解为________． 【答案】1 【分析】根据，若，则，可判断当时满足条件，于是判断出方程的根． 【详解】解：∵，若，则， ∴当时，， ∴此方程必有一个根为1， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解得知识点，解答本题的关键是利用好的条件，此题比较简单． 38．关于x的方程的解是． （1）关于x的方程的根是_______________． （2）关于x的方程的根是_______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握方程的解为方程成立的未知数的值以及整体思想成为解题的关键． （1）由方程的解可得或，然后求解即可； （2）由方程的解可得或，然后求解即可； 【详解】解：（1）方程的解是， 在方程中，或，解得：． ∴方程的根为． 故答案为：． （2）方程的解是， 在方程中，或，解得． ∴方程的根为． 故答案为：． 39．关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是________． 【答案】， 【分析】此题考查了方程解的定义，把方程变为，进而根据方程解的定义可得或，解之即可求解，理解方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：方程可变为， ∵方程的解是，， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 40．若关于的方程（）有一个实数根为，则方程（）必有实数根为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，关键是利用方程根的定义进行转化；可先将已知方程的根代入原方程，再通过代数变形推导，找到满足第二个方程的根. 【详解】解：∵ 关于的方程有一个实数根为， ∴ 将代入方程得： ， 整理得：， 将上式两边同时除以，得： ， 变形为：， 对比方程，可知当时，方程成立， ∴ 方程必有实数根为． 故答案选：B． 题型9 一元二次方程的解的估算 41．根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【详解】解：∵当时，， ∴方程有一根为，故A正确，不符合题意． ∵当时，，当时，， ∴在之间存在使，即方程有一根的取值范围是，故B正确，不符合题意． 由上述推导仅能得到根在范围内，无法确定根一定是，故C错误，符合题意． ∵方程已有一根为，另一根在，两根不相等， ∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意． 42．根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了利用表格数据判断方程解的区间，解题的关键是观察表格中的函数值符号变化，确定方程的解所在的区间． 直接读取表格中对应的函数值；根据函数值由正变负或由负变正的相邻区间，确定方程解的范围；结合选项得出正确答案． 【详解】解：由表格可知当时，； 当时，； ∴ 在区间内，函数值由正变负，存在一个解． 当时，； 当时，； ∴ 在区间内，函数值由负变正，存在一个解． 因此方程的解的取值范围是或． 故选：D． 43．根据表格中的数据，判断一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为（　　） x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.16 0.59 A． B． C． D．0.6＜x＜0.7 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的近似根，熟练掌握式子的值在0附近时的x值，是解决此题的关键． 利用表中的对应值得到时，；时，，从而得到x在之间取一数值时，，于是得到一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围． 【详解】解：∵时，；时，， ∴当x在之间取一数值时，， ∴一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为． 故选：C． 44．根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断有一个根满足． 【详解】解：∵时，， 时，， ∴，在内有一个解， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 45．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】(1)见解析 (2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． 【易错警示】 估算一元二次方程的解时，易仅凭单次函数值符号判定根的位置，忽略取值区间的连续性。常盲目取值估算，未精准锁定根的范围，混淆正负解区间。同时容易忽略估算值仅为近似解，误将估算数值当作方程准确解，导致答题出错。 题型10 一元二次方程的新定义问题 46．对于实数a，b，我们定义一种新的运算#，规定：，若关于x的方程的一个实数根为4，则_____． 【答案】3 【分析】先关键新的运算法则列出方程，然后根据方程的解的定义代入即可求出k的值． 【详解】解：由题意得，， ∵其一个实数根为4， ∴， 解得， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了实数的运算，一元二次方程的解的定义，根据题意列出方程，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 47．数学家笛卡尔为了解决一元二次方程在实数范围内无解的问题，引进虚数单位i，规定．形如（，为实数）的数统称为复数，当时，称为虚数；当时，称为实数． （1）化简________； （2）关于的一元二次方程有一个根是，其中，是实数，则________． 【答案】 5 4 【分析】（1）利用乘法公式计算，结合规定化简求值 （2）将代入原方程，可得出，进而可得出，，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：（1）； （2）将代入得：， 整理得：， ，， ，， ． 48．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 49．定义：方程 是一元二次方程 的“倒方程”，其中a，b，c为常数，且a≠0，c≠0．若x= -1是一元二次方程 的“倒方程”的解，则c的值为________． 【答案】 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念是解题的关键． 根据倒方程的定义，方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； 【详解】解：由题知，原方程中，，，，其倒方程为，即， 将代入倒方程：， 解得 验证，，符合条件 故答案为：． 50．新定义：关于的一元二次方程：与（均为常数）称为“同类方程”．如与是“同类方程”．若关于的一元二次方程：与是“同类方程”，那么___________． 【答案】7 【分析】本题考查一元二次方程的解，解三元一次方程组，理解题中定义是解答的关键． 根据“同类方程”的定义和第一个方程，第二个方程应能表示为的形式，通过比较系数，可求解和，进而计算． 【详解】解：根据题意，将第二个方程与展开式比较：，令其等于， 可得方程组：，解得， 故． 故答案为：7． 51．定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为 （填序号）． (2)已知关于x的一元二次方程）是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)①③ (2)4 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由一元二次方程的解求参数，的最值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据黄金方程的意义，对3个方程逐一验证即可； （2）先根据黄金方程的意义，得出，代入后，配方求出最小值． 【详解】（1）解：， 移项，得， ，，， 所以， 所以是黄金方程； ，可化为， ，，， 所以， 所以不是黄金方程； ， ，，， 所以， 所以是黄金方程， 综上所述，①③是黄金方程， 故答案为：①③； （2）解：∵关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”， ∴由黄金方程的定义 ， 可知， x = − 1 是黄金方程的一个根， ∵关于x的一元二次方程是“黄金方程”， ∴是方程的根， ∴， ∴， ∴ 当时，有最小值4． 此时 ，符合题意． 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，是一元二次方程，符合题意； D、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意. 2．若是方程的解，则的值是（     ） A． B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】根据方程的解的定义，将已知的解代入原方程，即可计算出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ 将代入原方程得 计算得． 3．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，利用根的定义得到含的关系式，再整体代入所求代数式求值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入方程得 ， 整理得， ∴． 4．把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．4，1，3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程一般式的概念，解题思路是将原方程展开，移项合并同类项整理为一般形式，即可对应得到，，的值． 【详解】解：把一元二次方程化成一般式：， 对比一般式，可得，，． 5．若是关于的方程的一个实根，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用方程根的定义，把已知等式变形，采用整体代入法即可求代数式的值． 【详解】解：是方程的一个实根， ∴， ∴， ∴． 6．已知关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是（     ） A． B．0 C．1 D．5 【答案】D 【分析】首先将方程变形为，然后根据题意得到，然后求解即可． 【详解】解： ∴ ∵该方程有实数根 ∴ ∴ ∴的值可以为5． 7．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的一般形式（，，，为常数），先展开多项式乘法，再移项合并同类项即可得到结果． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 整理得， 移项合并同类项得． 8．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】将已知根代入原方程，得到关于的方程，解方程即可，并根据已知方程是一元二次方程排除，即可得到答案． 【详解】解：将代入方程， 得，解得， ∵已知方程是一元二次方程， ∴，即， ∴． 9．已知关于的一元二次方程． ①若，则该方程一定有一个根为； ②若方程的两个根为和2，则和的数量关系为． 下列判断正确的是（     ） A．①②的说法都正确 B．①②的说法都错误 C．①的说法错误，②的说法正确 D．①的说法正确，②的说法错误 【答案】A 【详解】解：①．∵将代入，可得， 又∵， ∴满足方程，即方程一定有一个根为，故①说法正确． ②．∵方程的两个根为和，两根都满足方程，代入得： ， ，得 ， ∴，故②说法正确． 综上①②都正确． 10．已知代数式，，，若，且z为方程的一个实根，则的值为（   ） A．2026 B．2028 C．4052 D．4054 【答案】D 【分析】根据题意可求出，由方程的解的定义得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∵z为方程的一个实根， ∴， 当时，，不符合题意， ∴， ∴， ∴ ∴． 11．下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 【答案】①④/④① 【详解】解：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程． ①，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； ②，含有和两个未知数，不符合一元二次方程的定义； ③，分母中含有未知数，不符合一元二次方程的定义； ④，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； 综上所述，是一元二次方程的有①④． 12．把一元二次方程化为一般形式为______________________ 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴. 13．若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为__________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根是， 将代入方程得：， 整理得：， 解得：． 14．已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的含义，将已知根代入原方程即可求解的值． 【详解】把代入原方程得：， 整理得， 即， 解得． 15．若是关于的一元二次方程（）的解，则代数式的值是_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入原方程，求出的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程（）的解， ， 整理得 ， ． 16．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值是 _____ ． 【答案】1 【分析】先将根代入方程得到的可能取值，再根据一元二次方程二次项系数不为零的要求，排除不符合条件的解，即可得到的值 【详解】解： 关于的一元二次方程有一个根为， 将代入方程得 ， 解得或， 又 一元二次方程的二次项系数不能为，即， 得， 17．已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，得到未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列方程即可求解． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程； 解得，即； 由得． ． 18．若a是方程的根，则代数式值是_________． 【答案】 【分析】利用方程变形得到相关关系式，再通过整体代入法求解代数式的值． 【详解】解：是方程的根，且， ， 变形可得， 方程两边同时除以得， 即， ∴ ． 19．若实数x满足，则______． 【答案】 【分析】利用已知一元二次方程对所求多项式进行降次处理，将高次多项式转化为低次多项式后代入计算即可得到结果． 【详解】 ， ∴ 20．已知是关于x的一元二次方程的一个根． （1）若，且，则b的取值范围是______； （2）若，则c的值为______． 【答案】 5 【分析】（1）根据方程的解得到，结合，得到，利用不等式的性质求解即可； （2）易得，，根据完全平方公式的变形以及完全平方的非负性进行求解即可. 【详解】解：（1）∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴① ∵， ∴， ，得， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 且， ∴， ∴，而， ∴， ∴. 21．已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了已知一元二次方程的解求参数，先理解题意，得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， 则 ． 22．已知是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及平方差公式，熟练掌握一元二次方程的解及平方差公式是解题的关键；由题意易得，然后根据整体代入进行求解即可． 【详解】解：原式 ∵是方程的一个根， ∴，即， ∴原式． 23．已知是方程的一个解，求代数式的值． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，代数式求值，整式乘法，利用整体代入的思想解决问题是解题关键． 先由一元二次方程根的定义得到，然后化简，再整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ． 24．已知是方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，根据一元二次方程的定义可得，，再两边同时除以，即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，且 ∴， ∴． 25．当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，一元二次方程的一般形式下，注意二次项系数不等于零是解题的关键． 直接根据一元二次方程的定义列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得且． 解，得， 解，得， 所以． 所以当时，原方程是关于的一元二次方程． 26．已知关于x的方程 是一元二次方程，求 m的值． 【答案】． 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得到 ，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得：． 27．已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，波浪方程的定义，熟知波浪方程的定义是解题的关键： （1）直接根据波浪方程的定义判断即可； （2）先根据波浪方程的定义得到，再由一元二次方程的解的定义得到，据此联立①②求解即可； 【详解】（1）解：方程为波浪方程，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴方程为波浪方程， （2）解：∵关于x的方程为波浪方程， ∴，且， ∴， ∵是关于x的方程的一个根， ∴， 联立①②解得； 28．已知a是一元二次方程的一个根： (1)求的值 (2)求的值． 【答案】(1)2 (2)2025 【分析】（1）根据a是一元二次方程的一个根，得到，整体代入法求值即可； （2）利用降幂和整体代入法进行计算即可. 【详解】（1）解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ . 29．已知m是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】由m是方程的一个根可得，，，然后逐步代入求解即可． 【详解】解：m是方程的一个根， ∴． ∴，， ∵时，方程左边等于1，不等于右边， ∴， 把的两边都除以得，． ∴． 30．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $