2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册4《第2章一元二次方程第1节一元二次方程的概念》预习讲义

数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册4 《第2章一元二次方程第1节一元二次方程的概念》预习讲义 一．预习目标 ( 1.理解一元二次方程定义，能依据4个判定条件准确识别一元二次方程； 2.掌握一元二次方程一般形式ax 2 +bx+c=0(a ≠ 0)，能准确区分二次项、一次项、常数项及对应系数； 3.理解一元二次方程根的含义，会将实际问题转化为一元二次方程模型； 4.能根据方程类型，利用二次项系数不为0求参数取值； 5.建立方程建模思想，为后续解方程、实际应用打好基础。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.一元二次方程的定义与4个判定条件； 2.一元二次方程一般形式的整理，各项系数识别； 3.一元二次方程根的概念。 （二）难点 1.化简后再判断方程类型，易忽略分母含未知数、未知数次数隐藏、二次项系数为0等陷阱； 2.含参数方程中，根据一元二次方程定义求参数取值范围； 3.从生活实际情境抽象出一元二次方程。 ) 三．自主探究 （一） 一元二次方程定义 1.定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 如：等都是一元二次方程. 2.理解： （1）一元二次方程属于整式方程，定义中的“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2”这句话是指对方程“整理合并”之后而言的. （2）化简后同时满足4个条件的整式方程： ① 整式方程：分母不含未知数，无根号内含未知数； ② 一元：只含1个未知数（通常为x）； ③ 二次：未知数最高次数为2； ④ 二次项系数不能等于0。 例1.下列方程中，哪些是一元二次方程，哪些不是一元二次方程？ ①；②；③；④； ⑤；⑥（为已知数）；⑦. 例2.当取何值时，方程是一元二次方程. （二）一元二次方程一般形式 一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) 1.ax2：二次项，a为二次项系数（a≠0）； 2.bx：一次项，b为一次项系数； 3.c：常数项（不含未知数）； 4.注意：整理时必须移项使等式右侧为0，再判断各项。 例3.将下列关于的一元二次方程化成一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项. （1）； （2）. 例4.把下列一元二次方程化成一般式，并指出方程中的各项与各项的系数. （1）； （2）. （三）一元二次方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的根（解）；将数值代入方程，等式成立即为根。 例5.判断方程后面括号里的数是否是方程的解. （1）； （2）. 例6. 3、-2、是不是一元二次方程的根？ （四）实际列方程模型 面积、增长率、矩形边长等问题，设未知数后根据等量关系列出整式方程，化简后判断是否为一元二次方程。 例7.“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单,该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5 000个,7月25日和7月26日的总销量是30 000个.若7月25日和26日较前一天的增长率均为x,则可列方程为(　　) A.5 000(1+x)2=30 000 B.5 000(1-x)2=30 000 C.5 000+5 000(1+x)+5 000(1+x)2=30 000 D.5 000(1+x)+5 000(1+x)2=30 000 例8.如图,在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路(图中的阴影部分),余下部分铺设草坪,若草坪的面积为300平方米,则可列方程为(　　) A.32×12-32x-12x=300 B.(32-x)(12-x)+x2=300 C.(32-x)(12-x)=300 D.2(32-x+12-x)=300 四．夯实基础 （一）选择题 1.（2025·盐城大丰区期末）下列一定是一元二次方程的是（ ） A.ax2+bx+c=0 B.x2-5x=0 C.+2x2=1 D.x3+x2=2 2.（2024·宿迁宿豫区期末）方程3x(x-2)=2(x+1)整理后，一次项系数是（ ） A.-8 B.-6 C.8 D.-2 3.（2026·淮安清江浦一模）若x=1是x2-kx+3=0的根，则k=（ ） A.4 B.-4 C.2 D.-2 4.（2025·盐城射阳县期末）下列关于x的方程，属于一元二次方程的是（ ） A.x+=3 B.2x2+y=1 C.3x2-2x=0 D.2x+5=0 5.（2024·扬州广陵区期末）方程(k-2)x2+3x-1=0是一元二次方程，则k的取值范围是（ ） A.k≠0 B.k≠2 C.k=2 D.k>2 6.（2026·南通如皋一模）将(2x-1)(x+3)=4化为一般形式，二次项系数、一次项系数、常数项依次为（ ） A.2,5,-7 B.2,5,7 C.2,-5,-7 D.2,-5,7 （二）填空题 7.（2024·镇江丹徒区期末）若x=2是方程x2+mx-6=0的根，则m=________。 8.（2026·盐城亭湖区一模）矩形面积为30，长比宽多1，设宽为x，列出一元二次方程：________。 （三）解答题 9.（2025·南通通州区期末）关于x的方程(m+3)x|m|-1+5x-2=0 (1) 当m取何值时，方程是一元二次方程； (2) 当m=-3时，判断方程类型。 10.（2024·无锡惠山区期末）直角三角形两直角边相差3，面积为14，设短直角边为x。 (1) 写出长直角边代数式； (2) 列出一元二次方程并整理为一般形式。 11．已知a＝－＋2. (1)求a，c的值． (2)若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，有一个根是x＝1，求b的值． 五．巩固训练 （一）选择题 1.（2025·盐城阜宁期末）下列不属于一元二次方程的是（） A.(x-1)2=4 B.2x2=3x C.x2+=1 D.5x2-1=0 2.（2024·常州武进区期末）方程(2-m)x2+3x=1是一元二次方程，则m满足（ ） A.m≠2 B.m=2 C.m>2 D.m<2 3.（2026·泰州海陵一模）将(3x+2)(x-4)=5化为一般形式，常数项为（ ） A.-13 B.-8 C.8 D.13 4.（2025·镇江京口期末）已知x=-3是2x2+ax-3=0的根，则a=（ ） A.5 B.-5 C.7 D.-7 5.（2024·连云港连云区期末）某店单品原价50，连续两次涨价x后售价72，列方程（ ） A.50(1+x)=72 B.50(1+2x)=72 C.50x2=72 D.50+50x2=72 6．下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+﹣3＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如果0是关于x的一元二次方程（a+3）x2﹣x+a2﹣9＝0的一个根，那么a的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．±2 8．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根，则代数式2m2﹣2m+7的值是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 9．若x1是方程ax2﹣2x﹣c＝0（a≠0）的一个根，设p＝（ax1﹣1）2，q＝ac+1.5，则p与q的大小关系为（　　） A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．不能确定 10. 定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0满足a－b＋c＝0，那么我们称这个方程为“美好”方程．如果一元二次方程2x2＋mx＋n＝0既是“和谐”方程又是“美好”方程，那么mn的值为(　　) A．2 B．0 C．－2 D．3 （二）填空题 11.（2025·徐州铜山区期末）方程2x2=5化为一般形式：________。 12.（2025·淮安涟水期末）已知x=3是x2-2x-t=0根，则t=________。 13．如果（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为________。 14．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2030﹣2a+2b的值为________。 15. 某中学要组织一次篮球比赛，以班为单位，赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场)，现计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？设共有x个班级参赛，根据题意，可列方程为______________． 16. 若关于x的方程x2＋ax＋b＝0和x2＋bx＋a＝0(a≠b)只有一个相同的根，则a，b的关系是______________． 17．已知m是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，则代数式的值为　 　． 18．已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m＝6，则m的值为　 　． 19．若m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2025﹣m2+3m＝　 　． 20．已知m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2017m++9的值等于　 　． （三）解答题 21.（2025·盐城盐都期末）已知方程(n-2)xn2-2+nx-1=0 (1) n取何值，方程为一元二次方程； (2) n=2时，方程是什么类型？写出方程。 22.（2024·扬州江都期末）化简判断下列方程是否为一元二次方程，写出理由： ① x(x-5)=x2+2； ② (2x+1)(3-x)=0 23.（2026·泰州高港一模）校园花圃长15m，宽10m，四周铺设等宽小路，小路宽x，花圃+小路总面积224m2。 (1) 写出含小路整体的长、宽； (2) 列出一元二次方程并整理为标准一般形式； (3) 判断常数项数值。 24．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 25.已知这样一道题目：把方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编为下面的两个小题． (1)下列式子中，有哪几个是方程x2－x＝2所化的一元二次方程的一般形式(只写序号)? ①x2－x－2＝0； ②－x2＋x＋2＝0； ③x2－2x＝4； ④－x2＋2x＋4＝0； ⑤x2－2x－4＝0. (2)方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？ 26．根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x； （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x； （3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x． 27．阅读理解： 定义：如果关于x的方程a1x2+b1x+c1=0（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与a2x2+b2x+c2=0（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： （1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是　 　． （2）关于x方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值． 28. 已知f（x）＝a1xn+a2xn﹣1+……+an﹣1x2+anx+c（其中a1，a2，…，an是各项的系数，c是常数项）；我们规定f（x）的伴随多项式是g（x），且g（x）＝na1xn﹣1+（n﹣1）a2xn﹣2+……+2an﹣1x+an．如果f（x）＝4x3﹣3x2+5x﹣8，则它的伴随多项式g（x）＝3×4x2﹣2×3x+1×5＝12x2﹣6x+5． 请根据上面的材料，完成下列问题： （1）已知f（x）＝x5，则它的伴随多项式g（x）＝　 　； （2）已知f（x）＝5x2﹣3（9x﹣1），则它的伴随多项式g（x）＝　 　；若g（x）＝13，求x的值． （3）已知二次多项式f（x）＝（a+3）x2+16x+21，并且它的伴随多项式是g（x），若关于x的方程g（x）＝﹣2x有正整数解，求a的整数值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册4 《第2章一元二次方程第1节一元二次方程的概念》预习讲义 一．预习目标 ( 1.理解一元二次方程定义，能依据4个判定条件准确识别一元二次方程； 2.掌握一元二次方程一般形式ax 2 +bx+c=0(a ≠ 0)，能准确区分二次项、一次项、常数项及对应系数； 3.理解一元二次方程根的含义，会将实际问题转化为一元二次方程模型； 4.能根据方程类型，利用二次项系数不为0求参数取值； 5.建立方程建模思想，为后续解方程、实际应用打好基础。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.一元二次方程的定义与4个判定条件； 2.一元二次方程一般形式的整理，各项系数识别； 3.一元二次方程根的概念。 （二）难点 1.化简后再判断方程类型，易忽略分母含未知数、未知数次数隐藏、二次项系数为0等陷阱； 2.含参数方程中，根据一元二次方程定义求参数取值范围； 3.从生活实际情境抽象出一元二次方程。 ) 三．自主探究 （一） 一元二次方程定义 1.定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 如：等都是一元二次方程. 2.理解： （1）一元二次方程属于整式方程，定义中的“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2”这句话是指对方程“整理合并”之后而言的. （2）化简后同时满足4个条件的整式方程： ① 整式方程：分母不含未知数，无根号内含未知数； ② 一元：只含1个未知数（通常为x）； ③ 二次：未知数最高次数为2； ④ 二次项系数不能等于0。 例1.下列方程中，哪些是一元二次方程，哪些不是一元二次方程？ ①；②；③；④； ⑤；⑥（为已知数）；⑦. 【答案】③和⑦是一元二次方程，①②④⑤⑥都不是一元二次方程. 【解析】判断一个方程是不是一元二次方程，首先要看它是不是整式方程，如果是整式方程，那么可把方程进行整理，若得到的方程只含一个未知数，且未知数的最高次数是2次，则原方程就是一个一元二次方程.所以只有③和⑦是一元二次方程，其他的都不是一元二次方程. 例2.当取何值时，方程是一元二次方程. 解:根据题意得解方程组得. （二）一元二次方程一般形式 一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) 1.ax2：二次项，a为二次项系数（a≠0）； 2.bx：一次项，b为一次项系数； 3.c：常数项（不含未知数）； 4.注意：整理时必须移项使等式右侧为0，再判断各项。 例3.将下列关于的一元二次方程化成一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项. （1）； （2）. 解:（1）移项得，∴二次项系数是6，一次项系数是-3，常数项是-2. （2）去括号，合并同类项，得，∴二次项系数是1，一次项系数是，常数项是. 例4.把下列一元二次方程化成一般式，并指出方程中的各项与各项的系数. （1）； （2）. 解：（1）去括号合并同类项后得，所以二次项是，系数是4；一次项是，一次项系数是-2，常数项是-5. （2）去括号合并同类项得，所以二次项是，系数是；一次项是，系数是-1；常数项是 （三）一元二次方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的根（解）；将数值代入方程，等式成立即为根。 例5.判断方程后面括号里的数是否是方程的解. （1）； （2）. 解:（1）是这个方程的解，2也是这个方程的解； （2）是这个方程的解，不是这个方程的解. 例6. 3、-2、是不是一元二次方程的根？ 解: 3，是这个方程的根；-2不是这个方程的根. （四）实际列方程模型 面积、增长率、矩形边长等问题，设未知数后根据等量关系列出整式方程，化简后判断是否为一元二次方程。 例7.“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单,该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5 000个,7月25日和7月26日的总销量是30 000个.若7月25日和26日较前一天的增长率均为x,则可列方程为(　　) A.5 000(1+x)2=30 000 B.5 000(1-x)2=30 000 C.5 000+5 000(1+x)+5 000(1+x)2=30 000 D.5 000(1+x)+5 000(1+x)2=30 000 【答案】D　 【解析】根据题意得5 000(1+x)+5 000(1+x)2=30 000.故选D. 例8.如图,在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路(图中的阴影部分),余下部分铺设草坪,若草坪的面积为300平方米,则可列方程为(　　) A.32×12-32x-12x=300 B.(32-x)(12-x)+x2=300 C.(32-x)(12-x)=300 D.2(32-x+12-x)=300 【答案】C　 【解析】由题图可知道路的宽均为x米,∴铺设草坪的面积等于长为(32-x)米、宽为(12-x)米的矩形的面积.∵草坪的面积为300平方米,∴(32-x)(12-x)=300.故选C. 四．夯实基础 （一）选择题 1.（2025·盐城大丰区期末）下列一定是一元二次方程的是（ ） A.ax2+bx+c=0 B.x2-5x=0 C.+2x2=1 D.x3+x2=2 【答案】：B 【解析】：A未说明a≠0；C分母含未知数；D最高次数3；只有B符合定义。 2.（2024·宿迁宿豫区期末）方程3x(x-2)=2(x+1)整理后，一次项系数是（ ） A.-8 B.-6 C.8 D.-2 【答案】：A 【解析】：3x2-6x=2x+2 ⇒3x2-8x-2=0，一次项系数-8。 3.（2026·淮安清江浦一模）若x=1是x2-kx+3=0的根，则k=（ ） A.4 B.-4 C.2 D.-2 【答案】：A 【解析】：代入1-k+3=0 ⇒k=4。 4.（2025·盐城射阳县期末）下列关于x的方程，属于一元二次方程的是（ ） A.x+=3 B.2x2+y=1 C.3x2-2x=0 D.2x+5=0 【答案】：C 【解析】：A分母含未知数，不是整式方程；B含2个未知数；D最高次数1，一元一次方程；C满足全部4个条件。 5.（2024·扬州广陵区期末）方程(k-2)x2+3x-1=0是一元二次方程，则k的取值范围是（ ） A.k≠0 B.k≠2 C.k=2 D.k>2 【答案】：B 【解析】：一元二次方程二次项系数不能为0，k-2≠0 ⇒ k≠2。 6.（2026·南通如皋一模）将(2x-1)(x+3)=4化为一般形式，二次项系数、一次项系数、常数项依次为（ ） A.2,5,-7 B.2,5,7 C.2,-5,-7 D.2,-5,7 【答案】：A 【解析】：展开：2x2+6x-x-3=4，移项整理2x2+5x-7=0，对应系数2、5、-7。 （二）填空题 7.（2024·镇江丹徒区期末）若x=2是方程x2+mx-6=0的根，则m=________。 【答案】：1 【解析】：代入x=2，2^2+2m-6=0 ⇒4+2m=6 ⇒m=1。 8.（2026·盐城亭湖区一模）矩形面积为30，长比宽多1，设宽为x，列出一元二次方程：________。 【答案】：x(x+1)=30（或x2+x-30=0） 【解析】：宽x，长x+1，面积=长×宽，直接列等式即可。 （三）解答题 9.（2025·南通通州区期末）关于x的方程(m+3)x|m|-1+5x-2=0 (1) 当m取何值时，方程是一元二次方程； (2) 当m=-3时，判断方程类型。 【答案】：(1)m=3；(2)一元一次方程 【解析】：(1)|m|-1=2并且m+3≠0⇒|m|=3，m≠-3 ⇒m=3； (2)m=-3时二次项系数为0，只剩一次项，为一元一次方程。 10.（2024·无锡惠山区期末）直角三角形两直角边相差3，面积为14，设短直角边为x。 (1) 写出长直角边代数式； (2) 列出一元二次方程并整理为一般形式。 【答案】：(1)x+3；(2)x(x+3)=14，一般形式x2+3x-28=0 【解析】：三角形面积=×直角边乘积，等式展开移项。 11．已知a＝－＋2. (1)求a，c的值． (2)若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，有一个根是x＝1，求b的值． 解：(1)∵a＝－＋2，∴c－3≥0，3－c≥0，∴c＝3，∴a＝2. (2)由(1)可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0可化为2x2＋bx＋3＝0. ∵这个方程有一个根是x＝1，∴2＋b＋3＝0，∴b＝－5. 五．巩固训练 （一）选择题 1.（2025·盐城阜宁期末）下列不属于一元二次方程的是（） A.(x-1)2=4 B.2x2=3x C.x2+=1 D.5x2-1=0 【答案】：C 【解析】：根号内含未知数，不是整式方程。 2.（2024·常州武进区期末）方程(2-m)x2+3x=1是一元二次方程，则m满足（ ） A.m≠2 B.m=2 C.m>2 D.m<2 【答案】：A 【解析】：二次项系数2-m≠0 ⇒m≠2。 3.（2026·泰州海陵一模）将(3x+2)(x-4)=5化为一般形式，常数项为（ ） A.-13 B.-8 C.8 D.13 【答案】：A 【解析】：3x2-12x+2x-8=5 ⇒3x2-10x-13=0，常数项-13。 4.（2025·镇江京口期末）已知x=-3是2x2+ax-3=0的根，则a=（ ） A.5 B.-5 C.7 D.-7 【答案】：A 【解析】：原式2(-3)2+a(-3)-3=0 ⇒18-3a-3=0 ⇒3a=15 ⇒a=5 5.（2024·连云港连云区期末）某店单品原价50，连续两次涨价x后售价72，列方程（ ） A.50(1+x)=72 B.50(1+2x)=72 C.50x2=72 D.50+50x2=72 【答案】：A 【解析】：增长率模型，两次涨价，每次基数变化，平方形式。 6．下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+﹣3＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】：一元二次方程只有④，共1个，故选：A． 7．如果0是关于x的一元二次方程（a+3）x2﹣x+a2﹣9＝0的一个根，那么a的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．±2 【答案】A 【解析】：把x＝0代入一元二次方程（a+3）x2﹣x+a2﹣9＝0得a2﹣9＝0，解得a1＝﹣3，a2＝3，而a+3≠0，所以a的值为3．故选：A． 8．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根，则代数式2m2﹣2m+7的值是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】：C 【解析】：∵m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根，∴m2﹣m﹣3＝0，∴m2﹣m＝3， ∴2m2﹣2m+7＝2（m2﹣m）+7＝2×3+7＝13．故选：C． 9．若x1是方程ax2﹣2x﹣c＝0（a≠0）的一个根，设p＝（ax1﹣1）2，q＝ac+1.5，则p与q的大小关系为（　　） A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．不能确定 【答案】A 【解析】：∵x1是方程ax2﹣2x﹣c＝0（a≠0）的一个根，∴ax12﹣2x1＝c，则p﹣q＝（ax1﹣1）2﹣（ac+1.5）＝a2x12﹣2ax1+1﹣ac﹣1.5＝a（ax12﹣2x1）﹣ac﹣0.5＝ac﹣ac﹣0.5＝﹣0.5，∴p﹣q＜0，∴p＜q．故选：A． 10. 定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0满足a－b＋c＝0，那么我们称这个方程为“美好”方程．如果一元二次方程2x2＋mx＋n＝0既是“和谐”方程又是“美好”方程，那么mn的值为(　　) A．2 B．0 C．－2 D．3 【答案】B 【解析】：根据“和谐”方程和“美好”方程的定义得2＋m＋n＝0，2－m＋n＝0，解得m＝0，n＝－2，所以mn＝0. （二）填空题 11.（2025·徐州铜山区期末）方程2x2=5化为一般形式：________。 【答案】：2x2-5=0 【解析】：移项，右侧常数移到左边等于0。 12.（2025·淮安涟水期末）已知x=3是x2-2x-t=0根，则t=________。 【答案】：3 【解析】：9-6-t=0 ⇒t=3 13．如果（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为________。 【答案】：2 【解析】：由题意得：|m|＝2且m+2≠0，解得：m＝2，故选：B． 14．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2030﹣2a+2b的值为________。 【答案】：2026 【解析】：将x＝﹣1代入方程，得：a﹣b﹣2＝0，则a﹣b＝2，所以原式＝2030﹣2（a﹣b）＝2030﹣2×2＝2030﹣4＝2026， 15. 某中学要组织一次篮球比赛，以班为单位，赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场)，现计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？设共有x个班级参赛，根据题意，可列方程为______________． 【答案】x(x－1)＝15　 【解析】 共有x个班级参赛，每个班都要赛(x－1)场，但每两班之间只有一场比赛，由题意得x(x－1)＝15. 16. 若关于x的方程x2＋ax＋b＝0和x2＋bx＋a＝0(a≠b)只有一个相同的根，则a，b的关系是______________． 【答案】a＋b＝－1　 【解析】设两个方程相同的根为x＝m.根据题意，得m2＋am＋b＝0①，m2＋bm＋a＝0②.①－②，得m(a－b)＋(b－a)＝0.∵a≠b，∴a－b≠0，∴两边同除以(a－b)，得m＝1，∴12＋a＋b＝0，∴a＋b＝－1. 17．已知m是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，则代数式的值为　 　． 【答案】﹣ 【解析】∵m是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，∴m2﹣3m﹣5＝0，∴m2＝3m+5，＝m﹣（3m+5）＝m﹣m﹣＝﹣．故答案为﹣． 18．已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m＝6，则m的值为　 　． 【答案】m＝1 【解析】把x＝n代入方程得：mn2﹣4n﹣5＝0，即mn2﹣4n＝5，代入已知等式得：5+m＝6，解得：m＝1． 19．若m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2025﹣m2+3m＝　 　． 【答案】2026 【解析】∵m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，∴m2﹣3m+1＝0，∴m2＝3m﹣1，∴2025﹣m2+3m＝2025﹣（3m﹣1）+3m＝2025﹣3m+1﹣3m＝2026．故答案为2026． 20．已知m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2017m++9的值等于　 　． 【答案】2026 【解析】∵m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，∴m2﹣2018m+1＝0，∴m2＝2018m﹣1，m2+1＝2018m，∴m2﹣2017m++8＝2018m﹣1﹣2017m++9＝m++8＝+8＝+8＝2018+8＝2026．故答案为2026． （三）解答题 21.（2025·盐城盐都期末）已知方程(n-2)xn2-2+nx-1=0 (1) n取何值，方程为一元二次方程； (2) n=2时，方程是什么类型？写出方程。 解：(1)∵n2-2=2并且n-2≠0⇒n2=4，n≠2 ⇒n=-2； (2)n=2二次项系数为0，原式2x-1=0，一元一次。 22.（2024·扬州江都期末）化简判断下列方程是否为一元二次方程，写出理由： ① x(x-5)=x2+2； ② (2x+1)(3-x)=0 解：① 不是，化简后-5x-2=0，最高次数1，一元一次； ② 是，整理-2x2+5x+3=0，满足一元二次全部条件。 23.（2026·泰州高港一模）校园花圃长15m，宽10m，四周铺设等宽小路，小路宽x，花圃+小路总面积224m2。 (1) 写出含小路整体的长、宽； (2) 列出一元二次方程并整理为标准一般形式； (3) 判断常数项数值。 解：(1)长：15+2x，宽：10+2x； (2)(15+2x)(10+2x)=224，一般形式4x^2+50x-74=0； (3)常数项：-74 24．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，∴2a＝2b，∴a＝b，∴△ABC的形状是等腰三角形； （2）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0， 即x2﹣x＝0，解得：x1＝0，x2＝1，即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1． 25.已知这样一道题目：把方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编为下面的两个小题． (1)下列式子中，有哪几个是方程x2－x＝2所化的一元二次方程的一般形式(只写序号)? ①x2－x－2＝0； ②－x2＋x＋2＝0； ③x2－2x＝4； ④－x2＋2x＋4＝0； ⑤x2－2x－4＝0. (2)方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？ 解：(1)①②④⑤. (2)把方程x2－x＝2化为一般形式x2－2x－4＝0，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有的关系为：二次项系数∶一次项系数∶常数项＝1∶(－2)∶(－4)． 26．根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x； （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x； （3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x． 解：（1）依题意得，4x2＝25，化为一元二次方程的一般形式得，4x2−25＝0． （2）依题意得，x（x−2）＝100，化为一元二次方程的一般形式得，x2−2x−100＝0． （3）依题意得，x·1=（1-x）2，化为一元二次方程的一般形式得，x2−3x+1＝0 27．阅读理解： 定义：如果关于x的方程a1x2+b1x+c1=0（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与a2x2+b2x+c2=0（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： （1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是　 　． （2）关于x方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值． 解：（1）由题意得：方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0， 故答案为：﹣x2﹣4x﹣3＝0； （2）由﹣5x2﹣x＝1，移项可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0，∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x﹣1＝0为对称方程，∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，解得：m＝0，n＝﹣1，∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1，答：（m+n）2的值是1． 28. 已知f（x）＝a1xn+a2xn﹣1+……+an﹣1x2+anx+c（其中a1，a2，…，an是各项的系数，c是常数项）；我们规定f（x）的伴随多项式是g（x），且g（x）＝na1xn﹣1+（n﹣1）a2xn﹣2+……+2an﹣1x+an．如果f（x）＝4x3﹣3x2+5x﹣8，则它的伴随多项式g（x）＝3×4x2﹣2×3x+1×5＝12x2﹣6x+5． 请根据上面的材料，完成下列问题： （1）已知f（x）＝x5，则它的伴随多项式g（x）＝　 　； （2）已知f（x）＝5x2﹣3（9x﹣1），则它的伴随多项式g（x）＝　 　；若g（x）＝13，求x的值． （3）已知二次多项式f（x）＝（a+3）x2+16x+21，并且它的伴随多项式是g（x），若关于x的方程g（x）＝﹣2x有正整数解，求a的整数值． 解：（1）已知f（x）＝x5，则它的伴随多项式g（x）＝5x4；故答案为：5x4； （2）∵f（x）＝5x2﹣3（9x﹣1）＝5x2﹣27x+3，∴它的伴随多项式g（x）＝10x﹣27， 根据题意得：10x﹣27＝13，解得：x＝4；故答案为：10x﹣27； （3）∵二次多项式f（x）＝（a+3）x2+16x+21，∴它的伴随多项式是g（x）＝2（a+3）x+16，∵g（x）＝﹣2x有正整数解，且2（a+3）x+16＝﹣2x，即x＝﹣，∴a+4＝﹣1或a+4＝﹣2或a+4＝﹣4或a+4＝﹣8，解得：a＝﹣5或﹣6或﹣8或﹣12． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $