精品解析：广西壮族自治区南宁市2026年春季学期八年级质量调研 数学

2026年春季学期八年级质量调研 数 学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 有一组数据：1，2，2，2，3，4，4，这组数据的众数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 6，12，13 D. 6，9，10 5. 若点在函数的图象上，则m的值是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 6. 某生物兴趣小组用5株相同的幼苗做光照实验，需要按7天后的株高分成两组，研究不同分组下的生长差异，要求同组内株高尽量接近．现将5株幼苗按株高（单位：）从小到大排序后分成两组，共有4种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下： 序号 分组情况 组内离差平方和 1 第一组1株，第二组4株 46 2 第一组2株，第二组3株 24.8 3 第一组3株，第二组2株 12.45 4 第一组4株，第二组1株 21.62 则5株幼苗的最优分组序号是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，在中，点，分别为，的中点，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为了测得湖两岸点和点之间的距离，小军在点设桩，使得，并测得的长为100米，的长为80米，则点和点之间的距离为（ ） A. 60米 B. 80米 C. 100米 D. 米 10. 如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知∠A．尺规作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，与∠A的两边分别交于点B，D；②分别以点B，D为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点C；③分别连接．则可以直接判定四边形是菱形的依据是（ ） A. 四条边相等的四边形是菱形 B. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 12. 人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小宇和小树从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小宇比小树先出发，且速度保持不变，小树出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小宇行走的时间为，小宇和小树行走的路程分别为，．，与x之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 小宇比小树先出发12秒 B. 小树提速后的速度为 C. 小树行走后追上小宇 D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. “欲穷千里目，更上一层楼”这句诗反映了视野范围会随着登高楼层的变化而变化，其中自变量是________．（填“登高楼层”或“视野范围”） 14. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 15. 正五边形的一个外角的大小为__________度． 16. 如图，在正方形中，，，，交于点G，点O为的中点，连接，则的长为________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算及化简求值： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 如图，E，F是的对角线上两点，且，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 19. 西西打算在“母亲节”买一束百合和康乃馨组合的鲜花送给妈妈．已知买1支百合和2支康乃馨共需花费17元，一支百合的价格比康乃馨的价格多5元． （1）求买一支百合和一支康乃馨各需多少元？ （2）若西西准备买百合和康乃馨共10支，且康乃馨不多于8支．请求出购买多少支康乃馨能使总费用最少？最少费用是多少？ 20. 李老师每天下班后需要为他的电动汽车充电，学校附近有甲，乙两个充电站．为了选择充电排队时间更短的充电站，他记录了过去10个工作日下班时段（）两个充电站空闲的充电桩数量（单位：个），空闲的充电桩数量越多，意味着排队等待时间越短．具体记录如下： 甲充电站空闲的充电桩数量为：3，3，4，5，5，5，5，6，6，7； 乙充电站空闲的充电桩数量为：1，2，2，5，5，5，6，7，8，8． 李老师初步整理统计量作如下图表，但尚未完成： 甲，乙充电站空闲充电桩数量统计表 充电站 平均数 众数 中位数 方差 甲 m 5 5 乙 5 n 解决问题： （1）填空： ， ； （2）李老师计算出甲充电站空闲充电桩数量的四分位数，并绘制了箱线图．请直接写出乙充电站空闲充电桩数量的第一四分位数和第三四分位数，并补全它的箱线图； （3）根据以上数据分析，你认为李老师应优先选择哪个充电站？请结合统计量或箱线图说明理由． 21. 乐音的音调与振动频率有关，为了从数学的角度理解它们之间的关系，某兴趣小组开展了项目化学习活动： 项目主题 用玻璃杯制作水杯琴 项目准备 1．准备一根竹筷子，若干相同的圆柱形玻璃杯，适量自来水； 2．利用手机上网，查阅资料，下载音频分析软件，了解音乐，物理相关知识． 项目实施 任务一：采集数据 如图1，取若干相同的圆柱形玻璃杯，分别注入不同高度的水，用筷子依次敲击杯口，用音频分析软件测量振动频率，记录数据如下表： 水位高度 … 5 10 15 20 25 … 频率 … 500 420 340 260 180 … 任务二：建立模型 如图2，根据表中的数值描点，并用平滑的曲线连接这些点，发现这些点都在同一条直线上，由此判断f是关于h的一次函数． 任务三：应用模型 通过查阅资料，七个唱名与频率的对照表如下： 唱名 频率 261.6 293.6 329.6 349.2 392 440 493.8 利用模型和对照表信息确定唱名所对应的水位高度，制作水杯琴，并演奏一首曲子． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求该玻璃杯振动频率f关于水位高度h的函数解析式（不要求写出自变量h的取值范围）； （2）兴趣小组量得其中一只玻璃杯水位高度为，请求出这只玻璃杯能敲出的唱名； （3）已知玻璃杯中水位每升高，则使用的水量增加．若要改造（2）中的水杯琴，使其敲出唱名，求该玻璃杯需要增加或减少的水量． 22. 实践与探究 数学活动课上，数学老师引导同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动：如图1，矩形纸片中，，，点E在边上．将纸片沿着直线折叠，点C的对应点记为点F；再沿着过点B的直线折叠矩形纸片，使边恰好落在直线上，得到的折痕与交于点G，点A的对应点记为点H． 【操作发现】 （1）的度数为 ； 【初步探究】 （2）如图2，若点F恰好落在边上，求的长； 【迁移延伸】 （3）如图3，延长，交于点P，点E在边上运动时（点E不与点C重合）： ①判断点P到的距离是否发生改变？若改变，请说明理由；若不改变，请求出点P到的距离； ②直接写出点P到直线的最小距离． 23. 【研究对象】函数中的镜像关系 定义：在平面直角坐标系中，若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点与点关于轴对称，则称函数和具有“镜像关系”，此时点或点的纵坐标称为这两个函数的“镜像值”，线段的长称为函数和的“镜像距”． 【定义感知】 （1）已知函数和具有“镜像关系”，函数的图象上有点，点关于轴对称的点在函数的图象上，可以列方程组：，解得．即点为，为，函数和的“镜像值”为1，函数和的“镜像距”为______； 【定义应用】 （2）若函数与具有“镜像关系”，求函数和的“镜像值”； 【定义迁移】 （3）将函数的图象向下平移个单位长度得到函数的图象．若函数与的“镜像值”为，求与m满足的关系式； 【综合探究】 （4）在（3）的条件下，若函数与的“镜像距”小于，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期八年级质量调研 数 学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A选项根指数为2，被开方数，符合二次根式的定义； B选项是分数，不含二次根号，不是二次根式； C选项根指数为3，不是二次根式； D选项是常数，不含二次根号，不是二次根式． 2. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质即可得到结果． 【详解】解：∵在ABCD中， ∴∠B=∠D=70°． 故选C． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的对角相等． 3. 有一组数据：1，2，2，2，3，4，4，这组数据的众数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数据，只需统计各数据出现的次数，找出次数最多的即可． 【详解】∵在数据1，2，2，2，3，4，4中，1出现1次，2出现3次，3出现1次，4出现2次， ∴出现次数最多的数是2， ∴这组数据的众数是2． 故选：B． 4. 以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 6，12，13 D. 6，9，10 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A：，不能构成三角形； 选项B：最长边为，，可以构成直角三角形； 选项C：最长边为，，，，不能构成直角三角形； 选项D：最长边为，，，，不能构成直角三角形． 5. 若点在函数的图象上，则m的值是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点A的横坐标代入解析式即可求出m的值． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴将代入解析式，可得． 6. 某生物兴趣小组用5株相同的幼苗做光照实验，需要按7天后的株高分成两组，研究不同分组下的生长差异，要求同组内株高尽量接近．现将5株幼苗按株高（单位：）从小到大排序后分成两组，共有4种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下： 序号 分组情况 组内离差平方和 1 第一组1株，第二组4株 46 2 第一组2株，第二组3株 24.8 3 第一组3株，第二组2株 12.45 4 第一组4株，第二组1株 21.62 则5株幼苗的最优分组序号是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，同组内株高越接近，分组越优，组内离差平方和越小，代表同组数据差异越小，只需比较四种分组的组内离差平方和，找出最小值对应的分组即可． 【详解】解：题目要求同组内株高尽量接近，组内离差平方和越小，同组株高差异越小，分组越优． 比较四个组内离差平方和得：， ∴序号3对应的分组组内离差平方和最小，是最优分组． 7. 如图，在中，点，分别为，的中点，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理解答即可，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵点，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：． 8. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．，是整数，不能合并； B．的被开方数为，不是，不能合并； C．，被开方数为，不是，不能合并； D．，被开方数为，是同类二次根式，能与合并． 9. 如图，为了测得湖两岸点和点之间的距离，小军在点设桩，使得，并测得的长为100米，的长为80米，则点和点之间的距离为（ ） A. 60米 B. 80米 C. 100米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，的长为100米，的长为80米， ∴米， ∴点和点之间的距离为60米． 10. 如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象找到一次函数图象不在x轴下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当时，x的取值范围是． 11. 如图，已知∠A．尺规作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，与∠A的两边分别交于点B，D；②分别以点B，D为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点C；③分别连接．则可以直接判定四边形是菱形的依据是（ ） A. 四条边相等的四边形是菱形 B. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图和菱形的判定定理．由作图过程可知，根据菱形的判定定理分析判断即可． 【详解】解：由作图过程可知，， ∴四边形是菱形， ∴依据是“四条边相等的四边形是菱形”． 故选：A． 12. 人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小宇和小树从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小宇比小树先出发，且速度保持不变，小树出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小宇行走的时间为，小宇和小树行走的路程分别为，．，与x之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 小宇比小树先出发12秒 B. 小树提速后的速度为 C. 小树行走后追上小宇 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象可直接判断选项A、B；先求得m值，再分别求得以及在段的函数解析式，结合图象可判断C、D． 【详解】解：由函数图象可知，小宇比小树先出发10秒，故选项A说法错误； 由函数图象可知，小树提速前的速度为， ∵小树出发后将速度提高到原来的2倍， ∴小树提速后的速度为，故选项B说法错误； 由函数图象可知，， 则， 设段对应的函数表达式为， 将点代入，可得， 可得， ∴， 令，由得， 即，故选项D说法正确，符合题意； 设段对应的函数表达式为， 将，代入， 可得，解得， ∴， 由得，解得，则， 故小树行走后追上小宇，故选项C说法错误． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. “欲穷千里目，更上一层楼”这句诗反映了视野范围会随着登高楼层的变化而变化，其中自变量是________．（填“登高楼层”或“视野范围”） 【答案】登高楼层 【解析】 【分析】本题考查自变量与因变量的概念，根据题意判断两个量的变化关系即可得出结论． 【详解】解：在一个变化过程中，主动发生变化的量是自变量，随之发生变化的量是因变量， 由题意可知，视野范围随登高楼层的变化而变化，主动变化的量为登高楼层，因此自变量是登高楼层． 14. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，进一步求解即可． 【详解】解：∵ 在实数范围内有意义， ∴， 解得 ． 故答案为 ． 15. 正五边形的一个外角的大小为__________度． 【答案】72 【解析】 【分析】根据多边形的外角和是360°，依此即可求解． 【详解】解：正五边形的一个外角的度数为：， 故答案为：72． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和为360°是解题的关键． 16. 如图，在正方形中，，，，交于点G，点O为的中点，连接，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由正方形的性质得到，证明，推出，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 在中，， ∴； ∵点O为的中点， ∴． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算及化简求值： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴原式． 18. 如图，E，F是的对角线上两点，且，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：如图所示，连接交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点O，由平行四边形的性质得到，可证明，据此可证明四边形是平行四边形； （2）由勾股定理求出的长，再根据平行四边形对边相等即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 由（1）得四边形是平行四边形， ∴． 19. 西西打算在“母亲节”买一束百合和康乃馨组合的鲜花送给妈妈．已知买1支百合和2支康乃馨共需花费17元，一支百合的价格比康乃馨的价格多5元． （1）求买一支百合和一支康乃馨各需多少元？ （2）若西西准备买百合和康乃馨共10支，且康乃馨不多于8支．请求出购买多少支康乃馨能使总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】（1）买一支百合需9元，买一支康乃馨需4元； （2）购买8支康乃馨时总费用最少，最少费用为50元． 【解析】 【分析】（1）根据题干给出的两个等量关系设未知数，列出二元一次方程组求解即可得到两种花的单价； （2）设康乃馨的购买数量和总费用，列出总费用关于购买数量的一次函数，结合一次函数的增减性和自变量的取值范围，即可求出最少费用． 【小问1详解】 解：设买一支康乃馨需元，买一支百合需元， 根据题意得：， 解得：， 答：买一支百合需9元，买一支康乃馨需4元； 【小问2详解】 解：设购买康乃馨支，总费用为元，则购买百合支， 康乃馨不多于8支， ，且为正整数， 根据题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为（元）， 答：购买8支康乃馨能使总费用最少，最少费用是50元． 20. 李老师每天下班后需要为他的电动汽车充电，学校附近有甲，乙两个充电站．为了选择充电排队时间更短的充电站，他记录了过去10个工作日下班时段（）两个充电站空闲的充电桩数量（单位：个），空闲的充电桩数量越多，意味着排队等待时间越短．具体记录如下： 甲充电站空闲的充电桩数量为：3，3，4，5，5，5，5，6，6，7； 乙充电站空闲的充电桩数量为：1，2，2，5，5，5，6，7，8，8． 李老师初步整理统计量作如下图表，但尚未完成： 甲，乙充电站空闲充电桩数量统计表 充电站 平均数 众数 中位数 方差 甲 m 5 5 乙 5 n 解决问题： （1）填空： ， ； （2）李老师计算出甲充电站空闲充电桩数量的四分位数，并绘制了箱线图．请直接写出乙充电站空闲充电桩数量的第一四分位数和第三四分位数，并补全它的箱线图； （3）根据以上数据分析，你认为李老师应优先选择哪个充电站？请结合统计量或箱线图说明理由． 【答案】（1）；5 （2）；； （3）解：李老师应优先选择甲充电站，理由如下： 甲和乙的平均数、中位数、众数都相同，但甲的方差（）小于乙的方差（），说明甲充电站空闲充电桩数量波动更小，排队等待时间更稳定，更少出现空闲充电桩极少、排队时间很长的情况，因此优先选择甲． 【解析】 【分析】（1）根据平均数和中位数的定义求解即可； （2）根据四分位数的定义求出，，再画出对应的箱线图即可； （3）根据甲的方差小于乙的方差即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意得，； 把乙充电站空闲充电桩数量按照从小到大的顺序排列，第5个数为5，第6个数为5，故； 【小问2详解】 解：方法一：， 把乙充电站空闲充电桩数量按照从小到大的顺序排列为：1，2，2，5，5，5，6，7，8，8 ∴：乙充电站空闲充电桩数量的第一四分位数为排序后的第3个数据，即， 乙充电站空闲充电桩数量的第三四分位数为排序后的第8个数据，即； 方法二：乙充电站空闲充电桩数量排序后的前5个数据为1，2，2，5，5，这5个数据的中位数为2，故乙充电站空闲充电桩数量的第一四分位数， 后5个数据为5，6，7，8，8，这5个数的中位数为7，故乙充电站空闲充电桩数量的第三四分位数； 箱线图见答案； 【小问3详解】 略 21. 乐音的音调与振动频率有关，为了从数学的角度理解它们之间的关系，某兴趣小组开展了项目化学习活动： 项目主题 用玻璃杯制作水杯琴 项目准备 1．准备一根竹筷子，若干相同的圆柱形玻璃杯，适量自来水； 2．利用手机上网，查阅资料，下载音频分析软件，了解音乐，物理相关知识． 项目实施 任务一：采集数据 如图1，取若干相同的圆柱形玻璃杯，分别注入不同高度的水，用筷子依次敲击杯口，用音频分析软件测量振动频率，记录数据如下表： 水位高度 … 5 10 15 20 25 … 频率 … 500 420 340 260 180 … 任务二：建立模型 如图2，根据表中的数值描点，并用平滑的曲线连接这些点，发现这些点都在同一条直线上，由此判断f是关于h的一次函数． 任务三：应用模型 通过查阅资料，七个唱名与频率的对照表如下： 唱名 频率 261.6 293.6 329.6 349.2 392 440 493.8 利用模型和对照表信息确定唱名所对应的水位高度，制作水杯琴，并演奏一首曲子． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求该玻璃杯振动频率f关于水位高度h的函数解析式（不要求写出自变量h的取值范围）； （2）兴趣小组量得其中一只玻璃杯水位高度为，请求出这只玻璃杯能敲出的唱名； （3）已知玻璃杯中水位每升高，则使用的水量增加．若要改造（2）中的水杯琴，使其敲出唱名，求该玻璃杯需要增加或减少的水量． 【答案】（1） （2） （3）该玻璃杯需要减少的水量为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出时f的值即可得到答案； （3）求出时h的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：设， 由题意得，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中，当时， ， ∴这只玻璃杯能敲出的唱名为； 【小问3详解】 解：在中，当时，， 解得， ， 答：该玻璃杯需要减少的水量为． 22. 实践与探究 数学活动课上，数学老师引导同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动：如图1，矩形纸片中，，，点E在边上．将纸片沿着直线折叠，点C的对应点记为点F；再沿着过点B的直线折叠矩形纸片，使边恰好落在直线上，得到的折痕与交于点G，点A的对应点记为点H． 【操作发现】 （1）的度数为 ； 【初步探究】 （2）如图2，若点F恰好落在边上，求的长； 【迁移延伸】 （3）如图3，延长，交于点P，点E在边上运动时（点E不与点C重合）： ①判断点P到的距离是否发生改变？若改变，请说明理由；若不改变，请求出点P到的距离； ②直接写出点P到直线的最小距离． 【答案】（1）45 （2）5 （3）①点P到的距离不变，为定值4；理由如下： 如图所示，过点P作于点S，交的延长线于点K， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P到的距离不变，为定值4； ② 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，由矩形的性质得到，即可求出，即； （2）由矩形的性质得到，由折叠的性质可得，， ，则可求出；由勾股定理得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）过点P作于点S，交的延长线于点K，证明四边形是矩形，得到；由折叠的性质可得，证明，得到，则可求出，故点P到的距离不变，为定值4；②可证明当点E运动到点D时，此时有最小值，即此时点P到直线的距离有最小值；设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：由折叠的性质可得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得，， ， ∴； 在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：①略； ②如图所示， 由（3）①得点P到的距离为4， ∴点P在过点K且与平行的直线上运动； 由（1）可得， ∵当点E从点C向点D运动过程中，变大， ∴当点E从点C向点D运动过程中，变大， ∴当点E从点C向点D运动过程中，点P会越来越靠近点K， ∴当点E运动到点D时，此时有最小值，即此时点P到直线的距离有最小值； 如图3-2所示，当点E与点D重合时， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， 由（3）①得，四边形是矩形，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴点P到直线的最小距离为． 23. 【研究对象】函数中的镜像关系 定义：在平面直角坐标系中，若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点与点关于轴对称，则称函数和具有“镜像关系”，此时点或点的纵坐标称为这两个函数的“镜像值”，线段的长称为函数和的“镜像距”． 【定义感知】 （1）已知函数和具有“镜像关系”，函数的图象上有点，点关于轴对称的点在函数的图象上，可以列方程组：，解得．即点为，为，函数和的“镜像值”为1，函数和的“镜像距”为______； 【定义应用】 （2）若函数与具有“镜像关系”，求函数和的“镜像值”； 【定义迁移】 （3）将函数的图象向下平移个单位长度得到函数的图象．若函数与的“镜像值”为，求与m满足的关系式； 【综合探究】 （4）在（3）的条件下，若函数与的“镜像距”小于，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据“镜像距”的定义，求出的长即可； （2）设点在上，可得点关于轴的对称点的坐标为，把、代入可得，解方程组求出，即可得出答案； （3）根据一次函数的“平移规律”求出，根据“镜像值”的定义，设在图象上，则在图象上，可得，化简即可得出； （4）利用（3）中结论可得，，根据函数与的“镜像距”小于列不等式，求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵点为，为， ∴， ∴函数和的“镜像距”为． 【小问2详解】 解：设点在图象上，则点关于轴的对称点的坐标为， ∵函数与具有“镜像关系”， ∴点在图象上， ∴， 解得：， ∴， ∴函数和的“镜像值”为． 【小问3详解】 解：∵将函数的图象向下平移个单位长度得到函数的图象， ∴， ∵函数与的“镜像值”为， ∴设在图象上， ∴在图象上， ∴， ∴， ∴与m满足的关系式为． 【小问4详解】 解：由（3）可知， ∴，， ∵函数与的“镜像距”小于， ∴， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $