精品解析：广西南宁第三十七中2024-2025学年下学期八年级数学期末模拟卷

2024-2025学年度下学期八年级数学期末模拟卷（三） 第I卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 以下列各组线段长为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，6，7 C. 5，11，13 D. 6，9，10 2. 下列图象中，表示不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 在中，已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点，分别为，的中点，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 根据下表中一次函数的自变量与函数值部分的对应值， 判断方程的一个解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，玻璃杯的底面直径为，高为，有一根长的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，等腰，斜边，分别以的边为直径画半圆，所得两个月形图案和的面积之和是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在正方形中，点E、F分别在、上，连接，过点E作交于点G，连接．若，，则一定等于（ ） A. B. C. D. 第II卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 要使二次根式有意义，则x应满足的条件是__________． 14. 如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为______． 15. 某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙两位候选人进行了面试和笔试，如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，其中甲候选人的面试成绩为分，笔试成绩为分，乙候选人的面试成绩为分，笔试成绩为分，并分别赋予它们6和4的权．根据两人的平均成绩，公司将录取________． 16. 如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为___． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 如图，已知正方形，点E在边上，连接． （1）尺规作图：在正方形内部作，使，点F是的边与线段的交点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：四边形是平行四边形． 19. 中国人有在端午节这一天吃“粽子”的传统，某粽子加工厂家为迎接端午的到来，组织了“浓情端午 粽叶飘香”员工包粽子比赛，规定所包粽子质量为（）时都符合标准，其中质量（）为优秀产品．现从甲乙两位员工所包粽子中各随机抽取个进行评测，质量分别如下（单位：）： 甲：，，，，，，，，， 乙：，，，，，，，，， 分析数据如表： 员工 平均数 中位数 众数 方差 甲 乙 根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________． （2）若比赛规则的评判标准里看重所包粽子质量是否符合标准以及粽子质量的稳定性，根据抽样所得的粽子质量，你觉得哪位员工更加优秀？请说明理由． （3）在此次比赛中，甲员工共包了个粽子，乙员工共包了个粽子，请你估计两位员工各自所包粽子质量属于“优秀产品”的个数，并判断若以优秀率作为评判标准哪位员工更加优秀？请说明理由． 20. 如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里 （1）若它们离开港口一个半小时后分别位于A、B处（图1），且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？请说明理由 （2）若“远航”号沿北偏东30°方向航行（图2），从港口O离开经过两个小时后位于点F处，此时船上有一名乘客需要紧急回到海岸线上，若他从F处出发，乘坐的快艇的速度是每小时90海里，他能在20分钟内回到海岸线吗？请说明理由． 21. 【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据大致如表所示： 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度（观察值） 30 29 28 27 26 任务1：观察水面的高度值的变化规律，每隔水面高度变化量为________值（填“定”或“不定”）； 【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，接着水面高度随着流水时间而变化． 任务2：请利用表格中“，；，”两组数据，求水面高度h与流水时间t的函数解析式； 【模型应用】综合实践小组利用建立的模型，预测了后续的水面高度． 任务3：当流水时间为2小时，求水面高度h的值． 【设计刻度】综合实践小组决定利用该装置设计一个计时工具． 任务4：如何在甲容器外壁设计刻度来估算相应的时间变化？请简要说明． 22. 如图1，一次函数的图象经过点，并与直线相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为2． （1）求B点的坐标和k，b的值； （2）如图2，O为坐标原点，点Q为直线上（不与A、C重合）一动点，过点Q分别作y轴和x轴的垂线，垂足为E、F．点Q在何处时，矩形的面积为2？ （3）点M在y轴上，平面内是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同．折出的图形也不同．所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形，来研究这些图形中的几何问题． 问题解决： （1）如图1，将矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置，连接，线段交于点，则： ①与的关系为_______． ②小丽说：“图1中的四边形是菱形”，请你帮她证明． 拓展延伸： （2）如图2，矩形纸片中，，，小明将矩形纸片沿直线折叠，点落在点的位置，交于点，请你直接写出线段的长：______． 综合探究： （3）如图3，是一张矩形纸片，，在矩形的边上取一点（不与和点重合），在边上取一点（不与和点重合），将纸片沿折叠，使线段与线段交于点，得到，请你确定面积的取值范围______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期八年级数学期末模拟卷（三） 第I卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 以下列各组线段长为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，6，7 C. 5，11，13 D. 6，9，10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理即两短边的平方和等于最长边的平方逐一判断即可． 【详解】A．，能构成直角三角形，故本选项正确． B．，不能构成直角三角形，故本选项错误； C．，不能构成直角三角形，故本选项错误； D．，不能构成直角三角形，故本选项错误； 故选：A． 2. 下列图象中，表示不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的判断，根据函数的定义：对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应进行即可，正确理解函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，不符合题意； 、对给定的的值，有几个值与之对应，不是的函数，符合题意； 故选：． 3. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，最简二次根式，（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式， 据此逐一分析判断，即可解答． 【详解】解：A．，即该选项不是最简二次根式，故不符合题意； B．，即该选项不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C．，即该选项不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D．是最简二次根式，故该选项符合题意． 故选D． 4. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用方差判断稳定性，根据方差越小，数据越稳定求解即可． 【详解】解：∵，，，，， ∴， 则成绩最稳定的是丁， 故选：D． 5. 在中，已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 故选：． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，掌握二次根式的相关运算法则是解题的关键． 根据二次根式的加法、减法、乘法、除法法则逐项判断即可解答． 【详解】解：A．，原选项计算错误，不符合题意； B．，原选项计算错误，不符合题意； C．，原选项计算正确，符合题意； D．无法合并，原选项计算错误，不符合题意； 故选：C. 7. 如图，在中，点，分别为，的中点，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理解答即可，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵点，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：． 8. 根据下表中一次函数的自变量与函数值部分的对应值， 判断方程的一个解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，由表格可知，当时，；当时，，即可判断方程的一个解的取值范围，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，， ∴方程的解必定在与之间，即， 故选：． 9. 如图，玻璃杯的底面直径为，高为，有一根长的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，根据吸管露出杯口外的长度最少，则需在杯内最长，然后用勾股定理即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∴吸管露出杯口外的长度至少为， 故选：． 10. 如图，已知直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的交点与一元一次不等式的关系，先求出点的坐标，然后根据图象即可得到不等式的解集，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵直线过点， ∴，解得：， ∴点， 根据图象可知的解集为， 故选：． 11. 如图，等腰，斜边，分别以的边为直径画半圆，所得两个月形图案和的面积之和是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，由勾股定理可得，然后确定出，从而求解，掌握勾股定理定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点, ∵等腰，斜边， ∴， ∵以等腰的边为直径画半圆， ∴ ，， ， ∴， ∴所得两个月形图案和的面积之和为， ∵的面积， ∴所得两个月形图案和的面积之和为， 故选：． 12. 如图，在正方形中，点E、F分别在、上，连接，过点E作交于点G，连接．若，，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 过点D作，交于点H，连接，证明，得到，，再根据得到．证明四边形是平行四边形，得到，证明，得到，，则，，进而得到，根据得到，最后由即可解答． 【详解】解：过点D作，交于点H，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 第II卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 要使二次根式有意义，则x应满足的条件是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义需被开方数大于等于0是解题的关键． 14. 如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边中线等于斜边的一半． 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的中点， ∴ 故答案为： ． 15. 某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙两位候选人进行了面试和笔试，如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，其中甲候选人的面试成绩为分，笔试成绩为分，乙候选人的面试成绩为分，笔试成绩为分，并分别赋予它们6和4的权．根据两人的平均成绩，公司将录取________． 【答案】乙##乙候选人 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算公式的知识，掌握以上知识是解答本题的关键．根据题意先算出甲、乙两位候选人的加权平均数，再进行比较，即可得出答案． 【详解】解：甲：（分）， 乙：（分）， ∵， ∴公司将录取乙． 故答案为：乙． 16. 如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知是等腰直角三角形，作点关于的对称点，则在直线上，连接，，．即，，，所以此时、、三点共线且，点在的中点处，，可求出． 【详解】解：， 是等腰直角三角形， 作点关于的对称点，则在直线上，连接，如图： ． ，即， 此时、、三点共线且，点在的中点处， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质和等腰直角三角形的性质，作出适当的辅助线是解题关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）；3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算与化简和整式的乘法，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）本题先计算乘除，再计算加减，然后即可求解； （2）本题先根据整式的乘法知识进行化简得到，然后把代入，即可求解； 【详解】解：（1） ； （2） ， 把代入， 18. 如图，已知正方形，点E在边上，连接． （1）尺规作图：在正方形内部作，使，点F是的边与线段的交点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题； （1）根据题意要求作出图形，即可求解； （2）证明，即可． 【小问1详解】 解：图形如图所示： ； 【小问2详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 19. 中国人有在端午节这一天吃“粽子”的传统，某粽子加工厂家为迎接端午的到来，组织了“浓情端午 粽叶飘香”员工包粽子比赛，规定所包粽子质量为（）时都符合标准，其中质量（）为优秀产品．现从甲乙两位员工所包粽子中各随机抽取个进行评测，质量分别如下（单位：）： 甲：，，，，，，，，， 乙：，，，，，，，，， 分析数据如表： 员工 平均数 中位数 众数 方差 甲 乙 根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________． （2）若比赛规则的评判标准里看重所包粽子质量是否符合标准以及粽子质量的稳定性，根据抽样所得的粽子质量，你觉得哪位员工更加优秀？请说明理由． （3）在此次比赛中，甲员工共包了个粽子，乙员工共包了个粽子，请你估计两位员工各自所包粽子质量属于“优秀产品”的个数，并判断若以优秀率作为评判标准哪位员工更加优秀？请说明理由． 【答案】（1）； （2）乙，见解析 （3）甲，见解析 【解析】 【分析】本题考查了求众数、中位数、方差的应用；样本估计总体； （1）根据众数的定义求出甲的众数，根据中位数的定义求得乙的中位数即可； （2）比较两者方差的大小即可； （3）利用样本估计总体求出两位员工各自所包粽子质量属于“优秀产品”的个数，求出两位员工各自所包粽子的优秀率，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得， 乙的中位数为第5、6 个数的平均数， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：乙员工更加优秀，理由如下： 因为乙的方差小于甲的方差， 所以乙所包粽子质量质量比较稳定； 【小问3详解】 解：个， 个， 甲员工所包粽子的优秀率为， 乙员工所包粽子的优秀率为， 甲员工所包粽子的优秀率大于乙员工所包粽子的优秀率， 甲员工更加优秀． 20. 如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里 （1）若它们离开港口一个半小时后分别位于A、B处（图1），且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？请说明理由 （2）若“远航”号沿北偏东30°方向航行（图2），从港口O离开经过两个小时后位于点F处，此时船上有一名乘客需要紧急回到海岸线上，若他从F处出发，乘坐的快艇的速度是每小时90海里，他能在20分钟内回到海岸线吗？请说明理由． 【答案】（1）“海天”号沿西北方向航行，理由见解析 （2）能在20分钟内回到海岸线，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而解答即可； （2）过点A作于D，根据含30度角的直角三角形的性质，根据勾股定理得出F到x轴距离，进而得出答案． 【小问1详解】 解：∵（海里），（海里），（海里）， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵“远航”号沿东北方向航行， ∴， ∴， ∴“海天”号沿西北方向航行； 【小问2详解】 过点F作于D， （海里）， ∵， ∴， ∴（海里）， ∵（海里）， ， ∴能在20分钟内回到海岸线． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形解答． 21. 【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据大致如表所示： 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度（观察值） 30 29 28 27 26 任务1：观察水面的高度值的变化规律，每隔水面高度变化量为________值（填“定”或“不定”）； 【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，接着水面高度随着流水时间而变化． 任务2：请利用表格中“，；，”两组数据，求水面高度h与流水时间t的函数解析式； 【模型应用】综合实践小组利用建立的模型，预测了后续的水面高度． 任务3：当流水时间为2小时，求水面高度h的值． 【设计刻度】综合实践小组决定利用该装置设计一个计时工具． 任务4：如何在甲容器外壁设计刻度来估算相应的时间变化？请简要说明． 【答案】任务1：定；任务2：；任务3：18；任务4：见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，观察出水面的高度值随流水时间的变化规律是满足一次函数关系解答的关键． 任务1：直接由表格数据可得出答案； 任务2：利用待定系数法求解函数解析式即可； 任务3：直接根据所求的函数解析求解即可； 任务4：根据观察出水面的高度值随流水时间的变化规律进行设计即可． 【详解】解：任务1：根据表格数据，每隔，水面高度都减小， ∴观察水面的高度值的变化规律，每隔水面高度变化量为定值， 故答案为：定； 任务2：根据任务1的结论，水面高度与流水时间满足一次函数关系， 故设水面高度h与流水时间t的函数解析式为， 将，；，代入，得， 解得， ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为； 任务3：当时，， ∴当流水时间为2小时，水面高度h的值为； 任务4：根据任务1的变化规律，可以在甲容器外壁每隔标记一个刻度，这样水面高度每降低一个刻度，就代表时间经过了． 22. 如图1，一次函数的图象经过点，并与直线相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为2． （1）求B点的坐标和k，b的值； （2）如图2，O为坐标原点，点Q为直线上（不与A、C重合）一动点，过点Q分别作y轴和x轴的垂线，垂足为E、F．点Q在何处时，矩形的面积为2？ （3）点M在y轴上，平面内是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点B的坐标为，， （2）当点Q的坐标为或或或时，四边形的面积为2 （3）存在，、、、 【解析】 【分析】（1）先求出点坐标，再用待定系数法求出，； （2）先设，然后根据矩形的面积公式求出的值即可； （3）设点坐标为，点坐标为，然后分当和为对角线时，当和为菱形对角线时，当和为菱形对角线时三种情况，由中点坐标公式以及菱形的邻边相等求出，，的值即可． 【小问1详解】 令，则， 点的坐标为， 将，两点坐标代入到直线中， 得， 解得， 点的坐标为，，； 【小问2详解】 点为直线上（不与、重合）一动点， 设， 轴，轴， ，， 四边形的面积为2， ， 解得或2或或， 当点的坐标为，或或或时，四边形的面积为2； 【小问3详解】 设点坐标为，点坐标为， 以，，，为顶点的四边形是菱形， ，，，， ①当和为对角线时， 的中点也是的中点， ， 解得， 以，，，为顶点的四边形是菱形， ， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 点的坐标为； ②当和为菱形对角线时， 的中点也是的中点， ， 解得， 以，，，为顶点的四边形是菱形，和为菱形对角线， ， ， 即， 解得或， 经检验，或是原方程的解， 当时，； 当时，， 点的坐标为或， 直线的解析式为， 当时，， 点在直线上， 此时以，，，为顶点无法构成菱形， 点不符合题意，舍去， 点的坐标为； ③当和为菱形对角线时， 的中点也是的中点， ， 解得， 以，，，为顶点的四边形是菱形，和为菱形对角线， ， ， 即， 解得或， 经检验，或是原方程的解， 当时，，当时，， 点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查一次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，中点坐标公式，菱形的性质等知识，关键是对这些知识的掌握和运用． 23. 数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同．折出的图形也不同．所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形，来研究这些图形中的几何问题． 问题解决： （1）如图1，将矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置，连接，线段交于点，则： ①与的关系为_______． ②小丽说：“图1中的四边形是菱形”，请你帮她证明． 拓展延伸： （2）如图2，矩形纸片中，，，小明将矩形纸片沿直线折叠，点落在点的位置，交于点，请你直接写出线段的长：______． 综合探究： （3）如图3，是一张矩形纸片，，在矩形的边上取一点（不与和点重合），在边上取一点（不与和点重合），将纸片沿折叠，使线段与线段交于点，得到，请你确定面积的取值范围______． 【答案】（1）①全等②见解析（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）①利用翻折变换的性质以及全等三角形的判定定理解决问题即可； ②先证明四边形是平行四边形，由可证明四边形是菱形； （2）由矩形和折叠的性质证明，设，利用勾股定理构建方程求解即可； （3）分别求出的面积的最大值与最小值即可解决问题． 【详解】（1）①解：由折叠的性质得，，垂直平分， ， ， 故答案为：全等 ②证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， 矩形， ，， ， ， 由折叠的性质得，，，， ， ， 设，则， ， ， 解得， ， 故答案为：； （3）解：如图，当点与点重合时，的面积最大，作于点， ， 由题意得，设，则， ， ， 解得， ， ， 的最大值为； 当点与点重合时，此时最小，最小值为， 的最小值为， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定与性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $