1.2.4 绝对值 导学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册

1.2.4 绝对值 —— 导 学 案 —— 【 学生版 】 一、学习目标 【知识与技能】 1. 理解绝对值的概念，掌握绝对值的几何意义——数轴上表示一个数的点到原点的距离。 1. 会用绝对值的代数定义求任意有理数的绝对值（含正数、负数、0、分数、小数）。 1. 理解绝对值的非负性：对任何有理数 a，都有 |a| ≥ 0；会解|x|=k 型简单方程。 【过程与方法】 1. 经历“距离——绝对值”的几何抽象过程，进一步体会数形结合的思想。 1. 通过对 a>0、a=0、a<0 三种情形的分类讨论，初步学习“含字母时要分情况”的思维方式。 【情感态度与价值观】 1. 在“距离总是非负”的直观事实中体会数学抽象的“合理性”，感受“符号背后的几何意义”。 二、学习重难点 重 点 绝对值的概念（代数 + 几何）；会求任意有理数的绝对值；绝对值的非负性。 难 点 对|a| 需分三种情形写出的分段定义的理解——即：a>0 时 |a|=a；a=0 时 |a|=0；a<0 时 |a| = -a（此处 -a 是正数，正是难点破解的关键）。 易 错 点 ① 认为“绝对值一定是正数”（忽略 0）；② 由 |x| = 3 只写出 x = 3，漏掉 x = -3；③ 遇到 |a| = -a 时，把 -a 直接当“负数”读——其实此时 a<0，-a>0；④ 求分数绝对值时保留符号，如错误地写成 |−| = − 。 三、小初衔接 · 知识回顾（自主预习 5 分钟） 🔍 回顾一：生活中“只看大小、不看方向”的例子 在小学阶段，我们比过“距离”、算过“温差”、量过“高度”——它们都有一个共同点：只关心“差了多少”，不关心方向。请在下表右侧栏中，把每种量都用一个 生活情境 只关心“多少”的数 小明在家的东边 3 km，小红在家的西边 3 km ________________________________ 零上 8 ℃ 与零下 8 ℃ ________________________________ 海平面 +150 m 与海底 -150 m ________________________________ 上升 m 与下降 m ________________________________ 🔍 回顾二：数轴上的“距离” 我们在 1.2.2 学过数轴，在 1.2.3 学过相反数——两个相反数在数轴上“到原点距离相等”。请在下面数轴上分别观察 +3、-3、+5、-5 到原点 O 的距离：-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 一句话小结：+3 到原点距离是 3，-3 到原点距离也是 3；+5 到原点距离是 5，-5 到原点距离也是 5。“到原点的距离”这个非负的数，就是本节要学的核心概念——绝对值。 四、新知探究 探究一：从“距离”出发——什么是“绝对值”？（8 分钟） 📋 观察活动：数一数到原点的距离 请在数轴上找到下面 4 个数，数一数每个数所对应的点到原点走了多少个单位长度： 数 在原点哪一侧 到原点的距离 记作 |·| +4 ______ ______ |+4| = ____ -4 ______ ______ |-4| = ____ 0 ______ ______ |0| = ____ ______ ______ |-3/2| = ____ 💡 绝对值的定义（几何意义） 在数轴上，一个数 a 所对应的点到原点的距离，叫做数 a 的绝对值，记作 |a|。 读法：|a| 读作“a 的绝对值”；|-3| 读作“-3 的绝对值”。 符号说明：两条竖直短线“| |”是绝对值的专用符号，写在数或式子的两边。 探究二：从几何到代数——|a| 到底等于什么？（10 分钟） 🧠 分类讨论：a 是不同类型的数时，|a| 各是什么？ 我们把“距离”这个几何量搬回代数：a 只可能是三种情况——正数、0、负数。请分别观察： a 的类型 具体例子（|a| = ?） 归纳规律 a > 0 |+7| = ____；|+2.5| = ____ ____________________ a = 0 |0| = ____ ____________________ a < 0 |-7| = ____；|-2.5| = ____ ____________________ 💡 绝对值的代数定义（分段表示） 一般地： 1. ① 当 a > 0 时，|a| = a； 1. ② 当 a = 0 时，|a| = 0； 1. ③ 当 a < 0 时，|a| = -a（此时 -a 才是这个正的距离，千万别把 -a 当负数！）。 📌 一句口诀：“正数原封不动，负数去掉负号，0 就是 0”。 探究三：绝对值的“非负”性质与反问（10 分钟） ① 绝对值一定是“非负”的 回过头看探究一的表：|+4|、|-4|、|0|、|| 的结果分别是 4、4、0、——没有一个是负数。这是因为距离本身就不可能是负数。 💡 绝对值的重要性质：非负性 对任意有理数 a，都有 |a| ≥ 0。特别地，|a| = 0 当且仅当 a = 0。 🎯 用途：① 判断一些代数式的“最小值”（比如 |x-3| 的最小值就是 0，此时 x=3）；② 若几个绝对值之和为 0，则每个绝对值都等于 0；③ 与“平方”并称初中两大“天然非负”武器。 ② 反问：知道 |x|，能求出 x 吗？ 在探究一中我们发现：|+4| = 4，|-4| 也 = 4——互为相反数的两个数，绝对值相等。反过来问： 已知条件 x 的取值 几何理由 |x| = 5，x = ? ________ ________________________ |x| = 0，x = ? ________ ________________________ |x| = -3，x = ? ________ ________________________ |x| = 3/2，x = ? ________ ________________________ 💡 由绝对值反求原数的规律 1. 若 |x| = k（k > 0），则 x = k 或 -k（两个解）； 1. 若 |x| = 0，则 x = 0（唯一的一个解）； 1. 若 |x| = k（k < 0），则无解（因为绝对值不可能为负数）。 🎯 核心思想小结 1. 几何意义：|a| 就是数轴上表示 a 的点到原点的距离。 1. 代数定义：正数原封不动、0 就是 0、负数去掉负号。 1. 重要性质：|a| ≥ 0，绝对值不可能为负。 1. 反求技巧：|x| = k>0 有“正负两个”解；|x| = 0 只有一个 0；|x|=负数无解。 五、典例精讲 例 1【求各数的绝对值】 分别写出下列各数的绝对值： +9， -6， 0， ， ， -1.8， +0.25。 例 2【含绝对值符号的运算化简】 计算下列各式的值： (1) |-3| + |-5| = ____________ (2) |-8| - |+3| = ____________ (3) |-| × |+4| = ____________ (4) |-6| ÷ |+| = ____________ (5) -|-2.5| = ____________ 例 3【含字母的绝对值 & 由绝对值反求原数】 (1) 若 x 表示一个有理数，且 |x| = ，则 x 可能是哪些数？ (2) 已知 a > 0，b < 0，c = 0，请分别写出 |a|、|b|、|c| 的化简结果。 (1) x = ______ 或 x = ______； (2) |a| = ______，|b| = ______，|c| = ______。 六、当堂检测（8 分钟，独立完成） 1.（基础）求下列各数的绝对值 |+10| = ____； |-2.3| = ____； |0| = ____； |+| = ____； |-| = ____。 2.（辨析） 下列说法正确的是（ ） A. 一个数的绝对值一定是正数 B. 绝对值等于它本身的数只有正数 C. 任何有理数的绝对值都是非负数 D. |a| = -a 说明 a 一定是负数 3.（化简）计算下列各式 （1） |-7| + |+4| = ____________ （2） |-| × |-6| = ____________ （3） -|-| = ____________ 4.（思考） 已知 |x| = 4，则 x = ________；已知 |y| = 0，则 y = ____；已知 |z| = -，则 z 存在吗？________。 七、课堂小结（思维导图） ┌── 几何意义：数轴上到原点的距离 │ ├── 记号：|a|（“a 的绝对值”） │ ├── 代数定义（按 a 的正负分段） │ │ │ ├── a > 0：|a| = a 绝 对 值 ──────────┤ ├── a = 0：|a| = 0 │ └── a < 0：|a| = -a │ ├── 重要性质：|a| ≥ 0（非负性） │ └── 反求 |x| = k │ ├── k > 0：x = ±k（两解） ├── k = 0：x = 0（一解） └── k < 0：无解 ————————— 三条易错提醒 ————————— ① |a| ≥ 0，绝对值不可能为负数 ② |x| = k>0 时别丢掉 x = -k 那一个解 ③ a<0 时 |a| = -a，此处 -a 是正数（不是负数） 🎯 三条核心结论： 1. 几何意义：|a| = 数轴上表示 a 的点到原点的距离——因此必然非负。 1. 代数定义（分段）：a>0 时 |a|=a；a=0 时 |a|=0；a<0 时 |a|=-a（其中 -a 是正数）。 1. 反求规律：|x|=k（k>0）有两个解 x=±k；|x|=0 只有 x=0；|x|=负数无解。 八、分层作业 🅰️ 基础巩固（必做） 1.【判断题】 下列说法正确的打 √，错误的打 ×，并简要说明理由。 （1）一个数的绝对值一定大于 0。 （ ） 理由：____________________________________________________ （2）任何一个数的绝对值都不会是负数。 （ ） 理由：____________________________________________________ （3）若 |a| = |b|，则 a = b。 （ ） 理由：____________________________________________________ （4） 的绝对值等于 。 （ ） 理由：____________________________________________________ （5）若 a < 0，则 |a| = -a 是一个正数。 （ ） 理由：____________________________________________________ 2.【填空题】 （1）|-8.4| = ____； |+| = ____； |-| = ____。 （2）绝对值等于自身的有理数是 ________________；绝对值等于其相反数的有理数是 ________________。 （3）化简：-|-3.5| = ________；|-|-6|| = ________。 3.【数轴 + 反求】 请回答下列问题： (1) 在数轴上标出所有满足 |x| = 3 的点，共有 __ 个，分别表示的数是 __________。 (2) 在数轴上标出所有满足 |x| = 的点，共有 __ 个，分别表示的数是 __________。 (3) 满足 |x| < 2 的整数有几个？分别是哪些？ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 答：满足条件的整数有 ____ 个，分别是 __________________。 🅱️ 能力提升（选做） 4.【分类讨论】 有理数 a 在数轴上的位置如下图所示（a 在原点左侧）。请分别化简：-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 (1) |a| = ______ (2) |−a| = ______ (3) −|a| = ______ 5.【条件综合】 已知 |x| = ，|y| = 2，且 x < 0，y > 0。 (1) 求 x、y 的值； (2) 在数轴上标出 x、y 两点，并求它们之间的距离。 解：(1) x = ______，y = ______； (2) 请在下面数轴上标出 x、y，两点距离 = ______。 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 6.【生活应用】 某城市一天中的气温记录（单位：℃）如下表： 时 刻 6 时 10 时 14 时 20 时 24 时 气温 -3 +2 +7 +1 -5 (1) 一天中，哪个时刻气温离 0 ℃“最远”？请用绝对值说明。 (2) 6 时和 24 时的气温哪个更“冷”？为什么？（提示：负数比大小与绝对值有关） (3) 从 14 时到 24 时，气温变化了多少度？用绝对值符号列式并计算。 (1) 气温离 0 ℃ 最远的时刻是 ______；理由：__________________________________ (2) 更冷的是 ______ 时；理由：____________________________________________ (3) 变化量 = |____| +| ____| = ____ ℃，气温 ______（升 / 降）____ ℃。 🅲 拓展探究（学有余力） 7.【非负性挑战】 已知 |a - 3| + |b - | = 0，求 a + b 的值。 提示：想一想“几个非负数的和为 0”意味着什么？ 8.【创意实践】 请以“距离”为主题，为你所在的城市制作一张“绝对值地图”海报：(1) 选一个参照点（如学校 / 家门口）作为“原点”；(2) 在地图上找出 6 个地点（东、西、南、北各方向都要有），用“+/-”标注方位与距离（含至少 2 个分数 距离，如 3/2 km）；(3) 分别用绝对值表示每个地点到参照点的“实际距离”，并在海报下方写出这些绝对值的最大值与最小值——让图表说话。要求主题突出、图文并茂。 九、学习反思（课后自评） 反思项目 完全掌握 ☺ 基本掌握 😐 还需努力 😟 能说出绝对值的几何意义（到原点的距离） □ □ □ 会“一眼”写出任意有理数的绝对值（含分数、0） □ □ □ 能记住 |a|≥0，且知道 |a|=0 ⇔ a=0 □ □ □ 会由 |x|=k 反求 x（含 k>0、k=0、k<0 三种情形） □ □ □ 遇到含字母的 |a| 会按 a 的正负分类讨论 □ □ □ 我的困惑： _______________________________________________________________ 　　　　　 _______________________________________________________________ 我的收获： _______________________________________________________________ 　　　　　 _______________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.4 绝对值 —— 导 学 案 —— 【 教师版 】 一、学习目标 【知识与技能】 1. 理解绝对值的概念，掌握绝对值的几何意义——数轴上表示一个数的点到原点的距离。 1. 会用绝对值的代数定义求任意有理数的绝对值（含正数、负数、0、分数、小数）。 1. 理解绝对值的非负性：对任何有理数 a，都有 |a| ≥ 0；会解|x|=k 型简单方程。 【过程与方法】 1. 经历“距离——绝对值”的几何抽象过程，进一步体会数形结合的思想。 1. 通过对 a>0、a=0、a<0 三种情形的分类讨论，初步学习“含字母时要分情况”的思维方式。 【情感态度与价值观】 1. 在“距离总是非负”的直观事实中体会数学抽象的“合理性”，感受“符号背后的几何意义”。 2、 学习重难点 重 点 绝对值的概念（代数 + 几何）；会求任意有理数的绝对值；绝对值的非负性。 难 点 对|a| 需分三种情形写出的分段定义的理解——即：a>0 时 |a|=a；a=0 时 |a|=0；a<0 时 |a| = -a（此处 -a 是正数，正是难点破解的关键）。 易 错 点 ① 认为“绝对值一定是正数”（忽略 0）；② 由 |x| = 3 只写出 x = 3，漏掉 x = -3；③ 遇到 |a| = -a 时，把 -a 直接当“负数”读——其实此时 a<0，-a>0；④ 求分数绝对值时保留符号，如错误地写成 |−| = − 。 三、小初衔接 · 知识回顾（自主预习 5 分钟） 🔍 回顾一：生活中“只看大小、不看方向”的例子 在小学阶段，我们比过“距离”、算过“温差”、量过“高度”——它们都有一个共同点：只关心“差了多少”，不关心方向。请在下表右侧栏中，把每种量都用一个 生活情境 只关心“多少”的数 小明在家的东边 3 km，小红在家的西边 3 km 两人到家的距离都是 3 km 零上 8 ℃ 与零下 8 ℃ 都是“离 0 ℃ 8 度” 海平面 +150 m 与海底 -150 m 都是“离海平面 150 m” 上升 m 与下降 m 都是“离出发点 m” 🔍 回顾二：数轴上的“距离” 我们在 1.2.2 学过数轴，在 1.2.3 学过相反数——两个相反数在数轴上“到原点距离相等”。请在下面数轴上分别观察 +3、-3、+5、-5 到原点 O 的距离： -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 一句话小结：+3 到原点距离是 3，-3 到原点距离也是 3；+5 到原点距离是 5，-5 到原点距离也是 5。“到原点的距离”这个非负的数，就是本节要学的核心概念——绝对值。 四、新知探究 探究一：从“距离”出发——什么是“绝对值”？（8 分钟） 📋 观察活动：数一数到原点的距离 请在数轴上找到下面 4 个数，数一数每个数所对应的点到原点走了多少个单位长度： 数 在原点哪一侧 到原点的距离 记作 |·| +4 右侧 4 |+4| = 4 -4 左侧 4 |-4| = 4 0 在原点 0 |0| = 0 左侧 || = 💡 绝对值的定义（几何意义） 在数轴上，一个数 a 所对应的点到原点的距离，叫做数 a 的绝对值，记作 |a|。 读法：|a| 读作“a 的绝对值”；|-3| 读作“-3 的绝对值”。 符号说明：两条竖直短线“| |”是绝对值的专用符号，写在数或式子的两边。 探究二：从几何到代数——|a| 到底等于什么？（10 分钟） 🧠 分类讨论：a 是不同类型的数时，|a| 各是什么？ 我们把“距离”这个几何量搬回代数：a 只可能是三种情况——正数、0、负数。请分别观察： a 的类型 具体例子（|a| = ?） 归纳规律 a > 0 |+7| = 7；|+2.5| = 2.5；|+3/4| = 3/4 正数的绝对值就是它本身 a = 0 |0| = 0（0 就在原点上，距离为 0） 0 的绝对值是 0 a < 0 |-7| = 7；|-2.5| = 2.5；|-3/4| = 3/4 负数的绝对值等于它的相反数 💡 绝对值的代数定义（分段表示） 一般地： 1. ① 当 a > 0 时，|a| = a； 1. ② 当 a = 0 时，|a| = 0； 1. ③ 当 a < 0 时，|a| = -a（此时 -a 才是这个正的距离，千万别把 -a 当负数！）。 📌 一句口诀：“正数原封不动，负数去掉负号，0 就是 0”。 探究三：绝对值的“非负”性质与反问（10 分钟） ① 绝对值一定是“非负”的 回过头看探究一的表：|+4|、|-4|、|0|、|| 的结果分别是 4、4、0、——没有一个是负数。这是因为距离本身就不可能是负数。 💡 绝对值的重要性质：非负性 对任意有理数 a，都有 |a| ≥ 0。特别地，|a| = 0 当且仅当 a = 0。 🎯 用途：① 判断一些代数式的“最小值”（比如 |x-3| 的最小值就是 0，此时 x=3）；② 若几个绝对值之和为 0，则每个绝对值都等于 0；③ 与“平方”并称初中两大“天然非负”武器。 ② 反问：知道 |x|，能求出 x 吗？ 在探究一中我们发现：|+4| = 4，|-4| 也 = 4——互为相反数的两个数，绝对值相等。反过来问： 已知条件 x 的取值 几何理由 |x| = 5，x = ? x = 5 或 x = -5 距离原点为 5 的点在数轴上有 2 个 |x| = 0，x = ? x = 0（只有 1 个） 只有原点自己的距离为 0 |x| = -3，x = ? 无解 距离不可能为负数（|x| ≥ 0） |x| = 3/2，x = ? x = 3/2 或 x = -3/2 两个互为相反数的解 💡 由绝对值反求原数的规律 1. 若 |x| = k（k > 0），则 x = k 或 -k（两个解）； 1. 若 |x| = 0，则 x = 0（唯一的一个解）； 1. 若 |x| = k（k < 0），则无解（因为绝对值不可能为负数）。 🎯 核心思想小结 1. 几何意义：|a| 就是数轴上表示 a 的点到原点的距离。 1. 代数定义：正数原封不动、0 就是 0、负数去掉负号。 1. 重要性质：|a| ≥ 0，绝对值不可能为负。 1. 反求技巧：|x| = k>0 有“正负两个”解；|x| = 0 只有一个 0；|x|=负数无解。 五、典例精讲 例 1【求各数的绝对值】 分别写出下列各数的绝对值： +9， -6， 0， ， ， -1.8， +0.25。 【解析】 按代数定义分类：正数不变、0 不变、负数去负号。 原 数 绝 对 值 理 由 +9 9 正数：原封不动 -6 6 负数：去掉负号 0 0 特例，|0|=0 正数：原封不动 负数：去掉负号 -1.8 1.8 负数：去掉负号 +0.25 0.25 正数：原封不动 🎯 一句话小结：求绝对值 = 去掉符号（若有）；结果永远非负。 例 2【含绝对值符号的运算化简】 计算下列各式的值： (1) |-3| + |-5| = 3 + 5 = 8 (2) |-8| - |+3| = 8 - 3 = 5 (3) |-| × |+4| = × 4 = 2 (4) |-6| ÷ |+| = 6 ÷ = 4 (5) -|-2.5| = -(2.5) = -2.5 【解题步骤】 1. 第一步：把每一个绝对值“单独”算出来（结果一定 ≥ 0）。 1. 第二步：再按加、减、乘、除的常规运算完成计算。 【第 (5) 题特别提醒】 1. (6) 绝对值符号外面还有一个负号，先算 |-2.5|=2.5，再取相反数 → -2.5。绝对值本身非负，但外面若加负号，结果可以是负数。 例 3【含字母的绝对值 & 由绝对值反求原数】 (1) 若 x 表示一个有理数，且 |x| = ，则 x 可能是哪些数？ (2) 已知 a > 0，b < 0，c = 0，请分别写出 |a|、|b|、|c| 的化简结果。 【解析（1）】 由“绝对值为正数 → 原数有正负两种可能”，到原点距离为 的点在数轴上共2 个：一个在原点右侧 处，一个在原点左侧 处。 所以 x = 或 x = 。 【解析（2）】 1. 因为 a > 0，所以 |a| = a（正数原封不动）； 1. 因为 b < 0，所以 |b| = -b（此时 -b > 0，是正数；这一步最容易出错——学生常把 -b 当负数）； 1. 因为 c = 0，所以 |c| = 0。 🎯 结论：含字母的绝对值化简，一定要根据字母的正、负、零分类讨论——这是初中“分类思想”的第一次正式亮相。 六、当堂检测（8 分钟，独立完成） 1.（基础）求下列各数的绝对值 |+10| = 10； |-2.3| = 2.3； |0| = 0； |+| = ； |-| = 。 2.（辨析） 下列说法正确的是（ C ） A. 一个数的绝对值一定是正数 B. 绝对值等于它本身的数只有正数 C. 任何有理数的绝对值都是非负数 D. |a| = -a 说明 a 一定是负数 【解析】 选 C。 1. A 错：0 的绝对值是 0，既不正也不负。 1. B 错：绝对值等于自身的数是非负数（正数 & 0 都可以）——不只是正数。 1. C 对：这是绝对值的重要性质 |a|≥0。 1. D 错：|a| = -a 只说明 a ≤ 0（包含 a=0 的情况，此时 -a = 0 也等于 |0|）。 3.（化简）计算下列各式 （1） |-7| + |+4| = 7 + 4 = 11 （2） |-| × |-6| = × 6 = 2 （3） -|-| = - 4.（思考） 已知 |x| = 4，则 x = ±4（即 4 或 -4）；已知 |y| = 0，则 y = 0；已知 |z| = -，则 z 存在吗？不存在。 【解析】 1. |x|=4 → x = 4 或 -4（两个解）——到原点距离为 4 的点有左右两个。 1. |y|=0 → 只有 y = 0（唯一），因为只有原点到原点的距离为 0。 1. |z|=-1/2 → 无解；因为绝对值恒 ≥ 0，不可能等于负数。 七、课堂小结（思维导图） ┌── 几何意义：数轴上到原点的距离 │ ├── 记号：|a|（“a 的绝对值”） │ ├── 代数定义（按 a 的正负分段） │ │ │ ├── a > 0：|a| = a 绝 对 值 ──────────┤ ├── a = 0：|a| = 0 │ └── a < 0：|a| = -a │ ├── 重要性质：|a| ≥ 0（非负性） │ └── 反求 |x| = k │ ├── k > 0：x = ±k（两解） ├── k = 0：x = 0（一解） └── k < 0：无解 ————————— 三条易错提醒 ————————— ① |a| ≥ 0，绝对值不可能为负数 ② |x| = k>0 时别丢掉 x = -k 那一个解 ③ a<0 时 |a| = -a，此处 -a 是正数（不是负数） 🎯 三条核心结论： 1. 几何意义：|a| = 数轴上表示 a 的点到原点的距离——因此必然非负。 1. 代数定义（分段）：a>0 时 |a|=a；a=0 时 |a|=0；a<0 时 |a|=-a（其中 -a 是正数）。 1. 反求规律：|x|=k（k>0）有两个解 x=±k；|x|=0 只有 x=0；|x|=负数无解。 八、分层作业 🅰️ 基础巩固（必做） 1.【判断题】 下列说法正确的打 √，错误的打 ×，并简要说明理由。 （1）一个数的绝对值一定大于 0。 （ × ） 理由：反例：|0| = 0，不大于 0。正确说法是“绝对值一定 ≥ 0”（非负）。 （2）任何一个数的绝对值都不会是负数。 （ √ ） 理由：这是绝对值的“非负性”：|a| ≥ 0 恒成立。 （3）若 |a| = |b|，则 a = b。 （ × ） 理由：反例：|3| = 3，|-3| = 3，但 3 ≠ -3。正确结论是 a = ±b。 （4） 的绝对值等于 。 （ √ ） 理由：由代数定义：负数的绝对值等于其相反数，即去掉负号。 （5）若 a < 0，则 |a| = -a 是一个正数。 （ √ ） 理由：关键：a<0 时 -a>0，所以 -a 才是那个“正的距离”。这是本节最难点。 2.【填空题】 （1）|-8.4| = 8.4； |+| = ； |-| = 。 （2）绝对值等于自身的有理数是 非负数（即 ≥ 0 的数，包括 0 和所有正数）；绝对值等于其相反数的有理数是 非正数（即 ≤ 0 的数，包括 0 和所有负数）。 （3）化简：-|-3.5| = -3.5；|-|-6|| = |-6| = 6。 3.【数轴 + 反求】 请回答下列问题： (1) 在数轴上标出所有满足 |x| = 3 的点，共有 2 个，分别表示的数是 3 和 -3。 (2) 在数轴上标出所有满足 |x| = 的点，共有 2 个，分别表示的数是 和 。 (3) 满足 |x| < 2 的整数有几个？分别是哪些？ 【解析】 (1) |x|=3 → 有 2 个解，x = ±3；两点关于原点对称。 (2) |x|=5/2 → 有 2 个解，x = ±；即 -2 与 -3 之间、2 与 3 之间各一个点。 (3) |x| < 2 表示 x 到原点距离小于 2，即 -2 < x < 2。整数解共 3 个：x = -1、0、1（注意 -2 和 2 不满足严格小于）。 🅱️ 能力提升（选做） 4.【分类讨论】 有理数 a 在数轴上的位置如下图所示（a 在原点左侧）。请分别化简：-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 (1) |a| = ______ (2) |−a| = ______ (3) −|a| = ______ 【解析】 从图可以判断 a < 0，具体地 a 在 -2 与 -3 之间，是一个负数。 1. (1) |a| = -a；因为 a<0，按代数定义“负数的绝对值等于其相反数”，且 -a>0 是正的距离。 1. (2) |-a| = -a；-a>0，正数的绝对值就是它本身。可以看到 |a| 与 |-a| 相等——互为相反数的两个数绝对值相等。 1. (3) -|a| = -(-a) = a；|a|=-a 前面再加负号 → -(-a)=a（本身），仍为负数。 🎯 一句话小结：含字母的绝对值化简，先由图 / 由条件判断 a 的符号，再套代数定义。 5.【条件综合】 已知 |x| = ，|y| = 2，且 x < 0，y > 0。 (1) 求 x、y 的值； (2) 在数轴上标出 x、y 两点，并求它们之间的距离。 【解析】 1. (1) |x|= 且 x<0 → x = ；|y|=2 且 y>0 → y = 2。 1. (2) 数轴：-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 1. x 到 y 的距离 = |x| + |y| = 个单位长度。 🎯 复盘：由绝对值反求原数时，一定要结合正负条件，才能确定唯一的取值；两数一正一负时，距离 = |两数绝对值之和|。 6.【生活应用】 某城市一天中的气温记录（单位：℃）如下表： 时 刻 6 时 10 时 14 时 20 时 24 时 气温 -3 +2 +7 +1 -5 (1) 一天中，哪个时刻气温离 0 ℃“最远”？请用绝对值说明。 (2) 6 时和 24 时的气温哪个更“冷”？为什么？（提示：负数比大小与绝对值有关） (3) 从 14 时到 24 时，气温变化了多少度？用绝对值符号列式并计算。 【解析】 1. (1) 计算各时刻的绝对值：|-3|=3、|+2|=2、|+7|=7、|+1|=1、|-5|=5。最大是 14 时的 +7 ℃，它离 0 ℃ 最远（虽然是正的）。 1. (2) 6 时 -3 ℃ 与 24 时 -5 ℃ 都是负数。比较负数大小的一个方法：绝对值大的反而小——|-5|=5>|-3|=3，所以 -5 < -3，24 时更冷。 1. (3) 从 +7 到 -5 的变化量：|+7 |+|-5| = 7+5 = 12 ℃，即气温下降了 12 ℃。（这里绝对值“正好”起到“差多少”的作用。） 🎯 复盘：绝对值在生活中就是“相差多少”、“离参照点多远”的量化工具。比较负数大小时可先取绝对值，绝对值大的负数反而小——这为 1.2.5 有理数大小比较作铺垫。 🅲 拓展探究（学有余力） 7.【非负性挑战】 已知 |a - 3| + |b -| = 0，求 a + b 的值。 提示：想一想“几个非负数的和为 0”意味着什么？ 【解析】 由绝对值的非负性：|a - 3| ≥ 0 且 |b - | ≥ 0。 两个“非负数”之和等于 0，当且仅当两个数都等于 0（因为哪怕其中一个 > 0，和都会 > 0）。 1. 所以 |a - 3| = 0 → a - 3 = 0 → a = 3； 1. |b -| = 0 → b - = 0 → b = 。 1. 所以 a + b = ，即 。 🎯 教学价值：这是绝对值非负性的经典应用——“多个非负数和为 0 ⇔ 每个都为 0”，将会在初二、初三反复出现（含平方）。 8.【创意实践】 请以“距离”为主题，为你所在的城市制作一张“绝对值地图”海报：(1) 选一个参照点（如学校 / 家门口）作为“原点”；(2) 在地图上找出 6 个地点（东、西、南、北各方向都要有），用“+/-”标注方位与距离（含至少 2 个分数 距离，如 3/2 km）；(3) 分别用绝对值表示每个地点到参照点的“实际距离”，并在海报下方写出这些绝对值的最大值与最小值——让图表说话。要求主题突出、图文并茂。 【评价维度】 1. ① 参照点（原点）明确、方位坐标清晰； 1. ② 至少 6 个地点，覆盖不同方向（正、负双向）； 1. ③ 至少 2 个分数距离，且分子分母书写规范； 1. ④ 正确用绝对值表示每段距离（结果非负）； 1. ⑤ 有“最大 / 最小绝对值”的对比分析，体现“绝对值 = 距离”的思想。 九、学习反思（课后自评） 反思项目 完全掌握 ☺ 基本掌握 😐 还需努力 😟 能说出绝对值的几何意义（到原点的距离） □ □ □ 会“一眼”写出任意有理数的绝对值（含分数、0） □ □ □ 能记住 |a|≥0，且知道 |a|=0 ⇔ a=0 □ □ □ 会由 |x|=k 反求 x（含 k>0、k=0、k<0 三种情形） □ □ □ 遇到含字母的 |a| 会按 a 的正负分类讨论 □ □ □ 我的困惑： _______________________________________________________________ 　　　　　 _______________________________________________________________ 我的收获： _______________________________________________________________ 　　　　　 _______________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $