第02讲 有理数的概念和分类 小升初衔接 2026--2027学年人教版七年级数学上册

1.2.1 有理数的概念和分类 —— 导 学 案 —— 【 学生版 】 一、学习目标 【知识与技能】 1. 理解有理数的概念，知道有理数可以写成分数的形式。 1. 掌握有理数的两种分类方法（按定义分类、按正负性分类），能够把给定的数正确归类。 【过程与方法】 1. 经历“从小学的数 → 初中的数”的扩充过程，体会数系扩充的必要性。 1. 在对有理数分类的探索中，感悟分类讨论的数学思想，学会做到不重不漏。 【情感态度与价值观】 1. 感受数学与生活的紧密联系，增强用数学眼光观察世界的意识。 二、学习重难点 重 点 有理数的概念；对有理数进行正确分类。 难 点 分类的标准 —— 理解 “分类不同、结果不同，但都必须不重不漏”。 易 错 点 ① 0 的归属；② 小数、百分数是否是有理数；③ 分数与整数的关系；④ π 是否是有理数。 三、小初衔接 · 知识回顾（自主预习 5 分钟） 🔍 回顾一：小学里我们学过哪些数？ 请把你在小学阶段学过的数填到下表对应的框里，每类至少举 2 个例子： 数的名称 举 例 自然数 0，1，2，3，…… 正整数 ____________________________ 分数（真分数、假分数） ____________________________ 小数（有限、无限循环） ____________________________ 百分数 ____________________________ 🔍 回顾二：上一节 1.1 我们又新认识了什么数？ 在 1.1 节中，我们通过 “零上温度与零下温度” “收入与支出” “向东与向西” 等具有相反意义的量，引入了一种新的数 —— _______数（在正数前加上 “-” 号得到）。 一句话小结：小学里我们只跟 “0 和正数” 打交道；进入初中，我们把数的家族扩大，把 负数 也请了进来。 四、新知探究 探究一：有理数的概念（10 分钟） 📋 情境导入 某地冬季某天的天气预报：最高气温 6 ℃，最低气温 -10 ℃，平均气温 0 ℃。 同一天北京的气温为 -3 ℃ ~ 7 ℃。 请把上面出现的所有数写下来：__________________________________________ 🧠 探究活动 1：把整数写成分数 问题：整数能不能写成分数的形式？请试一试： 5 = -3 = 0 = 结论：任何整数都可以写成 分母为 1、分子为该整数 的分数形式。 🧠 探究活动 2：把小数写成分数 问题：下列小数能不能化成分数？ 0.3 = -1.25 = 0.333…（循环节 3）= 结论：有限小数 和 无限循环小数 都可以化成分数。 有理数的定义 可以写成 分数形式的数，统称为 有理数。 换句话说：整数 和 分数 统称为 有理数。 ⚠️ 特别提醒： 1. 无限不循环小数（如 π = 3.14159265…、 = 1.41421…） 不能 写成分数形式，不是 有理数（初二会学，这类数叫 无理数）。 1. 百分数 本质上就是分数（如 20% = ），所以百分数 也是 有理数。 探究二：有理数的分类（15 分钟） 给你一组数，请你先来给它们 “分一分家”： 1, -7, 5.7, 0, -, 13, -10, 0.666…, -3, ▶ 分类法一：按 “定义” 分类（整数 & 分数） ┌── 正整数：如 ____________________ ┌── 整数 ┤── 0 │ └── 负整数：如 ____________________ 有理数 ──┤ │ ┌── 正分数：如 ____________________ └── 分数 ┤ └── 负分数：如 ____________________ ▶ 分类法二：按 “正负性” 分类（正、0、负） ┌── 正整数 ┌── 正有理数 ────┤ │ └── 正分数 有理数 ──┤── 0（不正不负） │ ┌── 负整数 └── 负有理数 ────┤ └── 负分数 🧭 关于 “0” 的地位（小初衔接关键点！） 关于 0 结论 0 是自然数吗？ ✅ 是 0 是整数吗？ ✅ 是 0 是有理数吗？ ✅ 是 0 是正数吗？ ❌ 不是 0 是负数吗？ ❌ 不是 💡 一句话记忆：0 是正数和负数的 分界点，是 “整数家族” 的成员，但 既不是正数也不是负数。 🎯 分类的关键思想 —— 分类讨论 进行分类时，必须做到： 1. 不重复：一个数只能属于一类； 1. 不遗漏：所有的数都要有归属； 1. 同一标准：一次分类只能按一个标准进行。 五、典例精讲 例 1【概念辨析】 判断下列说法是否正确，并说明理由： 1. （1）有理数就是正数和负数。（ ） 1. （2）0 不是有理数。（ ） 1. （3）-1.5 不是分数，所以不是有理数。（ ） 1. （4）π 是分数，所以是有理数。（ ） 例 2【分类填空】 把下列各数填入相应的集合内： -8, , 0.555…, 0, 3.14, , , -100, 25% 集 合 填入的数 正整数集合 { … } __________________________________ 负整数集合 { … } __________________________________ 正分数集合 { … } __________________________________ 负分数集合 { … } __________________________________ 非负数集合 { … } __________________________________ 例 3【小初衔接 · 思维拓展】 小明说：“因为整数比分数大，所以所有整数都比分数大。” 你同意吗？请举例说明。 答：______________________________________________________________ 　　 ______________________________________________________________ 举例：____________________________________________________________ 六、当堂检测（8 分钟，独立完成） 1.（基础） 在 -6，0，，3.5，，2024，-0.01 这些数中： 1. 整数有：____________________________________________ 1. 分数有：____________________________________________ 1. 正有理数有：________________________________________ 1. 负有理数有：________________________________________ 2.（辨析） 下列说法正确的是（ ） A. 正整数、正分数统称为正有理数 B. 0 是最小的有理数 C. 有理数分为正有理数和负有理数 D. 一个有理数不是整数就是负数 3.（分类） 把下列各数分别填入相应集合的括号内： , 0, 3.14, -5, 2024, -0.333…, π, 60% （1）整数集合：{ … } （2）分数集合：{ … } （3）非正数集合：{ … } （4）有理数集合：{ … } 4.（思考） 有一个数既不是正数也不是负数，且它是整数，这个数是 __________。 七、课堂小结（思维导图） ┌── 正整数 (1, 2, 3, …) ┌── 整数 ┤── 0 │ └── 负整数 (-1, -2, -3, …) 有理数 ────┤ │ ┌── 正分数 (1/2, 0.3, 5%, …) └── 分数 ┤ └── 负分数 (-1/3, -0.25, …) —————————— 另一种分类 —————————— ┌── 正有理数 ── 正整数 + 正分数 │ 有理数 ────┤── 0（分界点，不正不负） │ └── 负有理数 ── 负整数 + 负分数 🎯 三条核心结论： 1. 概念：能写成分数的数就是有理数。 1. 分类：两种分法都要会，注意 0 的地位。 1. 思想：分类讨论 —— 不重、不漏、同标准。 八、分层作业 🅰️ 基础巩固（必做） 1.【判断题】 下列说法正确的打 √，错误的打 ×，并简要说明理由。 （1）0 是最小的自然数，也是最小的有理数。 （ ） 理由：____________________________________________________ （2）一个数不是正数就是负数。 （ ） 理由：____________________________________________________ （3）3.14 是有理数，π 也是有理数。 （ ） 理由：____________________________________________________ （4）负整数和负分数统称为负有理数。 （ ） 理由：____________________________________________________ （5）小数都是有理数。 （ ） 理由：____________________________________________________ 2.【填空题】 （1）在数 -3, 5, 0, , 0.25, π, -100, 1.7 中，正有理数有 ____ 个（分别是 ____________），负有理数有 ____ 个（分别是 ____________）。 （2）既是分数又是负数的数叫 __________；既不是正数也不是负数的整数是 ________。 （3）大于 -4 且小于 3 的所有整数是 ________________________________。 3.【分类填空题】 把下列各数填入相应的集合： -12, , 0, -0.5, 2024, -π, , 25%, -8.333… 集 合 填入的数 正整数集合 ________________________________ 负整数集合 ________________________________ 正分数集合 ________________________________ 负分数集合 ________________________________ 非有理数 ________________________________ 🅱️ 能力提升（选做） 4.【条件分析】 已知 a 是最小的正整数，b 是既不是正数也不是负数的有理数，c 是最大的负整数。请写出： (1) a = ______，b = ______，c = ______ (2) a + b + c = ______ 5.【思维挑战】 下列小数是不是有理数？若是，请把它化成分数的形式： （1）0.6 = ________________________________________________ （2）-0.888… = ________________________________________________ （3）1.010010001…（每两个 1 之间 0 的个数依次多 1 个） = ________________________________________________ （4）3.14 = ________________________________________________ 🅲 拓展探究（学有余力） 6.【数学史】 查一查：“无理数” 是怎么被发现的？古希腊数学家 希帕索斯 和 √2 之间发生了什么故事？请用 3~5 句话写出你的调查报告，下节课分享。 7.【创意实践】 请你用自己喜欢的方式（可加插图、颜色、生活比喻）画一张 “有理数分类思维导图”，画在 A4 白纸上，下节课投影展示。 九、学习反思（课后自评） 反思项目 完全掌握 ☺ 基本掌握 😐 还需努力 😟 能说出有理数的定义 □ □ □ 能进行有理数的两种分类 □ □ □ 能判断 0、小数、百分数是否是有理数 □ □ □ 理解分类讨论的思想 □ □ □ 我的困惑： _______________________________________________________________ 　　　　　 _______________________________________________________________ 我的收获： _______________________________________________________________ 　　　　　 _______________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.1 有理数的概念和分类 —— 导 学 案 —— 【 教师版 】 一、学习目标 【知识与技能】 1. 理解有理数的概念，知道有理数可以写成分数 p/q （p、q 为整数，且 q ≠ 0）的形式。 1. 掌握有理数的两种分类方法（按定义分类、按正负性分类），能够把给定的数正确归类。 【过程与方法】 1. 经历“从小学的数 → 初中的数”的扩充过程，体会数系扩充的必要性。 1. 在对有理数分类的探索中，感悟分类讨论的数学思想，学会做到不重不漏。 【情感态度与价值观】 1. 感受数学与生活的紧密联系，增强用数学眼光观察世界的意识。 二、学习重难点 重 点 有理数的概念；对有理数进行正确分类。 难 点 分类的标准 —— 理解 “分类不同、结果不同，但都必须不重不漏”。 易 错 点 ① 0 的归属；② 小数、百分数是否是有理数；③ 分数与整数的关系；④ π 是否是有理数。 三、小初衔接 · 知识回顾（自主预习 5 分钟） 🔍 回顾一：小学里我们学过哪些数？ 请把你在小学阶段学过的数填到下表对应的框里，每类至少举 2 个例子： 数的名称 举 例 自然数 0，1，2，3，…… 正整数 1，2，3，…（自然数中除 0 外的部分） 分数（真分数、假分数） …… 小数（有限、无限循环） 0.5，1.25，0.333…，…… 百分数 20%，50%，100%，…… 🔍 回顾二：上一节 1.1 我们又新认识了什么数？ 在 1.1 节中，我们通过 “零上温度与零下温度” “收入与支出” “向东与向西” 等具有相反意义的量，引入了一种新的数 —— 负 数 （在正数前加上 “-” 号得到）。 一句话小结：小学里我们只跟 “0 和正数” 打交道；进入初中，我们把数的家族扩大，把 负数 也请了进来。 四、新知探究 探究一：有理数的概念（10 分钟） 📋 情境导入 某地冬季某天的天气预报：最高气温 6 ℃，最低气温 -10 ℃，平均气温 0 ℃。 同一天北京的气温为 -3 ℃ ~ 7 ℃。 请把上面出现的所有数写下来： 6， -10， 0， -3， 7 🧠 探究活动 1：把整数写成分数 问题：整数能不能写成分数的形式？请试一试： 5 = -3 = 0 = 结论：任何整数都可以写成 分母为 1、分子为该整数 的分数形式。 🧠 探究活动 2：把小数写成分数 问题：下列小数能不能化成分数？ 0.3 = -1.25 = 0.333…（循环节 3）= 结论：有限小数 和 无限循环小数 都可以化成分数。 💡 有理数的定义 可以写成 分数形式的数，统称为 有理数。 换句话说：整数 和 分数 统称为 有理数。 ⚠️ 特别提醒： 1. 无限不循环小数（如 π = 3.14159265…、 = 1.41421…） 不能 写成分数形式，不是 有理数（初二会学，这类数叫 无理数）。 1. 百分数 本质上就是分数（如 20% = ），所以百分数 也是 有理数。 探究二：有理数的分类（15 分钟） 给你一组数，请你先来给它们 “分一分家”： 1, -7, 5.7, 0, -, 13, -10, 0.666…, -3, ▶ 分类法一：按 “定义” 分类（整数 & 分数） ┌── 正整数：如 1， 13 ┌── 整数 ┤── 0 │ └── 负整数：如 -7， -10， -3 有理数 ──┤ │ ┌── 正分数：如 5.7， 0.666…， └── 分数 ┤ └── 负分数：如 - ▶ 分类法二：按 “正负性” 分类（正、0、负） ┌── 正整数 ┌── 正有理数 ────┤ │ └── 正分数 有理数 ──┤── 0（不正不负） │ ┌── 负整数 └── 负有理数 ────┤ └── 负分数 🧭 关于 “0” 的地位（小初衔接关键点！） 关于 0 结论 0 是自然数吗？ ✅ 是 0 是整数吗？ ✅ 是 0 是有理数吗？ ✅ 是 0 是正数吗？ ❌ 不是 0 是负数吗？ ❌ 不是 💡 一句话记忆：0 是正数和负数的 分界点，是 “整数家族” 的成员，但 既不是正数也不是负数。 🎯 分类的关键思想 —— 分类讨论 进行分类时，必须做到： 1. 不重复：一个数只能属于一类； 1. 不遗漏：所有的数都要有归属； 1. 同一标准：一次分类只能按一个标准进行。 五、典例精讲 例 1【概念辨析】 判断下列说法是否正确，并说明理由： 1. （1）有理数就是正数和负数。（ ） 1. （2）0 不是有理数。（ ） 1. （3）-1.5 不是分数，所以不是有理数。（ ） 1. （4）π 是分数，所以是有理数。（ ） 【解析】 1. （1）❌ 漏了 0。有理数 = 正有理数 + 0 + 负有理数。 1. （2）❌ 0 是整数，属于有理数。 1. （3）❌ -1.5 = -，可以写成分数，所以是有理数（负分数）。 1. （4）❌ π = 3.14159… 是 无限不循环小数，不能写成分数，不是有理数。 例 2【分类填空】 把下列各数填入相应的集合内： -8, , 0.555…, 0, 3.14, , , -100, 25% 集 合 填入的数 正整数集合 { … } （无） 负整数集合 { … } -8， -100 正分数集合 { … } ， 0.555…， 3.14， ， 25% 负分数集合 { … } 非负数集合 { … } ， 0.555…， 0， 3.14，， 25% 【提醒】① 0.555… 是无限循环小数，属于正分数；② “非负数” = 正数 + 0，所以要把 0 也算进去；③ 同一个数可以属于多个集合。 例 3【小初衔接 · 思维拓展】 小明说：“因为整数比分数大，所以所有整数都比分数大。” 你同意吗？请举例说明。 【解析】 ❌ 不同意。 1. 小学里我们只学过 0 和正数，所以 “整数比分数大” 曾经是对的（如 3 > 0.5）。 1. 但 引入负数后，这句话就错了！例如：-5 是整数， 是分数，但 -5 < 。 🎯 教学要点：小学的很多结论都是在 “正数世界” 里成立的。进入初中后，加入负数，很多结论需要 重新审视。 六、当堂检测（8 分钟，独立完成） 1.（基础） 在 -6，0，，3.5，，2024，-0.01 这些数中： 1. 整数有：-6，0，2024 1. 分数有：，3.5，，-0.01 1. 正有理数有：，3.5，2024 1. 负有理数有：-6，，-0.01 2.（辨析） 下列说法正确的是（ A ） A. 正整数、正分数统称为正有理数 B. 0 是最小的有理数 C. 有理数分为正有理数和负有理数 D. 一个有理数不是整数就是负数 【解析】 选 A。B 错，有理数没有最小值；C 错，漏掉了 0；D 错，如 既不是整数也不是负数。 3.（分类） 把下列各数分别填入相应集合的括号内： , 0, 3.14, -5, 2024, -0.333…, π, 60% （1）整数集合：{ 0，-5，2024 … } （2）分数集合：{ ，3.14，-0.333…，60% … } （3）非正数集合：{ 0，-5，，-0.333… … } （4）有理数集合：{ 除 π 外全部 … } 4.（思考） 有一个数既不是正数也不是负数，且它是整数，这个数是 0 。 七、课堂小结（思维导图） ┌── 正整数 (1, 2, 3, …) ┌── 整数 ┤── 0 │ └── 负整数 (-1, -2, -3, …) 有理数 ────┤ │ ┌── 正分数 (, 0.3, 5%, …) └── 分数 ┤ └── 负分数 (, -0.25, …) —————————— 另一种分类 —————————— ┌── 正有理数 ── 正整数 + 正分数 │ 有理数 ────┤── 0（分界点，不正不负） │ └── 负有理数 ── 负整数 + 负分数 🎯 三条核心结论： 1. 概念：能写成分数的数就是有理数。 1. 分类：两种分法都要会，注意 0 的地位。 1. 思想：分类讨论 —— 不重、不漏、同标准。 八、分层作业 🅰️ 基础巩固（必做） 1.【判断题】 下列说法正确的打 √，错误的打 ×，并简要说明理由。 （1）0 是最小的自然数，也是最小的有理数。 （ × ） 理由：0 是最小的自然数，但有理数没有最小值（可以取任意负整数）。 （2）一个数不是正数就是负数。 （ × ） 理由：遗漏了 0，0 既不是正数也不是负数。 （3）3.14 是有理数，π 也是有理数。 （ × ） 理由：3.14 是有限小数（可化为 314/100），是有理数；π 是无限不循环小数，不是有理数。 （4）负整数和负分数统称为负有理数。 （ √ ） 理由：由分类法二直接得到。 （5）小数都是有理数。 （ × ） 理由：有限小数、无限循环小数是有理数；无限不循环小数（如 π、√2）不是有理数。 2.【填空题】 （1）在数 -3, 5, 0, , 0.25, π, -100, 1.7 中，正有理数有 3 个（分别是 5、0.25、1.7），负有理数有 3 个（分别是 -3、、-100）。 （2）既是分数又是负数的数叫 负分数；既不是正数也不是负数的整数是 0。 （3）大于 -4 且小于 3 的所有整数是 -3, -2, -1, 0, 1, 2。 3.【分类填空题】 把下列各数填入相应的集合： -12, , 0, -0.5, 2024, -π, , 25%, -8.333… 集 合 填入的数 正整数集合 2024 负整数集合 -12 正分数集合 ，, 25% 负分数集合 -0.5， -8.333… 非有理数 -π（无限不循环小数） 🅱️ 能力提升（选做） 4.【条件分析】 已知 a 是最小的正整数，b 是既不是正数也不是负数的有理数，c 是最大的负整数。请写出： (1) a = ______，b = ______，c = ______ (2) a + b + c = ______ 【解析】 1. 最小的正整数是 a = 1；既不是正数也不是负数的有理数是 b = 0；最大的负整数是 c = -1。 1. 所以 a + b + c = 1 + 0 + (-1) = 0。 💡 易错提醒：最大的负整数是 -1（不是 0，也不是 -∞），最小的正整数是 1；这两个是常考死记结论。 5.【思维挑战】 下列小数是不是有理数？若是，请把它化成分数的形式 （1）0.6 ⇒ 是；0.6 = （2）-0.888… ⇒ 是；循环小数可以化为分数：-0.888… = - （3）1.010010001…（每两个 1 之间 0 的个数依次多 1 个） ⇒ 不是；这是无限不循环小数，不能化成分数 （4）3.14 ⇒ 是；3.14 = 🅲 拓展探究（学有余力） 6.【数学史】 查一查：“无理数” 是怎么被发现的？古希腊数学家 希帕索斯 和 √2 之间发生了什么故事？请用 3~5 句话写出你的调查报告，下节课分享。 【参考背景】 1. 公元前 5 世纪，古希腊毕达哥拉斯学派主张 “万物皆数”，认为世上一切数都可以表示成整数之比（即有理数）。 1. 学派成员希帕索斯发现：正方形的对角线与边长之比（）无法用两个整数的比表示 —— 这打破了 “万物皆数” 的信条。 1. 传说希帕索斯因此被投入大海，但 √2 这类 “无理数” 的存在从此不能再被回避，最终成为现代数学的重要基石。 🎯 教学价值：让学生感受数学发展的曲折，为初二学习无理数、实数做知识与情感的双重铺垫。 7.【创意实践】 请你用自己喜欢的方式（可加插图、颜色、生活比喻）画一张 “有理数分类思维导图”，画在 A4 白纸上，下节课投影展示。 【评价维度】 1. ① 分类是否 不重不漏；② 是否体现两种分类法；③ 0 的位置是否正确；④ 创意与美感。 九、学习反思（课后自评） 反思项目 完全掌握 ☺ 基本掌握 😐 还需努力 😟 能说出有理数的定义 □ □ □ 能进行有理数的两种分类 □ □ □ 能判断 0、小数、百分数是否是有理数 □ □ □ 理解分类讨论的思想 □ □ □ 我的困惑： _______________________________________________________________ 　　　　　 _______________________________________________________________ 我的收获： _______________________________________________________________ 　　　　　 _______________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $