精品解析：山东省威海市威海临港经济技术开发区2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

2025-2026学年第二学期期终质量检测 初三数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．下列各题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分．） 1. 下列各式，化简后能与合并的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把选项中的二次根式化简后，与是同类二次根式，即可合并． 【详解】解：，与不能合并，故选项A不符合题意； ，与能合并，故选项B符合题意； ，与不能合并，故选项C不符合题意； 与不能合并，故选项D不符合题意． 2. 关于的方程，下列说法错误的是（ ） A. 二次项系数为1 B. 一次项系数为 C. 常数项为0 D. 它是一元二次方程 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：，其中叫二次项系数，叫一次项系数，叫常数项．根据一元二次方程的一般形式“一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项”进行判断即可得． 【详解】解：方程是一元二次方程，二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 则说法错误的是C， 故选：C． 3. 若，且b是a、c的比例中项，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例中项的概念可得，由此即可求得答案． 【详解】解：∵b是a、c的比例中项， ∴， ∴． 4. 如图．在的两边上分别截取，使；分别以点A、B为圆心．长为半径作弧，两弧交于点C；连接．若，四边形的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图过程可得 ，从而判定四边形  为菱形，利用菱形面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【详解】解：由作图可知，，．  ， ． 四边形是菱形． 菱形的面积为，， ，即， 解得． 5. 根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A. 方程有一根为1 B. 方程有一根的取值范围是 C. 方程有一根为 D. 方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵当时，， ∴方程有一根为，故A正确，不符合题意． ∵当时，，当时，， ∴在之间存在使，即方程有一根的取值范围是，故B正确，不符合题意． 由上述推导仅能得到根在范围内，无法确定根一定是，故C错误，符合题意． ∵方程已有一根为，另一根在，两根不相等， ∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意． 6. 下列各数中，与互为倒数的是（ ） A. B. 2 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倒数定义得到所求表达式，再利用平方差公式化简即可得到结果． 【详解】解：乘积为的两个数互为倒数， 设的倒数为， ，  对表达式分母有理化，将分子分母同乘， 得  ． 7. 如图，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 8. 制作一块的长方形版面需付制作费用300元，假设每平方米版面的制作费用相同，如果把版面边长均扩大为原来的2倍，则需的付制作费用为（ ） A. 600元 B. 900元 C. 1200元 D. 2700元 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似多边形的性质可得扩大后版面面积为原来的倍，即可求解． 【详解】解：长方形版面边长均扩大为原来的2倍，则扩大后长方形与原长方形相似， ∴扩大后版面面积为原来的倍， 原来的制作费用300元，则扩大后付制作费用为（元）． 9. 小杭在复习几种特殊平行四边形关系时整理了如下的思维导图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）两边相互垂直 B. （2）有两条边相等 C. （3）对角线平分内角 D. （4）有三个角相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形，菱形，正方形的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：A、两边相互垂直可得一个内角为直角，有一个角是直角的平行四边形是矩形， （1）处填两边相互垂直的平行四边形是矩形是正确的，故该选项不符合题意； B、一组邻边相等的矩形是正方形， （2）处填有两条边相等的矩形是正方形是错误的，故该选项符合题意； C、如图， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． （3）处填对角线平分内角的平行四边形是菱形是正确的，故该选项不符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形， ∴（4）处填三个角相等的菱形是正方形是正确的，故该选项不符合题意． 10. 如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标注视力表中①号“E”字的高度BC长为b，当测试距离为3m时，②号“E”字的高度DF长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．只要求填出最后结果．） 11. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解. 【详解】2-=. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键． 12. 关于的一元二次方程的其中一个根是，则另一个根______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和的等式，代入已知根即可求解另一个根． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数， 根据根与系数的关系可得：， 将代入等式得：， 解得：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，若在线段上存在一点D，使得与是位似图形，则点D的横坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可知，，，，再根据与是位似图形，此时，则，求出可得答案． 【详解】解：由题可知，，， ∴． ∵与是位似图形，只有一种情况， 此时， ∴， ∴， 即， ∴， 所以点D的横坐标为． 14. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7，则的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据刻度尺刻度求出的长度，再利用直角三角形斜边上的中线的性质求出的长度． 【详解】解：由题意可知，，，． ∴， 在中，，是斜边上的中线， ． 15. 音乐家发现，当音乐作品的高潮部分位于全曲的黄金分割点位置时，往往能呈现最和谐的艺术效果．已知《青藏高原》共27小节，其高潮位于后半部分，则按照黄金分割比例，理论上高潮应在第___________小节附近．（计算结果四舍五入保留整数） 【答案】 【解析】 【分析】根据高潮位于全曲后半部分的黄金分割点，用总小节数乘黄金分割比，计算后四舍五入即可得到结果． 【详解】解：黄金分割比为， 由题意可得：． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）比较大小：与 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， 又，且，， ． 17. 解决下列问题： （1）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）以下是小明在解方程时的解答过程． 解：原方程可化为， 两边同除以，得： 解得：． 小明的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】（1）； （2）小明的解答有错误， 正确解答过程如下： 原方程可化为， 移项得， 提取公因式得， 因此或， 解得，． 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴． 解得， ∴m的取值范围是； 【小问2详解】 略 18. 一天晚上，小刚在公园练习单杠时，想利用灯光下的影子长来测量路灯（M点）距地面的高度．如图，单杠与水平地面平行，在路灯照射下，单杠在水平地面上形成的影子为（不计折射），．测得，，单杠距离水平地面的高度．已知、均与水平地面垂直，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小刚计算路灯（M点）距水平地面的距离． 【答案】路灯距水平地面的距离为． 【解析】 【分析】由相似三角形的判定和性质得出，再证明，由相似三角形的性质得出，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 答：路灯距水平地面的距离为． 19. 【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在菱形纸板上裁剪出一对“仿古三角旗”（阴影部分），其中点，分别在，上，连结交于点． 【数学理解】 （1）这对“仿古三角旗”是相似的，请写出的证明过程． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似即可判断； （2）根据菱形的性质和已知可得，，结合（1）中，可得，由此即可求解． 【小问1详解】 解：∵在菱形中，， ∴， 【小问2详解】 解：∵， ∴，， 又∵在菱形中，， ∴， ， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴． 20. 列方程（组）解应用题 端午节是中国传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗．在端午节来临之际，某超市准备了一批粽子，每盒进价元，售价元，每天可售出盒．超市为了让利顾客，决定降价销售．根据市场调研，若每盒售价每降价元，每天销量将增加盒，若要实现每天销售利润元，则每盒应降价多少元销售？ 【答案】每盒应降价元销售 【解析】 【分析】设每盒降价元，则每盒利润为元，每天销量为盒．根据“每天销售利润=单盒利润日销量”列方程求解，注意检验解的合理性． 【详解】解：设每盒降价元，则每盒售价为元，每盒利润为元，每天销量为盒， 由题意得：， 解得：，， 为降价金额，， 不合题意，舍去， ， 答：每盒应降价元销售． 21. 如图，在等腰直角三角形中，，是边上的中线，以为邻边作． （1）求证：为正方形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）因为等腰直角三角形中，是斜边上的中线，所以先利用等腰直角三角形三线合一的性质，得出与的位置关系和数量关系。因为四边形是平行四边形，且已得出，所以根据正方形的判定定理，一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，可完成证明． （2）先根据的长度和等腰直角三角形的性质，求出的长度，进而得到正方形的边长。然后通过分析图形中线段的位置和数量关系，利用勾股定理来计算的长度． 【小问1详解】 证明：∵为等腰直角三角形，是边上的中线， ∴， ∴为矩形． ∵， ∴矩形为正方形． 【小问2详解】 解：∵为等腰直角三角形，，， ∴． ∴． ∵四边形为正方形， ∴，． ∴． 22. 在学习了特殊四边形的相关知识后，小明进行了拓展性研究： 如图，在四边形中，． （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的角平分线，交于点E；过点C作的垂线，垂足为O，交直线于点F，连接． （2）补全证明： 求证：四边形是菱形． 证明：， ， 平分， ， ∴① ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴② ， ∴四边形是平行四边形， 又∵③ ， ∴平行四边形是菱形． 【答案】（1）如图所示，即为的平分线，，的延长线交于点F； （2） ①；②；③． 【解析】 【分析】（1）根据尺规作角平分线，尺规作垂线的方法作图即可； （2）根据平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边得到，再证明，得到，则四边形是平行四边形，结合一组邻边相等的平行四边形是菱形即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 在数学综合实践课上，同学们将正方形纸片按照图1所示的方式剪成4块小纸片（其中），进行拼图操作． 【探究一】 甲同学将一张边长为8的正方形纸片按的尺寸剪成4块，按图2所示重新拼合．这4块纸片恰好能拼成一个长为13，宽为5的矩形吗？ 甲同学经过操作和思考后，用反证法证实了图2不是矩形，他的理由如下： 如图3，过点作，垂足为F，假设图2是矩形，那么图2的右下角就应是直角，于是，在图3中，有，因为，这样． 又因为，所以________①，可得________②，即，这是不可能的，因而图2不是矩形． 事实上，若按照甲同学的方案拼成的一个矩形的话，这个矩形内部是有空隙的． 在甲同学的证明过程中，①处填写的一组相似三角形是________； ②处的比例式是________． 【探究二】 如图4，乙同学也将一张边长为8的正方形纸片用相同的方法，按一定的尺寸剪成4块进行操作．如图5，在拼图时让点在一条直线上，点也在一条直线上，这样拼成了一个矩形，他发现这个矩形内部重叠的纸片的面积为1． 根据乙同学的操作，求剪开的三角形纸片的短边的长． 【探究三】 丙同学将正方形纸片按照图1所示的方式剪成的4块小纸片，用这4块小纸片恰能拼成一个矩形，且矩形内部无空隙也无重叠． 在丙同学的操作中，求的值． 【答案】探究一：① ，②；探究二：；探究三： 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，反证法，一元二次方程的应用，正方形的性质等知识点； 探究一：结合图形根据题目推理过程上下逻辑关系填空即可； 探究二：根据矩形面积为正方形面积减去重叠部分面积列方程求解即可； 探究三：参考探究二的过程和图形，矩形面积等于原正方形面积得到关于，的方程求解即可． 【详解】解：探究一：如图3，过点作，垂足为F，假设图2是矩形，那么图2的右下角就应是直角，于是，在图3中，有， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 由题意可得，，，， ∴，这是不可能的，因而图2不是矩形． ∴在甲同学的证明过程中，①处填写的一组相似三角形是； ②处的比例式是． 故答案为：，； 探究二：由题意可得， ∴， ∵矩形面积为正方形面积减去重叠部分面积， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴； 探究三：∵丙同学将正方形纸片按照图1所示的方式剪成的4块小纸片，用这4块小纸片帢能拼成一个矩形，且矩形内部无空隙也无重叠，如图： ∴矩形的面积等于正方形的面积， 由题意可得，，， ∴矩形边长， ∴由矩形的面积等于正方形的面积可得， 整理得， 解得， ∵，为正数， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期终质量检测 初三数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．下列各题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分．） 1. 下列各式，化简后能与合并的是（） A. B. C. D. 2. 关于的方程，下列说法错误的是（ ） A. 二次项系数为1 B. 一次项系数为 C. 常数项为0 D. 它是一元二次方程 3. 若，且b是a、c的比例中项，那么等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图．在的两边上分别截取，使；分别以点A、B为圆心．长为半径作弧，两弧交于点C；连接．若，四边形的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A. 方程有一根为1 B. 方程有一根的取值范围是 C. 方程有一根为 D. 方程有两个不相等的实数根 6. 下列各数中，与互为倒数的是（ ） A. B. 2 C. 5 D. 7. 如图，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 制作一块的长方形版面需付制作费用300元，假设每平方米版面的制作费用相同，如果把版面边长均扩大为原来的2倍，则需的付制作费用为（ ） A. 600元 B. 900元 C. 1200元 D. 2700元 9. 小杭在复习几种特殊平行四边形关系时整理了如下的思维导图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）两边相互垂直 B. （2）有两条边相等 C. （3）对角线平分内角 D. （4）有三个角相等 10. 如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标注视力表中①号“E”字的高度BC长为b，当测试距离为3m时，②号“E”字的高度DF长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．只要求填出最后结果．） 11. 计算：_______． 12. 关于的一元二次方程的其中一个根是，则另一个根______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，若在线段上存在一点D，使得与是位似图形，则点D的横坐标为______． 14. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7，则的长度为_________． 15. 音乐家发现，当音乐作品的高潮部分位于全曲的黄金分割点位置时，往往能呈现最和谐的艺术效果．已知《青藏高原》共27小节，其高潮位于后半部分，则按照黄金分割比例，理论上高潮应在第___________小节附近．（计算结果四舍五入保留整数） 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）比较大小：与 17. 解决下列问题： （1）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）以下是小明在解方程时的解答过程． 解：原方程可化为， 两边同除以，得： 解得：． 小明的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 18. 一天晚上，小刚在公园练习单杠时，想利用灯光下的影子长来测量路灯（M点）距地面的高度．如图，单杠与水平地面平行，在路灯照射下，单杠在水平地面上形成的影子为（不计折射），．测得，，单杠距离水平地面的高度．已知、均与水平地面垂直，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小刚计算路灯（M点）距水平地面的距离． 19. 【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在菱形纸板上裁剪出一对“仿古三角旗”（阴影部分），其中点，分别在，上，连结交于点． 【数学理解】 （1）这对“仿古三角旗”是相似的，请写出的证明过程． （2）若，，求的长． 20. 列方程（组）解应用题 端午节是中国传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗．在端午节来临之际，某超市准备了一批粽子，每盒进价元，售价元，每天可售出盒．超市为了让利顾客，决定降价销售．根据市场调研，若每盒售价每降价元，每天销量将增加盒，若要实现每天销售利润元，则每盒应降价多少元销售？ 21. 如图，在等腰直角三角形中，，是边上的中线，以为邻边作． （1）求证：为正方形； （2）连接，若，求的长． 22. 在学习了特殊四边形的相关知识后，小明进行了拓展性研究： 如图，在四边形中，． （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的角平分线，交于点E；过点C作的垂线，垂足为O，交直线于点F，连接． （2）补全证明： 求证：四边形是菱形． 证明：， ， 平分， ， ∴① ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴② ， ∴四边形是平行四边形， 又∵③ ， ∴平行四边形是菱形． 23. 在数学综合实践课上，同学们将正方形纸片按照图1所示的方式剪成4块小纸片（其中），进行拼图操作． 【探究一】 甲同学将一张边长为8的正方形纸片按的尺寸剪成4块，按图2所示重新拼合．这4块纸片恰好能拼成一个长为13，宽为5的矩形吗？ 甲同学经过操作和思考后，用反证法证实了图2不是矩形，他的理由如下： 如图3，过点作，垂足为F，假设图2是矩形，那么图2的右下角就应是直角，于是，在图3中，有，因为，这样． 又因为，所以________①，可得________②，即，这是不可能的，因而图2不是矩形． 事实上，若按照甲同学的方案拼成的一个矩形的话，这个矩形内部是有空隙的． 在甲同学的证明过程中，①处填写的一组相似三角形是________； ②处的比例式是________． 【探究二】 如图4，乙同学也将一张边长为8的正方形纸片用相同的方法，按一定的尺寸剪成4块进行操作．如图5，在拼图时让点在一条直线上，点也在一条直线上，这样拼成了一个矩形，他发现这个矩形内部重叠的纸片的面积为1． 根据乙同学的操作，求剪开的三角形纸片的短边的长． 【探究三】 丙同学将正方形纸片按照图1所示的方式剪成的4块小纸片，用这4块小纸片恰能拼成一个矩形，且矩形内部无空隙也无重叠． 在丙同学的操作中，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $