山东潍坊市寿光市第一中学2025-2026学年高二下学期第三次段测数学试题

2025-2026学年下学期高二年级第三次段测 数学学科试题 2026.06 命题人：高二数学组 班级： 姓名： 考号： 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的) 1.下列求导运算正确的是 A.(x2)=x B.5x)=1 C.(e)=e D.(sinx)'=-cosx 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2-a+a。=4,则S=() A.36 B.27 C.45 D.72 3.若(1+x(a+x的展开式的各项系数和为64，则a的值为() A.-1 B.2 C.2 D.1 4.某校组织学生选报数学建模、物理实验两门选修课，规定每位学生至少选报一门已知选报数学建模 的学生占比60%，选报物理实验的学生占比70%，现在等可能的从该校选取一名学生，设事件A为“该学 生选报数学建模”，事件B为“该学生选报物理实验”，事件C为“该学生两门选修课都选报”，则下列结 论错误的是（) A.PC=0.3 B.A与B不互斥 C.P(AUB)=1 D.A与C相互独立 5.已知数列a}满足4=1，-中2则a)的前7项和为(. A.名 B.} c.7 D.2 6.甲、乙、丙、丁4位同学进行数学建模竞赛（无并列名次），赛后甲、乙预估自己成绩，甲说：“我 不可能得到冠军”，乙说：“我应该不会是最差的”，假如两人都猜对了，那么乙得冠军的概率为（) A号 B. c. D.} 7.若函数f(x)=2x2-ax+2lnx在(1,2)上有最小值，则实数a的取值范围为（) A.(0,3) B.(6,9) c.(4W2,+o D.（-o,-42)u(42,+∞) 8.剪刀石头布又称“猜丁壳”，古老而简单，游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头，三者相 互制约，因此不论平局几次，总会有决出胜负的时候.现A,，B两位同学各有3张卡片，以“剪刀、石 头、布”的形式进行游戏：输方将给赢方一张卡片，平局互不给卡片，直至某人赢得所有卡片，游戏终 第1页共4页 只▣ a^“"1.%。a 止，若4，日一局各自赢的概率都是子，平局的概率为}，各局输康互不影响，则恰好5局时游我终 止的概率是（) A易 B c品 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.设数列{a}的前n项和为Sn,Sn=33n-n2,则下列说法正确的是（) A.{A}是等差数列 B.S,S6-S,S,-S6成等差数列，公差为-9 C.当n=16或n=17.时，Sn取得最大值D.Sn20时，n的最大值为32 10.下列说法正确的是（) A.某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变。 B.若随机变量x服从正态分布N3,o2),且P(X≤4)=0.7，则P(3<X<4)=0.2 C.甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要 有人去，则不同游览方案的种数为65. D.对具有线性相关关系的变量x,y,其经验回归方程为y=0.3x-m,若样本数据的中心点为 (m,2.8),则实数m的值是4. 11.已知函数f()=(2x2-3x)e,则下列结论正确的是（) A.函数f(x)的最小值为-e B.函数∫(x)有2个极值点 c,若孟数)在（上是减通数，则实数口的取值范是（引 3 D.函数y=3[f(x)]+2f(x)-1有5个零点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 2.(e+2- 的展开式中常数项为 ·(有数字填写答案) 13.设风为各项均为正数的等比数列{0，}的前n项和，若24，=4，-4，则是- S 14.已知函数f(x)=lnx+二+am,x∈(0，+o),若a=0,则f(x)的最小值为 若∫(x)在 [2,+∞)上为单调函数，则a的取值范围为 第2页共4页 a^“"1.%o¤ 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤.) 15.(13分)设等差数列{8}的前n项和为Sn,且4=2，，=15. (1)求{a,}的通项公式： (②)设b=2+a,求数列{bn}的前n项和T 16.(15分)设函数f(x)=(x2+a心+b)e,(a,b∈R),曲线y=f(x)在点P(0,∫(o)处的切线方程为 6x+y+3=0. (1)求ab的值： (2)求函数∫(x)的极值. 17.（15分)某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他 们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小 [0,2) [2,2.5) [25,3) [3,3.5) [3.5,4] 时) 18 人数（人) 33 42 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响. (1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率： (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内 完成各科作业，求X的分布列： (3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有Y人可以在3小时内完成各科作业， 求Y的分布列和方差D(). 第3页共4页 a^“x"1%oa 18.(17分)已知函数∫(x)=e-ax-1(aeR) (I)讨论∫(x)的单调性： ②)当a>0时，若对任意x>0,f>号，求a的取值范围： 证明：对任意meN,。名司k1n 19.（17分)一盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球从盒子中一次随 机取出两个球，如果取出的球是黑球，则将它放回盒子中；如果取出的球是红球，则不放回盒子中， 另补相同数量的黑球放入盒子中，重复进行上述操作次后，盒子中黑球的个数记为X.: (1)求恰好2次操作后，盒子中小球的颜色全部相同的概率： (2)求随机变量X2的分布列； 3)证明：X)<5: 第4页共4页 器 al“"1%o¤(立乙#)亚↓些斗旺常去语 爹要因*及出量交日量R画番出时套习■段田目■老孕静 狮主常显6再百围项继销日■甲图”号计中所☒日切目日号丑睡 生影县6剪习名U留到量甲m“以高习避县细目图号#坠 薹 篓 ■ 清在各尽日的谷题区域内作谷，每由服色矩用边凰佩定区螺的普察无效 在各县目的县区复内作年，出见边题风定区城的乏效 2025-2026学年下学期高二年级第三次段测 15.(13分) 16.(15分) 得 分 数学学科试题答题卡 2026.06 准考证 注意事项 弯生答圆前、在规定的地方准 [O][O)[0][O][O][O)[0 [0[O] 确填写考号和姓名。 四 2、 选择圆作答时，须用2B铅龟填 2I22IEL2I包2I2) 涂，如对答案进行修政，用棉 330e83003 A[④I4)A 皮轻擦干冲，注意不要报破答 )囹))II) 愿程， ggg(回 3、 在答题鲁对应圆号指定的容题 ☒U☑☑☑四可☑ 区域内答题，切不可超出黑色 图8)⑧周⑧周8)88)8 边柩，超出展色边福的答案无 ])][)][ 效 选弃题（请用2B铅笔填涂，单选每题5分，多选每题6分，共58分） 1、[AJ[B][C][D] 5、[AJ[IcJD] 9、IA][Ic]ID] 2、IA][)Ic][D] 6、IAJI)Ic]ID] 10、【A][8)[c][D] 3、[A]IBIc]ID1 7、IA][BIc]ID] 11、【A][B[C][D] 4、[A][B]IC]ID] 8、IAJ[)IC]ID] 填空题.【每题5分】(15分) 得 分 ■ ■ 左各日的区内作出色形边定区的答无 在各因日的容区域内作，团出国矩边限定区城的案无 镇在各则目的容因区做内作容，知出■矩形边风定区城的容塞无效 17.(15分) 18.(17分) 袋 19.(17分) 得 ■ 分 分 分 ■ 通在各息目的苦是区饭内作香，团出居合矩形边低限定区城的苍餐无效 谓在各目目的答因区域内作者，园白鼠色师形边祖限定区城的答高无效 请在各眉目的各酒区城内作容、鱼出■白矩形边温限定区碱的器案无效 处手各题卡第2真（共2页）2025-2026学年下学期高二年级第三次段测 数学试题答案 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的.) 1B【详解1因为W=2x,6=6ox,(r=-g,a5对=立×5= x,所以选B. 2.A【详解】设等差数列{a}的公差为d,a-a+a。=(4+d)-(4+2d)+(a+5d=a+4d=a,=4, 3,=9(4+al=90,=36 2 3D【详解】由题意得，令x=1,则2(a+1)°=64，则a=1, 4.选：D【详解】因为每位学生至少选报一门，所以P(AUB)=1,C正确： 由容斥原理P(AUB)=P(0+P(B)-P(AB)=1,所以P(AB)=0.6+0.7-1=0.3, 所以P(C)=P(AB)=0.3,A正确：因为P(AB)=0.3>0,所以A与B不互斥，B正确： 因为P(AC)=P(C)=0.3,P(4)P(C)=0.6×0.3=0.18≠P(AC)=0.3,所以A与C不独立，D错误. 5.选：℃【详解】因为出=n a,n+2,9=1, 所以2×及×马4xxau=1x2x3y 7+2,则3出u= 2 2 0a+D0n+2分，即a0a+0a+2, 所以aDa2,又a=1,满足上式所以an=2行中meN门， 所以(a}的前7项和为2-号+号副-子 6.选：D【详解】由题意可得，“甲没有得到冠军”，“乙不是最差的” 则可能的竞赛结果共有A-A?-A?+A:=14(种)其中乙得冠军共有A;=6(种)可能的结果 则甲乙都猜对了，乙得冠军的概率为品弓 6.3 7.选B【详解】已知函数f(x)=2x2-m+2x的定义域为x>0,对其求导得： r句)=4x-a+2-4-m+2,令8问=4-m+2, 若f(x)在(L,2)上存在最小值，根据本题的函数结构可知，函数在区间(1,2)内先递减后递增， 即(x)在(，2)内由负变正，等价于 g()<0 g(2)>0 第1页 a“"1.%o¤ g()=4×12-a×1+2=6-a<0 g(2)=4×22-a×2+2=18-2a>0 解得6<a<9,即实数a的取值范围是(6,9). 8选A【详解】恰好5局时游戏终止的事件M,输方第5局必输，前4局平两局输两局的事件为M, 第4局必输，前3局输2局赢1局的事件为M, 则M=M+M,M与M互斥，显然游戏终止时A可以是输方，B也可以是输方， 于是得P心4)=2c对×r×写奇P4)=2G目*周品 P(M)=P(M+M)=P(M)+P(M)=5-2 8127 所以恰好5局时游戏终止的概率为名 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.选：AC【详解】A选项，由题Sn=33n-n2,当n=1时，a=33-1=32,当n≥2时， a。=Sn-Sm1=33n-n2-33(n-1)+(n-1)2=34-2n,显然34-2×1=32，即a满足上式，从而 a。=34-2n,由于an1-an=34-2(n+1)-34+2n=-2,故{an}为等差数列，A正确：B选项， S3=41+a2+4=3a2,S6-S3=a4+a+a6=3a5,S,-S6=a+a+a=3a,由于 3a5-3a2=9d,3a-3a=9d,由A选项知，{an}的公差为-2，故S3,S6-S,S,-S6成等差数列，公差 为则=-18，B能误：C选项。=3-=a-+0g2,又6心，放当=16藏n=17时 Sn取得最大值，C正确：D选项，Sn20,即33n-n2≥0，解得0≤ns33, 又neN°，故1≤ns33,n的最大值为33，D错误， 10.选BC解：对于A:对于A:根据平均数的计算公式得云=7X4+4=4,由方差公式可得： 7+1 2=[7x2+4-4]=1.75<2,因此A错澳： 对于B:已知X~N(3,σ)，则均值4=3，由正态分布的对称性，得：P(X≤3)=0.5，又已知 P(X≤4)=0.7，所以P(3<X<4)=P(X≤4)-P(X≤3)=0.7-0.5=0.2.因此B正确： 对于C:根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，且每人只能去一个地 第2页 回 a^“6"1.%。a 方，则每人有3种选择，则4人一共有3×3×3×3=81种情况， 若汉口江滩没人去，即四位同学选择了黄鹤楼、东湖，每人有2种选择方法，则4人一共有 2×2×2×2=16种情况，故汉口江滩一定要有人去有81-16=65种情况，因此C正确： 对于D:经验回归方程为)=0.3x-m,样本中心点为(m,2.8), 回归直线必过样本中心点，代入得2.8=0,3×m-m=-0.7m,得m=2,8=-4,因此D错误 -0.7 11.【答案】ABD 【详解】由题目可知f(x)=(（4x-3)c+(2x2-3x)e=(2x2+x-3)e, 令因=0，因为e>0,则22+-3=0，即%=1=， 当x<-弓时，(>0，f)单调递增，当xe(》时，f(y<0,冈单调递减。 当x>1时，(x)>0,f(x)单调递增，可得当x=1时，f(x)为极小值，f()=-e,故A选项正确： 了(：)有两个零点，故()有2个极值点，故B选项正确：减区间为(-弓，)，故实数a的取值花围是 (2别]，放c选项错误：对于D选项，令y-0,则3[/问+2-10 (r)/+)=0,解得)-号或倒=-山，由A知fa=f(引=9e、1,作出 了()的图象和直线y=子y=-1,由图可知有5个交点， 则函数y=3[f(x)]+2f(x)-1有5个零点，故D选项正确. y=∫(x) 9e y=- 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.16【详解】 - 展开式的x2次项与x形成常数项，展开式的常数项和1形成常数 项，所以-展开式的x次项为c(-=15x,常数项为1，所以(e+?-的展 开式中常数项为15+1=16 13.9【详解】设各项均为正数的等比数列{an}的公比为9，则q>0,首项4>0， 因为a=a9,a,=a,92,所以由2a1=4-4得2a,=a,92-49,又a,>0,则整理得g2-q-2=0, 解得9=2或9=-1，又9>0，故g=2, 第3页 a^“6"1.%。a 4-92 则g=1g =1=90=1+g2=1+23=9. 8,a(1-g)1-g 1-9 14.1 a+u(%- 【详解】当a=0时，函数/()=lr+xe(0,+o), 则f)-士空兰，令r=0,解得x,因此当xe0时，f<0,即内在@0上 单调递减：当xe(L,+o)时，f(x)>0,即f()在(1，+o)上单调递增： 因此f()在x=1处取得极小值，也是最小值，即f()=1: 最知函数r因-+a=-任+，当取o时，0<s号， ≤分，再由二次函数单调性可得 了)eaa+引，若f问在2+o)上为单调西数，则需满足a+片50或a20即可， 解得a≥0或as片因此a的取值落围为Q+o(。- 四、解答题 15【详解】(1)设等差数列{a}的公差为d. a2=a+d=2 由题意可得 s,=54+54d=15解得a=1,d1,则a,=1+0-x1=n. 2 (2)由（1)可知an=n,则bn=29+an=2”+n, 故工，=+b2+4+…+6,=(2+1)+(2+2)+(2+3)+…+(2+n) =+2+2++2)+0+2+3+*网2-2）++2=2-2+n. 1-2 2 2 16.【详解】(1)因为f(x)=(x2+ax+b)e, 所以f()=[x2+(a+2)x+a+b]e, f(0)=(02+ax0+b)e°=b,f'(0)=[02+(a+2)x0+a+b]e°=a+b, 切线6x+y+3=0过点P,∴f(0)=b=-3,由导数的几何意义可知，斜率k=∫(0)=a+b=-6, .a=b=-3. (2)由(1)知，a=b=-3,可得f(x)=(x2-3x-3)e*, 第4页 a^“"1.%。a f(x)=(x2-x-6)2=(x+2)(x-3)0, 令(x)=0,则(x+2)(x-3)e2=0,解得x=-2或x=3, 当x<-2或x>3时，(x)>0,当-2<x<3时，(x)<0, 所以f(x)在(-∞，-2)和(3，+∞)上单调递增，在(-2,3)上单调递减， 从而可知x=-2是函数的极大值点，极大值为f(-2)=7e2, x=3是函数的极小值点，极小值为f(3)=-3e',所以函数f(x)的极大值为7e2，,极小值为-3e. 17.【答案】0号a分布列见解折，8C)=号)分布列见解折，D=是 【详解】(1)设“从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件A, 则P(0=3+4+332 1005 (2)样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有3+4=7（人)， 其中可以在2小时内完成的有3人，X的所有可能取值为0,1,2,3. Px=0-=是京Px=-答-号PK=2)-器-号Px=)-是 X的分布列为： X 0 1 2 3 4 18 35 号 35 80=-0+1号+2×号+3x-号 35 ⊙)由愿意得，~号引P心=0--品 P=-c=进 Pw==S官器Pw=-写-高 :Y的分布列为： 0 1 2 3 27 54 36 8 125 125 125 125 ÷D(Y)=3 2×3-18 5×525 18【详解】(1)函数f(x)=e-m-1(aeR)的定义域为R,f(x)=e-a(a∈R). 第5页 a^“"1.%。a 回 当as0时(x)>0恒成立，函数f(x)在R上单调递增， 当a>0时，令f'(x)=0得x=lna, 则当xe(-o,na)时f'()<0,当xe(ma,to)时f(x)>0, 所以函数f(x)在(-o,lna上单调递减，在(na,+o)上单调递增。 综上，当as0时，函数f(x)在R上单调递增； 当a>0时，函数f(x)在(-oo,ha)上单调递减，在（血a,+o)上单调递增. ②法1n当a>0时对意>0内学·常#于当a0所，二艺 一方-1对任意x>0成立，. g(x)=2 ,x>0'则a小于8()的最小值或下确界， 则(x)=e+(x-1)e*-x=x(e-1)>0对任意x>0恒成立， 所以函数h()在(0，+∞)上单调递增， 又函数h(x)在x>0时函数图象是连续的，且h(O)=0, 所以h(x)>0对任意x>0恒成立，所以g(x)>0对任意x>0恒成立， 所以函数g(x)在(0，+∞)上单调递增. er_x2 1 因为画g因=m2=呵一之=1'所0<a1 0 r+0 1 法2：设✉网-e-a-号-1，>0，则=-a-,0=1-a 若a>1,则s(0)<0,故存在x>0,使得x∈(0，)，s(x)<0, 故s(x)在(0，)上为减函数，故s(x)<s(0)=0恒成立， 放e-ax-1<号在(0，x)上恒成立，与题设矛盾， 若0<as1,设()=s'()=e-a-x,则r(x)=e-1>0,故s()在(0，+∞)上为增函数，故 (x)>s(0)=1-a20, 第6页 a^“"1.%。a 故s(x)在(0，+∞)上为增函数，故s(x)>s(0)=0, 故e-ax-1苦在@+回)上恒成立，故0<a51. ) 1-g 是首项为子、公比为子的等比数列前”项和 即品)是 由(2)结论，a=1时对任意x>0有e> 2+x+1, 令x=2kkeN)得e*>2+2k+1=22+2k+1>2k(k+1)变形得。立<k+可' 2 2 对t=以聚如降会各名可1-，即己-小水1-限不等式洞定 台k(k+1) 19:【详解】(1)设“恰好2次操作后盒子中球的颜色全部相同”为事件A, 根据操作的规定，事件A发生即“恰好2次操作后盒子中5个球的颜色都为黑色”，2次操作，其中1次 取出1红1黑，另一次取出2红， 所以4-晋号+是晋-易 (2)操作2次后，X2的可能取值为2,3,4,5， P化-小得等而x-等+等*等器 =+詈等品以=器答 =18 -X- C2 C2 1001 所以X2的分布列为 2 3 4 5 1 6 57 9 100 25 100 50 第7页 al“"1…%o¤ (3)记执行上述操作n次后，盒子中黑球的个数为X, 设P(Xn=k)=P,k=2,3,4,5, 则P2+乃+P4+P3=1,E(Xn)=2P2+3乃+4P4+5P, 则Px=列-=六A P化--等+是n 6 10， P-悬a+等导-品+培+层 P=-器a+登 +器A=A+后A+a 2+经-1 所以 8x)写a+居a+品Arg+号a+号aH传a+2a+5n） 19 .9 ,12 亏P+3p+2(0+B+P4+n,) =号a,+3n+4,+5p,+2(a+A+p+p） =号(x)+2, 所以(K小5=[E(x)5], 又x)-2g+x答+4号-9 C C 所以B)-5=号 0, 所以(x）-是以-号为首项 号为公比的等比数列， 所以)-5=-号)”. 所以x)=5-号()<5. 第8页 a^“"1.%。a