25.3 实际问题与一元二次方程 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与一元二次方程”，通过传染病传播、植物分支生长等生活情境导入，以解题通用五步建模法为支架，衔接几何图形、传播增长等四大问题模型，帮助学生从具体情境抽象数量关系。 其亮点在于突出数学建模与应用意识，通过分层练习（如几何静态面积与动态动点题）和模型对比（如单双循环计数），结合流感传播、成本下降率等实例，培养学生抽象概括与逻辑推理能力，教师可借助系统框架提升教学效率，学生能深化知识应用与思维严谨性。

25.3 实际问题与一元二次方程 人教版九年级数学上册 1.7.2013 同学们好，今天我们将学习如何运用一元二次方程来解决生活中的实际问题。这节课将充分体现数学的应用价值，让我们一起走进方程的世界。 ‹#› 学习目标（核心素养） 01. 数学建模 引导学生从实际情境中抽象出数量关系，准确提取等量关系，将现实问题转化为数学语言，建立一元二次方程的数学模型，培养抽象概括能力。 02. 数学运算 熟练掌握配方法、公式法、因式分解法等解方程的技巧，在求解过程中注重运算的严谨性，并能够结合实际问题的背景意义，对解出的根进行检验与合理取舍。 03. 逻辑推理 引导学生辨析不同实际问题背后的数量逻辑，对比多种解题方法的优劣，在分析与论证中梳理思维脉络，形成条理清晰、步步有据的逻辑推理习惯。 04. 应用意识 鼓励学生运用一元二次方程这一数学工具，尝试解决几何面积、经济增长、生活优化等领域的实际问题，感受数学与现实世界的紧密联系，提升学以致用的能力。 1.7.2013 本节课我们将围绕四个核心素养展开学习：通过解决实际问题，培养数学建模能力；通过解方程和检验根，提升数学运算能力；通过辨析不同模型，锻炼逻辑推理；最终建立运用数学知识解决实际问题的应用意识。 ‹#› 解题通用五步建模法 01 审 仔细审清题意，梳理题目中的文字信息，准确找出已知量和未知量，明确问题核心 02 设 根据问题选择合适的未知数，可采用直接设元法，也可根据关系采用间接设元法。 03 列 分析已知量与未知量之间的等量关系，将语言描述转化为数学表达式，列出方程。 04 解 运用代数方法求解所列方程，注意计算过程的准确性，求出未知数的数学解。 05 验答 检验解是否符合实际问题的意义，舍去不合题意的根，最后规范书写问题的答案。 高频易错：勿忘检验 实际问题的解必须满足实际场景限制，如人数、物品个数需为正整数，时间、长度需为正数等，不能仅停留在数学解上。 关键原则：负根舍去 在几何边长、产品数量、增长率等实际问题中，若解出负数根，无论计算是否正确，均需舍去，确保答案符合客观事实。 1.7.2013 解决实际问题，我们遵循一个通用的五步建模法：审、设、列、解、验答。其中最关键也最容易被忽略的一步是“验”，我们求出的数学解必须回到实际问题中去检验，不符合题意的根，比如负数，必须舍去。 ‹#› 几何图形问题 01. 勾股定理 在平面直角三角形中，两条直角边的平方之和等于斜边的平方。这是解决直角三角形边长计算问题的核心依据。 公式：a² + b² = c² 02. 矩形的周长与面积 周长公式 封闭图形一周的长度，即所有边长之和。 C = 2×(长+宽) 面积公式 物体表面或平面图形的大小。 S = 长 × 宽 熟练掌握勾股定理及矩形的周长、面积公式，是我们将实际几何问题转化为数学方程模型，进而求解未知量的关键理论基础。 1.7.2013 首先我们来看几何图形问题。解决这类问题，需要我们熟练掌握勾股定理以及矩形的周长和面积公式。这些是我们建立方程模型的基础。 ‹#› 例1：连续整数直角三角形 问题：有一个直角三角形，它的三边是三个连续的正整数，求三边的长。 01. 设未知数 设最短的直角边长为 下，则另外两边长依次为 x+1 和 x+2，其中斜边为最长边为x+2。 02. 列方程 根据勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”，列出方程： + = 03. 解方程 整理方程得： -2x-3=0，因式分解为 (x-3)(x+1)=0，解得 =3， =-1。 04. 检验作答 边长为正整数，故舍去负根 x=-1。因此，该直角三角形的三边长分别为3, 4, 5。 1.7.2013 我们来看第一个例子。这是一个典型的几何问题。我们设最短的边长为x，那么另外两边就是x+1和x+2。根据勾股定理列出方程，解这个方程我们得到两个根：3和-1。显然，边长不能是负数，所以我们舍去-1，得到最终答案：3, 4, 5。 ‹#› 例2：细绳围矩形面积问题 【问题描述】用一根长为40m的细绳围成一个面积为75㎡的矩形。请根据已知的周长与面积条件，求解这个矩形的长和宽各是多少米？ 01. 巧设未知数 设矩形的宽为 x米，由细绳总长40m可知矩形长与宽的和为20m，因此矩形的长可表示为 (20 - x)米，为后续列方程建立基础。 02. 依据公式列方程 根据“矩形面积 = 长 × 宽”的核心公式，代入面积75㎡，列出方程：x(20 - x) = 75，将几何问题转化为代数方程问题。 03. 整理并求解方程 将方程整理为一元二次方程的一般形式： - 20x + 75 = 0，因式分解得 (x - 15)(x - 5) = 0，最终解得方程的两个根： = 15， = 5。 04. 检验合理性并作答 结合实际几何意义，矩形的长应大于宽。当宽为5m时，长为15m，符合题意。因此，该矩形的长为15米，宽为5米。 1.7.2013 再来看一个矩形面积问题。我们设宽为x米，那么周长的一半是20米，所以长就是(20-x)米。根据面积等于长乘宽，列出方程。解得两个根5和15。这两个根都符合题意，分别对应矩形的宽和长。所以这个矩形的长是15米，宽是5米。 ‹#› 拓展思考：两种不同设元方法对比 问题：用长度为40m的细绳围成一个矩形，尝试通过不同的设元方式建立面积的表达式，对比两种设元方法的计算逻辑与复杂程度。 方法一：直接设宽为未知数 x 由周长得长为 (20-x)，面积公式为：S = x(20 - x) 特点：直接设关键量，仅需一次式表达，无需消元，逻辑直观，计算步骤最为简洁。 方法二：设长与宽的差值为未知数 x 设宽为 y，则长为 y+x，联立周长方程 2y+x=20，面积：S = y(y + x) 特点：间接设元引入两个变量，需通过联立方程消元求解，步骤繁琐，增加了不必要的计算量。 启示：设元的核心是服务于“简化运算”。解题时应优先选择直接设所求量或问题中的关键未知量为未知数，能有效降低方程复杂度，提升解题效率与准确性。 1.7.2013 对于同一个问题，我们可以有不同的设元方法。比如这道题，我们可以设宽为x，也可以设长比宽多x。大家可以看到，不同的设法，列出的方程复杂程度也不同。因此，在解题时，选择一个好的设元方法非常重要。 ‹#› 几何分层课堂练习 01 基础巩固：静态几何面积问题 题目：用一根长 40m 的细绳，能否围成一个面积为 101㎡ 的矩形？请结合一元二次方程的知识进行分析说明。 💡 思路：设矩形一边长为 x，列出面积方程，通过计算一元二次方程的判别式 Δ，判断方程是否有实数解。 02 能力提升：动态几何动点问题 题目：矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm。点 P 从 A 向 B 以 1cm/s 移动，点 Q 从 B 向 C 以 2cm/s 移动。若同时出发，经过几秒后，△PBQ 的面积等于 8cm²？ 💡 核心分析：设时间为 t，用含 t 的代数式表示 PB 和 BQ 的长度，再根据三角形面积公式建立方程求解，并检验解的合理性。 解决几何面积问题的关键是“数形结合”，将几何图形的边长、面积等关系转化为代数方程，通过解方程完成几何问题的求解。 1.7.2013 现在请大家动手完成这两道几何练习题。第一题是基础题，大家可以尝试列出方程，看看它有没有实数解。第二题是动态几何问题，需要我们用含时间t的代数式表示线段长度，再根据面积列出方程。 ‹#› 模块二：传播增长问题（生活情境导入） 情境一：传染病传播模型 初始有1人感染病毒，平均每天每人传染给x个人。那么经过两天的传播后，被感染的总人数会达到多少？这是典型的人际传播中的数量递推过程。 情境二：植物分支生长模型 一株植物的主干长出x个分支，每个分支又长出x个小分支。那么这株植物上所有分支（含小分支）的总数是多少？这是自然生长中的结构数量问题。 上述两个看似不同的生活情境，其数量变化的本质是一致的，即后一阶段的数量增长依赖于前一阶段的基数，整体呈现“指数级增长”的数学特征。 1.7.2013 接下来我们学习第二类问题——传播增长问题。生活中的传染病传播、植物的分支生长都属于这类模型。它们的共同特点是数量增长非常快，呈现指数级增长的态势。 ‹#› 探究1：两轮传染病模型 核心问题 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，请问在每轮传染中，平均一个人传染了几个人？ 数量关系分析 开始：初始有 1 个患者。 第一轮后：1 个患者传染 x 人，共 (1 + x) 人患病。 第二轮后：第一轮患者每人再传 x 人，新增 x(1+x) 人，总人数为 (1+x) + x(1+x)。 建立并求解方程 1. 列方程：1 + x + x(1+x) = 121，整理得 (1+x)² = 121。 2. 解方程：开方得 1+x = ±11，解得 x₁=10，x₂=-12。 3. 验证：传染人数不能为负，故舍去负根。 结论：每轮传染中平均一个人传染了 10 个人。这一模型可推广至复利增长、细胞分裂等同类增长问题的解决中。 1.7.2013 我们来看课本的探究1。这是一个典型的两轮传播问题。我们来分析数量关系：开始有1个人，第一轮后变成1+x人，第二轮是第一轮的每个人都再传染x个人，所以新增了x(1+x)人，总数就是1+x+x(1+x)。列出方程并求解，得到两个根10和-12。传染人数不能为负，所以答案是10。 ‹#› 拓展思考：三轮传染总人数计算 假设流感传播过程中，每轮每人平均传染 10 个人，若初始有 1 人患流感，经过三轮连续的传染后，最终会有多少人患上流感？ 核心计算逻辑 三轮后总人数 = 第二轮累计人数 + 第三轮新增传染人数。其中第二轮累计人数为 121 人，每轮每人传染 10 人，因此需在原有基数上叠加新增病例，通过乘法分配律可快速简化计算。 数学公式推演 代入数据计算：121 + 121×10 = 121×(1+10) = 121×11 =1331 (人) 提取公因数是解决此类倍增问题的关键技巧，能直观呈现传播的累积效应。 德育启示：传染病的指数级传播速度令人警醒。这启示我们在日常生活中必须重视个人卫生防护，积极配合疫苗接种，从自身做起，共同筑牢公共卫生安全的坚实防线，守护集体健康与社会安全。 1.7.2013 如果按照这个速度继续传播，三轮之后会有多少人呢？我们可以用第二轮的总人数121，乘以每个人传染的10个人，再加上原来的121人，得到1331人。大家可以看到，传染病的传播速度是多么可怕。这也告诉我们，做好个人防护是多么重要。 ‹#› 传播类随堂练习 【问题情境】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少个小分支？ 01. 合理设元 设每个支干长出x个小分支。明确未知数，将实际问题转化为数学变量表达。 02. 列出方程 主干(1)+支干(x)+小分支(x²)=91，据此列出一元二次方程：x² + x + 1 = 91 03. 求解方程 整理方程为x²+x-90=0，因式分解得(x+10)(x-9)=0，解得：x₁=9，x₂=-10 04. 检验作答 分支数量不能为负数，故舍去x=-10。最终结论：每个支干长出9个小分支。 1.7.2013 我们来看一道类似的植物分支问题。设每个支干长出x个小分支，那么支干总数就是x，小分支总数就是x乘以x。根据总数是91，列出方程。解得x=9或x=-10。舍去负根，得到答案是9。 ‹#› 模块三：平均变化率（增长率/下降率） a(1 ± x)ⁿ = b —— 解决平均变化率问题的核心数学模型，适用于连续增长或下降的周期性变化分析 a：变化前的初始量 指研究对象在变化开始时的基础数值，是计算的起点，如本金、原有产量、初始人口等实际数量。 x：平均变化率（增长为+，下降为-） 表示每个周期内的平均变化比例。注意：下降率 x 的取值范围为 0 < x < 1，即需用小数或百分数形式代入计算。 n：变化的周期数 指发生变化的次数或时间单位数，如年数、月数、季度数等，代表连续变化的轮次，是公式中的指数部分。 b：变化后的最终量 经过 n 个周期变化后得到的最终数值，是问题求解的目标量之一，如最终本息和、最终产值、最终剩余量等。 1.7.2013 第三类问题是平均变化率问题，包括增长率和下降率。这类问题有一个非常重要的核心公式：a(1±x)的n次方等于b。大家要记清楚每个字母的含义：a是初始量，x是变化率，n是周期数，b是最终量。 ‹#› 探究2：成本年平均下降率例题 问题背景：某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元。已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率 01. 设未知数 设每次降价的百分率为 x，明确变量含义，为后续列方程做准备。 02. 列方程 根据“初始价×(1-下降率)²=最终价”，列出方程：100 = 81。 03. 解方程 整理得 =0.81，开方得 1-x=±0.9，解得 =0.1，=1.9。 04. 检验作答 降价率不能大于1，故舍去x=1.9 。因此，每次降价的百分率为10%。 1.7.2013 我们来看探究2。这是一个典型的平均下降率问题。初始价格a是100元，最终价格b是81元，周期数n是2。代入公式得到100(1-x)²=81。解得x=0.1或x=1.9。降价率不能超过100%，所以舍去1.9，得到降价率是10%。大家要区分“下降了多少钱”和“下降了百分之多少”的区别。 ‹#› 变化率当堂练习 【题目】青山村种的水稻2020年平均每公顷产15000kg，2022年平均每公顷产18000kg。求水稻每公顷产量的年平均增长率。（结果写成a%的形式，其中a保留小数点后两位） 01. 设未知数 设水稻每公顷产量的年平均增长率为 x，明确变量含义，为后续列方程做准备。 02. 列方程 列出方程： 15000 = 18000 。 03. 解方程 化简得 = 1.2 ，解得 =0.0954，=-2.0954增长率为正，舍去负根）。 04. 写答案 将小数转化为百分数并保留两位小数，最终得出结论：水稻每公顷产量的年平均增长率约为9.54%。 1.7.2013 现在请大家练习一道增长率问题。这道题的初始量a是15000，最终量b是18000，周期数n是2。大家可以代入公式自己算一算，注意增长率不能是负数，最后结果要写成百分数的形式。 ‹#› 模块四：循环计数问题（图解） 单循环模型：单次交互 典型场景为握手、单循环赛制。核心规则是n个主体中，每两个主体之间只进行一次互动，无顺序、无重复。 每人需与其余n-1人交互，但每次交互被双方各计一次，因此总次数需除2。 双循环模型：双向交互 典型场景为主客场联赛。核心规则是n个主体中，每两个主体之间需进行两次互动（如A→B和B→A），存在明确的顺序与往返。 每两队之间的两次比赛相互独立，不存在重复计算的情况，因此总场数直接为所有单向场次的总和。 单循环总次数公式：S = n(n-1) / 2 双循环总场数公式：T = n(n-1) 1.7.2013 最后一类问题是循环计数问题。我们要区分单循环和双循环。单循环就像握手，每两个人之间只握一次手，所以总次数是n(n-1)/2。双循环就像主客场比赛，每两个队之间要踢两场，所以总场数是n(n-1)。 ‹#› 探究3：主客场双循环比赛例题 问题描述：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛。请问比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 01. 分析：计算总场数与设元 赛程共7天，每天安排4场比赛，因此比赛的总场数为：7 × 4 = 28（场）。 设应邀请 x个队参赛，由于是主客场单循环赛制，每两队之间需比赛两场。 02. 求解：建立并解一元二次方程 单循环赛制的总场数公式为 x(x-1)，结合总场数为28场，可列出方程： x(x-1) = 28，整理得 - x - 56 = 0。 （舍）所以，应邀请8个队参赛 1.7.2013 ‹#› 循环计数分层练习 01 基础题：单循环握手问题 一个小组有 x 个人，每两人握一次手，整个小组总共握手 10 次，请问这个小组一共有多少人？ 解题提示：单循环握手问题核心公式为握手总次数 = 人数×(人数-1)/2，据此可列方程：x(x-1)/2 = 10。 02 提升题：多边形对角线问题 一个凸多边形共有 14 条对角线，且多边形的各边均为直线段，没有凹陷。请计算这个多边形是几边形？ 解题提示：n边形总对角线条数公式为 n(n-3)/2。其中n≥3，且从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线，代入数值即可求解。 两类问题本质均为“单循环计数”，区别在于握手问题是任意两点连线，而对角线问题需排除多边形的边。 1.7.2013 最后，我们来练习两道循环计数的题目。第一题是基础的握手问题，属于单循环。第二题是多边形对角线问题，它的计数公式和单循环类似，但又有区别，大家要仔细审题。 ‹#› 全课四大模型汇总 01 几何问题模型 核心等量关系：勾股定理、各类图形的面积与周长公式。 解题思路：结合几何图形的性质，建立边长、面积或体积之间的方程关系求解。 02 传播问题模型 核心等量关系：病毒、消息等的指数级增长规律。 关键公式：第一轮1个传x个，两轮后总数为 1 + x + x(1+x) = 最终总数。 03 变化率问题模型 核心等量关系：平均增长或平均下降的百分比规律。 关键公式：初始量为a，变化率为x，经过n次变化后：a(1±x)ⁿ = b（最终量）。 04 循环计数问题模型 核心等量关系：区分单循环（如握手、对阵）与双循环（如互发消息、往返比赛）。 关键公式：单循环：n(n-1)/2；双循环：n(n-1)（n为参与对象数量）。 01 建模思想：将复杂的实际问题抽象转化为数学方程，用数学语言描述关系。 02 分类讨论：辨析易混淆模型（如单双循环），根据实际情境选择对应公式。 03 检验思想：求解后需验证结果是否符合实际意义，舍去不合题意的根。 1.7.2013 好了，我们来总结一下本节课学习的四大模型：几何问题、传播问题、变化率问题和循环计数问题。每种模型都有其核心的等量关系和解题思路。希望大家能掌握这些模型，并运用建模、分类讨论和检验的数学思想去解决更多实际问题。 ‹#› 作业布置 P231 2题；习题25.3 1.2.3.4.5题 1.7.2013 今天的作业分为三个层次。基础作业帮助大家巩固今天所学的基本模型。提升作业则需要大家综合运用知识。学有余力的同学还可以完成拓展任务，在生活中发现数学，运用数学。 ‹#› $