25.3 实际问题与一元二次方程（第1课时） 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与一元二次方程”第1课时，核心是根据几何图形周长或面积公式列方程解决问题。通过“旧识回顾”列方程步骤衔接一元一次方程等知识，以问题链搭建学习支架，引导学生理解新数学模型。 其特色在于多解法探究（如例2三种设元）培养数学思维，结合几何直观与模型意识，注重验根与实际意义。采用问题驱动教学，当堂检测分层设计，助力学生提升运算与应用能力，教师可直接使用，提高教学效率。

25.3 实际问题与一元二次方程（第1课时） 人教版(2024)九年级上册 第二十五章 一元二次方程 学习目标 1 能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解 2 根据几何图形的周长或面积公式，建立一元二次方程来解决几何问题 旧识回顾 列方程解应用题的基本步骤有哪些？ 审、设、列、解、验、答 同一元一次方程、二元一次方程 (组) 一样，一元二次方程也是刻画某些问题中等量关系的数学模型，运用一元二次方程可以解决很多问题. 典型例题 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为 x，x＋1，x＋2，其中 x 为正整数. 由勾股定理，得 x2＋(x＋1)2＝(x＋2)2. 解方程，得 x1＝3， x2＝－1 (不符合题意，舍去). 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为 3，4，5. 例 1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 探索新知 列一元二次方程解应用题的一般步骤： (1) 审题：了解问题的实际意义，分清已知量和未知量之间的关系； (2) 设未知数：一般情况下求什么设什么为未知数； (3) 列方程：用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程 (方程两边单位要统一)； (4) 解方程：灵活运用一元二次方程的解法； (5) 验根：检验一元二次方程的根是否满足题意； (6) 答：写出实际问题的答案. 典型例题 例 2 用一根长为 40 m 的细绳，能否围成一个面积为 96 m2 的矩形区域？ 如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 分析：假设细绳能围成面积为 96 m2 的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度，设矩形一边长为 x m，由周长为 40 m，可用含 x 的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解. 典型例题 例 2 用一根长为 40 m 的细绳，能否围成一个面积为 96 m2 的矩形区域？ 如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 解：设矩形的一边长为 x m，由矩形的周长为 40 m，可得此边的邻边长为 (20－x) m；再由矩形的面积为 96 m2 ，得 x(20－x)＝96. 解方程，得 x1＝12， x2＝8. 因此，用一根长为 40 m 的细绳可以围成面积为 96 m2 的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为 8 m，12 m. 方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？ 方程有两个正根，但几何上是同一个矩形，这体现了数学解与实际问题解的区别. 探索新知 思考 对于例 2 中的问题，我们还有别的设矩形两邻边长的方法吗？ 例 2 用一根长为 40 m 的细绳，能否围成一个面积为 96 m2 的矩形区域？ 如果能围成，这样的矩形是否唯一？ (1) 从面积角度考虑： 可设一边长为 x m，那么其邻边长为 m (2) 从边长角度考虑： 可设一边长为 (10＋x) m，那么其邻边长为 (10－x) m 能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例 2 吗？比较这些设法，说说它们各自的特点. 探索新知 思考 (1) 从面积角度考虑： (2) 从边长角度考虑： (10＋x)(10－x)＝96 100－x2＝96 故两邻边长分别为 8 m，12 m x1＝x2＝2 故两邻边长分别为 8 m，12 m 探索新知 思考 能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例 2 吗？比较这些设法，说说它们各自的特点. 最终结果一致，矩形邻边长分别为 8 m，12 m. 原设法最适合初学者，逻辑清晰； 方法 (1) 更侧重从面积出发的逆向思维，但需要注意分式方程的增根检验； 方法 (2) 计算最简便，体现了代数对称性的巧妙应用. 当堂检测 当堂检测 A 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 本节课学习了哪些知识点呢？ 几何图形问题 几何图形 类型 运用常见几何图形的面积公式构建等量关系 小路宽度问题、动点面积问题等 THANKS 1.如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等.停车位的占地面积为350平方米.设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是( ) A. B. C. D. 解析：由题意，停车位组合成的矩形的长为米， 宽为米，其面积为350平方米， 因此方程为.故选A. 2.学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为558平方米，求小道的宽？ 解析：设小道的宽为x米，则把阴影部分分别移到矩形的 上边和左边可得矩形的长为米，宽为米， 依题意得：， 整理，得， 解得：或（不合题意舍去). 故小道的宽为2米. 3.如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动.当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动. (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么第几秒时，的面积等于？ 解析：(1)设第x秒时，的面积为，此时，，，∵， ∴， 整理得：，解得：或（舍去）， 第1秒时的面积等于； 3.如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动.当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动. (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么第几秒时，的长度等于？ 解析：(2)设第t秒时，的长度等于， ∵，∴， 解得：，， 第0秒或2秒时，的长度等于. 4.如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形.（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） (1)若设车棚宽度为，则车棚长度为______m； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积 为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案； 如果不能，请说明理由. 4.如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形.（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） (1)若设车棚宽度为，则车棚长度为______m； 解析：(1)搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为， 左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， ， 故答案为：； 4.如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形.（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； 解析：(2)由(1)可得，车棚面积为： 解得：或， 又距院墙7米处，规划有机动车停车位， ，将代入得：，满足题干条件， 自行车车棚的宽为：，自行车车棚的长为：； 4.(3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由. 解析：(3)不能，理由如下： 要围成面积为的自行车车棚，则由(1)可得：， 整理得：， ， 故此方程没有实数根， 不能围成面积为的自行车车棚. 5.如图，在矩形中，，，点M从A点出发沿以1cm/s速度向B点运动，同时点N从B点出发沿以2cm/s的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设点M、N的运动时间为t秒. (1)当t为何值时，？ 解析：(1)∵在矩形中，，， 且，，∴， ∴， ∵，∴， 解得，，故当t值为1或时，； 5.(2)当t为何值时，的面积是面积的一半？ 解析：(2)∵，∴， ∵， ∴，， ∵，∴， 化简得，解得，， ∵，∴， ∴当t值为3时，的面积是面积的一半. $