湖南岳阳市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

姓名___________________ 准考证号_______________ 2026年上学期高二年级期末试卷 数 学 本试卷共4页，19道题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号和姓名填写在答题卡指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部为 A． B． C． D． 2．下列说法正确的是 A．函数的定义域为 B．函数图象关于点成中心对称 C．函数的最小值为 D．若幂函数在上为减函数，则的值为 3．已知，，则 A． B． C． D． 4．某班数学建模小组由4名男生和2名女生组成，现在从中任选2名学生参加活动，则选中的2名学生性别相同的概率是 A． B． C． D． 5．已知集合，，则的必要不充分条件可能是 A． B． C． D． 6．已知数列是公差为的等差数列，若，，依次构成公比为的等比数列，则 A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则 A． B． C． D． 8．设，分别是椭圆（）的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若构成空间的一个基底，则下列不能构成空间的一个基底的是 A． B． C． D． 10．已知双曲线：，则 A．双曲线的实轴长为3 B．双曲线的焦点到渐近线的距离为1 C．若直线与的右支有两个公共点，则 D．存在过点的直线与相交于，，且点为的中点 11．设，，（）是函数的三个零点，则 A． B． C．设命题：，，成等差数列，命题：，，成等比数列，则是的充要条件 D．若，，成等差数列，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图，得到一个平行四边形，若该平行四边形的较长的一边长为，则原正方形的面积为____________． 13．的展开式中，各项的系数和为____________． 14．若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分分）记为等比数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）若的各项呈现正负相间的变化规律，求，判断，，是否成等差数列，并说明理由． 16．（本题满分分）某新能源汽车公司近年的年销量（单位：万辆）与投入的年研发经费（单位：千万元）如下表所示： （1）根据散点图可以认为与之间存在线性相关关系，请用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （2）已知该新能源汽车公司从配件到汽车实现了一体化生产，设为单个零件的加工成本（单位：元），该公司的某配件加工线加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差，且；引进该公司最新研发的某技术后，加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差，且．试计算引进技术后，单个零件的加工成本下降了多少元． 附：（1）参考公式：，； （2）若随机变量服从正态分布，则，． 17．（本题满分15分）如图，四棱柱中，平面，平面平面．过，，三点的平面记为，与的交点为，． （1）求的值； （2）若，，二面角的大小为，求四棱柱的体积． 18．（本题满分17分）已知函数（）． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）试讨论函数的极值点个数； （3）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围． 19．（本题满分17分）已知抛物线：（）的焦点为，设点，，其中，点是抛物线在第一象限的部分曲线上的一个动点，当直线的倾斜角为时，． （1）求的方程； （2）若线段与相交于点（不与点重合），过点作轴的垂线，交于点（位于第四象限），求证：，，三点共线； （3）在条件（2）下，已知，直线交轴于点，若以点为圆心，点到轴的距离为半径的圆与一条经过点的直线交于，两点，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $2026年上学期高二年级期末试卷 数学参考答案及评分细则 一、单选题 题号 1 2 6 1 8 答案 B 0 C B A D 二、 多选题 题号 9 10 11 答案 AB BC ACD 三、填空题 12.16 13.1 14.V2e 四、解答题 15. 【解析】(1)设数列a,}的首项为4，公比为9， 因为=4=2 2分 S4=5S2,变形S4-S2=4S2,即4，+a4=4(a+a,),9=2 4分 若9=2,4.=491=2”：若9=-2,0，=49=(-2) 6分 (2)S1,S,S+2成等差数列，理由如下： 7分 由(1)知9=±2，又因为a,}的各项呈现正负相间的变化规律。 所以9=-2，又4=2 8分 -19）21-(2]22 所以 1-9 1--2)33(-20 22 10分 所以 +82号-2r+号-2r-2导3-2r] =3[(-2-2(-2+(-2)]=0 12分 即S+S+2=2S,所以S1,S,S+2成等差数列. 13分 16.【解析】 x=1+2+3+4+5=3y=45+50+60+65+80=60 X= (1)由表格数据可 5 2y=1x45+2x50+3×60+4×65+5×80=985 22=144+9+16+25=5. 3分 立-5 6= 985-900 =8.5 ∑x2-5 55-45 所以 ,所以0=y-x=345, 6分 所以，y关于x的线性回归方程为y=8.5x+34.5, 7分 (2)未使用新技术前， 4-0,-.xP》-0s 即P(6-4K2o)=0.954 61 所以Vc+12,所以c=95(元). 11分 使用新技术后， 02 =0-2.P-0 即P(01-4Ko2)=0.683 111 所以V2c+24,所以c=87(元)， 14分 95-87=8(元)，所以单个零件加工的成本下降了8元. 15分 17.【解析】(1)因为平面A4D,D∥平面BB,CC, 平面AADD∩平面4CD=AD 平面BB,CC∩平面ACD=CP 所以4DMCP,同理可证AD/BC, 3分 在四棱柱ABCD-AB,CD中AA IIPB 所以∠CBP=∠DAA,∠BPC=∠AAD AD_AA=3 所以△AAD∽△BPC,所以PC=BP 6分 A BI C C (2)法一：因为A,B,C,D四点共面，平面BCD即平面ACD 二面角B-CD-A大小为4，即二面角A-CD-A大小为4 作AE⊥CD于E,连接AE, 8分 因为AAL平面ABCD,CDc平面ABCD,所以CD L AA, 又CD⊥AE,AA∩AE=A,A4,AEc平面AAE,所以CD⊥平面AAE, 又4EC平面AAE,所以4E⊥CD 所以二面角A-CD-4的平面角为∠AEA 10分 AEA=π (anAE4=44=tan"=1 即 4,所以 AE 4 所以AE=A4=3BP=3V5 12分 m00-aE=5.5xo=5 所以 所以S四边形HCD=4V5 所以四棱柱ABCD-4B,CD的体积 P=S四边形ABCD'A4=4V5×3V3=36 15分 法二：由B向AD作垂线，垂足为E,过E作EFA4,交AD于F 所以直线EB,ED,EF两两垂直，以E为原点，分别以直线EB,ED,EF为x,V,z轴，建立空 间坐标系，如图所示 7分 D C x 设BC=a,∠ADC=0,BP=V5.CD=2.A4=3V3 所以四棱柱ABCD-AB,CD的体积 v-SM-(a-)2bin0-3-12asimo 2 8分 B(2sin8,00）,C(2sin8,a,0）,D(0,a+2cos6,0).4(0,2cos8-2a,33) CD=(-2sin0,2cos0,0).C4=（-2sin0,2cos6-3a,3W3） 9分 设平面BCD和平面ACD的法向量分别为n,m=(x,少2)， 易得n=(0,0,1) 10分 m.CD=-2sin0.x+2cos0.y=0 m.CA=-2sin0.x+(2cos0-3a)y+33z=0 m= cos0,sine asin 取y=sinB,可得 ’3 12分 设二面角B-CD-A的平面角为p n.m cosp=cos(n,m asin0 3 cos π √3asin0 42 1×,1+ 3 解得asin0=V3 14分 所以'=12V5asin6=36,即四楼柱ABCD-AB,CD的体积为36 15分 18.【解析】 s6-2.f-r品.0-1.ro-.r0-月 所以y=f()在x=1处的切线方程为： 即x-2y+1=0 4分 f()=1-,k=+(2-)x+1 (2) x(x+1)2 x(x+1)2 (x>0) 令8()=x2+(2-k)x+1=0.△=2-4=k(k-4) 1)当△≤0，即0≤k≤4时， ∫'(x)20.f(x)在(0，+0)单调递增，无极值. 7分 x=2<0 2》当△>0，即Ok<0时，8(x)对称轴=2 ,又因为8(0)=1>0 所以当x>0时，8()>0，()>0，(x)在(0，+)单调递增，无极值. xA-200<5--2--纸<5=-2+- ②k>4时，8()对称轴=2 ,解得 2 所以当x∈(0，)，(：，+0）时8()>0，八()>0，（四单调递增， 当x∈(：，x)时8()<0，'()<0，f(单调递减： 10分 此时少=f()在=，处取得极大值，在X=x处取得极小值，两个极值点. 综上，当k>4时，y=f()有两个极值点，分别在x=西处取得极大值，在x=处取得极小值，当 k≤4时，y=∫()无极值点 11分 Inx+ksx-1 (3)x+1 x-,分离参数k≤(x+x-lnr-)恒成立， 令h(x)=(c+l(x-lnx-l）,则k≤h() 12分 公--m-1+x+=2-s 兰-。 7 x x2 x2 x 故'()在(0，+）单调递增，又因为()=0 14分 所以当x∈(0,1)时r(x)<0,hx)单调递减， 当x∈（山，+o)时hr(>0,h()单调递增。 所以hx)min=h)=0 所以k≤0，所以实数k的取值范围为(0,0] 17分 19.【解析】 (1)点A向x轴作垂线，垂足为H, 个y H 由lFA=4+2W2,∠4FH=450 得FH=AH=2V2+2, 所-号+22+2 2分 FA=x4+=4+22 又由 2 +2W2+2+P=4+2W2 所以2 ，可得卫=2， 4分 所以C的方程为少2=4x 5分 64心0，双彩公 y= 4-(x+x0) 又少=4，消元x后，得-(+4)少+4红，=0 4x0 g+1=+4x0→yE=二 由韦达定理， t 8分 4x_4x B 所以，设 4t 于是可得 aD=1-4X0 =kAD 9分 所以，A,D,B三点共线 10分 (3)由(2)可得 后 所以 华+丽-- n80-w→m丽-答+sj管j(告j-0 →16c-x2+16s=0→16x2-f+162=0 12 12分 →16x,2=t4-16t2 13分 设点B到直线MN的距离为d,则d≤BR=yl, 又MN=2WyAP-d≥2P-yP 当直线MN与BE垂直时， MN取得最小值 14分 m-a-fF-P-(） 此时，则 16分 所以MW。=8 17分 E R N D n