湖南岳阳市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

姓名___________________ 准考证号_______________ 2026年上学期高二年级期末试卷 数 学 本试卷共4页，19道题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号和姓名填写在答题卡指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部为 A． B． C． D． 2．下列说法正确的是 A．函数的定义域为 B．函数图象关于点成中心对称 C．函数的最小值为 D．若幂函数在上为减函数，则的值为 3．已知，，则 A． B． C． D． 4．某班数学建模小组由4名男生和2名女生组成，现在从中任选2名学生参加活动，则选中的2名学生性别相同的概率是 A． B． C． D． 5．已知集合，，则的必要不充分条件可能是 A． B． C． D． 6．已知数列是公差为的等差数列，若，，依次构成公比为的等比数列，则 A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则 A． B． C． D． 8．设，分别是椭圆（）的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若构成空间的一个基底，则下列不能构成空间的一个基底的是 A． B． C． D． 10．已知双曲线：，则 A．双曲线的实轴长为3 B．双曲线的焦点到渐近线的距离为1 C．若直线与的右支有两个公共点，则 D．存在过点的直线与相交于，，且点为的中点 11．设，，（）是函数的三个零点，则 A． B． C．设命题：，，成等差数列，命题：，，成等比数列，则是的充要条件 D．若，，成等差数列，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图，得到一个平行四边形，若该平行四边形的较长的一边长为，则原正方形的面积为____________． 13．的展开式中，各项的系数和为____________． 14．若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分分）记为等比数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）若的各项呈现正负相间的变化规律，求，判断，，是否成等差数列，并说明理由． 16．（本题满分分）某新能源汽车公司近年的年销量（单位：万辆）与投入的年研发经费（单位：千万元）如下表所示： （1）根据散点图可以认为与之间存在线性相关关系，请用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （2）已知该新能源汽车公司从配件到汽车实现了一体化生产，设为单个零件的加工成本（单位：元），该公司的某配件加工线加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差，且；引进该公司最新研发的某技术后，加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差，且．试计算引进技术后，单个零件的加工成本下降了多少元． 附：（1）参考公式：，； （2）若随机变量服从正态分布，则，． 17．（本题满分15分）如图，四棱柱中，平面，平面平面．过，，三点的平面记为，与的交点为，． （1）求的值； （2）若，，二面角的大小为，求四棱柱的体积． 18．（本题满分17分）已知函数（）． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）试讨论函数的极值点个数； （3）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围． 19．（本题满分17分）已知抛物线：（）的焦点为，设点，，其中，点是抛物线在第一象限的部分曲线上的一个动点，当直线的倾斜角为时，． （1）求的方程； （2）若线段与相交于点（不与点重合），过点作轴的垂线，交于点（位于第四象限），求证：，，三点共线； （3）在条件（2）下，已知，直线交轴于点，若以点为圆心，点到轴的距离为半径的圆与一条经过点的直线交于，两点，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $2026年上学期高二年级期末试卷 数学参考答案及评分细则 一、单选题 题号 3 4 6 7 8 答案 C B C 二、 多选题 题号 10 11 答案 AB BC ACD 三、填空题 12.16 13.1 14.V2e 四、解答题 15.【解析】(1)设数列a,}的首项为4，公比为9， 因为S=a=2 2分 S4=5S2,变形S4-S=4S2,即4+4=4(a+a,〉，9=±2 4分 若9=2,4.=491=2”：若9=-2,0，=491=-(-2) 6分 (2)S1,S,S2成等差数列，理由如下： 7分 由(1)知9=士2，又因为a,}的各项呈现正负相间的变化规律， 所以9=-2，又4=2 8分 s-1-g）21-(2]2.2 所以”1-q 1-(2)33-2 -号-2r.-号-2 所以 10分 所以 +82-号-2y+号-3-f-2r] =3[(-2”-2(-2+(-2)]=0 12分 即S1+Sm+2=2Sn,所以Sn,Sn,Sn+2成等差数列. 13分 16.【解析】 x=1+2+3+4+5=3y=45+50+60+65+80=60 x= (1)由表格数据可 5 5 2y=1x45+2×50+3x60+4×65+5×80=985 9 立=14+916+25=5 3分 6=可 985-900 x2-5x2 55-45 =8.5 所以 i=1 ，所以a=y-bx=34.5 6分 所以，y关于x的线性回归方程为y=8.5x+34.5 7分 (2)未使用新技术前， M0) 4=0.a-.z4外-093 即P(e-4K2o)=0.954 61 所以Vc+12,所以c=95(元) 11分 使用新技术后， 4=0,。2开P水0 即P(1-4Ko2)=0.683 111 所以V2c+24,所以c=87(元)， 14分 95-87=8(元)，所以单个零件加工的成本下降了8元 15分 17.【解析】(1)因为平面A4DD∥平面BB,CC, 平面A4DDn平面ACD=4D 平面BB,CCn平面ACD=CP 所以ADIICP,同理可证AD/BC, 3分 在四棱柱ABCD-AB,CD中AAIIPB 所以∠CBP=∠DAA,∠BPC=∠AAD】 ADAA=3 所以△AAD~△BPC,所以PCBP 6分 B C 0 C (2)法一：因为A,B,C，,D四点共面，平面BCD即平面ACD π 二面角B-CD-A大小为4，即二面角A-CD-A大小为4 作AE⊥CD于E,连接AE, 8分 因为AAI平面ABCD,CDc平面ABCD,所以CD⊥AA, 又CD⊥AE,AA∩AE=A,AA,AEc平面AAE,所以CD⊥平面AAE, 又AEC平面AAE,所以4E⊥CD 所以二面角A-CD-A的平面角为∠AEA 10分 4EA= tanZAE4=44 tan=1 即 4,所以 AE 4 所以AE=A4=3BP=3V5 12分 w号cD-AE=35.5c青w=5 所以 ，所以5四边形BcD=4V3 所以四棱柱ABCD-AB,CD的体积 V=S四边EARBCD'A形4=4V5×3V3=36 15分 法二：由B向AD作垂线，垂足为E,过E作EFA4,交AD于F. 所以直线EB,ED,EF两两垂直，以E为原点，分别以直线EB,ED,EF为X,y,z轴，建立空 间坐标系，如图所示 7分 D C x 设BC=a,∠ADC=0,BP=V3,CD=2,A4=35 所以四棱柱ABCD-AB,CD的体积 v-S-(a+3)2sin0-3-12asind 8分 B(2sin0,0,0).C(2sin8,a,0）D(0,a+2cos0,0)A(0,2cos0-2a,35) CD=(-2sin8,2cos0,0).CA=（-2sin8,2cos0-3a,35) 9分 设平面BCD和平面4CD的法向量分别为n,m=(xy,2), 易得n=(0,0,1) 10分 m.CD=-2sin0.x+2cos0.y=0 m.CA =-2sin0.x+(2cos0-3a)y+33z=0 m= cos0,sin,asine 取y=sin8,可得 ’3 12分 设二面角B-CD-A的平面角为P n.m asin0 3 cos πV2 3asin0 42 3 解得asin0=v3 14分 所以'=125asin0=36,即四楼柱ABCD-AB,CD的体积为36 15分 18.【解析】 6=2.-r名.01rw-.f0-月 所以y=f()在x=1处的切线方程为： y-10- 即x-2y+1=0 4分 f()=1,k=+(2-)x+1 (2) x(x+1)2 x(x+1)2 (x>0) 令8()=2+(2-k)x+1=0,△=2-4k=k(k-4) 1)当△≤0，即0≤k≤4时， f'(x)≥0，f(x)在(0，+o)单调递增，无极值， 7分 x=k2<0 2》当△>0，即Ok<0时，8(x)对称轴=2 ,又因为8(0)=1>0 所以当x>0时，g()>0,'()>0,()在(0，+)单调递增，无极值. x=k,2>00<5--2--<5-k-2+- ②k>4时，8()对称轴2 ，解得 2 2 所以当x∈(0，x),(s,+o)时8(>0，()>0，f()单调递增： 当x(,)时8)<0，()<0，f(女单调递减； 10分 此时少=f()在=，处取得极大值，在x=x处取得极小值，两个极值点. 综上，当k>4时，y=f()有两个极值点，分别在x=处取得极大值，在x=处取得极小值，当 k≤4时，y=f()无极值点. 11分 mx+k≤x-l (3)x+1 ,分离参数k≤(x+x-lmx-)恒成立， 令h(x)=(c+l(x-lnr-l）,则k≤h()m 12分 )=x-m-14-=2x-r 7 Γxx2x2 故h()在(0，+∞）单调递增，又因为(0=0 14分 所以当r∈(0，)时()<0，h(单调递减。 当xe(,+o)时h()>0,h()单调递增. 所以hr)mm=h)）=0 所以k≤0，所以实数k的取值范围为(0,0] 17分 19.【解析】 (1)点A向X轴作垂线，垂足为H, 个y H 由FA=4+2V2,∠4FH=450 得FH=AH=2V2+2, 所以=号+25+2 2 2分 又由P=+号=4+22 2 卫+2√2+2+2=4+2V2 所以2 2 ,可得卫=2 4分 所以C的方程为y2=4x 5分 4t(x+xo) 0,豫及公 y= 又=4x,消元x后，得-(+4)y+4,=0 4x0 g+1≤+4x0今yg=二 由韦达定理， t 8分 B 4x号_4x 所以，设 4t aD=12-4xo =kAD 于是可得 9分 所以，A,D,B三点共线 10分 (3)由(2)可得 所以 终丽臣-告】 0=咖→丽丽g+〔g-小经-0 →16x-2+16-0→16x2-+16r2-0 4 2 12分 →16x02=t4-162 13分 设点B到直线MN的距离为d,则d≤BR=yal, 又MN=2P-d≥2VaP-aP 当直线MN与BE垂直时， MN取得最小值 14分 网-N网-faF-F-（】 此时，则 g-4 16分 所以MN=8 17分 E R N D n