精品解析：江苏宿迁市钟吾初级中学2025-2026学年度初一年级第二学期期末测试数学试卷

2025－2026学年度初一年级第二学期期末测试 数学试卷 试卷满分：150分时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在所给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题纸相应位置上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意． 2. 已知是二元一次方程的一个解，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】二元一次方程的解能使方程左右两边相等，将已知的解代入原方程即可求出的值． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴将代入方程得， 解得． 3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不等式基本性质为：不等式两边同时加或减同一个整式，不等号方向不变；两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不变；两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变． 【详解】解：A选项，两边同时加1，不等号方向不变，可得，故A不成立； B选项，两边同时减，可得，故B不成立； C选项，两边同时乘，不等号方向改变，可得，故C一定成立； D选项，若，则，故D不一定成立． 4. 如图，将沿方向平移得到，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由平移的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴， ∵， ∴， ∴． 5. 如图是一辆变速自行车的实物图，图是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由邻补角定义求出，再由三角形内角和定理求出，最后由平行线性质求解即可． 【详解】解：， ， 在中，，，则， ， ． 6. 对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（　　） A. 轴对称→平移→旋转 B. 轴对称→旋转→平移 C. 旋转→轴对称→平移 D. 平移→旋转→轴对称 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息． 根据平移变换，旋转变换，轴对称变换的定义判断即可． 【详解】解：“握手”的变换顺序是轴对称→平移→旋转． 故选：A． 7. 若关于的不等式组的最小整数解是2，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定不等式组的解集，再根据最小整数解为2的条件，得到关于b的取值范围，即可选出正确选项． 【详解】解：由不等式组可得其解集为， ∵不等式组的最小整数解是2， ∴整数1不在解集中，整数2在解集中， 因此可得． 8. 已知关于的方程组，则下列结论中正确的有（ ） ①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，； ③当时，；④不论取什么实数，的值始终不变 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】先解原方程组得到关于的表达式，再逐个验证四个结论，统计正确结论的个数，得到最终选项． 【详解】解：， 将两个方程相加，得， 即， 将两个方程相减，得， 即； ①当时，代入得，，则，因此①错误； ②当时，代入得，解得，因此②错误； ③若，代入得：， 化简得：， 解得：，符合结论，因此③正确； ④计算，代入得：，结果为定值，与无关，因此不论取何值，的值始终不变，④正确； 综上，正确的结论有2个． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9. 某人红细胞的截面半径约为，数据用科学记数法表示为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【详解】，  ，  ， 根据平方根的定义可得． 11. 如图，将三角尺（其中）绕点B按顺时针方向转动一个角度到的位置，使得点A，B，在同一条直线上，那么旋转角__． 【答案】##120度 【解析】 【分析】根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：三角板中，旋转角是， 则． 这个旋转角度等于120度． 故答案为：． 【点睛】本题结合直角三角形的性质考查旋转角的计算求解，理解掌握旋转角的意义是解答关键． 12. 已知是关于x，y的二元一次方程，则a的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．根据二元一次方程的定义得到，，即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 解得：， 故答案为：． 13. 已知一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据多边形内角和公式，可得方程， 解方程得 ． 14. 若的结果中不含项，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，由题可得含项的系数为 0 ，求出即可． 【详解】解： ∵运算结果中不含项， ， 解得：． 15. 已知不等式组有解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式组解集的确定规则，不等式组有解说明两个不等式的解集存在公共部分，据此确定的取值范围． 【详解】解：对于不等式组，若不等式组有解，则两个不等式的解集存在公共部分，根据“大小小大中间找”的解集确定法则，可得． 16. 《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，绳长y尺，则可列方程组为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设长木长为x尺，绳长y尺，则根据“用一根绳子去度量长木，绳子还剩余尺”可得；根据“将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺” 可得；从而可得答案． 【详解】解：设长木长为x尺，绳长y尺， 根据“用一根绳子去度量长木，绳子还剩余尺”可得； 根据“将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺” 可得； 故可列方程组， 故答案为：． 17. 若关于的方程组的解是，则方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】令，则，由题意可知方程组与是同解方程组，进而得到，求解即可． 【详解】解：令，则， 关于的方程组的解是， 方程组的解是， 即，解得． 18. 如图1，中，是边上的点，先将沿着翻折，使点落在点处，且，交于点（如图2），又将沿着翻折，使点落在点处，若点恰好落在上（如图3），且，则______． 【答案】84 【解析】 【分析】根据翻折，平行的性质得到，结合题意得到，在中，由三角形内角和定理得到，最后在中由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵先将沿着翻折， ∴，， ∵， ∴， ∵将沿着翻折，使点落在点处，点恰好落在上， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， 解得，， ∴， 在中， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10题，共96分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤） 19. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 20. 解不等式组，并画数轴表示解集，写出不等式组整数解． 【答案】 不等式组的解集为，整数解为， 【解析】 【详解】解：  解不等式①得，  解不等式②得，  所以不等式组的解集为  所以整数解为， 数轴表示见答案． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先由平方差公式、完全平方公式展开，再去括号、合并同类项化简，最后将代入化简结果，由含乘方的有理数混合运算计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 22. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，点、也在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： （1）平移，使点移动到点位置，画出平移后的； （2）画出关于点对称的； （3）找格点，使得它与点、、组成的图形是一个轴对称图形，这样的格点有______个． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）4 【解析】 【分析】（）先由点的位置确定平移方式，再由平移方式确定点平移后的位置，即可作图； （）分别作出点关于点对称的，再顺次连接即可； （）结合轴对称图形的性质确定点的位置，即可得出答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，点均满足题意， ∴这样的格点有个， 23. 已知关于的方程组 （1）若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式的解为，求整数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由加减消元法求出方程组的解，再由题意列不等式组求解即可； （2）由不等式的解集，判断出，解不等式后，在（1）的条件下得到，求出整数即可． 【小问1详解】 解：关于的方程组， 由①②得， 由①②得， 该方程组的解满足为正数，为负数， ，则的取值范围； 【小问2详解】 解：由可得， 不等式的解为， ，即 ， ， 则满足要求的整数为． 24. 如图，中，为边上一点，过作，交于，为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． （1）平分吗？若是，请证明；若不是，请说明理由； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）是， 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分； （2） 【解析】 【分析】（1）根据得到，，结合，得到即可． （2）先求得，结合，三角形外角性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 25. 在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元. （1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元? （2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低. 【答案】（1）每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元（2）共有三种方案：方案一：购进电脑15台，电子白板15台；方案二：购进电脑16台，电子白板14台；方案三：购进电脑17台，电子白板13台；方案三费用最低． 【解析】 【分析】（1）设电脑、电子白板的价格分别为x、y元，根据等量关系：“1台电脑+2台电子白板=3.5万元”，“2台电脑+1台电子白板=2.5万元”，列方程组求解即可． （2）设计方案题一般是根据题意列出不等式组，求不等式组的整数解．设购进电脑x台，电子白板有(30-x)台，然后根据题目中的不等关系“总费用不超过30万元，但不低于28万元”列不等式组解答． 【详解】解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元． （2）设需购进电脑a台，则购进电子白板（30-a）台， 则， 解得：，即a=15，16，17． 故共有三种方案： 方案一：购进电脑15台，电子白板15台.总费用为万元； 方案二：购进电脑16台，电子白板14台.总费用为万元； 方案三：购进电脑17台，电子白板13台．总费用为万元． ∴方案三费用最低． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用及一元一次不等式组的应用，正确得出等量关系和不等关系列出方程组及不等式组是解题关键． 26. 探究问题：已知，画一个角，使，，且交于点，与有怎样的数量关系？ （1）我们发现与有两种位置关系：如图1与图2所示． ①图1中与数量关系为______． 图2中与数量关系为______． ②由①得出一个真命题，请补充该命题． 结论：如果两个角的两边______．那么这两个角______； （2）应用②中的真命题，解决以下问题： 若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的3倍少，求这两个角的度数． 【答案】（1）①；；②互相平行，相等或互补 （2）这两个角的度数为和或和． 【解析】 【分析】（1）①分别由图1，图2根据平行线的性质推理得出答案； ②总结得出，如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补； （2）设两个角分别为和，根据题意列方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：①如图1中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 如图2中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ②略 【小问2详解】 解：设两个角分别为和， 由题意或， 解得或， ∴这两个角的度数为和或和． 27. 定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“交互方程”，例如：“交互方程”为． （1）求方程与它的“交互方程”组成的方程组的解； （2）已知整数，，且满足，并且是关于的二元一次方程的“交互方程”，求的值； （3）已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“交互方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“交互方程”的定义得到方程组，进而求解即可； （2）根据“交互方程”的定义得到，可知，求出，根据是整数作答即可； （3）根据“交互方程”的定义得到方程组，根据已知关系求出方程组的解，代入得到，进而计算代数式的值即可． 【小问1详解】 解：根据“交互方程”的定义，方程的交互方程为， 联立得方程组， 得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 即方程组的解为； 【小问2详解】 解：由交互方程的定义可得， 整理得：， 已知， 代入得， 解得：， ∵是整数， ∴； 【小问3详解】 解：的交互方程为， 联立得方程组， 得：， 解得， 已知，即， 将代入得：， 整理得， 解得， 因此方程组的解为， 将解代入得：， 即， ∴ ． 28. 问题情境： 在综合与实践课上，数学老师让同学们以“折叠”为主题展开数学活动． 探究发现： （1）如图1，长方形纸片中，，点分别为边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置，若的延长线过点，且，则______； （2）如图2，长方形纸片中，，点分别为，边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置，若的延长线交于点，求的度数； 延伸拓展 （3）如图3，三角形纸片中，．点为边上一点不与点重合，将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置．若所在直线与三角形的一边所在直线垂直，直接写出的度数． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据已知，结合平行线的性质可得，进而根据折叠的性质可得得出，根据平行线的性质，得出，结合已知，即可求解； （2）根据平行线的性质可得，根据折叠的性质得， 根据邻补角可得，进而根据三角形的外角的性质即可求解； （3）分三种情况讨论，根据平行线的性质以及折叠的性质分别求得，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 解：如图， ∵四边形是长方形， ∴ ∵ ∴ ∵将长方形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置， ∴ ∴ ∵的延长线过， ∴； 又∵， ∴ 【小问2详解】 解：如图 ∵四边形是长方形， ∴ ∵ ∴ ∵将长方形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置， ∴ ∴ ∴ ∴ 【小问3详解】 解：如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴； 如图，当时， ∵， ∴ ∴ ∵折叠， ∴， ∵， ∴； 如图，当时，设交的延长线于点， ∵， ∴ ∵折叠， ∴， ∵， ∴； 综上所述，若所在直线与三角形的一边所在直线垂直，或或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度初一年级第二学期期末测试 数学试卷 试卷满分：150分时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在所给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题纸相应位置上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是二元一次方程的一个解，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将沿方向平移得到，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如图是一辆变速自行车的实物图，图是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（　　） A. 轴对称→平移→旋转 B. 轴对称→旋转→平移 C. 旋转→轴对称→平移 D. 平移→旋转→轴对称 7. 若关于的不等式组的最小整数解是2，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的方程组，则下列结论中正确的有（ ） ①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，； ③当时，；④不论取什么实数，的值始终不变 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9. 某人红细胞的截面半径约为，数据用科学记数法表示为_________． 10. 已知，则______． 11. 如图，将三角尺（其中）绕点B按顺时针方向转动一个角度到的位置，使得点A，B，在同一条直线上，那么旋转角__． 12. 已知是关于x，y的二元一次方程，则a的值是_____． 13. 已知一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数为______． 14. 若的结果中不含项，则的值为______． 15. 已知不等式组有解，则的取值范围是______． 16. 《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，绳长y尺，则可列方程组为________． 17. 若关于的方程组的解是，则方程组的解是______． 18. 如图1，中，是边上的点，先将沿着翻折，使点落在点处，且，交于点（如图2），又将沿着翻折，使点落在点处，若点恰好落在上（如图3），且，则______． 三、解答题（本大题共10题，共96分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤） 19. 计算： （1）； （2）； 20. 解不等式组，并画数轴表示解集，写出不等式组整数解． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，点、也在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： （1）平移，使点移动到点位置，画出平移后的； （2）画出关于点对称的； （3）找格点，使得它与点、、组成的图形是一个轴对称图形，这样的格点有______个． 23. 已知关于的方程组 （1）若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式的解为，求整数的值． 24. 如图，中，为边上一点，过作，交于，为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． （1）平分吗？若是，请证明；若不是，请说明理由； （2）若，，求的度数． 25. 在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元. （1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元? （2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低. 26. 探究问题：已知，画一个角，使，，且交于点，与有怎样的数量关系？ （1）我们发现与有两种位置关系：如图1与图2所示． ①图1中与数量关系为______． 图2中与数量关系为______． ②由①得出一个真命题，请补充该命题． 结论：如果两个角的两边______．那么这两个角______； （2）应用②中的真命题，解决以下问题： 若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的3倍少，求这两个角的度数． 27. 定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“交互方程”，例如：“交互方程”为． （1）求方程与它的“交互方程”组成的方程组的解； （2）已知整数，，且满足，并且是关于的二元一次方程的“交互方程”，求的值； （3）已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“交互方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 28. 问题情境： 在综合与实践课上，数学老师让同学们以“折叠”为主题展开数学活动． 探究发现： （1）如图1，长方形纸片中，，点分别为边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置，若的延长线过点，且，则______； （2）如图2，长方形纸片中，，点分别为，边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置，若的延长线交于点，求的度数； 延伸拓展 （3）如图3，三角形纸片中，．点为边上一点不与点重合，将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置．若所在直线与三角形的一边所在直线垂直，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $