15.3.2 等边三角形 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦等边三角形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质，通过表格对比等腰三角形与等边三角形的定义、性质及判定，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于采用类比探究（如等腰到等边的性质迁移）培养推理意识，结合动手测量（含30°角直角三角形边的关系）发展几何直观，通过表格梳理、变式例题（如例3中DE∥BC改为AD=AE的探究）强化模型意识。学生能系统构建知识体系，教师可依托清晰结构提升教学效率。

15.3.2 等边三角形 第十五章 轴对称 第1课时 等边三角形的性质与判定 学习目标 学习重难点 难点 重点 掌握等边三角形的性质和判定. 1．探索等边三角形的性质和判定． 2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明． 探索并掌握等边三角形性质的证明过程，熟练地运用等边三角形的性质解决问题. 复习导入 名称 图 形 定 义 性 质 判 定 等 腰 三 角 形 等边对等角 三线合一 等角对等边 两边相等 两腰相等 轴对称图形 A B C 两边相等的三角形叫作等腰三角形 新课讲授 知识点1 等边三角形的定义 等腰三角形 等边三角形 一般三角形 定义类比： 在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，这时三角形三边相等，我们把三边都相等的三角形叫作等边三角形. 知识点2 等边三角形的性质 类比探究 A B C A B C 问题1 把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？ 等腰三角形 AB=AC ∠B=∠C 等边三角形 AB=AC=BC AB=AC ∠B=∠C AC=BC ∠A=∠B ∠A=∠B=∠C 内角和为180° =60° 结论：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°. 证明： 已知：AB=AC=BC ， 求证：∠A=∠B=∠C= 60°. 证明： ∵AB=AC， ∴∠B=∠C .(等边对等角) 同理，∠A=∠C . ∴∠A=∠B=∠C. ∵ ∠A+∠B+∠C=180°, ∴ ∠A=∠B=∠C=60 °. A B C A B C 问题2 等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？ 结论: 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”. 顶角的平分线、底边的高 底边的中线 三线合一 一条对称轴 三条对称轴 等腰三角形与等边三角形的性质对比 总结 等腰三角形 　性 质 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 三个角都相等， 对称轴（3条） 等边三角形 对称轴（1条） 两个底角相等 底边上的中线、高及顶角平分线重合 且都是60º 两边相等 三边都相等 A C B D E 例1 如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm,EC =2cm,则△ADE的周长是 cm. 12 例题解读 例2 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数． 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵∠ABE＝40°， ∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°. ∵BE＝DE， ∴∠D＝∠EBC＝20°， ∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°. 方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个角都是60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质、全等三角形的性质等. 知识点3 等边三角形的判定 类比探究 类比等腰三角形的判定方法 等腰三角形 判 定 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形 从角看：有两个角相等的三角形是等腰三角形 从边看：两边相等的三角形是等腰三角形 三边都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的判定方法： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 小试牛刀：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形. （1） （2） （6） （5） 不 是 是 是 是 是 （4） （3） 不一定 是 例3 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形. A C B D E 证明： ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A=∠B=∠C. ∵ DE//BC, ∴ ∠ADE=∠B, ∠AED=∠C. ∴ ∠A=∠ADE=∠AED. ∴ △ADE是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗?试说明理由. A C B D E 如图,在等边三角形ABC中，AD=AE, 求证：△ADE是等边三角形. 证明： ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C. ∵ AD=AE, ∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C. ∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED. ∴ △ADE是等边三角形. 变式 等边 三角形 定义 底=腰 特殊性 性质 特殊性 边 三边相等 角 三个角都等于60 ° 轴对称性 轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质 判定 特殊性 三边法 三角法 等腰三角形法 小结 随堂小测 1. 已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为______cm. 9 2.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是______°. 120 3.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 D A C B D E O B C D A E 4.如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求∠EDA的度数. 解： ∵ △ABC是等边三角形， ∴∠CBA=60°. ∵BD是AC边上的中线， ∴∠BDA=90°, ∠DBA=30 °. ∵ BD=BE， ∴ ∠BDE=(180 °- ∠DBA) ÷2 =(180°-30°) ÷2=75°. ∴ ∠EDA=90 °- ∠BDE=90°-75°=15°. 5.如图，A，O，D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小. C B O D A E 解： ∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形. ∴AO=BO,CO=DO, ∠AOB=∠COD=60°. ∵ A，O，D三点共线， ∴ ∠DOB=∠COA=120°， ∴ △COA ≌△DOB(SAS). ∴ ∠DBO=∠CAO. 设OB与EA相交于点F, ∵ ∠EFB=∠AFO， ∴ ∠AEB=∠AOB=60°. F 15.3.2 等边三角形 第十五章 轴对称 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 学习目标 1．掌握含30°角的直角三角形的性质． 2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算． 学习重难点 探索含30°角的直角三角形的性质. 含30°角的直角三角形的性质的应用. 难点 重点 问题引入 问题1 用刻度尺测量含30°角的直角三角形斜边和短直角边，比较它们之间的数量关系. 短直角边= ×斜边 问题2 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？ 分离 拼接 A C B 按动按钮 新课讲授 知识点 含30°角的直角三角形的性质 性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. A B C D 如图，△ADC是△ABC的轴对称图形， 因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°， 从而△ABD是一个等边三角形. 再由AC⊥BD, 可得BC=CD= AB. 你还能用其他方法证明吗？ 证法1：在△ABC 中， ∵　∠C =90°，∠A =30°, ∴　∠B =60°． 延长BC 到D，使BD =AB， 连接AD， 则△ABD 是等边三角形． 已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC = AB． A B C D 证明方法：倍长法 ∴　BC = AB．　　 其他证明方法 E A B C 证法2： 在BA上截取BE=BC，连接EC. ∵ ∠B= 60° ，BE=BC. ∴ △BCE是等边三角形， ∴ ∠BEC= 60°，BE=EC. ∵ ∠A= 30°， ∴ ∠ECA=∠BEC－∠A=60°－30° = 30°. ∴ AE=EC， ∴ AE=BE=BC， ∴ AB=AE+BE=2BC. ∴　BC = AB．　　 证明方法：截半法 知识要点 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 应用格式： ∵　在Rt△ABC 中， 　　∠C =90°，∠A =30°，　　 A B C ∴　BC = AB．　　 想一想：　图中BC，DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？ 　如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 m，∠A =30°.求立柱BC，DE 的长. A B C D E 例题解读 A B C D E 解： ∵DE⊥AC, BC ⊥AC, ∠A=30 °， ∴BC= AB, DE= AD. ∴BC= AB= ×7.4=3.7(m). 又AD= AB, ∴DE= AD= ×3.7=1.85(m). 答：立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m. 利用含30°角的直角三角形的性质，关键有两个元素：一是30°的角；二是直角三角形．根据这两个元素可建立直角三角形中斜边与直角边之间的关系． 总结 小结 内容 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 使用要点 含30°角的直角三角形的性质 找准30 °的角所对的直角边，点明斜边 注意 前提条件：直角三角形中 随堂小测 1.如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =10，则BC 的长为 ． 5 2.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD = . 1 A B C A B C D 第1题 第2题 3.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC = . 5 4.如图，Rt△ABC中，∠A= 30°，AB+BC=12cm，则AB=______. A C B 8 5.已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上的高. A C B D 15 ° 15 ° 20 解:过C作CD⊥BA交BA的延长线于点D. ∵∠B=∠ACB=15° (已知), ∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°， ∴CD= AC= ×20=10. ) ) $