2027 届新高考一轮复习特训卷七

绝密大启用前 试卷类型：A 2027届新高考一轮复习特训卷 数学 数学（七） 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必将姓名、班级、考号等信息填写在答题卡指定位置。 3.选择题答案须填涂在答题卡对应区域；非选择题答案须写在答题卡指定区域内。 4.写在本试卷上无效；考试结束后，请按要求交回答题卡。 题号 二 三 四 总分 等级 分值 40 18 15 77 150 得分 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求。 1.已知两个不同平面a,B相交于直线l,点P∈α，P1,Q∈B,Q1。则直线PQ与直 线1的位置关系一定是 A. 相交 B.平行 C.异面 D.重合 2.在三棱锥P-ABC中，PA,PB,PC两两垂直，且PA=2,PB=3,PC=6。则该三 棱锥外接球的表面积为 A.36元 B.49m C.64r D.98π 3.棱长为2的正方体中，有一个球与正方体的12条棱都相切，则该球的表面积为 A.4m B.6 C.8T D.12m 4.从正方体的8个顶点中随机选取4个顶点，则这4个顶点共面的概率为 3 A. B. 12 35 35 C.5 D. 35 5.在空间直角坐标系中，已知四点A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,t)(t>0)。若四 点A,B,C,P的外接球半径为2，则t= A.2 B.2V2 C.2v3 D.4 6.已知两个平面a‖B,直线aca,直线bCB。则直线a,b不可能是 A.平行直线 B.异面直线 C.相交直线 D. 没有公共点的两 条直线 7.在四面体A-BCD中，E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点。若四边形EFGH 为正方形，则下列条件中一定成立的是 A.AC=BD B. AC⊥BD 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学（七）第1页（共4页）】 教研测评 轮复习卷 C.AC=BD且AC⊥BD D.AC‖BD 8.设x1=1。对每个正整数，构造一个三棱锥，使从同一顶点出发的三条棱两两垂直，长 度分别为xn,xn,2。记该三棱锥外接球半径为xn+1。则x3= A. V5 2 B.V6 2 C.v⑦ 2 D.2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9.已知α，b,c是空间中的三条不同直线，α，B是两个不同平面，则下列命题正确的是 A.若a‖b,b‖c,则a‖c B.若a‖a,bCa,则alb C.若a,b是异面直线，则不存在一个平面同时包含a,b D.若a∩B=l,aCa,a‖B,则a‖l 10.关于球与多面体的切、接问题，下列说法正确的是 A.若长方体共顶点的三条棱长分别为a,b,c,则其外接球半径R满足2R=√a2+2+c2 B.棱长为a的正四面体的外接球半径为R=y⑤。 C.若三棱锥有一条侧棱垂直于底面，则外接球球心一定在这条侧棱上 D.若三棱锥从同一顶点出发的三条棱两两垂直，长度分别为x,y,之，则其外接球半径为R= 2V2+2+2 11.从棱长为2的正方体的8个顶点中随机选取顶点，则下列说法正确的是 A.随机选取3个顶点，它们一定不共线 3 B. 随机选取3个顶点，它们在同一个面上的概率为 C.随机选取4个顶点，它们共面的概率为 6 35 随机选取4个顶点，它们构成正四面体的概率为3 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,BC=3,AA1=6。则异面直线A1B与CD 所成角的余弦值 、 13.在三棱锥P-ABC中，PA,PB,PC两两垂直，且PA=4,PB=3,PC=12。则该 三棱锥外接球的表面积为 14.已知圆锥的底面半径为3，高为4。则该圆锥内半径最大的球的半径为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分) 在四面体A一BCD中，E,F,G,H分别为棱AB,BC,CD,DA的中点，M,N分别为棱 AC,BD的中点。 (1)证明：四边形EFGH为平行四边形； (2)证明：四边形EFGH的中心与线段MN的中点重合； 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学（七)第2页（共4页）】 教研测评 (3)若AC=BD=2V2,AC⊥BD,且四点E,F,G,H在球O的球面上，球心O到平面 EFGH的距离为1，求球O的半径。 16.(本小题满分15分) 在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,PA=4。底面三角形ABC满足AB=AC= 2,∠BAC=0,0<0<π。设三棱锥P-ABC的外接球半径为R(0)。 (1)求△ABC的外接圆半径r(9); (2)证明： 1 R2(0)= C0s2日+4； (3)若R(9)≤3，求θ的取值范围。 17.（本小题满分15分) 已知平行四边形ABCD中，AB=5,BC B 3,∠ABC=60°。沿对角线AC将△ABC折起到 △AB'C的位置，使得BD=AC。此时形成三棱锥 B'-ACD。 (1)求AC的长； AC (2)写出三棱锥B'一ACD的三组对棱长度，并说明 D 它可以看作某个长方体的四个顶点构成的四面体； (3)求三棱锥B'-ACD外接球的表面积。 18.（本小题满分17分) 棱长为2的正方体有8个顶点。现从这8个顶点中随机选取若干个顶点。 (1)若随机选取3个顶点，求这3个顶点同属于正方体某一个面的概率； (2)若随机选取4个顶点，求这4个顶点共面的概率； (3)若随机选取4个顶点，求这4个顶点构成正四面体的概率；并在构成正四面体时，求 该正四面体外接球的表面积。 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学（七）第3页（共4页）】 教研测评 19.（本小题满分17分) 设c1=1。对每个正整数n,构造三棱锥Pn-AnBn.Cn,使得从顶点Pn出发的三条棱两两 垂直，且 PnAn En PnBn =Tn, Pn.Cn =2. 记该三棱锥的外接球半径为Rn,并规定xn+1=Rn。 (1)求cn+1关于xn的递推关系； (2)求数列{xn}的通项公式， (3)记第n个三棱锥外接球的表面积为Sn,求 lim Sn. n->oo 新高考数学 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学（七）第4页（共4页）】 教研测评 参考答案与解析 2027届新高考一轮复习特训卷·数学（七） 一、单项选择题 题号12345678 答案C B C BB CCC 1.已知两个不同平面α，B相交于直线l,即 a∩6=1. 又P∈a,Ptl,Q∈B,Qtl。 若直线PQ与l相交于点R,则因为P,R∈a,所以 PQ C a. 于是Q∈a。又Q∈B,所以 Q∈a∩B=l: 与Q生1矛盾。 若PQ‖l,则直线PQ与1共面。又P∈α，且lcα，由“过直线和直线外一点有且只有 一个平面”可知，这个平面只能是a,于是PQCa,仍推出Q∈a,矛盾。 所以PQ与1既不相交也不平行，故为异面直线。故选C。 2.在三棱锥P一ABC中，PA,PB,PC两两垂直，可看作长方体同一顶点发出的三条棱。 其外接球直径等于对应长方体的体对角线： 2R=VPA2+PB2+PC2 代入PA=2,PB=3,PC=6,得 2R=V22+32+62=V49=7. 所以 7 R- 2 外接球表面积为 ,49=49元. S=4πR2=4r·4 故选B。 3.棱长为2的正方体中，与12条棱都相切的球，其球心为正方体中心。 设正方体中心为原点，棱长为2，则任意一条棱到中心的距离为 VW12+12=V2, 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第1页】 教研测评 一轮复习卷 所以球半径为 R=V2. 表面积为 S=4πR2=4r·2=8π. 故选C。 4.正方体有8个顶点，从中选4个，共有 =70 种选法。 四点共面的情况有两类： 第一类：正方体的6个面，每个面有4个顶点，得到6组； 第二类：正方体的对角截面，共有6个，每个截面含4个顶点，得到6组。 所以共面的选法共有 6+6=12 种。所求概率为 126 70=35 故选B。 5. 四点为 A(0,0,0),B(2,0,0), C(0,2,0),P(0,0,t). 从点A出发的三条棱AB,AC,AP两两垂直，长度分别为2,2，t。 因此外接球直径为对应长方体的体对角线： 2R=V22+22+t2=V8+t2 由题意R=2,得 4-8+9 即 8+t2=16. 所以 t2=8. 又t>0,故 t=2V2. 故选B。 6.因为a‖B,所以两个平面没有公共点。又aCa,bCB,因此直线a,b不可能有公共 点。 所以α，b不可能相交。但它们可能平行，也可能异面；无论平行还是异面，都没有公共点。故 选C。 7.在四面体A-BCD中，E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点。 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第2页】 教研测评 一轮复习卷 在△ABC中， EF‖AC, EF= 在△ADC中， GH‖AC GH- 所以 EF‖GH, EF GH. 同理， FG‖BD, EH‖BD, 且 1 FG=EH= BD. 2 因此四边形EFGH为平行四边形。 若EFGH为正方形，则相邻边相等且垂直，即 EF=FG, EF⊥FG. 于是 AC-BD. AC⊥BD 所以 AC=BD, AC⊥BD. 故选C。 8. 由题意，第n个三棱锥从同一顶点出发的三条棱两两垂直，长度分别为xn,xn,2。其外 接球半径为 xn+1= 2V%++亚=2V2%+4 即 x+1=V2+1. 因为心1=1，所以 /1 于是 厚-喝+- 故选C。 二、多项选择题 题号 10 11 答案 ACD ABD ABC 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第3页】 教研测评 一轮复习卷 9.A项，若a‖b,b‖c,则由平行直线的传递性，得 a c. A正确。 B项，若a‖a,bCa,则a与b不一定平行，它们可能平行，也可能异面。B错误。 C项，异面直线的定义就是不同在任何一个平面内的两条直线。因此若α，b是异面直线，则 不存在一个平面同时包含a,b。C正确。 D项，设 a∩B=l, aca,a‖B 因为a‖B,所以a与B无公共点。若α与1相交，则交点在1cB,从而a与B有公共点， 矛盾。又a,1Ca,在同一平面a内，不相交则平行。所以 a‖1. D正确。 综上，选ACD。 10.A项，长方体共顶点的三条棱长为α，b,c,其外接球直径为体对角线，所以 2R=Va2+62+c2 A正确。 B项，棱长为a的正四面体外接球半径为 R=V6 d a. B正确。 C项，若三棱锥有一条侧棱垂直于底面，外接球球心一般在底面外接圆圆心的垂线上，不一 定在这条侧棱上。只有当侧棱的垂足恰好是底面外接圆圆心时，球心才可能在这条侧棱所在 直线上。C错误。 D项，若三棱锥从同一顶点发出的三条棱两两垂直，长度分别为x,y,之，则可补成长方体，其 外接球半径为 1 R=2V2++2 D正确。 综上，选ABD。 11.A项，正方体任意一条直线最多经过正方体的两个顶点，因此随机选取3个顶点，它 们一定不共线。A正确。 B项，从8个顶点中选3个，共有 =56 3 种。每个面有4个顶点，从一个面中选3个有 4 3 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第4页】 教研测评 一轮复习卷 种。正方体共有6个面，所以同属于某一个面的三点共有 6.4=24 种。所求概率为 243 56=7 B正确。 C项，由第4题可知，随机选取4个顶点，它们共面的概率为 6 35 C正确。 D项，正方体内可由顶点构成的正四面体有2个。从8个顶点中选4个共有 =70 种，所以概率为 2 70=35 不是希。D错误。 综上，选ABC。 学 三、填空题 题号 12 13 14 V10 3 答案 169r 10 2 12. 设长方体坐标为 A(0,0,0), B(2,0,0),C(2,3,0), D(0,3,0), A1(0,0,6) 则 41B=(2,0,-6) 直线CD与AB平行，其方向向量可取 DC=(2,0,0). 所以异面直线A1B与CD所成角的余弦值为 AB.DC 4 1-0 A BIDC V22+62.2V10-101 13.因为PA,PB,PC两两垂直，所以三棱锥外接球直径为对应长方体的体对角线： 2R=VPA2+PB2+PC2 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第5页】 教研测评 一轮复习卷 代入PA=4,PB=3,PC=12,得 2R=V42+32+122=v169=13. 所以 R-3 外接球表面积为 S=4rR2=4r.169 4 =169m. 14.圆锥底面半径为3，高为4，母线长为 1=V32+42=5. 圆锥内半径最大的球为圆锥的内切球。考虑轴截面，它是等腰三角形，底边长为6，腰长为 5,5,高为4。 该三角形面积为 2·6.4=12. S= 半周长为 5+5+6 =8 2 内切圆半径为 S123 88=2 所以圆锥内最大球的半径为 3 2 四、解答题 15. 答案：四边形EFGH为平行四边形；其中心与线段MN的中点重合；球O的半径为 v2。 (1)在△ABC中，E,F分别为AB,BC的中点，所以 EF‖AC, EF= 在△ADC中，H,G分别为AD,DC的中点，所以 1 HG‖AC, HG=AC. 因此 EF‖HG, EF HG. 同理，在△BCD中， 1 FG‖BD, FG-BD. 在△BAD中， EH‖BD, EH=5BD. 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第6页】 教研测评 二轮复习卷 所以 FG‖EH,FG=EH. 故四边形EFGH为平行四边形。 (2)设四点A,B,C,D的位置向量分别为耳，B,C,D。因为E,G分别为AB,CD的中点，所 以 4+B G-C+D 2 2 四边形EFGH的中心为对角线EG的中点，其位置向量为 6-+豆+C+ 又M,N分别是AC,BD的中点，所以 A+C 2, N- B+币 2 线段MN的中点位置向量为 M+N 2 (+B+G+D) 两者相同。故四边形EFGH的中心与线段MN的中点重合。 (3)由（1)知 EF-AC. FG=BD 已知AC=BD=2V2,所以 EF FG=V2. 又AC⊥BD,且EF‖AC,FG‖BD,所以 EF⊥FG. 因此四边形EFGH为边长√2的正方形。其外接圆半径为正方形对角线的一半。正方形对 角线为 V2V2=2, 所以外接圆半径为1。 球心O到平面EFGH的距离为1，设球半径为R,则 R2=12+12=2. 所以 R=V2: sR()=1 答案：r0)=1 Fc0g2g+4:0<9≤2acos 1 16. 59 (1)在△ABC中， AB=AC=2,∠A=0. 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第7页】 教研测评 一轮复习卷 由等腰三角形性质， BC=2·2sin =4sin 2 由正弦定理， BC 4sin号 2r= sin A sin 所以 2sin号 r= sin 又 sin=2sin cos 故 1 r(0)= Cos? (2)设△ABC的外心为O1。因为PA⊥平面ABC,所以三棱锥外接球的球心O在过O1 且垂直于平面ABC的直线上。 设O到平面ABC的距离为x。则 0A2=r2+x2 又点P的垂足为A,且PA=4,所以 0P2=r2+(4-x)2 因为A,P都在球面上，所以 OA-OP. 于是 2+x2=2+(4-x)2. 解得x=2。因此外接球半径满足 R2=0A2=r2+22 由(1)得 r2=1 c0s2号 所以 R(0)=1 c0s2g+4. (3)由题意R(θ)≤3，所以 R2(0)≤9. 即 1 c0s2g+4≤9. 因此 1 cos2g5. 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第8页】 教研测评 一轮复习卷 因为0<日<元，所以0<号<，且 cos >0. 于是 01 所以 0<2≤arccos 5 故 1 0<θ≤2 arccos 17.答案：AC=V19;三组对棱为AB=CD=5,BC=AD=3,AC=BD=√19； 3π 外接球表面积为2 (1)在△ABC中，由余弦定理， AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC. 代入AB=5,BC=3,∠ABC=60°，得 40心=52+32-2-53=25+9-15=9 故 AC =V19 (2)折叠前后，△ABC与△AB'C全等，所以 AB'=AB=5, B'C=BC=3. 平行四边形中 CD=AB=5. AD=BC=3. 又题设 B'D=AC=V19. 因此三棱锥B'-ACD的三组对棱为 AB'=CD=5, B'C=AD=3, AC=B'D=V19. 它具有“三组对棱分别相等”的结构，可看作某个长方体的四个隔顶点构成的四面体。 (3)设对应长方体共顶点的三条棱长分别为x,y,,则该四面体三组对棱分别对应长方体的 三组面对角线，其平方分别为 x2+y2,x2+z2, y2+22. 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第9页】 教研测评 一轮复习卷 因此 25+9+19=2(x2+y2+22). 故 2+2+2-53 2 该四面体的外接球就是对应长方体的外接球，半径为 R-V++0- 1 53 2V2 所以 =3 1 外接球表面积为 S=4rR2=4r.53=53m 8 2 18. 答案：弟()门餐率为：第(2)门瓶本为号：第3)门瓶率为店止四面体外 3 接球表面积为12π。 (1)从8个顶点中选3个，共有 8 56 种。一个面有4个顶点，从该面中选3个，有 种。正方体共有6个面，因此同属于某一个面的三点共有 6.4=24 种。所以概率为 243 56=7 (2)从8个顶点中选4个，共有 4 =70 种。四点共面分两类：第一类为正方体的面，共6个；第二类为正方体的对角截面，共6个。 所以共面的选法共有 12 种。所求概率为 126 70=35 (3)正方体的8个顶点中，可以构成正四面体的选法有2种。例如可取正方体中互不相邻的 隔顶点组成一个正四面体，另一组为其互补顶点。所以概率为 221 否7元35 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第10页】 教研测评 一轮复习卷 正方体棱长为2，该正四面体的棱长为正方体的面对角线： a=2v2. 正四面体外接球半径为 R=6,=v6 4a= 4 22=V5. 因此外接球表面积为 S=4πR2=4π·3=12π. 19. 答案：xn+1=V2 +1;=V2-2:m8=8 产●X (1)第个三棱锥中，从顶点P出发的三条棱两两垂直，长度分别为 In,In,2. 因为三条棱两两垂直，所以三棱锥可补成长方体。外接球直径为长方体体对角线，因此 2m=√%+%+22. 所以 .=V2+4 1 又xn+1=Rm,故 xm+1= 2V2端+4=V2 (2)令 h=x品 则 1 a+1=品+1=5n+1. 又1=1，所以1=1。递推式为 1-2=-2 因此 n-2=(1-2) 因为1-2=-1，所以 n=2- 即 x品=2-21-n. 由于xn>0,所以 xn=V2-21-n (3)第n个三棱锥外接球半径为 Rn In+1. 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第11页】 教研测评 二轮复习卷 所以 Sn=4πR=4rx品+1 由(2)知 品+1=2-2n 因此 Sm=4π(2-2-). 令n→∞，得 lim Sn=4r·2=8π. 新高考数学 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第12页】 教研测评 一轮复习卷