2027 届新高考一轮复习特训卷五

绝密大启用前 试卷类型：A 2027届新高考一轮复习特训卷 数学 数学（五) 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必将姓名、班级、考号等信息填写在答题卡指定位置。 3.选择题答案须填涂在答题卡对应区域；非选择题答案须写在答题卡指定区域内。 4.写在本试卷上无效；考试结束后，请按要求交回答题卡。 题号 三 四 总分 等级 分值 40 18 15 77 150 得分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求。 1.在平面直角坐标系中，定义两点P(1,1),Q(c2,2)之间的“竖权距离”为 d(P,Q)=1g1-x2+2y1-2l 设F(-1,0),F2(1,0)。点P满足d(P,F)+d(P,F2)=6,则点P的轨迹与y轴所得线段的 长度为 A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知椭圆E:二十了=1。直线1：=my+1与椭圆E交于A,B两点，线段AB的中 点为M。若点M在直线y=x-1上，则实数m的取值集合为 A.{0 B.{1} C.{0,1} D.{-1,0] 3.已知直线族l+:y=2tc-2(t∈R)。若某曲线C满足：直线族中每一条直线都是曲线C 上某点处的切线，且曲线C上每一点处的切线均属于该直线族，则曲线C的方程为 A. y=x2 B.y=-x2 2 C.y=4 D.y=2x2 4.从集合{-2，-1,0,1,2}中随机取一个整数k。若直线y=kx+1与圆(x-2)2+y2=1 有公共点，则所取整数满足条件的概率为 A. 2 B. 5 C. 3-5 n 5.对于曲线y=f(x),若圆C在点A处与曲线有相同的切线，并且在该点处二阶导数相同， 则称圆C为曲线在点A处的“二阶贴圆”。已知曲线y=2x2在原点处的二阶贴圆圆心在y 轴正半轴上，则该二阶贴圆的半径为 A.4 B.2 C.1 D.2 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学（五）第1页（共4页）】 教研测评 轮复习卷 6.已知点Pn(cn,n)在双曲线x2-y2=1上，且cn>0。记u=xn-n。若 1 33 un+1=24n 则3十3= A.6 B.9 C.12 D.18 7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，建立空间直角坐标系，使A(0,0,0),B(1,0,0), D(0,1,0),A1(0,0,1)。平面x+y+之=1截正方体所得截面的形状和面积分别为 A. 等边三角形， V③ B.正方形，1 √3 C. 正六边形，4 D.等腰直角三角形，2 1 8.已知椭圆E: 4+=1。过点F(1,0)的直线1不与x轴重合，且与椭圆E交于A,B 两点。设椭圆E在点A,B处的切线交于点T,则点T一定在直线 A.x=1 B.x=2 C.x=4 D.y=0 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9.在平面直角坐标系中，定义两点P(c1,1),Q(x2,2)之间的“直角距离”为 d(P,Q)=1-2+v1-v2. 设F(-1,0),F2(1,0)。点P(c,y)满足d(P,F)+d(P,F2)=6。则下列说法正确的是 A.点P的轨迹关于x轴、y轴均对称 B.点P的轨迹所围区域中，x的取值范围为【-3,3) C.点P的轨迹所围区域面积为16 D.该轨迹与直线y=x有4个公共点 10.已知直线族t:y=2tc一2(t∈R),则下列说法正确的是 A.直线族l4的包络曲线为y=x2 B.点(1,2)不在该直线族的任意一条直线上 C.点(1,1)恰在该直线族中的两条不同直线上 D.若点P(c,O)且x≠0，则经过点P的该直线族中的直线恰有两条 11.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，建立空间直角坐标系，使A(0,0,0),B(1,0,0), D(0,1,0),A1(0,0,1)。对0<t<1,设平面Π：：x+y+z=3t截正方体所得截面为K,其 面积为S(t)。则下列说法正确的是 A.当t=3时，K:是等边三角形 B当t=专时，K,是正六边形 C.对任意0<t<1,均有S(t)=S(1-t) 2 D. 当t=3时，K是正方形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学（五）第2页（共4页）】 教研测评 12.已知A(-1,0),B(1,0)。点P(x,y)满足直线PA与直线PB的斜率均存在，且kPA·kPB= 一2。则点P的轨迹为椭圆的一部分，该椭圆的离心率为一 13.对曲线y=f(x),若某圆在点A处与曲线有相同切线，并且在该点处二阶导数相同，则 称该圆为曲线在点A处的“二阶贴圆”。曲线y=x2+1在点(0,1)处的二阶贴圆半径为 14.在整数点集合 2={(x,y)|x,y∈Z,-2≤x≤2，-2≤y≤2} 中随机取一点P(x,y)。若x+≤2，则点P满足条件的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)】 已知椭圆E:+=1,点T3,0)。过点T的直线1不与x轴重合，且与椭圆E交于 A,B两点。椭圆E在点A,B处的切线交于点Q (1)当1：x-3y-3=0时，求点A,B的坐标； (2)证明：点Q在一条定直线上，并求该定直线方程； (3)若点Q到x轴的距离为2，求直线1的方程。 16.（本小题满分15分) 在平面直角坐标系中，定义两点P(x1,1),Q(x2,y2)之间的“竖权距离”为 d(P,Q)=Z1-x2+2y1-y2 设(-1,0)，F2(1,0)。点P(x,y)满足 d(P,F)+d(P,F2)=6. 记其轨迹为「。 (1)求的方程 (2)研究Γ的对称性，并求下所围成区域的面积； (3)从整数点集合 2={(x,y)|x,y∈Z,-3≤x≤3，-2≤y≤2} 中随机取一点，求该点落在工所围闭区域内的概率。 17.（本小题满分15分) 已知抛物线C:y=4x。对任意正数t,记P(t)=(t,2t)。令t1=1,Pn=P(tn)。过点Pm 作直线，其斜率为3。，直线a与抛物线C的另一个交点为P+1=P+h, 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学（五）第3页（共4页）】 教研测评 (1)求P,P的坐标 (2)证明：数列{tn}是等比数列，并求其通项公式； (3)设Sn=S△oRB+1,其中O为坐标原点。证明：数列{Sn}是等比数列，并求其公比。 18.(本小题满分17分) 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，建立空间直角坐标系，使 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1) 对0<t<1,设平面Πt:x+y+之=3t截正方体所得截面为Kt,其面积为S(t)。 (）当0<t≤3时，判断K,的形状，并用t表示St): (②证明：当t-日时，风为正六边形，并末此时S的值： (3)探索S(t)的最大值，并求取得最大值时t的值。 19.（本小题满分17分) 对曲线y=f(x)上的点A(o,f(xo),若某圆在点A处与曲线有相同切线，并且在点A处 的二阶导数与曲线相同，则称该圆为曲线在点A处的“二阶贴圆”，其半径称为曲线在点A 处的“贴圆半径”。 已知当"(xo)≠0时，贴圆半径可表示为 R(o)= 1+[f'(o)]2) f"(o)川 设f(x)=lnx(x>0)。 (1)求曲线y=lnx在点(x,1nx)处的贴圆半径R(c); (2)求R(x)的最小值，并指出取得最小值时的x; (3)若0<x1<x2,R(x1)=R(x2),证明： 1 C1C2< V3 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学（五）第4页（共4页)】 教研测评 参考答案与解析 2027届新高考一轮复习特训卷·数学（五） 一、单项选择题 题号12345678 答案B CA B AC A C 1. 由题意， d(P,F)+d(P,F2)=x+1+lx-1+4y: 所以轨迹方程为 x+1+x-1+4y=6. 令x=0,得 1+1+4y=6, 即=1。故轨迹与y轴所得线段为-1≤y≤1，长度为2。故选B。 2.将直线x=my+1代入椭圆方程 4+=1, 得 (my+1)2 +2y2=1. 4 整理得 (m2+4)y2+2my-3=0. 设交点A,B的纵坐标分别为1,2，则 2m 1+2= m2+4 所以中点M的纵坐标为 m yM=一 2+4 又x=my+1,所以 m2 IM=myM+1=1-- 4 2+4=m2+4 由题意，点M在直线y=x-1上，因此 m2+4m2+4-1=-m m 4 m2+4 于是 m2-m=0. 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第1页】 教研测评 一轮复习卷 解得 m=0或m=1. 故选C。 3. 直线族为 y 2tx -t2. 注意到函数y=x2在点(t,)处的切线方程为 y-t2=2t(x-t), 即 y=2tx-t2. 所以该直线族正是抛物线y=x2的切线族，其包络曲线为 y=x2. 故选A。 4.直线y=kx+1化为kx-y+1=0。圆(x-2)2+y2=1的圆心为C(2,0),半径为1。 圆心到直线的距离为 d=_ 2k+1 V2+1 直线与圆有公共点，等价于d≤1，即 12k+1 ≤1. vV2+1 两边平方，得 2k+1)2≤k2+1, 整理得 3k2+4k≤0. 所以 ≤ks0 4 在集合{-2，-1,0,1,2}中，满足条件的是-1,0，共2个。因此概率为 2-5 故选B。 5.曲线为y=2x2。设其在原点处的二阶贴圆圆心为(0，r),半径为r。圆方程为 x2+(y-r2=r2 原点附近取圆的下半支： y=r-Vr2-x2 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第2页】 教研测评 一轮复习卷 其在x=0处的二阶导数为是。而曲线y=22的二阶导数为4。由二阶导数相同，得 14. 所以 = 故选A。 6.因为点P(cn,n)在双曲线x2-2=1上，所以 (In-yn)(En +yn)=1. 由un=xn-yn,得 十h= 1 又 r() 新所以 541 山=33=3 并且n+1=山n,于是 1 u2= 6 u3121 所以 1 3+y3==12. 3 故选C。 7.平面x+y+之=1与三个坐标轴分别交于 (1,0,0), (0,1,0),(0,0,1) 即正方体的三个顶点B,D,A1。因此截面为三角形BDA1。 三边长度均为 V(1-0)2+(0-1)2=V2, 所以截面是边长为√2的等边三角形。面积为 wr= V3 2 故选A。 8.椭圆 在点(xo,yo)处的切线方程为 0+y跏=1. 4 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第3页】 教研测评 二轮复习卷 设A(x1,1),B(x2,2),两切线交于T(X,Y),则 X1+Yh=1, 4 X2+Y纨=1. 4 这说明A,B都在直线 X+Yy=1 4 上。而A,B又在过点F(1,0)的直线1上，所以点F(1,0)也满足 X+Yy=1. 4 代入F(1,0),得 =1 4 所以 X=4. 故点T一定在直线x=4上。故选C。 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 ABC ABD ABC 9.由题意， d(P,F)+d(P,F2)=x+1+x-1+2ly 所以轨迹方程为 |c+1+x-1+2y=6. 由于方程中x只以对称形式出现，y以出现，所以轨迹关于x轴、y轴均对称，A正确。 由 x+1+x-1≤6 可得 -3≤x≤3. B正确。 求所围区域面积时，考虑 |x+1+x-1+2≤6. 当x≤1时，x+1+x-1=2,于是≤2，中间矩形面积为2×4=8。 当1≤x≤3时，2x+2y≤6，即ly≤3一x,右侧三角形面积为4。左侧同理，面积也为 4。所以总面积为 8+4+4=16. C正确。 令y=x,代入轨迹方程，得 x+1+x-1+2x=6. 当x≥1时，得x=多；当x≤-1时，得x=-多；当-1<x<1时无解。所以轨迹与直 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第4页】 教研测评 一轮复习卷 线y=x只有2个公共点，D错误。 综上，选ABC。 10.直线族 14:y=2tx-t2 是抛物线y=x2的切线族，A正确。 点(1,2)若在某条直线上，则 2=2t-t2, 即 2-2t+2=0. 其判别式为△=4一8=-4<0，故无实数t满足，B正确。 点(1,1)若在某条直线上，则 1=2t-t2, 即 (t-1)2=0. 只有一条直线对应t=1,不是两条，C错误。 点P(x,O)若在某条直线上，则 0=2tx-t2=t(2x-t) 当x卡0时，有两个不同实根 t=0,t=2x. 所以经过点P(x,O)的该直线族中的直线恰有两条，D正确。 综上，选ABD。 11.令c=3t,平面为x+y+2=C。 当t=3时，c=1,截面由 (1,0,0)(0,1,0),(0,0,1) 组成，是等边三角形，A正确。 当t=时，c=多，平面位于正方体中部，截面为正六边形，B正确。 正方体关于中心(，，)中心对称。变换 (c,y,2)→(1-x,1-y,1-z) 会把平面x+y+之=3t变为x+y+之=3(1-t)。因此两个截面全等，面积相等，即 S(t)=S(1-t). C正确。 当t=号时，c=2,截面由 (1,1,0),(1,0,1),(0,1,1) 组成，是等边三角形，不是正方形，D错误。 综上，选ABC。 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第5页】 教研测评 一轮复习卷 三、填空题 题号 12 1314 答案 V2 113 2225 12. 设P(x,y)。由题意， KPA y x+1 KPB- x-1 由KPAKPB=-2,得 2 (x+1)(x-1) -2 即 y2 x2-1=-2. 整理得 2x2+22=2, 即 22+ F=L 这是以y轴为长轴的椭圆，长半轴a=V2,短半轴b=1。于是 c=Va2-b2=1. 故离心率为 e=c- 1V2 a 4=2 13.曲线为y=x2+1。在点(0,1)处， f'(0)=0, f"(0)=2. 设贴圆半径为？，圆心在(0,1+r)。圆的下半支在该点附近的二阶导数为二。由二阶导数相 同，得 -2 所以 14.集合2中共有5×5=25个整数点。满足x+≤2的整数点按层数统计：当 x+=0时有1个点；当x|+=1时有4个点；当x+y=2时有8个点。 所以满足条件的点共有 1+4+8=13 个，故概率为 13 25 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第6页】 教研测评 一轮复习卷 四、解答题 15.答案：A(0,-1),B(酷，-)；点Q在定直线x=专上；l:x+6g-3=0或c-6y-3=0。 (1)直线1：x-3y-3=0,即x=3y+3。代入椭圆 Z 4+=1, 得 3w+3}+2=1. 4 两边乘以4，整理得 13y2+18y+5=0. 解得 y=-1或y=- 5 当y=-1时，x=0;当y=-是时，c=卷。所以 A(0,-1, 或顺序相反。 (2)设A(c1,1),B(x2,y2)。椭圆 在点(xo,o)处的切线方程为 c0+y0=1. 设两切线交于Q(X,Y),则 4 +Yh=1, X2+Yh=1. 4 所以A,B都在直线 X2+YU=1 4 上。而A,B又在过点T(3,0)的直线1上，所以T也在该直线上。代入T(3,0),得 3X=1. 故 4 X=3 因此点Q恒在定直线 上。 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第7页】 教研测评 二轮复习卷 (3)由(2)知Q∈x=号。又点Q到x轴的距离为2，所以 Q(或（2 若Q(,2),则AB所在直线为 +2w=1, 4 即 3+2y=1. 整理得 x+6y-3=0. 若Q(,-2),则AB所在直线为 2y=1, 整理得 x-6y-3=0. 因此直线1的方程为 x+6y-3=0或x-6y-3=0. 16. 答案：Γ：c+1+x-1+4y=6;关于x轴、y轴及原点对称，面积为8；概率为 13 350 (1)由题意， d(P,F)=c+1+2,d(P,F2)=lx-1+2y 所以 d(P,F)+d(P,F2)=x+1+x-1+4y 由题意得 T:x+1+x-1+4y=6. (2)方程中，将x换成-x,方程不变；将y换成一y,方程也不变。所以Γ关于x轴、y轴 均对称，也关于原点对称。 求面积时，考虑闭区域 x+1+x-1+4≤6. 当x≤1时，x+1+x-1=2,于是y≤1，中间部分是宽2、高2的矩形，面积为4。 当1≤x≤3时，2x+4≤6，即 ≤ 右侧是一个底长为2、高为2的三角形，面积为2。左侧同理，面积也为2。所以总面积为 4+2+2=8 (3)集合2中共有7×5=35个整数点。要求整数点满足 x+1+x-1+4y≤6. 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第8页】 教研测评 一轮复习卷 当y=0时，需要x+1+x-1≤6，在-3≤x≤3中全部满足，共7个。 当y=1或y=-1时，需要x+1+x-1≤2，等价于-1≤x≤1。每层有3个点，两 层共有6个。 当以≥2时，4≥8>6，不可能满足。故满足条件的整数点共有7+6=13个。所求概 率为 13 35 17.答案：P2(4,④)，P(16,8);tn=2n-1;{Sn}是等比数列，公比为8。 (1)抛物线上两点P(s)=(s2,2s),P(t)=(t2,2t)连线斜率为 2s-2t 2 s2-t2 s+t 题中规定直线的斜率为3是，因此 2 lati +in= tn 所以 tn+l 2tn. 又t=1,故t2=2,t3=4。于是 P2=(4,4), P3=(16,8) (2)由(1)知 tn+1 2tn. 所以数列{tn}是首项为1、公比为2的等比数列。故 tn 2n-1. (3)由 Pn=(t场，2tn), Pn+1=(4t号，4tn), 得 计算得 s.=-4=28 1 由于tn+1=2tn,所以 Sn+1 Sn 因此{Sn}是等比数列，公比为8。 18. 答案：当0<t≤专时，K:为等边三角形，S()=y;S()=3;Sm=Y, A 此时t=2。 令c=3t,则平面为 x+y+之=C. 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第9页】 教研测评 一轮复习卷 (1)当0<t≤三时，有0<c≤1。平面与三个坐标轴分别交于 (c,0,0),(0,c,0),(0,0,c. 因此截面K是等边三角形，边长为cV2。所以 50)-v 3, 又c=3t,故 3 s0)=2 (2)当t=号时，c=多。平面 红+9十2 3 截正方体所得截面顶点为 (0(1.o）(0)(0）(,（1.) 相邻两点距离均为 且六边形各角相等，所以K为正六边形。其边长为Q=2,面积为 S 4 (3)当0<c≤1时， 当1≤c≤2时，可看作大等边三角形截去三个小等边三角形。大等边三角形边长为c√2，每 个被截去的小等边三角形边长为(c-1)v2,所以 s-(c-3(e-1) 即 s-9e-c-明= 2(-2c2+6c-3). 当2≤c<3时，由正方体中心对称性， S(c)=S(3-c). 因此最大值只需看中间段1≤c≤2。函数-2c2+6c-3是开口向下的二次函数，其对称轴 为c=多，故最大值在c=是处取得。此时 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第10页】 教研测评 一轮复习卷 最大面积为 4 19. 答案：=2+1小32 3V3 ;Rn=,此时x三5若0<1<2，R()=R(2), 1 则< (1)因为 fe倒=是 ")=是 2 所以 If"() x2 于是 R=1+3) 由于x>0,故 R(c)=2+1)3p (2)考虑 R()=2+1)3 22 令u=x2>0,则 R2=(u+1)3 设 9()= (u+1)3 u 求导得 gu)=u+1)22u-1) u2 所以当0<u<号时，g(u)<0;当u>号时，g(u)>0。因此u=时，R2取得最小值，即 v 此时 Rn=侵+1)e 3V5 归 2 (3)由 R()=2+1)3e 可得 R(c)23=2+1 x23 设 a=, b=28. 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第11页】 教研测评 一轮复习卷 因为0<r1<x2,所以0<a<b。由R(x1)=R(x2),得 好+1-吃+ 即 03+1_3+1 a Γb 所以 0+=2+6 1 a 移项得 (a-b)(a+)= a-b ab 由于a≠b,两边除以a-b,得 1 a+b= ab 所以 ab(a+b)=1. 又0<a<b,故 a+b>2Vab. 于是 1=ab(a+b)>2(ab)3/2 所以 (aby 1 而 =(ab)32. 因此 11 x12< 2< 故 1 x1x2< 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第12页】 教研测评 一轮复习卷