精品解析：河南省周口市第四初级中学2025-2026学年下学期期末质量监测八年级数学

河南省周口市第四初级中学2025-2026学年下学期期末质量监测八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 1，1， B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 6，8，11 3. 下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 4. 下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 学校组织了“安全知识”小竞赛，某班的5位同学成绩（单位：分）如下：90，91，92，95，95．将这组数据按从小到大排列，则与的组内离差平方和为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 5 6. 已知直线过点和点，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 7. 过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 8. 将直线向上平移个单位后，得到直线．则下列关于直线的说法正确的是（ ） A. 与轴交于 B. 与轴交于 C. 随的增大而减小 D. 经过第一、二、三象限 9. 八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（ ） A. 甲组跳绳次数的波动比乙组大 B. 乙组跳绳次数的中位数比甲组小 C. 甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D. 乙组跳绳次数的最大值大于190 10. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，则的长为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是_________． 12. 如图是甲、乙两名同学6次射击成绩的折线统计图，甲、乙两人射击成绩的方差的大小关系____________． 13. 如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第7个图形中黑色棋子的个数为____________． 14. 17世纪法国数学家笛卡尔在前人的基础上创立了平面直角坐标系，通过坐标系将几何问题转化为代数问题，为数学研究提供了新的工具和方法．如图所示，将等腰直角三角板的两个顶点放在两坐标轴上，若直角边所在直线的解析式为，则点的坐标为_____． 15. 如图，在矩形中，点E在上，且，，，点P是线段上的一个动点，将点B沿翻折得点F，当时，________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算 （1）； （2）． 17. 汽车“以旧换新”正在各地如火如荼地进行，小林爸爸准备趁着国家的好政策换购一辆新能源汽车．在预算范围内，他打算从A，B两款汽车中换购一辆．为此，小林和爸爸收集了10名消费者对这两款汽车的相关评价，并整理、分析如下表： 表一：A，B两款汽车的四项指标得分统计表 指标 外观造型 舒适程度 操控性能 售后服务 A款 6 7 8 8 B款 7 8 6 7 表二：A，B两款汽车的满意度得分统计表 A款 5 5 6 6 7 8 8 8 8 9 B款 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9 根据以上信息，解答下列问题： （1）若小林爸爸认为汽车四项指标的重要程度有所不同，且给予“外观造型”“舒适程度”“操控性能”“售后服务”四项指标得分的占比为，请你帮小林爸爸计算A，B两款汽车四项指标得分的平均分． （2）A款汽车满意度得分的众数为__________；B款汽车满意度得分的中位数为__________． （3）结合（1）（2）的结论，你建议小林爸爸换购哪款汽车？简要说明理由． 18. 如图，四边形中，，垂足为点B，连接．若． （1）求的长； （2）求证． 19. 如图，直线与直线相交于点，与轴分别交于A，B两点． （1）求b，m的值； （2）求直线与直线与轴组成的图形面积． 20. 如图，在平行四边形中，点为对角线延长线上的一点，连接，，请完成以下问题： （1）在平行四边形的外部，用尺规作，且射线交直线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）问的条件下，求证：四边形是平行四边形． 21. 某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示： 类型 价格 进价（元/盏） 售价（元/盏） A型 50 75 B型 70 100 （1）若商场预计进货款为6200元，则这两种台灯各购进多少盏？ （2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？ 22. 问题：探究函数 的图象与性质． 数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究． （1）在函数 中，自变量 可以是任意实数，下表是与的几组对应值． … 0 1 2 3 4 … … 0 1 2 3 4 2 1 0 … ①表格中a的值为_____； ②若为该函数图象上的点，则 _____． （2）在如图的平面直角坐标系中，描出上表中的各点，画出该函数的图象． （3） 结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为_____． ②写出该函数的一条性质：_____． 23. 综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“折叠过程中蕴含的数学知识”为主题，开展数学活动．数学活动课上，老师发给每个学习小组一些正方形纸片，让同学们在动手折叠、观察、探究、发现的过程中提出数学问题或结论． 如图，在边长为的正方形中，点，分别为，边上的点，将正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处． （1）【问题解决】 赵虎同学观察思考后提出了两个问题，如图①，连接，则与折痕的位置关系是__________，与的数量关系是__________． （2）【问题探究】 希望小组的同学继续折叠纸片，提出了一个有趣的问题，如图②，当正方形边长为定值时，连接，在翻折过程中，平分，试探究的面积是否为定值，若为定值，请求出的面积；若不是定值，请说明理由； （3）【拓展延伸】 最后，老师提出一个问题，若，求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省周口市第四初级中学2025-2026学年下学期期末质量监测八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判断，解题的关键是掌握最简二次根式满足的两个条件：①被开方数是整数，字母因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此依次对各选项进行分析即可． 【详解】解：A．被开方数是小数，故此选项不符合题意； B．，其中因数能开方，故此选项不符合题意； C．被开方数是分数，故此选项不符合题意； D．该二次根式是最简二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 1，1， B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 6，8，11 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理逐项计算可得. 【详解】选项A，12+12=（）2； 选项B，22+32≠42； 选项C，42+52≠62； 选项D，62+82≠112； 根据勾股定理的逆定理，只有选项A符合条件， 故答案选A． 考点：勾股定理的逆定理． 3. 下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误，不符合题意； 有三个角是直角的四边形是矩形，故B错误，不符合题意； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C错误，不符合题意； 对角线互相垂直的矩形是正方形，故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 4. 下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义，根据一次函数（形式为，）和正比例函数的定义，逐一验证各选项是否符合“一次函数但”的条件． 【详解】解：∵ 一次函数需满足自变量x的次数为1且为整式；正比例函数是一次函数中的特殊情况， A项：，形式为，，是正比例函数，不符合要求； B项：，x的次数为2，不是一次函数，不符合要求； C项：，形式为，，，故是一次函数但不是正比例函数，符合要求； D项：，即，x的次数为，不是一次函数，不符合要求， 故选：C． 5. 学校组织了“安全知识”小竞赛，某班的5位同学成绩（单位：分）如下：90，91，92，95，95．将这组数据按从小到大排列，则与的组内离差平方和为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据组内离差平方和的定义求解，分别计算两组的组内离差平方和，再相加即可得到结果． 【详解】首先计算第一组的离差平方和 ， 第一组的平均数， 第一组离差平方和， 再计算第二组的离差平方和， 第二组的平均数， 第二组离差平方和， 总组内离差平方和为 ． 6. 已知直线过点和点，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质；根据一次函数中可知，随的增大而减小，据此求解． 【详解】解：直线过点和点， ， 随的增大而减小， ， ， 故选：A． 7. 过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将边形分成个三角形”确定的值，再代入内角和公式：（，为正整数）进行计算即可． 【详解】解：∵过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，设该多边形的边数为， ∴， 解得：， ∴这个多边形的内角和是：． 8. 将直线向上平移个单位后，得到直线．则下列关于直线的说法正确的是（ ） A. 与轴交于 B. 与轴交于 C. 随的增大而减小 D. 经过第一、二、三象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数图象平移等知识，先由一次函数图象的平移得到直线解析式，得到新直线后，根据一次函数的性质判断各选项． 【详解】解：∵将直线向上平移个单位， ∴新直线为，即，， A、当时，，与轴交于，故此选项错误，不符合题意； B、当时，，解得，与轴交于，故此选项错误，不符合题意； C、，∴随的增大而增大，故此选项错误，不符合题意； D、，，∴直线经过第一、二、三象限，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 9. 八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（ ） A. 甲组跳绳次数的波动比乙组大 B. 乙组跳绳次数的中位数比甲组小 C. 甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D. 乙组跳绳次数的最大值大于190 【答案】C 【解析】 【分析】根据箱线图的特征，分别观察甲、乙两组数据的极差（波动情况）、中位数位置、下四分位数位置及最大值位置，结合选项逐一判断即可． 【详解】解：由箱线图可知：甲组数据的极差约为，乙组数据的极差约为，且甲组箱体长度大于乙组，  则甲组跳绳次数的波动比乙组大， 故A选项说法正确； 甲组中位数（箱体内横线）约为180，乙组中位数约为170，  ，  乙组跳绳次数的中位数比甲组小， 故B选项说法正确； 甲组下四分位数（箱体下边缘）对应数值约为170， 甲组跳绳次数的下四分位数小于180， 故C选项说法错误； 乙组最大值（上须顶端）对应数值约为195，  乙组跳绳次数的最大值大于190， 故D选项说法正确． 10. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，则的长为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先证明，进而求出的长，利用三角形的中位线定理，进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点，， ∴. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数．据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 如图是甲、乙两名同学6次射击成绩的折线统计图，甲、乙两人射击成绩的方差的大小关系____________． 【答案】 【解析】 【分析】方差越小，成绩波动越小，成绩越稳定，据此结合折线统计图可得答案． 【详解】解：由统计图可知，甲同学6次射击成绩的波动比乙同学6次射击成绩的波动大， ∴． 13. 如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第7个图形中黑色棋子的个数为____________． 【答案】22 【解析】 【分析】观察可知，序号每增加1，黑色棋子的个数就增加3，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图形中黑色棋子的个数为， 第2个图形中黑色棋子的个数为， 第3个图形中黑色棋子的个数为， ……， 以此类推，可知，第7个图形中黑色棋子的个数为． 14. 17世纪法国数学家笛卡尔在前人的基础上创立了平面直角坐标系，通过坐标系将几何问题转化为代数问题，为数学研究提供了新的工具和方法．如图所示，将等腰直角三角板的两个顶点放在两坐标轴上，若直角边所在直线的解析式为，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，如图，先利用直线的解析式确定，，再证明得到，，所以． 【详解】解：过点作轴于点，如图， 当时，， 解得， ， 当时，， ， 为等腰直角三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ． 15. 如图，在矩形中，点E在上，且，，，点P是线段上的一个动点，将点B沿翻折得点F，当时，________． 【答案】7或 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，分两种情况：当翻折后，点在下方时，当翻折后，点在上方时，分别作出图形，构造直角三角形利用勾股定理建立方程是解题的关键． 【详解】解：当翻折后，点在下方时，过点作，并延长交于于， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，则， 则四边形也是矩形， ∴，，， ∴， 由翻折可知，，， ∴， ∴，则， 设，则， 由勾股定理可得：，即：，解得：， ∴； 当翻折后，点在上方时，过点作，交于于， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，则， 则四边形也是矩形， ∴，，， ∴， 由翻折可知，，， ∴， ∴，则， 设，则， 由勾股定理可得：，即：，解得：， ∴（此时点与点重合）； 综上，或． 故答案为：7或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 汽车“以旧换新”正在各地如火如荼地进行，小林爸爸准备趁着国家的好政策换购一辆新能源汽车．在预算范围内，他打算从A，B两款汽车中换购一辆．为此，小林和爸爸收集了10名消费者对这两款汽车的相关评价，并整理、分析如下表： 表一：A，B两款汽车的四项指标得分统计表 指标 外观造型 舒适程度 操控性能 售后服务 A款 6 7 8 8 B款 7 8 6 7 表二：A，B两款汽车的满意度得分统计表 A款 5 5 6 6 7 8 8 8 8 9 B款 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9 根据以上信息，解答下列问题： （1）若小林爸爸认为汽车四项指标的重要程度有所不同，且给予“外观造型”“舒适程度”“操控性能”“售后服务”四项指标得分的占比为，请你帮小林爸爸计算A，B两款汽车四项指标得分的平均分． （2）A款汽车满意度得分的众数为__________；B款汽车满意度得分的中位数为__________． （3）结合（1）（2）的结论，你建议小林爸爸换购哪款汽车？简要说明理由． 【答案】（1）A款汽车四项指标得分的平均分为，B款汽车四项指标得分的平均分为 （2）8；7 （3）解：建议换购A款汽车，理由如下： A款四项指标的加权平均分更高，且消费者满意度的众数更高，整体评价优于B款，故建议换购A款汽车． 【解析】 【分析】（1）根据加权平均数的计算方法求解即可； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）根据A款汽车的加权平均分高，且众数大可得结论． 【小问1详解】 解：A款汽车四项指标得分的平均分为， B款汽车四项指标得分的平均分为； 【小问2详解】 解：A款汽车的满意度得分中，8出现了4次，出现的次数最多， ∴A款汽车满意度得分的众数为8； 把B款汽车满意度得分按照从小到大的顺序排列，第5个数为7，第6个数为7， ∴B款汽车满意度得分的中位数为； 【小问3详解】 略 18. 如图，四边形中，，垂足为点B，连接．若． （1）求的长； （2）求证． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键； （1）根据勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理解答即可． 【小问1详解】 解：在直角三角形中， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：在中， ∵， ∴， ∴，即． 19. 如图，直线与直线相交于点，与轴分别交于A，B两点． （1）求b，m的值； （2）求直线与直线与轴组成的图形面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把点P的坐标代入中求出b的值，即可得到点P的坐标，再把点P的坐标代入中求出m的值即可； （2）求出点A和点B的坐标，再求出的面积即可得到答案． 【小问1详解】 解：把点P的坐标代入得， ∴点P的坐标为， 把点P的坐标代入得， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得直线的解析式为， 在中，当时，，解得， 在中，当时，，解得， ∴， ∴， ∴， ∴直线与直线与轴组成的图形面积为． 20. 如图，在平行四边形中，点为对角线延长线上的一点，连接，，请完成以下问题： （1）在平行四边形的外部，用尺规作，且射线交直线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）问的条件下，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可； （2）由平行四边形的性质得到，证明，得到，则可证明，据此可证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示： 类型 价格 进价（元/盏） 售价（元/盏） A型 50 75 B型 70 100 （1）若商场预计进货款为6200元，则这两种台灯各购进多少盏？ （2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？ 【答案】（1） A型台灯购进40盏，B型台灯购进60盏 （2） 当购进A型台灯25盏，B型台灯75盏时，销售完获利最多，此时利润为2875元 【解析】 【分析】（1）设型台灯购进盏，则B型台灯购进盏，结合题意列出方程，求解即可获得答案； （2）根据“B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍”，列不等式并求解可得，设总利润为元，由题意可得，由一次函数的性质即可获得答案． 【小问1详解】 解：设A型台灯购进盏，则B型台灯购进盏， 由题意，得， 解得 ， 则B型台灯购进盏． 答：A型台灯购进40盏，则B型台灯购进60盏； 【小问2详解】 解：∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍， ∴， 解得 ， 设总利润为元，由题意，得 ， ∵， ∴随的增大而减小， ∵为整数， ∴， ∴元． ∴A型台灯购进25盏，B型台灯购进75盏时获利最多，此时利润为2875元． 22. 问题：探究函数 的图象与性质． 数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究． （1）在函数 中，自变量 可以是任意实数，下表是与的几组对应值． … 0 1 2 3 4 … … 0 1 2 3 4 2 1 0 … ①表格中a的值为_____； ②若为该函数图象上的点，则 _____． （2）在如图的平面直角坐标系中，描出上表中的各点，画出该函数的图象． （3） 结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为_____． ②写出该函数的一条性质：_____． 【答案】（1）①3；② （2） （3）①4；②该函数图象关于 轴对称（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）①代入x的值即可求出a；②把 代入求值，即可得出答案； （2）描点，连线即可； （3）①根据函数图象可知最大值；②根据图象得出函数性质即可． 【小问1详解】 解：①把 代入 ，得 . ②把 代入 ，得 ， 解得 或10， 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：根据函数图象可知： ①函数最大值为4； ②由图象可知该函数的一条性质：函数 的图象关于y轴对称（答案不唯一）； 23. 综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“折叠过程中蕴含的数学知识”为主题，开展数学活动．数学活动课上，老师发给每个学习小组一些正方形纸片，让同学们在动手折叠、观察、探究、发现的过程中提出数学问题或结论． 如图，在边长为的正方形中，点，分别为，边上的点，将正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处． （1）【问题解决】 赵虎同学观察思考后提出了两个问题，如图①，连接，则与折痕的位置关系是__________，与的数量关系是__________． （2）【问题探究】 希望小组的同学继续折叠纸片，提出了一个有趣的问题，如图②，当正方形边长为定值时，连接，在翻折过程中，平分，试探究的面积是否为定值，若为定值，请求出的面积；若不是定值，请说明理由； （3）【拓展延伸】 最后，老师提出一个问题，若，求出的最小值． 【答案】（1）， （2）的面积为定值，的面积为 （3） 【解析】 【分析】（1）如图：过F作于M，由翻折的性质得出垂直平分，利用证明可得、，再利用角的和差以及垂直的定义即可解答； （2）如图：作于N，证明得出，利用折叠的性质可得，即，最后利用三角形的面积公式求解即可； 即可得出结论； （3）如图：作点C关于的对称点Q，连接、、，利用证明得出，则，当B、G、Q三点共线时，的值最小，最小值为的长，然后在中利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：，，理由如下： 如图：过F作于M， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵将正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处 ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵ 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即． 【小问2详解】 解：的面积为定值，的面积为． 如图：作于N， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵将正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处 ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图：作点C关于的对称点Q，连接、、，则垂直平分， ∴， ∵将正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 当B、G、Q三点共线时，的值最小，最小值为的长， 当时，，， ∴，即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $