第1章反比例函数专题提优1：”k“的几何意义2026-2027学年九年级数学上册苏科版

**基本信息** 以“模型”为核心，系统构建反比例函数几何意义的解题方法体系，从单点到两点、单反到双反递进，强化几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单反比例函数|6题（含3模型）|“一点一垂线”用垂线构三角形面积得k值；“一点两垂线”借矩形面积关联k；“两点”模型结合交点与面积综合求解|从单点简单模型到两点综合模型，逐步深化反比例函数k的几何意义应用| |双反比例函数|6题（含2模型）|“同侧双曲”通过平行坐标轴直线构面积差求k；“异侧双曲”利用跨象限图形性质分析面积关系|从同侧到异侧，拓展双曲共存情境下k值与图形面积的推理方法|

专题提优1“k”的几何意义 单反比例函数 一、“一点一垂线”模型 模型展示： PJ） \P() = SAAOR= 2 SAACP= 2 1,如图，反比例函数y=x>0的图象经过点A2,m,过点A作y轴的 X 垂线交y轴于点B.当点C在x轴正半轴上运动时，△ABC的面积为（) A.3B.6C.12D.无法确定 1/8 2.如图，在平面直角坐标系中，点A,B在函数y=x>0)的图象上，过 ,点A作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥X轴于点D,连接OA,OB交AC于，点E, 若AE=CE,四边形BECD的面积为3，则k的值为 0 二、“一点两垂线”模型 模型展示： '1 BP(x)) 0Λ SE利AOB=kl 2/8 3.如图，点A是反比例函数y=《的图象上的一，点，过点A作口ABCD,使 X ,点B,C在X轴上，点D在y轴上，若口ABCD的面积为6，则k的值是 B CO 4.如图，点A，B,C为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这 三个，点作x轴，y轴的垂线，与X轴的交点分别为，点D,E,F,图中所构成的阴 影部分的面积从上到下依次记为S1,S2,其中OD:DE:EF=1:2:3,若 S2=6,则S1= OD E 三、“两，点”模型 模型展示： 3/8 SAAnc=lkel SAAPP=2lkl SAPUP=2Ikl 5.如图，函数y=mX与y=k的图象交于A,B两点，过点A作AC垂直于y 轴，垂足为C,连接BC,若S△ABc=3,则k= 6.点A,B分别是双曲线y=Kk>0上的点，AC1y轴正半轴于，点 C,BD⊥y轴负半轴于点D,连接AD,BC,若四边形ACBD是面积为12的平 行四边形，则k= 4/8 双反比例函数 一、“同侧双曲”模型 模型展示： )1 yt y=x BA)= -k2 -T 0 OC B SAABO-- l l-12l 2 SE形ABcD=k,-k,l 1.如图，平行于X轴的直线与画数y=k>0,X0)和 y=k,>0,X>0的图象分别相交于A,B两点，点A在点B的右侧，C为x轴 上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1k2的值为（) A.5B.6C.7D.8 c o 2.如图，两个反比例函教y=5和y=3在第一象限内的图象依次是C和C2, X X 5/8 设点P在C1上，PC⊥x轴于点C,交C2于点A,PD⊥y轴于点D,交C2于点B, 则四边形PAOB的面积为 3.如图，平行四边形OABC的顶，点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上， B,C在第一象限，反比例函数y=1的图象经过点C,y=Kk≠0的图象经过点 X B.若OC=AC,则k= 二、“异侧双曲”模型 模型展示： 618 l+1 SAARC=SA△AB0= 2 4.如图，点A在双曲线y=2x>0上，点B在双曲线y=kx<0上，AB/1X 轴，点C是x轴上一点，连接AC,BC,若△ABC的面积是6，则k的值为 R C O 5.如图，正方形的对称中心在原点O,四个顶，点分别位于两个反比例函数 y=4和y=k的图象的四个分支上，则实数k的值为 X 6。如图，在平面直角坐标系中，过y=《x>0的图象上的点A,分别作x X 7/8 轴、y轴的平行线交y=2的图象于B,D两，点，以AB,AD为邻边的矩形 X ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1,S2,S,S4,若 S,+5+S,=兰，剥k的值为 = SS 0 S D 8/8专题提优1“k”的几何意义 单反比例函数 一、“一点一垂线”模型 模型展示： Px》 P,) 0 A SAAOP= 2 2 1.如图，反比例函数y=(x>0)的图象经过点A(2,m),过点A作y轴 的垂线交y轴于点B.当点C在x轴正半轴上运动时，△ABC的面积为（) A.3B.6C.12D.无法确定 B C 答案：A 解析：把x=2代入y=得y=3,aA(2,3):AB1y轴，AB//x轴， B(0,3),即0B=3,S△ABc=AB.0B=支×2×3=3.故选A 1/10 2.如图，在平面直角坐标系中，点A,B在函数y=发(x>0)的图象上， 过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D,连接OA,OB交AC于点E,若 AE=CE,四边形BECD的面积为3，则k的值为 答案：12 解析：：，点A,B在反比例函数y=意的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴， :S△A0c=SABOD=xX·y=克k:S△A0c=S△AOE+SAOEC=S△OEc+SI边阳Bm=S△BOD,:S△A0E= 3. :AE=CE,÷S△A0c=2SAA0E=2×3=6,k=2SAA0c=2×6=12. 二、“一点两垂线”模型 模型展示： '1 BP()) 0 SE利AOu=k 3.如图，点A是反比例函数y=袁的图象上的一点，过点A作ABCD,使点 B,C在x轴上，点D在y轴上，若ABCD的面积为6，则k的值是」 2/10 B CO 答案：-6 解析：作AE⊥BC于点E,如图，：四边形ABCD为平行四边形，·AD//x轴， :四边形ADOE为矩形，：S口AB①=S矩形ADOE,而 S矩形ADDE=|k,·k=6:k<0,k=-6. D B EC O 注意： 利用k”的几何意义求解k的值，首先得到的是k的值，我们需要结合图象 对k的正负进行讨论进而得到答案 4.如图，点A,B,C为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个 点作x轴，y轴的垂线，与x轴的交点分别为点D,E,F,图中所构成的阴影部分的 面积从上到下依次记为S1,S2,其中0D:DE:EF=1:2:3,若S2=6,则S1= S 答案：12 3/10 解析：如图，设反比例函数的表达式为 y=(k≠0)，：0D:DB:EF=1:2:3,b=k,c=k,d=k,S1+a+b=b+c+d=k,S2 三、“两点”模型 模型展示： SAAnc=lkel SAAPP=2lkel SEnAPOP,=2Ikl 5.如图，函数y=mx与y=尝的图象交于A,B两点，过点A作AC垂直于y轴， 垂足为C,连接BC,若S△ABC=3,则k= 答案：3 解析：：函数y=mx与y=袋的图象交于A,B两点，：A,B两点关于原点0对 称，S△ABc=2S△400=3，|k=y|=3.:反比例函数图象在第一、三象限， 4/10 ak>0,k=3. 6.点A,B分别是双曲线y=安(k>0)上的点，AC1y轴正半轴于点 C,BD⊥y轴负半轴于点D,连接AD,BC,若四边形ACBD是面积为12的平行四边 形，则k=一 答案：6 解析：如图，：点A,B分别是双曲线y=袋(k>0)上的点，AC⊥y轴正半轴 于点C,BD⊥y轴负半轴于点D,·AC//BD.:四边形ACBD是面积为12的平行四 边形，·AC=BD,·A,B关于原点对称， 0A=0B,0C=0D,S四边aBD=4S△A0c=12,S△A0c=3,k=2×3=6. 双反比例函数 一、“同侧双曲”模型 模型展示： )1 0 OC B SAABO- l l-1k21 2 SE利ABcD=k,-k,l 5/10 1.如图，平行于x轴的直线与函数y=安(k1>0,x>0和 y=受(k2>0,X>0)的图象分别相交于A,B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上 的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1k2的值为（) A.5B.6C.7D.8 答案：D 解析：设A,B两点的坐标分别是（盘，m),(,m),则 AB=盘贵=0，yA=m:△ABC的面积为4，即 AByA=4,:支×m=4,k1-k2=8故选D 2.如图，两个反比例函数y=是和y=是在第一象限内的图象依次是C1和 C2,设点P在C1上，PC⊥x轴于点C,交C2于点A,PD⊥y轴于点D,交C2于点B,则 四边形PAOB的面积为 答案：3 解析 :S拒形0cPD=6,S△A0c=S△D0B=号，iS圆边柳A0B=S矩形0aPD-2S△40C=3. 6/10 3.如图，平行四边形0ABC的顶点0是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B,C 在第一象限，反比例函数y=是的图象经过点C,y=意(k≠0)的图象经过点B 若0C=AC,则k= 答案：3 解析：如图，过点C作CD上OA于点D,过点B作BE⊥x轴于点E, :CD//BE:四边形ABC0为平行四边形，·CB/0A,即 CBDE,OC=AB,:四边形CDEB为平行四边形.：CD⊥OA,:四边形CDEB为矩 形，·CD=BE 在Rt△COD和Rt△BAE中， (OC=AB, CD=BE, Rt△COD≈Rt△BAE(HL),S△om=SAAE:OC=AC,CD⊥OA,OD=AD :反比例函数y=袁的图象经过点 C,SA0四=SAC4D=克，S△ABE=支，S平行四边阳Ba=4S△0四=2，SA0BA=8S平行四边欣A=1, S△0E=S△0BA+SAAE=1+=号，k=2×号=3. 0 二、“异侧双曲”模型 模型展示： 7/10 B k2 1+21 2 4.如图，点A在双曲线y=员(x>0)上，点B在双曲线y=令(x<0)上， AB/x轴，点C是x轴上一点，连接AC,BC,若△ABC的面积是6，则k的值 为 0 答案：-10 解析：如图，连接OA,OB,设AB 与y轴的交点为M,:AB//x轴， :AB⊥y轴，S△ABC=S△AB0=6:点A 在双曲线y=员(x>0)上，点B在双曲线y=发(x<0)上， S△BM0=壹k,S△AM0=专×2=1，S△AB0=S△BM0十S△AM0=|k+1=6,解得 k=±10.：双曲线y=会分布在第二、四象限，÷k<0,k=-10. 8/10 5.如图，正方形的对称中心在原点0，四个顶点分别位于两个反比例函数 y=是和y=变的图象的四个分支上，则实数k的值为 答案：-4 解析：如图所示，连接正方形的对角线，过点A,B分别作x轴的垂线，垂足分 别为C,D,点B在y=爱上，设AB与y轴的交点为 E:0B=0A,∠A0B=∠BD0=∠AC0=90°，∠A0C+∠A0E=∠A0E+∠B0E=90°，：∠A0C=∠ :△A0C兰△0BD,:S△A0c=S△D=号=|k,:k=士4.：A点在第二象限， k=-4 6.如图，在平面直角坐标系中，过y=(x>0)的图象上的点A,分别作x 轴、y轴的平行线交y=-是的图象于B,D两，点，以AB,AD为邻边的矩形ABCD被坐 标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1,S2,S3,S4,若S2十S3+S4=号，则k的 值为 9/10 y S.S S4 答案：6 解析：设A(m,盒)，在y=-员中，令y=盎得x=-袈，令x=m得 y=-品，B(-0,盎)，D(m,品)，C(-0,-品)，S2=S4=2,S3=是：S2+S3+S4=号，2 10/10