专题02 反比例函数的综合应用（题型专练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以13类核心题型为框架，构建“方法提炼-典例解析-变式训练”三阶体系，强化反比例函数与几何综合的逻辑推理与模型迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|3题型/5典例|k值几何意义、整数因数对分析、二次根式最值模型|从定义性质到面积计算，构建“数-形”转化基础| |几何综合|7题型/10典例|铅垂法、拉窗帘模型、存在性问题分类讨论|以等腰/直角三角形、特殊四边形为载体，强化动态几何推理| |创新拓展|3题型/4典例|新定义翻译、定值问题消参法、三点共线验证|结合函数性质与几何变换，培养抽象能力与创新意识|

专题02 反比例函数的综合运用 （题型突破·举一反三） 题型01 反比例函数中求面积或“k” 题型02 反比例函数中的整数点问题 题型03 反比例函数与二次根式综合 题型04 反比例函数中的新定义问题 题型05 面积的存在性问题 题型06 等腰三角形的存在性问题 题型07 等腰直角三角形的存在性问题 题型08 平行四边形的存在性问题 题型09 菱形的存在性问题 题型10 正方形的存在性问题 题型11 定值、恒成立问题 题型12 共线问题 题型13 函数与几何综合 ▌题型01 反比例函数中求面积或“k” 1. 根据反比例函数的定义 若点在反比例函数图像上，则该点横、纵坐标的乘积等于k，即：。 2. 根据反比例函数“k”的几何意义 图1 图2 如图1： 已知是反比例函数图像上的两点，过分别向轴和轴作垂线，得到矩形和矩形，则, 如图2： 已知是反比例函数图像上的两点，过分别向轴和轴作垂线，得到矩形和矩形，则, 反比例函数 任意一点向两坐标轴作垂线与坐标轴围成的矩形面积是一个定值，S矩=｜k |. 3.遇到规则图形，可直接利用公式求面积，也可以利用铅锤法或者平行线的拉窗帘模型进行转化； ①铅垂法求面积 ②拉窗帘模型 若那么，将点C在上移动，。 4. 遇到梯形、组合不规则图形，统一思路：通过分割、补全图形，转化为矩形或直角三角形 5.设点坐标： ①直接设点利用A点坐标去找题目里面的其他关系； ②假如点在某个函数图像上，可以直接根据解析式设点，例如点在函数上，可设 【例】如图，点P在反比例函数（k为常数，且k≠0，x＜0）的图象上，过点P作PA⊥x轴于点A，点B为OA的中点，连接PB、OP，若S△ABP＝2，则k的值为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8 ① ② 6.表示线段长度： ①直接设线段长度，再去找关系； ②已知两点坐标，与轴平行的线段长度为，与轴平行的线段长度为 ，若不确定位置关系，需要加上绝对值符号或分类讨论； ③两点间的距离公式: 【典例1】（2025春•丹阳市期末）如图，函数的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，QC在x轴上，点B的坐标为（1，3），平行四边形ABCO的面积为6，则k的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1-1】（2026•泗水县一模）如图，线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且△ABO的面积为6，若双曲线恰好经过线段AB的中点M，则k的值为（　　） A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6 【变式1-2】（2026•周村区二模）如图，点A（2，2）在反比例函数的图象上，作AB⊥x轴于点B，点P从点（a，0）（a＞2）出发，沿x轴向右以每秒a个单位长度的速度运动，以P为顶点作等腰直角三角形PCQ，点Q在反比例函数的图象上，点C在x轴上且在点P右侧，∠PCQ＝90°，则在点P运动过程中，时间每增加一秒，四边形ABCQ的面积都会（　　） A．增加 B．增加 C．增加1 D．增加a 【变式1-3】（2025春•建邺区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x，y＝﹣x+5与反比例函数的分别交于点A，B，若△ABO的面积为10，则k＝　　 ． 【变式1-4】（2025秋•张店区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在y轴的正半轴上，顶点C在反比例函数的图象上，顶点B的坐标为（4，3）．已知该反比例函数图象上有一点P，连接PA，PC，若△PAC的面积是菱形AOBC面积的，则点P的横坐标为（　　） A． B． C．或 D．或 【典例2】（2025春•京口区校级期末）如图，点A在反比例函数（x＞0）的图象上，过点A分别作x轴、y轴的垂线交x轴、y轴于点B、C，线段AB、AC与反比例函数（x＞0）的图象相交于点M、N，连接MN．则△MAN的面积为（　　） A． B． C．1 D．2 【变式2-1】（2026•榆树市模拟）如图，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴和y轴上，与双曲线y恰好交于BC的中点E，若OB＝2OA，则S△ABO的值为（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 【变式2-2】（2025秋•从化区期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为12，则k的值为（　　） 【变式2-3】（2025春•苏州期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点D是AB边上的一个点（不与A、B重合），过点D的反比例函数图象交BC于点E，连接CD并延长交y轴于点F，连接BF，则S△DBF的值为（　　） A．7 B．4 C．3.5 D．3 【典例3】（2026•南京三模）如图，平面坐标系xOy中，B（12，4），C（8，0），OA∥BC，OA＝BC，过点A作反比例函数y（k＞0），图象交BC于点D，连接OD，则S△OCD＝　 ． 【变式3-1】（2025春•句容市期末）如图，在平面直角坐标系中，若点A的坐标为（2，4），点B在反比例函数的图象上，且AB与y轴平行，连结OB，过点A作OB的平行线，分别于y轴和双曲线交于C、D两点，若S△ABC＝3，则m＝（　　） 【变式3-2】（2026春•兴化市期末）在平面直角坐标系中，点A（a，b），B（m，n）在反比例函数的图象上． （1）若a+2m＝0，求证：2b+n＝0； （2）若m＝a+2，a＞0，过点A作直线平行于x轴、过点B作直线平行于y轴，两直线交于点H， ①当k＝am时，求AH+BH的值； ②连接AB，过点B作BC⊥AB交反比例函数图象于另一点C，当AB＝BC时，△ABC的面积为8，求k的值． 【变式3-3】（2025春•淮阴区期末）如图，已知直线y＝x+b与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（2，3），与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数y（x＞0）的图象于点C． （1）求k、b的值； （2）求△ABC的面积． 【变式3-4】（2025秋•高新区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ax与反比例函数的图象交于点A，与反比例函数的图象交于点B，过点A作y轴的垂线，垂足为C．过点C作AB的平行线，交反比例函数的图象于点D． （1）若点A的横坐标﹣1，． i）求a，k的值； ii）求点D的坐标； （2）连接BC，BD，若△BCD的面积为，求k的值． ▌题型02 反比例函数中的整数点问题 1.核心解题原理 （1）反比例函数标准解析式： （2）核心变形公式： （3）整数点定义：若点在反比例函数图像上，且横坐标、纵坐标均为整数，则该点为反比例函数的整数点。 （4）本质规律：反比例函数的所有整数点，横、纵坐标的乘积恒等于定值，找整数点本质就是找的所有整数因数对。 2.通用解题步骤 步骤1：确定定值k 常见三种求方式： ①题干直接给出的值； ②已知图像过定点，代入得； ③结合图像面积、一次函数交点、几何图形性质求解。 步骤2：列举k的全部整数因数对 若是的整数因数，则必然为整数，每一组因数对应一个整数点。 注意：必须同时列举正因数、负因数，避免漏点。 示例： 全部整数因数： 对应整数点： 步骤3：根据象限分类筛选 当k>0时：同号，整数点分布在第一、三象限 第一象限：（取正因数对） 第三象限：（取负因数对） 当k<0时：异号，整数点分布在第二、四象限 第二象限： 第四象限： 步骤4：结合题干限制条件二次筛选 高频限制条件： ①限定象限：只保留对应象限的整数点； ②限定取值：为正整数、、等； ③限定位置：点在直线/线段上、图像内部、网格内等； ④特殊要求：横纵坐标不相等、不含原点附近点等。 【典例4】（2025秋•海淀区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，函数y（x＞0）的图象与直线y＝2x交于点A（2，m）． （1）直接写出m，k的值； （2）点B是函数y（x＞0）图象上异于A的一点，记y（x＞0）图象在点A，B间的部分与线段OA，线段OB围成的区域为W．若区域W内（不含边界）恰有一个整点，直接写出点B的横坐标b的取值范围． 【变式4-1】（2025•路北区校级二模）如图，已知直线l：y＝mx+3与x，y轴分别交于点A，B，正比例函数y＝kx的图象L与直线l交于点C（2，5）． （1）求k，m的值，并求点A的坐标； （2）若点P为x轴正半轴上的一点，S△AOC＝S△POC，求点P的坐标； （3）在第（2）问的条件下，若点P在x轴的正半轴上．约定：将（2）中△POC内部（不含边界）横、纵坐标都是整数的点称为“要点”．若曲线使得这些“要点”分布在它的两侧，且个数的比值为1：2，直接写出符合条件的n的整数值． 【变式4-2】（2025•三门峡二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（1，1），（4，1），反比例函数的表达式为． （1）若反比例函数的图象经过正方形ABCD的中心． ①求k的值； ②若反比例函数图象与CD交于点E，连接BD，BE，求△BDE的面积． （2）若在反比例函数图象的上方，且在正方形ABCD内（不含边界）只有1个整点（横、纵坐标均为整数的点），则k的取值范围是　 　 ． ▌题型03 反比例函数与二次根式综合 会利用完全平方公式的变形求最值 核心公式：（） ，∴，∴，（只有当a＝b时，） 【典例5】（2025春•泗洪县期末）【阅读理解】对于任意正实数a、b，∵，∴，∴，（只有当a＝b时，）． 【获得结论】在（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则，只有当a＝b时，a+b有最小值． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： （1）若m＞0，只有当m＝　　 时，有最小值 　　 ； （2）已知点Q（﹣4，﹣5）是双曲线上点，过Q作QA⊥x轴于点A，作QB⊥y轴于点B．点P为双曲线上任意一点，连接PA，PB，求四边形AQBP的面积的最小值． 【变式5-1】（2025春•宿豫区期末）（1）【阅读理解】对于任意正实数a、b． ∵， ∴， ∴，（只有当a＝b时， 结论：在（a、b均为正实数）中，若ab为定值P，则，只有当a＝b时，a+b有最小值，根据上述内容，回答下列问题： 问题1：若x＞0时，有最小值为　　 ； 问题2：若，求y的最小值为　　 ． （2）【探索应用】如图，已知A（﹣3，0）、B（0，﹣2），P为双曲线上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状． 【变式5-2】（2025春•沛县期末）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和y＝﹣x+10的图象，两个函数图象交于A（1，9），B（9，1）两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现PQ的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究PQ的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题： （1）设点P的横坐标为x，PQ的长度为y，则y与x之间的函数关系式为 （1≤x≤9）； （2）为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象： ①列表：表中m＝ ； x 1 2 3 4 6 9 y 0 m 4 0 ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图象．观察函数图象，y的最大值为　　 ． ④阅读规律：当a，b都是正数时，有，即：，只有当a＝b时，才成立；如：已知，只有当时，即：x＝2时，有最小值为4． 请用这个规律说明③中y的最大值的正确性； （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数上的任意一点，过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值． ▌题型04 反比例函数中的新定义问题 常用解题步骤： 步骤1：拆解定义，文字转数学表达式（核心关键） 圈画题干定义中的关键词、限定条件，将文字描述精准转化为等式、不等式、坐标关系或几何关系，这是解题最核心步骤。 通用解题技巧：设双曲线上动点坐标为 ，用单参数t表示所有未知量，减少未知数个数，简化计算。 常见新定义翻译汇总： （1）等积点：动点与原点、坐标轴垂足构成的三角形/矩形面积为固定值或与|k|相关； （2）伴随矩形：过双曲线上点作x、y轴垂线，围成的矩形，面积； （3）特征三角形：双曲线上点、原点、坐标轴垂足构成的直角三角形，面积； （4）关联点：两点横纵坐标乘积相等，即； （5）定距/定角点：满足固定两点距离、角度、线段比例关系。 步骤2：结合反比例函数基础性质列式 依托反比例函数固有性质，简化方程、快速代换，避免重复计算： （1）点在双曲线上的充要条件：（最核心公式，全程通用）； （2）面积性质：过双曲线上任意一点作坐标轴垂线，矩形面积恒为|k|，直角三角形面积恒为； （3）对称性：双曲线关于原点、直线y=x、y=-x对称； （4）增减性：k>0时，一、三象限内y随x增大而减小；k<0时，二、四象限内y随x增大而增大； （5）定义域值域：x≠0，y≠0，双曲线永不与坐标轴相交。 步骤3：分类讨论，解方程/不等式 新定义题型多含绝对值、动点、多位置情况，必须分类讨论，杜绝漏解： （1）含|k|、面积、距离类问题：分正负情况讨论； （2）动点问题：按t>0（一、三象限）、t<0（二、四象限）分类； （3）分式方程求解后，必须检验分母不为0、k≠0； （4）涉及线段、图形位置的，需结合几何范围，确定参数取值范围。 步骤4：回代验证，剔除增根与不合理解 求出参数t、k、点坐标后，必须回代题干原始定义验证： （1）验证是否满足，点在双曲线上； （2）验证面积、距离、位置关系符合题干新定义； （3）剔除点不存在、图形不成立、不符合象限限制的解。 【典例6】（2026春•婺城区校级月考）在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1），Q（x2，y2），当满足x1+x2+y1+y2＝0时，则称点P，Q互为“对消点”．如P（1，2），Q（﹣1，﹣2）是互为“对消点”． （1）已知函数图象上的点A，B互为“对消点”． ①若A的横坐标为2，求B的坐标； ②记A，B的横坐标分别为a，b，点M为线段AB的中点，若ab＝﹣4，求点M坐标； （2）已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（t+1，t），B（t+5，t），C（t+6，t+2），D（t+2，t+2），若A的两个“对消点”连线能将该四边形的面积平分，求t的值． 【变式6-1】（2026•广宁县二模）定义：菱形、矩形与正方形的形状有共性，我们将菱形、矩形与正方形的相近程度称为菱形或矩形的“相近度”． （1）如图1，菱形的边长为2，设菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为m，n，我们将菱形的“相近度”用|m﹣n|表示，即“相近度”＝|m﹣n|，若∠ABC＝60°，求该菱形的“相近度”； （2）如图2，已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，设AB，BC的长分别为m，n（m≥n），我们将矩形的“相近度”用表示，即“相近度”． ①若∠AOD＝45°，求该矩形的“相近度”； ②如图3，矩形ABCD的顶点分别在反比例函数和的图象上，BD∥y轴，点D的横坐标为3，当矩形的“相近度”为1时，求k1+k2的值． 【变式6-2】（2026•韶关二模）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形ABCD对角线的两个端点，则定义该函数为矩形ABCD 的“友好函数”．例如：如图1，矩形ABCD，经过点A（﹣1，1）和点C（3，3）的一次函数y是矩形ABCD的“友好函数”． （1）如图2，矩形ABCD的顶点坐标分别为A（2，1），B（6，1），C（6，3），D（2，3），反比例函数y（x＞0）经过点B，求反比例函数y（x＞0）的函数表达式，并判断该函数是否为矩形ABCD的“友好函数”； （2）矩形ABCD在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且点A的坐标为（1，2），正比例函数y1＝ax经过点A，且是矩形ABCD的“友好函数”，反比例函数y2（x＞0）经过点B，且是矩形ABCD的“友好函数”． ①如图3，当OC＞OA时，将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形ABCD的周长为y，求y关于k的函数表达式； ③在②的条件下，当矩形ABCD的周长y＝4时，设矩形ABCD的面积为S1；当矩形ABCD的周长y＝8时，设矩形ABCD的面积为S2，请直接写出S2﹣S1的值． 【变式6-3】（2026•封开县二模）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形ABCD对角线的两个端点，则定义该函数为矩形ABCD的“友好函数”．例如：如图1，矩形ABCD，经过点A（﹣1，1）和点C（3，3）的一次函数是矩形ABCD的“友好函数”． （1）如图2，矩形ABCD的顶点坐标分别为A（2，1），B（6，1），C（6，3），D（2，3），反比例函数经过点B，求反比例函数的解析式，并判断该函数是否为矩形ABCD的“友好函数”； （2）矩形ABCD在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且点A的坐标为（1，2），正比例函数y1＝ax经过点A，且是矩形ABCD的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形ABCD的“友好函数”． ①如图3，当OC＞OA时，将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形ABCD的周长为L，求L关于k的函数解析式． ▌题型05 面积的存在性问题 1.遇到规则图形，可直接利用公式求面积，也可以利用铅锤法或者平行线的拉窗帘模型进行转化； ①铅垂法求面积 ②拉窗帘模型 若那么，将点C在上移动，。 2. 遇到梯形、组合不规则图形，统一思路：通过分割、补全图形，转化为矩形或直角三角形 【典例7】（2025春•句容市期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）图象与反比例函数（m≠0）图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A（8，2），点B的横坐标为﹣4． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）当y1＞y2时，直接写出自变量x的取值范围； （3）若点D是y轴上的一点，且S△ABD＝24，求点D坐标． 【变式7-1】（2025春•丹阳市期末）如图，反比例函数y与一次函数y＝k2x+b（k2≠0）的图象相交于点A（m，1）和点B（﹣1，﹣4），连接AO、BO． （1）求k1的值； （2）关于x的不等式x+b的解集为 ； （3）△AOB的面积为　 ； （4）点P为直线AB上方的反比函数图象上的一点，若S△AOB＝S△APB， 则点P的坐标为　 　 ． 【变式7-2】（2026•泸州模拟）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点M在直线AB上，且位于第二象限，BM＝AB．过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，交反比例函数的图象于第三象限的点C，连接OC，△OCN的面积为6． （1）求k值和点C的坐标； （2）如图，点D是直线AB上一动点，连接BC，OM，当△BCD的面积是△OCM面积的2倍时，求点D的坐标． 【变式7-3】（2025春•扬州期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，一次函数y1＝kx+b与反比例函数（x＞0）的图象交于A（2，m）、B（4，2）两点． （1）求一次函数y1与反比例函数y2的解析式； （2）根据图象回答，当时，x的取值范围为　 ； （3）y轴上有一点P，当以点O、P、A、B为顶点的四边形的面积为7时，求点P的坐标． 【变式7-4】（2025春•丹徒区期末）如图，平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上，A，B在第一象限，反比例函数的图象经过点A（3，4）． （1）求反比例函数的函数表达式和点B的坐标； （2）点P在反比例函数的图象上． ①若直线OP平分菱形OABC的面积，求点P的坐标； ②若直线OP将菱形OABC的面积分成1：3两部分，则点P的横坐标是　 　 ． ▌题型06 等腰三角形的存在性问题 常见 类型 1）两定一动：动点可在直线上、双曲线上； 2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； 3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口。 代 数 法 思路：利用边相等列方程求解 1）设出动点坐标，通常用合字母的代数式表示； 2）表示三边长度：利用两点间距离公式变式出AB,AC,BC； 3）分类讨论+计算：分三种情况AB2=AC2,AB2=BC2,BC2=AC2 4）列出方程求解。 几 何法 思路：“两圆一线”找动点，构造等腰三角形 如图，△ABP是等腰三角形，A,B为定点，点P动点，且点P在x轴上，确定点P的方法：- 1）先分类讨论 ①若点A为顶角顶点，AB为腰，这时AB=AP，则点P为以点A为圆心，AB为半径的圆与x轴的交点； ②若点B为顶角顶点，AB为腰，这时BA=BP，则点P为以点B为圆心，AB为半径的圆与x轴的交点； ③若点P为顶角顶点，AB为底，这时PA=PB，则点P为线段AB的垂直平分线与x轴的交点。 2）计算．利用全等、相似、三角函数等知识求点的坐标。 【典例8】（2026•高新区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图象与x轴交于点A（﹣2，0），与反比例函数交于点B（1，m）． （1）求反比例函数的表达式； （2）点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数y＝2x+b图象于点N，连接BM，若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，求△BMN的面积． 【变式8-1】（2026•新都区模拟）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过A（﹣1，m+6），B（﹣2m﹣3，1）两点． （1）求A点坐标及k的值； （2）如图，若点P在反比例函数的图象上，且点P到x轴，y轴距离相等，连接PA，PB，AB，求△PAB的面积； （3）在（2）的条件下，若∠MPN＝45°，且∠MPN的两边PM，PN分别交y轴负半轴于点M，交x轴正半轴于点N，当△PMN为等腰三角形时，请直接写出此时OM的长． 【变式8-2】（2026春•宽城区校级期中）如图，一次函数y＝ax﹣2的图象与反比例函数的图象交于点A（4，1），与y轴交于点B． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）过点A作x轴的垂线l，将一次函数y＝ax﹣2的图象向上平移，交y轴于点C，交直线l于点D，连结AC．当△ACD是以CD为腰的等腰三角形时，直接写出平移的距离． ▌题型07 等腰直角三角形的存在性问题 第一步分类若△ABO是等腰直角三角形、则有∠AOB=90°,讨论∠OAB=90°或∠ABO=90°三种情况 第二步：构造“一线三垂直”全等模型 (示例：∠AOB=90°) 第三步：分类、计算 利用AH=OK,OH=BK的等量关系求解 【典例9】（2026•苏州）如图，一次函数y＝ax+b的图象经过点A（﹣4，0），B（0，2），点P在一次函数的图象上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图象于M，N两点，连接MN． （1）求a，b的值； （2）若△PMN是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 【变式9-1】（2026春•邓州市期中）【情境引入】 如图1，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．直线ED经过点A，过B作BD⊥ED于点D，过C作CE⊥ED于点E．易证得Rt△BDA≌△AEC（无需证明），这就构成了典型的“一线三垂直全等模型”，此时所运用的三角形全等的判定定理是　　 ．（填序号） ①SSS； ②AAS； ③SAS； ④HL． 【类比探究】 （1）如图2，点A，B分别在x轴，y轴上，若直线AB的函数关系式为y＝2x+4． ①则点A坐标为　　 ，点B坐标为　　 ； ②将线段AB绕点A逆时针旋转90°，则点B的对应点C的坐标为　 　 ； （2）如图3，点B（1，a）在反比例函数图象上，连接OB，将OB绕点O顺时针旋转90°到OA，求直线AB的解析式； 【拓展延伸】 （3）如图4，在（1）的条件下（即直线AB的解析式为y＝2x+4），若点P在第二象限，且△PAB是等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标． ▌题型08 平行四边形的存在性问题 一．利用点坐标公式法求定点坐标 （一）平行四边形顶点坐标核心公式 若四边形 ABCD 为平行四边形，对角线互相平分，中点坐标相同，可得两组等价坐标关系： 文字结论：平行四边形对角顶点横坐标之和相等，纵坐标之和相等。 （二）已知三点求第四点 D（3 种分类讨论） 已知不在同一直线上的三点，平面内存在 3 个点 D，使以 为顶点的四边形是平行四边形，分三种对角线情况： 1 以AB为对角线： ② ③ 以BC为对角线： 二、利用平移法求平行四边形顶点坐标 （一）核心原理 平行四边形一组对边平行且相等，对应边可看作一次平移变换：从一个顶点平移到对顶点，横、纵坐标的变化量完全相同。设两点 ，从 M 平移到 N：横坐标变化：纵坐标变化：即向右 / 左平移，向上 / 下平移。 （二）通用解题步骤 1　 确定已知三点：(A、B、C)，分三类讨论谁和谁为一组对边； 2　 锁定平移向量：选定一条线段作为平移基准，算出横、纵坐标平移增量； 3　 平移第三点求未知点 D：用基准线段的平移量，平移剩余顶点，直接算出 D 坐标； 4　 验证：反向平移检验对边坐标变化量一致。 （三）三种分类情况（固定三点 A、B、C，求 D） 情况 1：AB 与 CD 为对边 情况 2： 情况 3：BC 与 AD 为对边 【典例10】（2026•沂源县二模）如图，点A（1，6）和B（n，2）是一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求m、n的值； （2）求一次函数的表达式； （3）设点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标； （4）在（3）的条件下，设点D是坐标平面内一个动点，当以点A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标． 【变式10-1】（2026•江阳区校级模拟）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴和x轴上，顶点B的坐标为（6，b），直线分别与AB，BC交于点D，E，反比例函数的图象经过点D，E，连接OD，OE． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△DOE的面积； （3）点P在平面内，若以点O，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P的坐标． 【变式10-2】（2025春•苏州期末）如图1，一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点A，点A的横坐标为2，点C（﹣1，3）是直线AB上一点，过点C作x轴的平行线，与反比例函数的图象交于点D，与y轴交于点E，连接OC、OD． （1）求反比例函数表达式； （2）若直线CD上存在点G，它到直线OD的距离与到y轴的距离相等，求点G的坐标； （3）将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O′C′D′，点Q是反比函数上一点，连接QC′，QO′，若四边形C′D′O′Q是平行四边形，则点Q的坐标为 　 　 ． ▌题型09 菱形的存在性问题 解题思路： 1）先等腰，再菱形.在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法（两圆一线）可先确定第3个点，再确定第4个点． 2）先平四，再菱形.当AC为对角线时，A、B、C、D满足以下3个等式，则为菱形：，其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为菱形，表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可． 【典例11】（2026春•栖霞区期末）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y（k≠0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在x轴的上方，且满足S△PAOS矩形AOCB． （1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标； （2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值； （3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标． 【变式11-1】（2025春•苏州期末）如图1，在平面直角坐标系中，矩形ABCO中，AB＝8，BC＝6，动点P从点B出发沿BA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PD∥BC，交AC于点D，动点P的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒（x＞0），当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动． （1）求PD、AD的长（用x的代数式表示）； （2）如图2，当Q在D的左侧时，若动点Q的运动速度是每秒a个单位长度，无论x为何值时反比例函数的图象始终同时经过点Q和点D，求a的值； （3）若动点Q的运动速度是每秒1个单位长度，在P、Q运动过程中，平面内是否存在这样一点E，使P、Q、E、D为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出所有满足要求的E的坐标；若不存在，请说明理由． ▌题型10 正方形的存在性问题 1. 从判定出发，若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直. 2. 构造三垂直全等.若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等/等腰直角三角形来求得第3个点，再求第4个点.若出现三或四动点，则通常四边形具有一定的特殊性，从已知条件出发，分折还需满足的其他条件，通常列关于边或对角线方程得解. 解题方法：正方形是菱形和矩形特征的集结，因此同时采取菱形或矩形存在性问题解决的方法去求点的坐标. 【典例12】（2026•张店区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数（m≠0，x＞0）的图象相交于点A（1，6），B（3，n）两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）请直接写出关于x的不等式的解集； （3）在平面直角坐标系xOy中，是否存在点C（点C在直线AB的右上方）和点D，使得四边形ACBD为正方形，若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式12-1】（2026•章丘区模拟）如图1，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），点B（0，2），直线AB与反比例函数的图象在第一象限相交于点C（a，4）． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图2，点D（4，0），连接CD，点E是反比例函数图象第一象限内一点，且点E在点C的右侧，连接AE，CE，若△ACE的面积与且△ACD的面积相等，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，连接MD，并在MD左侧作正方形MDNF，当顶点F或顶点N恰好落在直线AB上，直接写出点M的坐标． 【变式12-2】（2026•崇州市模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b与反比例函数的图象相交于点A（﹣3，n），与y轴相交于点B（0，﹣2），点P是反比例函数图象上一动点，且不与点A重合，过点P作PQ∥y轴交直线y＝﹣x+b于点Q．设点P的横坐标为t，且t＜0，连接AP，BP． （1）求k，b，n的值； （2）当△ABP的面积为6时，求点P的坐标； （3）当点P在点A的右侧时，设PQ的中点为点C，D为x轴上一点，E为平面直角坐标系内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，直接写出点P所有可能的坐标． ▌题型11 定值、恒成立问题 （一）设元表示动点设函数图像上动点坐标（单参数最简）： 1. 一次函数：设横坐标为t，纵坐标代入解析式用t表示； 2. 反比例函数：设动点。 （二） 根据题意列式利用两点距离、中点、面积、斜率、坐标平移等公式，写出目标代数式（面积、线段长、和差、乘积等）。 （三）代数化简消参展开、通分、整体代换，消去所有动点参数； （四）下结论验证化简后式子不含变量参数，数值固定，即证明为定值；可代入两组不同动点坐标验算。 【典例13】（2025春•无锡期末）如图，点A、B是反比例函数的图象上位于第一象限内不同的两点，直线OA交函数图象另一支于点A′，连接AB、A′B． （1）若反比例函数的图象经过点A（2，6），点B横坐标为6．求证：∠ABA'＝90°； （2）若∠ABA'＝90°恒成立，试猜想点A与点B横坐标满足的数量关系，并说明理由． 【变式13-1】（2026•南海区模拟）定义：以反比例函数图象上的两点为端点，两点连线为对角线，且边都平行于坐标轴的矩形为该反比例函数的伴随矩形，矩形的另一条对角线所在直线为该反比例函数的伴随直线．如图1，矩形ABCD的顶点A（2，3）、C（6，1）在反比例函数的图象上，所以矩形ABCD是反比例函数的伴随矩形，直线BD是反比例函数的伴随直线． （1）如图2，已知反比例函数的图象经过矩形ABCD的顶点A（3，4），AB∥y轴，BC∥x轴，AB＝2，BC＝3，求反比例函数的表达式，并判断矩形ABCD是否为该反比例函数的伴随矩形． （2）求证：任意反比例函数的任意一条伴随直线都经过原点． （3）如图3，已知矩形ABCD和矩形EFGH都是反比例函数的伴随矩形，且对应的伴随直线均为y＝2x． ①求证：直线AE与直线CG的交点M始终在直线y＝2x上； ②若矩形ABCD的周长为30，矩形EFGH的周长为6，直接写出点M的坐标． 【变式13-2】（2025春•靖江市校级期末）曲线的应用是广泛的，在历史的长洞中，借助它能够研究许多著名几何问题，如倍立方体问题．初二（1）班数学学习小组尝试对双曲线相关的几何问题进行探究． （1）如图1，A，C是双曲线上的两点，横坐标分别是和3，以AC为对角线构造矩形ABCD，使矩形的边平行于坐标轴，求证：对角线BD所在直线经过原点； （2）若A，C是双曲线上的任意两点（A与C不重合），以AC为对角线构造矩形ABCD，使矩形的边平行于坐标轴，请探究：对角线BD所在直线是否经过原点？请说明理由； （3）如图3，A，C是双曲线上的两点（点C在A右侧），连接AC，OA，若OA⊥AC且OA＝AC，求此时△OAC的面积． 【变式13-3】（2025春•海陵区期末）如图，点A，P是反比例函数图象上不重合的两个点，作直线AP交x轴于点E．设点A，P的横坐标分别为m，n，直线AP的函数表达式为y＝kx+b． （1）当时， ①求直线AP的函数表达式； ②若，直接写出x的取值范围； （2）若点A和点B关于原点O对称，作直线BP交x轴于点F，求证：PE＝PF． 【变式13-4】（2025春•涟水县期末）思考探究： 【形成概念】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．由此启发，我们可以按照街道的垂直和水平方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义A，B两点间的折线距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|． 【初步理解】 （1）已知A（﹣3，3），B（﹣1，2）． ①如图1，AC∥y轴，BC∥x轴，则d（A，B）＝AC+BC＝　　 ； ②如图2，一次函数y＝x+3的图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，在线段MN上任取一点P，d（P，A）是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． （2）函数的图象如图3所示，点D在该函数图象上，且d（O，D）＝6，则点D的坐标为　　 ． 【拓展应用】 （3）如图4，菱形ABCD的顶点A坐标为（1，2），B（3，1），若点E在菱形ABCD的边上，且d（O，E）＝d（O，B），请用无刻度的直尺在图4中找到点E，并求出点E的坐标． ▌题型12 共线问题 三点共线：先求其中两点的解析式，再验证第3个点是否在图像上。 【典例14】（2026春•晋江市月考）定义：在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过多边形不相邻的两个顶点，则称此函数为该多边形的伴随函数．例如，平行四边形ABCD的四个顶点分别为A（2，4），B（1，2），C（4，2），D（5，4），则函数y＝﹣x+6，都是平行四边形ABCD的伴随函数． （1）如图1，菱形ABCD的边BC∥x轴，且A（4，6），B（1，2），过点A作AE⊥BC，垂足为E． ①点E的坐标为　 　 ； ②已知函数y＝kx+b是菱形ABCD的伴随函数，求k的值． （2）如图2，矩形ABCD边BC∥x轴，且AB＝m，BC＝n，B（2，1），反比例函数经过点C，且为矩形ABCD的伴随函数．求证：点O、B、D在同一条直线上． 【变式14-1】（2026春•龙海区期中）已知反比例函数和的图象如图1所示，点D为函数图象上一点，过点D作x、y轴平行线，交函数图象于点A、B．点C在AD延长线上，且BA＝BC． （1）若点D（﹣2，﹣2），AD＝3，求k2的值． （2）若点D（a，b），且点C在y轴上，求的值； （3）如图2，以AC、AB为邻边作▱ABEC，且k2＝3k1，证明：点C、E、O三点共线． 【变式14-2】（2026春•龙海区期中）已知反比例函数和的图象如图1所示，点D为函数图象上一点，过点D作x、y轴平行线，交函数图象于点A、B．点C在AD延长线上，且BA＝BC． （1）若点D（﹣2，﹣2），AD＝3，求k2的值． （2）若点D（a，b），且点C在y轴上，求的值； （3）如图2，以AC、AB为邻边作▱ABEC，且k2＝3k1，证明：点C、E、O三点共线． ▌题型13 函数与几何综合 【典例15】（2025春•扬州期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与y＝x+3的图象交于点P（a，b），则代数式a2+b2的值为　　 ． 【变式15-1】如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是菱形，点A，B在第二象限，点C在x轴负半轴上，过点A作AD⊥x轴，.若双曲线经过点A，双曲线经过点B，则k＝　　 ． 【变式15-2】（2025春•建邺区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，P为正方形ABCD的对称中心，A，B分别在x轴和y轴上，正方形ABCD的边长，双曲线经过C、P两点，则k的值为（　　） A．2 B． C．5 D． 【变式15-3】（2025春•靖江市校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，菱形AOBC的顶点在双曲线上（k为常数），点B在x轴正半轴上，将该菱形向上平移，使点B的对应点D落在该双曲线上，过点D作DE∥x轴交OA于点E，则DE＝　　 ． 【变式15-4】（2026•西城区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正六边形ABCDEF是以点O为中心的正六边形，点M（a，b）在正六边形的边上，且点M在第一象限．若A（2，0），给出下面四个结论： ①线段OM的最大值为2； ②若点M关于原点的对称点为M′，则当MM′⊥DE时，△MM′F的面积取得最小值； ③若点M在反比例函数的图象上，则； ④若N（c，d）（d＞b＞0）在该六边形的边AB上，且OM＝ON，则a与c之间的数量关系是a+c＝3． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【典例16】（2026•槐荫区一模）将一副三角板按图1方式摆放在平面直角坐标系xOy中，含30°角的三角板OAB的直角边OA落在y轴上，∠BOA＝30°，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比例函数的图象经过点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°至△OA1B1． ①如图1，点D为三角板AB边上一点，旋转后点D的对应点D1恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标； ②如图2，若将三角板AOC绕点O顺时针旋转至△A2OC1，使点C1落在边OB1上，请判断点A旋转后的对应点A2是否在反比例函数图象上，并说明理由． 【变式16-1】（2025秋•邢台月考）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，其中含30°角的三角板OAB的直角边OA落在y轴上，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比例函数的图象经过点C． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°，AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标． （3）将三角板OAC沿x轴正方向平移得到△O′A′C′，当（2）中旋转后的点D在△O′A′C′内部时（包含边界），O′A′与反比例函数的图象的交点的纵坐标n的取值范围是　 　 ． 【变式16-2】（2025春•泗阳县期末）综合实践：由三角形面积到反比例函数一点小知识：在平面直角坐标系中，当三角形在的一个顶点位于坐标原点时，面积可以通过一个简洁的公式表示． 若点O（0，0），A（xa，ya）和B（xb，yb），则△OAB的面积为； 如图1，． 任务一：公式验证 （1）若点M（1，3），N（3，1），则△OMN的面积为　　 ； 任务二：对标函数 （2）如图2，点A，B在反比函数的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6，连接OA，OB，若△OAB的面积是6，求k的值； 任务三：图形变换 （3）若点P坐标为（3，2），点Q的坐标为（m，m﹣1），且△OPQ的面积为1，将线段PQ沿x轴平移，P、Q两点是否会同时落在某双曲线上，若能，直接写出此时m、n的值，若不能，请简要说明理由； （4）如图3，已知点A（﹣t，t）在第二象限，∠OAB＝30°，C、D在射线AB上，△OCD的面积为，将反比例函数绕坐标原点O顺时针旋转45°，刚好经过C、D两点，求线段OD的长度． 【典例17】（2026•邛崃市模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax+2与反比例函数的图象相交于A（1，3a），B（b，﹣1）两点，与y轴交于点C．点D，E是第一象限内反比例函数图象上的两点，且点E位于A，D两点之间． （1）求a，b和k的值； （2）当△ACD面积为3时，求点D的坐标； （3）将△ADE沿着射线AB的方向平移后得到△A′D′E′，当AE＝DE时，是否存在△A′D′E′两顶点同时落在反比例函数图象上？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式17-1】（2026•江西模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，▱ABCD的边AB在一次函数yx+b图象上．且点B（3，1）在反比例函数y（x＞0）的图象上．AD∥x轴，点D（8，2）． （1）求一次函数及反比例函数的解析式； （2）若将▱ABCD向下平移a个单位长度，点C恰好落在y（x＞0）图象上，求a的值． 【变式17-2】（2025春•泰兴市期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为m，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上．P，Q两点从点O，B处同时出发，分别沿着O→C和B→A的方向运动a个单位长度，运动到C，A两点处同时停止运动，连接PQ．其中a，m均为常数且am≠0． （1）求证：在运动过程中线段PQ经过一定点，记作M，并直接写出点M的坐标；（用含有m的代数式表示） （2）如图2，点M'与点M关于原点O对称．过点M作双曲线（k为常数，k≠0）与AB交于点D，作直线DM'与x轴、y轴分别交于E，F两点，连接ME． ①求证：ME∥BA； ②若四边形MEDQ是平行四边形，求出a与m之间的函数关系式； （3）当m≠2时，在（2）中②的条件下，延长ME交双曲线于G，将直线DE沿y轴向下平移经过点G得到直线y3＝sx+t．结合图象，直接写出不等式的解集． 【变式17-3】（2026•河南模拟）小军将两个含有30°角的全等三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，已知三角板的顶点A恰好在反比例函数的图象上，三角板的顶点B在x轴上，且B点的坐标为（8，0）． （1）求反比例函数的表达式和线段OA所在直线的表达式y＝mx+n（m≠0）． （2）根据图象直接写出的解集． （3）把△OAC沿x轴向右平移a个单位长度，对应得到△O′A′C′，当反比例函数的图象经过△O′A′C′一边的中点时，求a的值． 【典例18】（2026•镇江一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数位于第二象限的图象上，点C在x轴的负半轴上，四边形ABCO为菱形． （1）求点B的坐标和k的值； （2）将菱形ABCO沿过原点的某条直线翻折，记点B的对称点为B′，点C的对称点为C′，当B′点落在函数位于第四象限的图象上时，C′点的坐标为　 ． 【变式18-1】（2026•包河区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数位于第二象限的图象上，点C在x轴的负半轴上，四边形ABCO为菱形． （1）求点B的坐标和k的值； （2）将菱形ABCO沿过原点的某条直线翻折，记点B的对称点为B′，点C的对称点为C′，当B′点落在函数位于第四象限的图象上时，C′点的坐标为　 　 ． 【变式18-2】（2026•溧阳市模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣6，0），C（3，﹣4）是平行四边形OABC的两个顶点，反比例函数的图象经过点B． （1）求出反比例函数的表达式； （2）将平行四边形OABC沿x轴翻折，点C落在点D处． ①判断点D是否在反比例函数的图象上，并说明理由； ②连接OD，作DO与x轴正半轴夹角的角平分线，请直接写出该角平分线所在直线与反比例函数的交点坐标． 【典例19】（2026•荥阳市模拟）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点P（3，4）和点B，过点B作直线AB∥x轴，交y轴于点A（0，3）． （1）求这个反比例函数的解析式． （2）以AB为边作等边三角形ABC，点C落在AB边的下面，求点C的坐标． 【变式19-1】（2025春•句容市期末）如图，正比例函数y＝3x与反比例函数的图象交于点A（a，3），点B为x轴上一点，点C为OB中点，过点O作OD∥AB交AC的延长线于点D． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接BD，判定四边形OABD的形状，并说明理由． 【变式19-2】（2026•江阳区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在反比例函数y（k＞0，x＞0）第一象限的图象上，点C在x轴的正半轴上，以OA，OC为边作平行四边形OABC，且OA＝6，∠AOC＝60°． （1）求k的值； （2）过点B作BF⊥x轴于点F，BC，BF分别与反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象交于点D，E，若BE＝3EF，求D点的横坐标． 【变式19-3】（2025春•姜堰区期末）【问题情境】 综合实践课上，老师组织同学们围绕反比例函数开展数学探究活动． 如图1，过原点的直线与反比例函数的图象交于点A，B，点C是反比例函数第一象限图象上的一点，点A，C的横坐标分别为a，na（n＞1），连接BC交x轴于点D，试探究点D的坐标与a，n的关系． 【探索思考】 （1）A组同学提出从特殊情况着手探究：当k＝4，a＝1，n＝2时，可直接求出点D的坐标； （2）B组同学将部分条件特殊化：当n＝3时，可用含a的代数式表示点D的坐标； 请你结合A、B两组同学的思考，帮助他们分别求出（1）、（2）中点D的坐标； 【问题解决】 （3）用含a，n的代数式表示点D的坐标，并写出完整的推理过程； 【拓展应用】 （4）如图2，若直线AC与x轴交于点E，连接AD，直接写出S△ADE＝k （用含k的代数式表示）． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 反比例函数的综合运用 （题型突破·举一反三） 题型01 反比例函数中求面积或“k” 题型02 反比例函数中的整数点问题 题型03 反比例函数与二次根式综合 题型04 反比例函数中的新定义问题 题型05 面积的存在性问题 题型06 等腰三角形的存在性问题 题型07 等腰直角三角形的存在性问题 题型08 平行四边形的存在性问题 题型09 菱形的存在性问题 题型10 正方形的存在性问题 题型11 定值、恒成立问题 题型12 共线问题 题型13 函数与几何综合 ▌题型01 反比例函数中求面积或“k” 1. 根据反比例函数的定义 若点在反比例函数图像上，则该点横、纵坐标的乘积等于k，即：。 2. 根据反比例函数“k”的几何意义 图1 图2 如图1： 已知是反比例函数图像上的两点，过分别向轴和轴作垂线，得到矩形和矩形，则, 如图2： 已知是反比例函数图像上的两点，过分别向轴和轴作垂线，得到矩形和矩形，则, 反比例函数 任意一点向两坐标轴作垂线与坐标轴围成的矩形面积是一个定值，S矩=｜k |. 3.遇到规则图形，可直接利用公式求面积，也可以利用铅锤法或者平行线的拉窗帘模型进行转化； ①铅垂法求面积 ②拉窗帘模型 若那么，将点C在上移动，。 4. 遇到梯形、组合不规则图形，统一思路：通过分割、补全图形，转化为矩形或直角三角形 5.设点坐标： ①直接设点利用A点坐标去找题目里面的其他关系； ②假如点在某个函数图像上，可以直接根据解析式设点，例如点在函数上，可设 【例】如图，点P在反比例函数（k为常数，且k≠0，x＜0）的图象上，过点P作PA⊥x轴于点A，点B为OA的中点，连接PB、OP，若S△ABP＝2，则k的值为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8 ① ② 6.表示线段长度： ①直接设线段长度，再去找关系； ②已知两点坐标，与轴平行的线段长度为，与轴平行的线段长度为 ，若不确定位置关系，需要加上绝对值符号或分类讨论； ③两点间的距离公式: 【典例1】（2025春•丹阳市期末）如图，函数的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，QC在x轴上，点B的坐标为（1，3），平行四边形ABCO的面积为6，则k的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征及平行四边形面积求法解答即可． 【解答】解：∵B（1，3）， ∴A（，3）， ∵平行四边形ABCO的面积为6， ∴（）×3＝6， 解得k＝9． 故选：D． 【变式1-1】（2026•泗水县一模）如图，线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且△ABO的面积为6，若双曲线恰好经过线段AB的中点M，则k的值为（　　） A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6 【分析】设点A（a，0）（a＞0），B（0，b）（b＜0），从而得到线段AB的中点，根据点M在双曲线上得到，再结合△ABO的面积为6求出ab的值即可得解． 【解答】解：由条件可设点A（a，0）（a＞0），B（0，b）（b＜0）， 则线段AB的中点， ∵双曲线恰好经过点M， ∴， ∵△ABO的面积为6， ∴，即， ∴ab＝﹣12， ∴，A选项符合题意． 故选：A． 【变式1-2】（2026•周村区二模）如图，点A（2，2）在反比例函数的图象上，作AB⊥x轴于点B，点P从点（a，0）（a＞2）出发，沿x轴向右以每秒a个单位长度的速度运动，以P为顶点作等腰直角三角形PCQ，点Q在反比例函数的图象上，点C在x轴上且在点P右侧，∠PCQ＝90°，则在点P运动过程中，时间每增加一秒，四边形ABCQ的面积都会（　　） A．增加 B．增加 C．增加1 D．增加a 【分析】利用待定系数法求得反比例函数的解析式，设运动时间t秒，则运动后的点P（a+at，0），由以P为顶点作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，可知Q（a+at+m，m），由于Q在函数y图象上，故（a+at+m）•m＝4，利用梯形的面积公式求得四边形ABCQ面积St（AB+CQ）•BC（2+m）（a+at+m﹣2）＝（a+at+m﹣2）m（a+at+m﹣2）＝（a+at+m﹣2）m（a+at+m）﹣m＝（a+at+m﹣2）m＝a+at＝a（1+t），则St+1＝a（1+t+1）＝a（1+t）+a＝St+a，即可得解． 【解答】解：∵点A（2，2）在反比例函数的图象上， ∴k＝2×2＝4， ∴反比例函数为y， ∵AB⊥x轴， ∴B（2，0），AB＝2． 设运动时间t秒， ∵点P从点（a，0）（a＞2）出发，沿x轴向右以每秒a个单位长度的速度运动， ∴运动后的点P（a+at，0）， ∵以P为顶点作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°， ∴PC＝CQ， ∴C（a+at+m，0）， ∴Q（a+at+m，m）， 又∵Q在函数y图象上， ∴（a+at+m）•m＝4， ∵四边形ABCQ面积St（AB+CQ）•BC（2+m）（a+at+m﹣2）＝（a+at+m﹣2）m（a+at+m﹣2）＝（a+at+m﹣2）m（a+at+m）﹣m＝（a+at+m﹣2）m＝a+at＝a（1+t）， ∴St+1＝a（1+t+1）＝a（1+t）+a＝St+a， ∴在点P运动过程中，时间每增加一秒，四边形ABCQ的面积都会增加a． 故选：D 【变式1-3】（2025春•建邺区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x，y＝﹣x+5与反比例函数的分别交于点A，B，若△ABO的面积为10，则k＝　﹣16　 ． 【分析】设直线y＝﹣x+5与y轴的交点为C，连接AC，由题意可知两条直线平行，则S△AOC＝S△AOB＝10，利用三角形面积公式求得A的横坐标，进一步求得A的坐标，代入即可求得k的值． 【解答】解：设直线y＝﹣x+5与y轴的交点为C，连接AC， ∵一次函数y＝﹣x，y＝﹣x+5的x的系数相同， ∴两条直线平行， ∴S△AOC＝S△AOB＝10， 令x＝0，则y＝﹣x+5＝5， ∴C（0，5）， ∴OC＝5， ∴，即， ∴xA＝﹣4， 把x＝﹣4代入y＝﹣x，求得y＝4， ∴A（﹣4，4）， ∵反比例函数的图象过点A， ∴k＝﹣4×4＝﹣16， 故答案为：﹣16． 【变式1-4】（2025秋•张店区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在y轴的正半轴上，顶点C在反比例函数的图象上，顶点B的坐标为（4，3）．已知该反比例函数图象上有一点P，连接PA，PC，若△PAC的面积是菱形AOBC面积的，则点P的横坐标为（　　） A． B． C．或 D．或 【分析】分两种情况讨论：当P在C的下方时，过点B作x轴的垂线，垂足为D，则BD∥OA，利用勾股定理可求出OB的长，利用菱形的性质可得出BC的长，可得C、B、D三点共线，进而可得出点C的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k的值，然后根据△PAC的面积是菱形AOBC面积的，得出P在直线OB上，求出直线OB，然后解析式联立即可求得P的坐标，当P在C的上方时，直线OB向上平移10个单位得到的直线解析式与反比例函数解析式联立，即可求得P的坐标． 【解答】解：当P在C的下方时，过点B作x轴的垂线，垂足为D，则BD∥OA，如图所示． ∵点B的坐标为（4，3）， ∴OD＝4，DB＝3， ∴OB5， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BC＝OA＝5，BC∥OA， ∴C，B，D三点共线， ∴点C坐标为（4，8）． ∵顶点C在反比例函数的图象上， ∴k＝4×8＝32； ∴y， ∵△PAC的面积是菱形AOBC面积的， ∴B到AC的距离等于P到AC的距离， ∴BP∥AC， ∴P在直线OB上， ∵点B的坐标为（4，3）， ∴直线OB为yx， 解方程x得x或x（舍去）， ∴P的横坐标为， 当P在C的上方时， 将yx向上平移10个单位，得到yx+10， 解方程x+10得x或x＝﹣16（舍去）， ∴P的横坐标为， 综上，P的横坐标为或． 故选：D． 【典例2】（2025春•京口区校级期末）如图，点A在反比例函数（x＞0）的图象上，过点A分别作x轴、y轴的垂线交x轴、y轴于点B、C，线段AB、AC与反比例函数（x＞0）的图象相交于点M、N，连接MN．则△MAN的面积为（　　） A． B． C．1 D．2 【分析】根据题意设，则，，由此得到，再利用三角形面积公式计算即可求解． 【解答】解：设， ∵线段AB、AC与反比例函数（x＞0）的图象相交于点M、N， ∴点M的横坐标为a，则纵坐标为，即， 点N的纵坐标为，则横坐标为，即， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2-1】（2026•榆树市模拟）如图，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴和y轴上，与双曲线y恰好交于BC的中点E，若OB＝2OA，则S△ABO的值为（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 【分析】过点B作x轴的平行线，过点A，C分别作y轴的平行线，两线相交于M，N，证明△ABM≌△BCN，可得BN＝AM＝2a，CN＝BM＝a，所以点C坐标为（2a，a），BC的中点E的坐标为（a，1.5a），把点E代入双曲线y可得a的值，进而得出S△ABO的值． 【解答】解：如图，过点B作x轴的平行线，过点A，C分别作y轴的平行线，两线相交于M，N， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴∠ABM＝90°﹣∠CBN＝∠BCN， ∵∠M＝∠N＝90°， ∴△ABM≌△BCN（AAS）， ∵OB＝2OA， ∴设OA＝a，OB＝2a， 则BN＝AM＝2a，CN＝BM＝a， ∴点C坐标为（2a，a）， ∵E为BC的中点，B（0，2a）， ∴E（a，1.5a）， 把点E代入双曲线y得1.5a2＝18，a2＝12， ∴S△ABOa•2a＝12， 故选：C． 【变式2-2】（2025秋•从化区期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为12，则k的值为（　　） A．16 B．12 C．8 D．4 【分析】连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于点N，过点F作FM⊥OE于点M，先证明BD∥AE，得到S△ABE＝S△AOE＝12，得到S△EOFS△AOE＝6，可得S△FMES△FOE＝2，由此可解决问题． 【解答】解：如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于点N，过点F作FM⊥OE于点M， ∵AN∥FM，AF＝FE， ∴MN＝ME， ∴FMAN， ∵点A，F在反比例函数图象上， ∴S△AON＝S△FOM， ∴ON×ANOM×FM， ∴ONOM， ∴ON＝MN＝EM， ∴MEOE， ∴S△FMES△FOE， ∵AD平分∠AOE， ∴∠OAD＝∠EAD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA＝∠DAE， ∴AE∥BD， ∴S△ABE＝S△AOE＝12， ∵AF＝EF， ∴S△FOES△AOE＝6， ∴S△FMES△FOE＝2， ∴S△FOM＝S△FOE﹣S△FME＝6﹣2＝4， ∴k＝4， ∴k＝8， 故选：C． 【变式2-3】（2025春•苏州期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点D是AB边上的一个点（不与A、B重合），过点D的反比例函数图象交BC于点E，连接CD并延长交y轴于点F，连接BF，则S△DBF的值为（　　） A．7 B．4 C．3.5 D．3 【分析】设B（m，n），则A（0，n），C（m，0），，，，运用待定系数法得到直线CD的解析式为，则，，由三角形面积的计算即可求解． 【解答】解：设B（m，n）， ∵四边形ABCO是矩形， ∴AB＝OC＝m，OA＝BC＝n， ∴A（0，n），C（m，0）， ∴点D的纵坐标为n，则横坐标为，即，点E的横坐标为m，则纵坐标为，即， ∴， 设直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 把C（m，0），的坐标代入得， 解得，， ∴直线CD的解析式为， 当x＝0时，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【典例3】（2026•南京三模）如图，平面坐标系xOy中，B（12，4），C（8，0），OA∥BC，OA＝BC，过点A作反比例函数y（k＞0），图象交BC于点D，连接OD，则S△OCD＝　﹣16+16　 ． 【分析】根据两点间的距离公式求出BC4．根据OA∥BC，OA＝BC，可判定四边形OABC是平行四边形，于是AB∥OC，AB＝OC．由，B（12，4），可设A（x，4），根据OA＝BC＝4列方程，求出x，得到A（4，4），OC＝AB＝8，C（8，0）．利用待定系数法求出k＝4×4＝16，得出直线BC的解析式为y＝x﹣8．将两函数解析式联立求出交点D（4+4，﹣4+4），进而求出S△OCD． 【解答】解：∵B（12，4），C（8，0）， ∴BC4． ∵OA∥BC，OA＝BC， ∴四边形OABC是平行四边形， ∴AB∥OC，AB＝OC． 设A（x，4）， ∵OA＝BC＝4， ∴x2+42＝32， ∴x＝±4（负值舍去）， ∴A（4，4），AB＝12﹣4＝8， ∴OC＝AB＝8，C（8，0）． ∵点A在反比例函数y（k＞0）的图象上， ∴k＝4×4＝16． 设直线BC的解析式为y＝ax+b， 则，解得， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣8． 将y＝x﹣8代入y， 整理，得x2﹣8x﹣16＝0， 解得x＝4±4， 当x＝4+4时，y＝﹣4+4， ∴D（4+4，﹣4+4）， ∴S△OCD8×（﹣4+4）＝﹣16+16． 故答案为﹣16+16． 【变式3-1】（2025春•句容市期末）如图，在平面直角坐标系中，若点A的坐标为（2，4），点B在反比例函数的图象上，且AB与y轴平行，连结OB，过点A作OB的平行线，分别于y轴和双曲线交于C、D两点，若S△ABC＝3，则m＝（　　） A．1 B．4 C．3 D．2 【分析】根据平行四边形的判定定理得到四边形ABOC是平行四边形，得到S△BOC＝S△ABC＝3，过B作BE⊥OC于E，根据三角形的面积得到OC＝3，得到AB＝OC＝3，得到B（2，1），由点B在反比例函数的图象上，求得m＝2×1＝2． 【解答】解：∵AB∥OC，AC∥OB， ∴四边形ABOC是平行四边形， ∴S△BOC＝S△ABC＝3， 过B作BE⊥OC于E， ∵点A的坐标为（2，4）， ∴BE＝2， ∴， ∴OC＝3， ∴AB＝OC＝3， ∴OE＝4﹣3＝1， ∴B（2，1）， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴m＝2×1＝2． 故选：D． 【变式3-2】（2026春•兴化市期末）在平面直角坐标系中，点A（a，b），B（m，n）在反比例函数的图象上． （1）若a+2m＝0，求证：2b+n＝0； （2）若m＝a+2，a＞0，过点A作直线平行于x轴、过点B作直线平行于y轴，两直线交于点H， ①当k＝am时，求AH+BH的值； ②连接AB，过点B作BC⊥AB交反比例函数图象于另一点C，当AB＝BC时，△ABC的面积为8，求k的值． 【答案】（1）证明：∵a+2m＝0， ∴a＝﹣2m， ∵点A（a，b）在反比例函数的图象上， ∴k＝ab＝﹣2mb， ∵B（m，n）在反比例函数的图象上， ∴k＝mn， ∴﹣2mb＝mn， ∴2b+n＝0； （2）①AH+BH的值为4； ②k的值为． 【分析】（1）先判断出a＝﹣2m，进而得出k＝ab＝﹣2mb，再由k＝mn，进而得出﹣2mb＝mn，即可得出结论； （2）①先判断出a＝n，进而得出k＝a（a+2），再判断出b＝a+2，得出A（a，a+2），即可得出AH＝2，BH＝2，即可得出答案； ②先得出B（a+2，n），进而得出AH＝2，BH＝b﹣n，再由△ABC的面积为8得出AB2＝16，根据勾股定理得出b＝n+2，进而得出na，ba+2，再构造出△AHB≌△BMC（AAS），CM＝BH＝2，BM＝AH＝2， 进而确定出点C（a+2﹣2，a﹣2），即可求出答案． 【解答】（1）证明：∵a+2m＝0， ∴a＝﹣2m， ∵点A（a，b）在反比例函数的图象上， ∴k＝ab＝﹣2mb， ∵B（m，n）在反比例函数的图象上， ∴k＝mn， ∴﹣2mb＝mn， ∴2b+n＝0； （2）解：①∵B（m，n）在反比例函数的图象上， ∴k＝mn， ∵k＝am， ∴mn＝am， ∴a＝n， ∵m＝a+2， ∴B（a+2，a）， ∴k＝a（a+2）， ∵点A（a，b）在反比例函数的图象上， ∴k＝ab， ∴ab＝a（a+2）， ∴b＝a+2， ∴A（a，a+2）， ∴点B（a+2，a）可以看作点A（a，a+2）向右平移两个单位，再向下平移两个单位所得， ∵过点A作直线平行于x轴、过点B作直线平行于y轴，两直线交于点H， ∴AH＝2，BH＝2， ∴AH+BH＝4， 即AH+BH的值为4； ②如图，∵m＝a+2， ∴B（a+2，n）， ∵A（a，b），k＞0， ∴点B可以看作是点A向右平移2个单位，再向下平移（b﹣n）（b﹣n＞0）个单位所得， ∴AH＝2，BH＝b﹣n， ∵BC⊥AB，AB＝BC，△ABC的面积为8， ∴S△ABCAB•BCAB2＝8， ∴AB2＝16， 在Rt△AHB中， 根据勾股定理得，AH2+BH2＝AB2， ∴22+（b﹣n）2＝16， ∴b﹣n＝2， ∴b＝n+2， ∴A（a，n+2）， ∴k＝ab＝a（n+2），k＝mn＝（a+2）n， ∴a（n+2）＝（a+2）n， ∴na， ∴b＝n+2a+2， ∴A（a，a+2），B（a+2，a）， 过点C作CM⊥BH于M， ∵点A作直线平行于x轴、过点B作直线平行于y轴，两直线交于点H， ∴AH⊥BH， ∴∠AHB＝∠BMC＝90°， ∴∠BAH+∠ABH＝90°， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABH+∠CBM＝90°， ∴∠BAH＝∠CBM， ∵AB＝BC， ∴△AHB≌△BMC（AAS）， ∴CM＝BH＝2，BM＝AH＝2， ∴点C（a+2﹣2，a﹣2）， ∵点C、A在反比例函数的图象上， ∴k＝（a+2﹣2）×（a﹣2），k＝a×（a+2）， ∴（a+2﹣2）×（a﹣2）＝a×（a+2）， ∴a， ∴B（，）， ∴k， 即k的值为． 【变式3-3】（2025春•淮阴区期末）如图，已知直线y＝x+b与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（2，3），与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数y（x＞0）的图象于点C． （1）求k、b的值； （2）求△ABC的面积． 【分析】（1）由题意，利用待定系数法确定函数表达式即可得到答案； （2）根据题意，在平面直角坐标系中，由代入坐标求解即可得到答案． 【解答】解：（1）∵已知直线y＝x+b与反比例函数的图象交于点A（2，3）， ∴3＝2+b， 解得b＝3﹣2＝1；k＝2×3＝6； （2）∵直线y＝x+1与y轴交于点B， ∴当x＝0时，y＝1，即B（0，1）； ∵过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C， ∴C（6，1）， ∵A（2，3）， ∴6． 【变式3-4】（2025秋•高新区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ax与反比例函数的图象交于点A，与反比例函数的图象交于点B，过点A作y轴的垂线，垂足为C．过点C作AB的平行线，交反比例函数的图象于点D． （1）若点A的横坐标﹣1，． i）求a，k的值； ii）求点D的坐标； （2）连接BC，BD，若△BCD的面积为，求k的值． 【分析】（1）i）根据A点在反比例函数上，求出a的值，过B点作BE⊥y轴交于E，则AC＝2BE＝1，OC＝2OE＝2，求出B点坐标，再求k的值即可； ii）求出CD的解析式为y＝2x﹣2，直线CD与反比例函数y的交点为D； （2）由AB∥CD，可知△BCD的面积＝△ACD的面积，分别求出A（，），C（0，），再求点D（，（1）），最后根据面积求k的值即可． 【解答】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ax与反比例函数的图象交于点A，与反比例函数的图象交于点B，过点A作y轴的垂线，垂足为C．过点C作AB的平行线，交反比例函数的图象于点D． 解：（1）i）∵点A的横坐标﹣1， ∴A（﹣1，﹣2）， ∴﹣a＝﹣2， 解得a＝2， 过B点作BE⊥y轴交于E， ∵OA＝2OB， ∴AC＝2BE＝1，OC＝2OE＝2， ∴B（，1）， ∴k； ii）∵A（﹣1，﹣2）， ∴C（0，﹣2）， ∵CD∥AB， ∴CD的解析式为y＝2x﹣2， 当2x﹣2时，解得x或x（舍）， ∴D（，1）； （2）∵AB∥CD， ∴△BCD的面积＝△ACD的面积， 当ax时，x＝±， ∴A（，）， ∴C（0，）， ∴AC， ∵AB∥CD， ∴y＝ax， 当ax时，解得x或（舍）， ∴D（，（1））， ∴[（1）]， 解得k． ▌题型02 反比例函数中的整数点问题 1.核心解题原理 （1）反比例函数标准解析式： （2）核心变形公式： （3）整数点定义：若点在反比例函数图像上，且横坐标、纵坐标均为整数，则该点为反比例函数的整数点。 （4）本质规律：反比例函数的所有整数点，横、纵坐标的乘积恒等于定值，找整数点本质就是找的所有整数因数对。 2.通用解题步骤 步骤1：确定定值k 常见三种求方式： ①题干直接给出的值； ②已知图像过定点，代入得； ③结合图像面积、一次函数交点、几何图形性质求解。 步骤2：列举k的全部整数因数对 若是的整数因数，则必然为整数，每一组因数对应一个整数点。 注意：必须同时列举正因数、负因数，避免漏点。 示例： 全部整数因数： 对应整数点： 步骤3：根据象限分类筛选 当k>0时：同号，整数点分布在第一、三象限 第一象限：（取正因数对） 第三象限：（取负因数对） 当k<0时：异号，整数点分布在第二、四象限 第二象限： 第四象限： 步骤4：结合题干限制条件二次筛选 高频限制条件： ①限定象限：只保留对应象限的整数点； ②限定取值：为正整数、、等； ③限定位置：点在直线/线段上、图像内部、网格内等； ④特殊要求：横纵坐标不相等、不含原点附近点等。 【典例4】（2025秋•海淀区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，函数y（x＞0）的图象与直线y＝2x交于点A（2，m）． （1）直接写出m，k的值； （2）点B是函数y（x＞0）图象上异于A的一点，记y（x＞0）图象在点A，B间的部分与线段OA，线段OB围成的区域为W．若区域W内（不含边界）恰有一个整点，直接写出点B的横坐标b的取值范围． 【分析】（1）将A（2，m）代入y＝2x求出m的值，确定A点坐标即可求k的值； （2）根据（1，8），（8，1）分别在y上，结合图象求解即可． 【解答】解：（1）当x＝2时，m＝4， ∴A（2，4）， ∴k＝8； （2）x＝1时，y＝8，y＝1时，x＝8， ∴（1，8），（8，1）分别在y上， 当（1，8）在W内，则0＜b＜1， 当（8，1）在W内，则b＞8， ∴0＜b＜1或b＞8． 【变式4-1】（2025•路北区校级二模）如图，已知直线l：y＝mx+3与x，y轴分别交于点A，B，正比例函数y＝kx的图象L与直线l交于点C（2，5）． （1）求k，m的值，并求点A的坐标； （2）若点P为x轴正半轴上的一点，S△AOC＝S△POC，求点P的坐标； （3）在第（2）问的条件下，若点P在x轴的正半轴上．约定：将（2）中△POC内部（不含边界）横、纵坐标都是整数的点称为“要点”．若曲线使得这些“要点”分布在它的两侧，且个数的比值为1：2，直接写出符合条件的n的整数值． 【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可确定函数解析式，然后确定与坐标轴的交点即可； （2）根据题意得出三角形的高相等，确定AO＝PO，即可求解； （3）根据题意得出要点共有6个，分别为：（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），然后结合图象确定当反比例函数恰好经过点（1，5）时，符合题意，即可求解． 【解答】解：（1）由条件可得5＝2m+3，5＝2k， 解得：， ∴直线l：y＝mx+3的解析式为y＝x+3， 当y＝0时，x+3＝0， 解得：x＝﹣3， ∴点A的坐标为（﹣3，0）； （2）∵S△AOC＝S△POC，高相等， ∴AO＝PO， ∵AO＝3， ∴PO＝3， ∴P（3，0）； （3）根据图象得：要点共有6个，分别为：（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4）， 当反比例函数恰好经过点（1，5）时，， 当x＝2时，， 由图得反比例函数上面有2个要点，下面有4个要点，符合题意； ∴n＝5． 【变式4-2】（2025•三门峡二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（1，1），（4，1），反比例函数的表达式为． （1）若反比例函数的图象经过正方形ABCD的中心． ①求k的值； ②若反比例函数图象与CD交于点E，连接BD，BE，求△BDE的面积． （2）若在反比例函数图象的上方，且在正方形ABCD内（不含边界）只有1个整点（横、纵坐标均为整数的点），则k的取值范围是　6≤k＜9　 ． 【分析】（1）①求得正方形ABCD的中心坐标，代入反比例函数即可解答； ②画出图形，求得点E，利用三角形面积公式即可解答； （2）画出图形，求临界值，即可解答． 【解答】解：（1）①由条件可知AB＝3， ∴C（4，4），D（1，4）， ∴正方形ABCD的中心坐标为， ∵反比例函数的图象经过正方形ABCD的中心， ∴； ②如图， 由题意可得反比例函数解析式为， 当y＝4时，可得， 解得， 经检验是原方程的解， ∴， ∴， ∴△BDE的面积为； （2）如图，将正方形ABCD分成9个边长为1的小正方形， 根据题意可得M（3，3），P（2，3），N（3，2）， 当反比例函数图象经过点M（3，3）时，k＝9， 当反比例函数图象经过点P（2，3），N（3，2）时，k＝6， ∴若在反比例函数图象的上方，且在正方形ABCD内（不含边界）只有1个整点（横、纵坐标均为整数的点），则k的取值范围是6≤k＜9， 故答案为：6≤k＜9． ▌题型03 反比例函数与二次根式综合 会利用完全平方公式的变形求最值 核心公式：（） ，∴，∴，（只有当a＝b时，） 【典例5】（2025春•泗洪县期末）【阅读理解】对于任意正实数a、b，∵，∴，∴，（只有当a＝b时，）． 【获得结论】在（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则，只有当a＝b时，a+b有最小值． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： （1）若m＞0，只有当m＝　2　 时，有最小值 　4　 ； （2）已知点Q（﹣4，﹣5）是双曲线上点，过Q作QA⊥x轴于点A，作QB⊥y轴于点B．点P为双曲线上任意一点，连接PA，PB，求四边形AQBP的面积的最小值． 【分析】（1）根据阅材料可得，当时，取得最大值，据此即可求解； （2）连接PQ，设，根据四边形AQBP的面积＝△AQP的面积+△QBP的面积，从而利用x表示出四边形的面积，利用阅读材料中介绍的不等式的性质即可求解． 【解答】解：（1）根据题意得当时，m＝2，此时． 故答案为：2，4； （2）连接PQ， ∵点Q（﹣4，﹣5）是双曲线上的点， ∴k＝﹣4×（﹣5）＝20，即， 设， ∴ ． ∴四边形AQBP的面积最小值为40． 【变式5-1】（2025春•宿豫区期末）（1）【阅读理解】对于任意正实数a、b． ∵， ∴， ∴，（只有当a＝b时， 结论：在（a、b均为正实数）中，若ab为定值P，则，只有当a＝b时，a+b有最小值，根据上述内容，回答下列问题： 问题1：若x＞0时，有最小值为　4　 ； 问题2：若，求y的最小值为　8　 ． （2）【探索应用】如图，已知A（﹣3，0）、B（0，﹣2），P为双曲线上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状． 【分析】（1）问题1：根据题意作答即可；问题2：根据题意作答即可； （2）设，则C（x，0），，求出四边形ABCD的面积根据题意得到有最小值为6，即四边形ABCD的面积得最小值为12，此时x＝3，证明四边形ABCD是平行四边形，根据AC⊥BD证明平行四边形ABCD是菱形． 【解答】解：（1）问题1：， 即有最小值为4， 故答案为：4； 问题2：， ∵x＞2时，x﹣2＞0， 当时，y有最小值为， 故答案为：8； （2）设，则C（x，0），， ∴四边形ABCD的面积， 由题意可得，若x＞0，有最小值为6， ∴四边形ABCD的面积S≥6+6＝12， ∴四边形ABCD的面积得最小值为12， 此时，即x＝3， ∴C（3，0），D（0，2）， ∴OA＝OC＝3，OD＝OB＝2， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 【变式5-2】（2025春•沛县期末）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和y＝﹣x+10的图象，两个函数图象交于A（1，9），B（9，1）两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现PQ的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究PQ的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题： （1）设点P的横坐标为x，PQ的长度为y，则y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+10　 （1≤x≤9）； （2）为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象： ①列表：表中m＝　　 ； x 1 2 3 4 6 9 y 0 m 4 0 ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图象．观察函数图象，y的最大值为　4　 ． ④阅读规律：当a，b都是正数时，有，即：，只有当a＝b时，才成立；如：已知，只有当时，即：x＝2时，有最小值为4． 请用这个规律说明③中y的最大值的正确性； （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数上的任意一点，过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值． 【分析】（1）表示出点P、Q的坐标，从而得出y与x的函数解析式； （2）①将x＝2和x＝6代入（1）中函数解析式即可； ②③通过描点、连线，观察图象可得答案； ④根据x26，得到x时，即x＝3时，﹣（x）由最大值为6，于是得到y＝﹣x+10有最大值为10﹣6＝4； （3）先求出点A，点B坐标，设点M（x，），可求CA，BD，由四边形ABCD面积AC•BD列式，即可求解． 【解答】解：（1）∵点P的横坐标为x， ∴P（x，﹣x+10），Q（x，）， ∴y＝﹣x+10， 故答案为：y＝﹣x+10； （2）①当x＝2时，m＝﹣2+10， 故答案为：； ②③如图所示， 观察函数图象，当x＝3时，y有最大值为4， 故答案为：4； ④∵x26， ∴x时，即x＝3时，﹣（x）由最大值为6， ∴y＝﹣x+10有最大值为10﹣6＝4， 故③中y的最大值正确； （3）∵直线yx﹣2与坐标轴分别交于点A、B， ∴点A（﹣3，0），点B（0，﹣2）， 设点M（x，）， ∴C（x，0），点D（0，）， ∴CA＝x+3，DB2， ∵四边形ABCD面积AC•BD（x+3）2）＝﹣（﹣x+10）+16， 由（2）得，当x＝3时，y＝﹣x+10有最大值为4，即﹣（﹣x+10）有最小值﹣4， ∴四边形ABCD面积的最小值为﹣4+16＝12． ▌题型04 反比例函数中的新定义问题 常用解题步骤： 步骤1：拆解定义，文字转数学表达式（核心关键） 圈画题干定义中的关键词、限定条件，将文字描述精准转化为等式、不等式、坐标关系或几何关系，这是解题最核心步骤。 通用解题技巧：设双曲线上动点坐标为 ，用单参数t表示所有未知量，减少未知数个数，简化计算。 常见新定义翻译汇总： （1）等积点：动点与原点、坐标轴垂足构成的三角形/矩形面积为固定值或与|k|相关； （2）伴随矩形：过双曲线上点作x、y轴垂线，围成的矩形，面积； （3）特征三角形：双曲线上点、原点、坐标轴垂足构成的直角三角形，面积； （4）关联点：两点横纵坐标乘积相等，即； （5）定距/定角点：满足固定两点距离、角度、线段比例关系。 步骤2：结合反比例函数基础性质列式 依托反比例函数固有性质，简化方程、快速代换，避免重复计算： （1）点在双曲线上的充要条件：（最核心公式，全程通用）； （2）面积性质：过双曲线上任意一点作坐标轴垂线，矩形面积恒为|k|，直角三角形面积恒为； （3）对称性：双曲线关于原点、直线y=x、y=-x对称； （4）增减性：k>0时，一、三象限内y随x增大而减小；k<0时，二、四象限内y随x增大而增大； （5）定义域值域：x≠0，y≠0，双曲线永不与坐标轴相交。 步骤3：分类讨论，解方程/不等式 新定义题型多含绝对值、动点、多位置情况，必须分类讨论，杜绝漏解： （1）含|k|、面积、距离类问题：分正负情况讨论； （2）动点问题：按t>0（一、三象限）、t<0（二、四象限）分类； （3）分式方程求解后，必须检验分母不为0、k≠0； （4）涉及线段、图形位置的，需结合几何范围，确定参数取值范围。 步骤4：回代验证，剔除增根与不合理解 求出参数t、k、点坐标后，必须回代题干原始定义验证： （1）验证是否满足，点在双曲线上； （2）验证面积、距离、位置关系符合题干新定义； （3）剔除点不存在、图形不成立、不符合象限限制的解。 【典例6】（2026春•婺城区校级月考）在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1），Q（x2，y2），当满足x1+x2+y1+y2＝0时，则称点P，Q互为“对消点”．如P（1，2），Q（﹣1，﹣2）是互为“对消点”． （1）已知函数图象上的点A，B互为“对消点”． ①若A的横坐标为2，求B的坐标； ②记A，B的横坐标分别为a，b，点M为线段AB的中点，若ab＝﹣4，求点M坐标； （2）已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（t+1，t），B（t+5，t），C（t+6，t+2），D（t+2，t+2），若A的两个“对消点”连线能将该四边形的面积平分，求t的值． 【分析】（1）①依据题意，设B（x，）又A在函数图象上，且A的横坐标为2，则A的纵坐标为﹣3，结合点A，B互为“对消点”，可得2﹣3+x0，进而计算即可得解； ②依据题意，由点A，B为函数图象上的互为“对消点”．且A，B的横坐标分别为a，b，则，从而，结合ab＝﹣4，可以判断得解； （2）依据题意，由A（t+1，t），B（t+5，t），C（t+6，t+2），D（t+2，t+2），可得AC的中点为，BD的中点为，故AC与BD互相平分，可得四边形ABCD为平行四边形，且中心为．又设A“对消点”为 P（x，y），则x+y+t+t+1＝0，即点P所在的直线为 y＝﹣x﹣2t﹣1，又A的两个“对消点”连线能将该四边形的面积平分，可得该直线过平行四边形的中心，从而，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）①由题意，设B（x，） ∵A在函数图象上，且A的横坐标为2， ∴A的纵坐标为﹣3， 又∵点A，B为函数图象上的互为“对消点”． ∴2﹣3+x0， ∴x1＝3，x2＝﹣2． ∴B的坐标为 （3，﹣2）或（﹣2，3）； ②由题意，∵点A，B为函数的“对消点”，且A，B的横坐标分别为a，b， ∴，， ∵ab＝﹣4， ∴a+b＝0， ∴点M的坐标为（0，0）． （2）由题意，∵A（t+1，t），B（t+5，t），C（t+6，t+2），D（t+2，t+2）， ∴AC的中点为，BD的中点为． ∴AC与BD互相平分， ∴四边形ABCD为平行四边形，且中心为． 设A的“对消点”为P（x，y）， ∴x+y+t+t+1＝0，即点P所在的直线为y＝﹣x﹣2t﹣1． 又∵A的两个“对消点”连线能将该四边形的面积平分， ∴该直线过平行四边形的中心， ∴， ∴． 【变式6-1】（2026•广宁县二模）定义：菱形、矩形与正方形的形状有共性，我们将菱形、矩形与正方形的相近程度称为菱形或矩形的“相近度”． （1）如图1，菱形的边长为2，设菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为m，n，我们将菱形的“相近度”用|m﹣n|表示，即“相近度”＝|m﹣n|，若∠ABC＝60°，求该菱形的“相近度”； （2）如图2，已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，设AB，BC的长分别为m，n（m≥n），我们将矩形的“相近度”用表示，即“相近度”． ①若∠AOD＝45°，求该矩形的“相近度”； ②如图3，矩形ABCD的顶点分别在反比例函数和的图象上，BD∥y轴，点D的横坐标为3，当矩形的“相近度”为1时，求k1+k2的值． 【分析】（1）利用菱形的性质可得△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质计算m，n即可； （2）①先求得∠OAB＝22.5°，在AB上取一点E，使BE＝BC＝n，连接CE，进而可证AE＝CE，再计算“相近度”即可； ②根据矩形的“相近度”为1，可得四边形ABCD是正方形，设AE＝BE＝CE＝DE＝p，D（3，a），再得到A，B的坐标，结合A，B都在反比例函数的图象上，进而得到p＝3﹣a，再代入求k1+k2即可． 【解答】解：（1）由条件可得△ABC是等边三角形，∠AOB＝90°， ∴m＝AC＝AB＝2， ∴OA＝1， 由勾股定理可得： ， ∴， ∴， 即该菱形的“相近度”为； （2）①由条件可知： ，， 如图，在AB上取一点E，使BE＝BC＝n，连接CE， 则∠ECB＝∠CEB＝45°， ∴∠ACE＝∠OCB﹣∠ECB＝22.5°， ∴∠OAB＝∠ACE， ∴AE＝CE， 在Rt△BCE中，， ∴， ∴， ∴， ∴，即该矩形的“相近度”为； ②如图，连接AC交BD于点E，延长BD交x轴于点F， ∵矩形的“相近度”为1，即， ∴AB＝BC， ∴四边形ABCD是正方形， ∴BE＝AE＝CE＝DE， 设AE＝BE＝CE＝DE＝p，D（3，a）， ∵BD∥y轴， ∴B（3，a+2p），A（3+p，a+p）． 由条件可知k1＝3（a+2p）＝（3+p）（a+p）， 解得p1＝0，p2＝3﹣a． ∵p≠0， ∴p＝3﹣a， ∴B（3，6﹣a）． 由条件可知k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a， ∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18． 【变式6-2】（2026•韶关二模）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形ABCD对角线的两个端点，则定义该函数为矩形ABCD 的“友好函数”．例如：如图1，矩形ABCD，经过点A（﹣1，1）和点C（3，3）的一次函数y是矩形ABCD的“友好函数”． （1）如图2，矩形ABCD的顶点坐标分别为A（2，1），B（6，1），C（6，3），D（2，3），反比例函数y（x＞0）经过点B，求反比例函数y（x＞0）的函数表达式，并判断该函数是否为矩形ABCD的“友好函数”； （2）矩形ABCD在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且点A的坐标为（1，2），正比例函数y1＝ax经过点A，且是矩形ABCD的“友好函数”，反比例函数y2（x＞0）经过点B，且是矩形ABCD的“友好函数”． ①如图3，当OC＞OA时，将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形ABCD的周长为y，求y关于k的函数表达式； ③在②的条件下，当矩形ABCD的周长y＝4时，设矩形ABCD的面积为S1；当矩形ABCD的周长y＝8时，设矩形ABCD的面积为S2，请直接写出S2﹣S1的值． 【分析】（1）由新定义即可求解； （2）①将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，则∠EAC＝∠BAC＝∠CAE，得到OE＝EC，进而求解； ②由y＝2（AB+BC），即可求解； ③当y＝4时，即3k﹣6＝4，则k，则m，则S1＝AB×BC＝（m﹣1）（2m﹣2）＝2（m﹣1）2，即可求解，同理可得：S2＝AB×BC＝（m﹣1）（2m﹣2）＝2（m﹣1）2，即可求解． 【解答】解：（1）将点B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝1×6＝6， 则反比例函数的表达式为：y， 当x＝2时，y＝3，即点D在反比例函数表达式上， 故该函数是矩形ABCD的“友好函数”； （2）将点A的坐标代入正比例函数表达式得：2＝k， 则正比例函数表达式为：y＝2x， ∵正比例函数是矩形ABCD的“友好函数”， 即点C在直线y＝2x上，故设点C（m，2m）， ①当OC＞OA时， 当点B、D的坐标分别为：（m，2）、（1，2m）， 则AB＝m﹣1，BC＝2m﹣2； ∵将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上， 则∠EAC＝∠BAC＝∠CAE， 即OE＝EC， 故OE＝EC＝BC，设点E（0，y）， 则y2m﹣2， 解得：m，y， 即点E（0，）， 则k＝2m； ②当OC＞OA时， 将点B（m，2）的坐标代入反比例函数表达式得：k＝2m， ∵AB＝m﹣1，BC＝2m﹣2； 则y＝2（AB+BC）＝6m﹣6＝3k﹣6； 当OC＜OA时， 此时，点A、B、C、D的坐标分别为：（1，2）、（m，2）、（m，2m）、（1，2m）， 将点B（m，2）的坐标代入反比例函数表达式得：k＝2m， ∵AB＝2﹣2m，BC＝1﹣m； 则y＝2（AB+BC）＝6﹣6m＝6﹣3k， 综上，y＝|6﹣3k|； ③当OC＞OA时， 当y＝4时，即3k﹣6＝4， 则k，则m， 则S1＝AB×BC＝（m﹣1）（2m﹣2）＝2（m﹣1）2； 当y＝8时，即3k﹣6＝8， 则k，则m， 则S2＝AB×BC＝（m﹣1）（2m﹣2）＝2（m﹣1）2； 则S2﹣S1； 当OC＜OA时， 当y＝4时，即6﹣3k＝4， 则k，则m， 则S1＝AB×BC＝（2﹣2m）（1﹣m）＝2（m﹣1）2； 当y＝8时，即6﹣3k＝8， 则k，不合题意，舍去； 综上，S2﹣S1． 【变式6-3】（2026•封开县二模）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形ABCD对角线的两个端点，则定义该函数为矩形ABCD的“友好函数”．例如：如图1，矩形ABCD，经过点A（﹣1，1）和点C（3，3）的一次函数是矩形ABCD的“友好函数”． （1）如图2，矩形ABCD的顶点坐标分别为A（2，1），B（6，1），C（6，3），D（2，3），反比例函数经过点B，求反比例函数的解析式，并判断该函数是否为矩形ABCD的“友好函数”； （2）矩形ABCD在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且点A的坐标为（1，2），正比例函数y1＝ax经过点A，且是矩形ABCD的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形ABCD的“友好函数”． ①如图3，当OC＞OA时，将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形ABCD的周长为L，求L关于k的函数解析式． 【分析】（1）求出反比例函数解析式，并判断D在反比例函数图象上，根据“友好函数”的概念即可得出结论； （2）①求出正比例函数y＝2x，设点C（m，2m），则B（m，2），D（1，2m），则AB＝m﹣1，BC＝2m﹣2，根据折叠的性质得AE＝AB＝m﹣1，CE＝BC＝2m﹣2，∠BCO＝∠ECO，延长BA交y轴与F，根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定可得，AF＝1，EF＝2m﹣4，根据勾股定理列方程并求出m，求出B点坐标，即可求出k； ②分两种情况讨论，当OC＞OA时，即m＞1，当OC＜OA时，即0＜k＜2，再根据矩形周长公式求解即可． 【解答】解：（1）该函数为矩形ABCD的“友好函数”；理由如下： 反比例函数经过点B，将点B（6，1）代入得： 1， 解得：k＝6， ∴反比例函数的表达式为：， 当x＝2时，得：y3， ∴点D在反比例函数图象上， ∴该函数为矩形ABCD的“友好函数”； （2）①正比例函数y1＝ax经过点A，将点A（1，2）代入得：a＝2， ∴正比例函数表达式为y＝2x， ∵正比例函数是矩形ABCD的“友好函数”， ∴点C在直线y＝2x上， 设点C（m，2m），则B（m，2），D（1，2m）， ∴AB＝m﹣1，BC＝2m﹣2； ∵将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上， ∴AE＝AB＝m﹣1，CE＝BC＝2m﹣2，∠BCO＝∠ECO， 延长BA交y轴于F， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90°，BC∥AD， ∵AD∥y轴， ∴∠EFA＝∠DAB＝90°，BC∥y， ∴∠BCO＝∠EOC， ∵∠BCO＝∠ECO， ∴∠EOC＝∠ECO， ∴OE＝CE＝2m﹣2， ∵AB∥x轴， ∴F（0，2）， ∴AF＝1， ∴OF＝2， ∴EF＝OE﹣OF＝2m﹣2﹣2＝2m﹣4， 在Rt△AEF中，由勾股定理得：AF2+EF2＝AE2， ∴1+（2m﹣4）2＝（m﹣1）2， 解得：或m＝2， ∵AE＞AF， ∴m﹣1＞1， ∴m＞2， ∴m＝2不合题意，舍去， ∴， 当时，， 把代入反比例函数得： 2， 解得：； ②当OC＞OA时，即m＞1， 将点B（m，2）的坐标代入反比例函数表达式得k＝2m，即， ∵AB＝m﹣1，BC＝2m﹣2， ∴L＝2（AB+BC）＝6m﹣6＝3k﹣6， ∵m＞1， ∴k＞2， ∴当k＞2时，L＝3k﹣6， 当OC＜OA时，即0＜k＜2时，如图4， 设点C（m，2m），则B（m，2），D（1，2m）， ∴AB＝1﹣m，BC＝2﹣2m； 将点B（m，2）的坐标代入反比例函数表达式得k＝2m，即， ∴L＝2（AB+BC）＝6﹣6m＝6﹣3k， ∴当0＜k＜2时，L＝6﹣3k， 综上所述，． ▌题型05 面积的存在性问题 1.遇到规则图形，可直接利用公式求面积，也可以利用铅锤法或者平行线的拉窗帘模型进行转化； ①铅垂法求面积 ②拉窗帘模型 若那么，将点C在上移动，。 2. 遇到梯形、组合不规则图形，统一思路：通过分割、补全图形，转化为矩形或直角三角形 【典例7】（2025春•句容市期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）图象与反比例函数（m≠0）图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A（8，2），点B的横坐标为﹣4． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）当y1＞y2时，直接写出自变量x的取值范围； （3）若点D是y轴上的一点，且S△ABD＝24，求点D坐标． 【分析】（1）首先结合点A（8，2），可求得m的值，即可确定反比例函数解析式；再确定点B的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数解析式即可； （2）结合一次函数与反比例函数图象，即可获得答案； （3）首先确定点C坐标，结合S△ABD＝24易得CD＝4，即可获得答案； 【解答】解：（1）由条件可知m＝8×2＝16， ∴反比例函数的解析式为， ∵点B的横坐标为﹣4， ∴， ∴B（﹣4，﹣4）， 由题目条件可知，， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）由图象可知，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是﹣4＜x＜0或x＞8； （3）对于一次函数，令x＝0，可得y＝﹣2， ∴C（0，﹣2）， ∵点D是y轴上一点，且S△ABD＝24， ∴， ∴CD＝4， ∴D（0，2）或D（0，﹣6）． 【变式7-1】（2025春•丹阳市期末）如图，反比例函数y与一次函数y＝k2x+b（k2≠0）的图象相交于点A（m，1）和点B（﹣1，﹣4），连接AO、BO． （1）求k1的值； （2）关于x的不等式x+b的解集为x＞4或﹣1＜x＜0　 ； （3）△AOB的面积为　　 ； （4）点P为直线AB上方的反比函数图象上的一点，若S△AOB＝S△APB，则点P的坐标为　（2，2）或（﹣2，﹣2）　 ． 【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k1值即可； （2）先求出点A的坐标，再利用数形结合直接写出不等式的解集即可； （3）先求出直线AB的解析式得到点C坐标，利用S△AOB＝S△BOC+S△AOC代入数据计算即可； （4）根据题意实际就是求直线y＝x与反比例函数y的交点坐标，联立方程组求解即可． 【解答】解：（1）∵反比例函数y与一次函数y＝k2x+b（k2≠0）的图象相交于点A（m，1）和点B（﹣1，﹣4）， ∴k1＝m＝﹣1×（﹣4）＝4， ∴k1＝4； （2）由（1）可知m＝4， ∴点A（4，1）和点B（﹣1，﹣4）， 由图象可知，不等式x+b的解集为x＞4或﹣1＜x＜0， 故答案为：x＞4或﹣1＜x＜0； （3）如图，直线AB交y轴于点C， 设直线AB的解析式为y＝k2x+b（k2≠0）代入点A（4，1），B（﹣1，﹣4）坐标得： ，解得， ∴直线AB的解析式为y＝x﹣3， ∴C（0，﹣3），即OC＝3， ∴S△AOB＝S△BOC+S△AOC， 故答案为：； （4）根据题意，实际就是求直线y＝x与反比例函数y的交点坐标，联立方程组得： ，解得，， ∴P（2，2）或（﹣2，﹣2）． 故答案为：（2，2）或（﹣2，﹣2）． 【变式7-2】（2026•泸州模拟）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点M在直线AB上，且位于第二象限，BM＝AB．过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，交反比例函数的图象于第三象限的点C，连接OC，△OCN的面积为6． （1）求k值和点C的坐标； （2）如图，点D是直线AB上一动点，连接BC，OM，当△BCD的面积是△OCM面积的2倍时，求点D的坐标． 【分析】（1）作BE⊥MN于点E，证明△MBE≌△BAO，得到EM＝BO＝2，BE＝OA＝4＝ON，由三角形面积公式求得yC＝±3，得到点C的坐标为（﹣4，﹣3），再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意求得S△BCD＝28，再利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【解答】解：（1）由条件可知A（4，0），B（0，2）， 作BE⊥MN于点E， ∵MN⊥x轴， ∴∠BEN＝∠ENO＝∠BON＝90°， ∴EN＝BO＝2，BE＝ON，∠MBE＝∠BAO， ∵BM＝AB， ∴△MBE≌△BAO， ∴EM＝BO＝2，BE＝OA＝4＝ON， ∴， 解得yC＝±3， ∵点C位于第三象限， ∴点C的坐标为（﹣4，﹣3）， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴k＝﹣3×（﹣4）＝12； （2）∵CM＝CN+EN+EM＝3+2+2＝7，ON＝4， ∴，， 由条件可知S△BCD＝2S△OCM＝28， ∴S△MCD＝S△BCD+S△BCM＝42， ∴， 解得xD＝8或﹣8， 当x＝8时，； 当x＝﹣8时，； ∴点D的坐标为（8，﹣2）或（﹣8，6）． 【变式7-3】（2025春•扬州期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，一次函数y1＝kx+b与反比例函数（x＞0）的图象交于A（2，m）、B（4，2）两点． （1）求一次函数y1与反比例函数y2的解析式； （2）根据图象回答，当时，x的取值范围为　0＜x≤2或x≥4　 ； （3）y轴上有一点P，当以点O、P、A、B为顶点的四边形的面积为7时，求点P的坐标． 【分析】（1）把B（4，2）代得2，解方程得到反比例函数y2的解析式为y2，把A（2，m）代入y2得，m4，求得A（2，4），把A（2，4），B（4，2）代入y1＝kx+b得解方程组得到一次函数y1的解析式为y1＝﹣x+6； （2）根据函数图象即可得到不等式的解集； （3）设P（0，a），解方程得到M（0，6），N（6，0），根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）把B（4，2）代得2， ∴n＝8， ∴反比例函数y2的解析式为y2， 把A（2，m）代入y2得，m4， ∴A（2，4）， 把A（2，4），B（4，2）代入y1＝kx+b得，， ∴， ∴一次函数y1的解析式为y1＝﹣x+6； （2）由图象得，当时，x的取值范围为0＜x≤2或x≥4； 故答案为：0＜x≤2或x≥4； （3）设P（0，a）， 在y1＝﹣x+6中，当x＝0时，y＝6，当y＝0时，x＝6， ∴M（0，6），N（6，0）， ∴S四边形ABOP＝S△MON﹣S△APM﹣S△OBN（6﹣a）×26×2＝7或S四边形AOPB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△OBN+S△OBP6×26×2（﹣a）×4＝7 ∴a＝1或﹣0.5， ∴点P的坐标为（0，1）或（0，﹣0.5）． 【变式7-4】（2025春•丹徒区期末）如图，平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上，A，B在第一象限，反比例函数的图象经过点A（3，4）． （1）求反比例函数的函数表达式和点B的坐标； （2）点P在反比例函数的图象上． ①若直线OP平分菱形OABC的面积，求点P的坐标； ②若直线OP将菱形OABC的面积分成1：3两部分，则点P的横坐标是　或　 ． 【分析】（1）用待定系数法可得反比例函数的函数表达式为y；求出OA＝5知菱形OABC边长为5，故B（8，4）； （2）①菱形OABC的对称中心为（4，2），直线OP平分菱形OABC的面积，则直线OP经过点（4，2），此时直线OP的解析式为yx，联立解析式可解得P（2，）； ②求出S菱形OABC＝5×4＝20，当直线OP交边AB于H，S△OAH：S四边形HOCB＝1：3时，求出H（，4），直线OH解析式为yx，联立解析式可解得P的横坐标；当直线OP交边BC于H'，S△OCH'：S四边形H'OAB＝1：3时，求出H'（，2），同法可得P的横坐标为． 【解答】解：（1）把A（3，4）代入y得：4， 解得k＝12， ∴反比例函数的函数表达式为y； ∵A（3，4）， ∴OA5， ∵四边形OABC是菱形， ∴AB＝OA＝5＝OC，AB∥x轴， ∴B（8，4）； （2）①∵B（8，4）， ∴菱形OABC的对称中心为OB的中点（4，2）， ∵直线OP平分菱形OABC的面积， ∴直线OP经过点（4，2），此时直线OP的解析式为yx， 联立， 解得或， ∴P（2，）； ②∵A（3，4），OC＝5， ∴S菱形OABC＝5×4＝20， 当直线OP交边AB于H，S△OAH：S四边形HOCB＝1：3时，如图： ∴S△OAHS菱形OABC＝5， ∴AH×4＝5， ∴AH， ∴H（，4）， ∴直线OH解析式为yx， 联立可得x， 解得x或x（舍去）， ∴P的横坐标为； 当直线OP交边BC于H'，S△OCH'：S四边形H'OAB＝1：3时，如图： ∴S△OCH'S菱形OABC＝5， ∴yH'×5＝5， ∴yH'＝2， 由B（8，4），C（5，0）得直线BC解析式为yx， 令y＝2得x， ∴H'（，2）， ∴直线OH'解析式为yx， 联立得x， 解得x或x（舍去）； ∴P的横坐标为； 综上所述，P的横坐标为或． ▌题型06 等腰三角形的存在性问题 常见 类型 1）两定一动：动点可在直线上、双曲线上； 2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； 3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口。 代 数 法 思路：利用边相等列方程求解 1）设出动点坐标，通常用合字母的代数式表示； 2）表示三边长度：利用两点间距离公式变式出AB,AC,BC； 3）分类讨论+计算：分三种情况AB2=AC2,AB2=BC2,BC2=AC2 4）列出方程求解。 几 何法 思路：“两圆一线”找动点，构造等腰三角形 如图，△ABP是等腰三角形，A,B为定点，点P动点，且点P在x轴上，确定点P的方法：- 1）先分类讨论 ①若点A为顶角顶点，AB为腰，这时AB=AP，则点P为以点A为圆心，AB为半径的圆与x轴的交点； ②若点B为顶角顶点，AB为腰，这时BA=BP，则点P为以点B为圆心，AB为半径的圆与x轴的交点； ③若点P为顶角顶点，AB为底，这时PA=PB，则点P为线段AB的垂直平分线与x轴的交点。 2）计算．利用全等、相似、三角函数等知识求点的坐标。 【典例8】（2026•高新区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图象与x轴交于点A（﹣2，0），与反比例函数交于点B（1，m）． （1）求反比例函数的表达式； （2）点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数y＝2x+b图象于点N，连接BM，若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，求△BMN的面积． 【分析】（1）先求出一次函数的解析式，然后可得点B坐标，进而问题可求解； （2）设点M坐标为（m，），则点N坐标为（m，2m+4），过点B作BH⊥MN于点H，然后可得2m+4﹣6＝6，进而问题可求解． 【解答】解：（1）一次函数y＝2x+b的图象与x轴交于点A（﹣2，0），与反比例函数交于点B（1，m）．将点A的坐标代入y＝2x+b，得： 0＝2×（﹣2），+b， 解得：b＝4， ∴一次函数的解析式为y＝2x+4，将点B的坐标代入得：m＝2+4＝6， ∴B（1，6）， 将点B的坐标式入反比例函数交得： 6， 解得：k＝6， ∴反比例函数的表达式为y（x＞0）； （2）设点M坐标为（m，），则点N坐标为（m，2m+4）， 如图1，过点B作BH⊥MN于点H， ∵BN＝BM， ∴NH＝MH， 由（1）可知B（1，6）， ∴2m+4﹣6＝6， 解得：m＝3或1（经检验，都是分式方程的解，但m＝1不合题意，舍去）， ∴S△BMN（3﹣1）×（10﹣2）＝8． 【变式8-1】（2026•新都区模拟）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过A（﹣1，m+6），B（﹣2m﹣3，1）两点． （1）求A点坐标及k的值； （2）如图，若点P在反比例函数的图象上，且点P到x轴，y轴距离相等，连接PA，PB，AB，求△PAB的面积； （3）在（2）的条件下，若∠MPN＝45°，且∠MPN的两边PM，PN分别交y轴负半轴于点M，交x轴正半轴于点N，当△PMN为等腰三角形时，请直接写出此时OM的长． 【分析】（1）根据A，B点坐标代入反比例函数中，利用k值不变求出m值，然后即可求出A点坐标和k值； （2）通过割补法，在坐标系中把△ABP构造在大图形中进行求解即可； （3）根据M，N的位置的三种情况进行讨论即可解答． 【解答】解：（1）∵点A（﹣1，m+6）和点B（﹣2m﹣3，1）在反比例函数图象上， ∴﹣（m+6）＝﹣2m﹣3， ∴m＝3， ∴点A（﹣1，9），点B（9，﹣1）， ∴k＝﹣9； （2）过点A作AF⊥y轴，过点B作BE⊥x轴，BH⊥y轴，过点P作PR⊥y轴，PS⊥x轴，如图1所示， ∵点P到x轴，y轴距离相等，且点P 在第二象限， ∴点P在直线y＝﹣x图象上， 设点P坐标为（﹣m，m），代入反比例函数中得， ﹣m2＝﹣9， ∴m＝﹣3， ∴点P（﹣3，3）， ∴PR＝PS＝3， ∵点A（﹣1，9），点B（﹣9，1）， ∴AF＝1，FO＝9，OE＝BH＝9，BE＝OH＝1， ∴FH＝FO﹣OH＝8，FR＝ES＝6， ∴S△ABP＝S梯AFHB+S矩形BHOE﹣S梯形AFRP﹣S矩形PROS﹣S梯形BPSE（1+9）×8+9×1（1+3）×6﹣3×3（1+3）×6＝16； （3）①当MP＝MN时，∠MPN＝45°，则△MPN是等腰直角三角形，且∠PMN＝90°，如图2所示， 过点M作直线l平行x轴，同时作PE⊥l，NF⊥l，垂足分别为E，F，设点M坐标为（0，m），点N坐标为（n，0）， ∵∠EPM+∠EMP＝90°，∠EMP+∠NMF＝90°， ∴∠EPM＝∠NMF， 又∵∠PEM＝∠MFN，MP＝MN， ∴△EPM≌△FMN（AAS）， ∴EM＝NF，PE＝MF， ∴3＝0﹣m，3﹣m＝n， ∴m＝﹣3，n＝6， ∴OM＝3， ②当NP＝MN时，∠MPN＝45°，则△MPN是等腰直角三角形，且∠PNM＝90°，如图3所示， 过点N作直线l平行y轴，同时作PT⊥l，MW⊥l，垂足分别为T和W，设点M坐标为（0，m），点N坐标为（n，0）， ∵∠TPN+∠TNP＝90°，∠MNW+∠TNP＝90°， ∴∠MNW＝∠TPN， ∵∠PTN＝∠MWN＝90°，且NP＝NM， ∴△PTN≌△NWM（AAS）， ∴PT＝NW，TN＝MW， ∴n﹣（﹣3）＝0﹣m，n＝3， ∴m＝﹣6， ∴OM＝6， ③当PM＝PN时，∠MPN＝45°，设PN与y轴交点E，PM与x轴交点F，点M坐标为（0，m），点N坐标为（n，0）， ∵点P在直线y＝﹣x图象上， ∴∠POE＝∠POF＝45°， ∵∠POE＝∠OPM+∠OMP＝45°，∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝45°， ∴∠OMP＝∠OPN， 同理，∠OPM＝∠ONP， 又∵PM＝PN， ∴△OPM≌△ONP（ASA）， ∴OM＝OP， ∵点P坐标是（﹣3，3）， ∴OP＝3， ∴OM＝3， 综上所述：OM的长为3或6或3． 【变式8-2】（2026春•宽城区校级期中）如图，一次函数y＝ax﹣2的图象与反比例函数的图象交于点A（4，1），与y轴交于点B． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）过点A作x轴的垂线l，将一次函数y＝ax﹣2的图象向上平移，交y轴于点C，交直线l于点D，连结AC．当△ACD是以CD为腰的等腰三角形时，直接写出平移的距离． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）设平移后的函数解析式为（h＞0），先求出C、D的坐标，然后分AD＝CD；AC＝CD讨论，根据两点间距离公式构建关于h的方程求解即可． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝ax﹣2的图象与反比例函数的图象交于点A（4，1）， ∴1＝4a﹣2，， ∴，k＝4， ∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为； （2）设平移后的函数解析式为（h＞0）， 当x＝4时，y＝1+h；当x＝0时，y＝h﹣2， ∴D（4，1+h），C（0，h﹣2） 当AD＝CD时，则， 解得h＝5； 当AC＝CD时，， 解得h＝6或h＝0（舍去）， 综上，平移的距离5或6． ▌题型07 等腰直角三角形的存在性问题 第一步分类若△ABO是等腰直角三角形、则有∠AOB=90°,讨论∠OAB=90°或∠ABO=90°三种情况 第二步：构造“一线三垂直”全等模型 (示例：∠AOB=90°) 第三步：分类、计算 利用AH=OK,OH=BK的等量关系求解 【典例9】（2026•苏州）如图，一次函数y＝ax+b的图象经过点A（﹣4，0），B（0，2），点P在一次函数的图象上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图象于M，N两点，连接MN． （1）求a，b的值； （2）若△PMN是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 【答案】（1），b＝2； （2）点P的坐标为（4，4），k＝4． 【分析】（1）将点A（﹣4，0），B（0，2）代入一次函数 y＝ax+b，即可求解； （2）解：设点P的坐标为，根据△PMN是腰长为3的等腰直角三角形得到点M的坐标为，点N的坐标为，把它们代入反比例函数，即可求出的值，进而得到点P的坐标与k的值． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝ax+b的图像经过点A（﹣4，0），B（0，2）， ∴， 解得； （2）由（1）有，b＝2， ∴一次函数为， ∵点P在一次函数的图像上， ∴设点P的坐标为． ∵△PMN是腰长为3的等腰直角三角形， ∴PM＝PN＝3， ∴点M的坐标为，点N的坐标为， ∵点M，N在反比例函数的图像上， ∴， 解得t＝4， ∴点P的坐标为（4，4），点M的坐标为（1，4）． ∴k＝4． 【变式9-1】（2026春•邓州市期中）【情境引入】 如图1，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．直线ED经过点A，过B作BD⊥ED于点D，过C作CE⊥ED于点E．易证得Rt△BDA≌△AEC（无需证明），这就构成了典型的“一线三垂直全等模型”，此时所运用的三角形全等的判定定理是　②　 ．（填序号） ①SSS； ②AAS； ③SAS； ④HL． 【类比探究】 （1）如图2，点A，B分别在x轴，y轴上，若直线AB的函数关系式为y＝2x+4． ①则点A坐标为　（﹣2，0）　 ，点B坐标为　（0，4）　 ； ②将线段AB绕点A逆时针旋转90°，则点B的对应点C的坐标为　（﹣6，2）　 ； （2）如图3，点B（1，a）在反比例函数图象上，连接OB，将OB绕点O顺时针旋转90°到OA，求直线AB的解析式； 【拓展延伸】 （3）如图4，在（1）的条件下（即直线AB的解析式为y＝2x+4），若点P在第二象限，且△PAB是等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【分析】【情景引入】先由垂直得出∠ADB＝∠CEA＝90°，再由同角的余角相等得出∠ABD＝∠CAE，即可得出结论； 【类比探究】（1）①令y＝0，则2x+4＝0，求出x＝﹣2，令x＝0，求出y＝4，即可得出答案； ②先判断出∠BAC＝90°，AB＝AC，点C在第二象限，再同【情景引入】的方法得，Rt△AFC≌Rt△BOA（AAS），AF＝OB＝4，CF＝OA＝2，即可得出答案； （2）由待定系数法得出1×a＝﹣3，求出a＝﹣3，得出点B的坐标，进而得出BN＝3，ON＝1，再同【情景引入】的方法得，Rt△OMA≌Rt△BNO（AAS），得出OM＝BN＝3，AM＝ON＝1，进而得出A（﹣3，﹣1），最后用待定系数法求出直线AB点解析式； 【拓展延伸】 （3）如图4，过点P1作P1K⊥OA于K，过点P2作P2L⊥OB于L，连接P1P2，AP2，由（1）知，OA＝2，OB＝4，分三种情况分别求解， ①当∠BAP1＝90°时，由（1）①直接得出答案； ②当∠ABP2＝90°时，同（1）①的方法得，BL＝OA＝2，P2L＝OB＝4，进而求出答案； ③当∠AP3B＝90°时，先判断出四边形ABP2P1是正方形，进而得出P1P3＝BP3，BP1⊥AP2，利用中点坐标公式即可求出答案． 【解答】解：【情景引入】∵BD⊥ED，CE⊥ED， ∴∠ADB＝∠CEA＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE， 在Rt△BDA和△AEC中， ， ∴Rt△BDA≌△AEC（AAS）， 故答案为：②； 【类比探究】 （1）①∵直线AB的函数关系式为y＝2x+4， 令y＝0，则2x+4＝0， ∴x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）， 令x＝0，则y＝4， ∴B（0，4）， 故答案为：（﹣2，0），（0，4）； ②由①知，A（﹣2，0），B（0，4）， ∴OA＝2，OB＝4， 如图2，过点C作CF⊥OA于F， ∵将线段AB绕点A逆时针旋转90°， ∴∠BAC＝90°，AB＝AC，点C在第二象限， 同【情景引入】的方法得，Rt△AFC≌Rt△BOA（AAS）， ∴AF＝OB＝4，CF＝OA＝2， ∴OF＝OA+AF＝6， ∴F（﹣6，2）， 故答案为：（﹣6，2）； （2）∵点B（1，a）在反比例函数图象上， ∴1×a＝﹣3， ∴a＝﹣3， ∴B（1，﹣3）， 如图3，过点B作BN⊥x轴于N， ∴BN＝3，ON＝1， ∵将OB绕点O顺时针旋转90°到OA， ∴∠AOB＝90°，OA＝OB，点A在第三象限， 过点A作AM⊥x轴于M， ∴∠AMO＝90°， 同【情景引入】的方法得，Rt△OMA≌Rt△BNO（AAS）， ∴OM＝BN＝3，AM＝ON＝1， ∴A（﹣3，﹣1）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线AB的解析式为yx； 【拓展延伸】 （3）如图4，过点P1作P1K⊥OA于K，过点P2作P2L⊥OB于L，连接P1P2，AP2， 由（1）知，OA＝2，OB＝4， ∵点P在第二象限，且△PAB是等腰直角三角形， ①当∠BAP1＝90°时，AP1可以看成将线段AB绕点A逆时针旋转90°， 由（1）①知，P1（﹣6，2）， ②当∠ABP2＝90°时，同（1）①的方法得，BL＝OA＝2，P2L＝OB＝4， ∴OL＝OB+BL＝6， ∴P2（﹣4，6）， ③当∠AP3B＝90°时，∵∠BAP1＝∠ABP2＝90°， ∴∠BAP1+∠ABP2＝180°， ∴AP1∥BP2， ∵AP1＝BP2， ∴四边形ABP2P1是平行四边形， ∵∠ABP2＝90°， ∴▱ABP2P1是矩形， ∵AB＝BP2， ∴菱形ABP2P1是正方形， ∴BP1与AP2相较于一点H，∠AHB＝90°，P1H＝AH＝BH， ∴△AHB是等腰直角三角形， ∴点H就是所找的点P3， ∵B（0，4），P1（﹣6，2）， ∴P3（﹣3，3）， 即满足条件的点P的坐标为（﹣6，2），（﹣4，6），（﹣3，3）． ▌题型08 平行四边形的存在性问题 一．利用点坐标公式法求定点坐标 （一）平行四边形顶点坐标核心公式 若四边形 ABCD 为平行四边形，对角线互相平分，中点坐标相同，可得两组等价坐标关系： 文字结论：平行四边形对角顶点横坐标之和相等，纵坐标之和相等。 （二）已知三点求第四点 D（3 种分类讨论） 已知不在同一直线上的三点，平面内存在 3 个点 D，使以 为顶点的四边形是平行四边形，分三种对角线情况： 1 以AB为对角线： ② ③ 以BC为对角线： 二、利用平移法求平行四边形顶点坐标 （一）核心原理 平行四边形一组对边平行且相等，对应边可看作一次平移变换：从一个顶点平移到对顶点，横、纵坐标的变化量完全相同。设两点 ，从 M 平移到 N：横坐标变化：纵坐标变化：即向右 / 左平移，向上 / 下平移。 （二）通用解题步骤 1　 确定已知三点：(A、B、C)，分三类讨论谁和谁为一组对边； 2　 锁定平移向量：选定一条线段作为平移基准，算出横、纵坐标平移增量； 3　 平移第三点求未知点 D：用基准线段的平移量，平移剩余顶点，直接算出 D 坐标； 4　 验证：反向平移检验对边坐标变化量一致。 （三）三种分类情况（固定三点 A、B、C，求 D） 情况 1：AB 与 CD 为对边 情况 2： 情况 3：BC 与 AD 为对边 【典例10】（2026•沂源县二模）如图，点A（1，6）和B（n，2）是一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求m、n的值； （2）求一次函数的表达式； （3）设点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标； （4）在（3）的条件下，设点D是坐标平面内一个动点，当以点A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）用待定系数法即可求解； （3）作点A关于y轴的对称点G（﹣1，6），连接BG交y轴于点P，则点P为所求点，进而求解； （4）分AB是边、AB是对角线两种情况，利用图形平移和中点公式分别求解即可． 【解答】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：6， 解得m＝6， 故反比例函数表达式为y， 当y2时，x＝3＝n，即点B的坐标为（3，2）， 即m＝6，n＝3； （2）将点A、B坐标代入一次函数表达式得： ，解得：， 故一次函数表达式为y＝﹣2x+8； （3）作点A关于y轴的对称点G（﹣1，6），连接BG交y轴于点P，则点P为所求点， 理由：△PAB的周长＝AP+PB+AB＝GP+PB+AB＝BG+AB为最小， 由点B、G的坐标，同理可得：BG的表达式为y＝﹣x+5， 故点P的坐标为（0，5）； （4）能，理由： A：由（1）（2）知，点A、B、P的坐标分别为（1，6）、（3，2）、（0，5）， 设点D的坐标为（s，t）， ①当AB是边时， 则点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到B，同样点P（D）向右平移2个单位向下平移4个单位得到D（P）， 则0+2＝s，5﹣4＝t或0﹣2＝s，5+4＝t， 解得； ②当AB是对角线时， 由中点公式得：（1+3）＝（s+0），（6+2）＝（5+t）， 解得； 故点D的坐标为（2，1）或（﹣2，9）或（4，3）． 【变式10-1】（2026•江阳区校级模拟）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴和x轴上，顶点B的坐标为（6，b），直线分别与AB，BC交于点D，E，反比例函数的图象经过点D，E，连接OD，OE． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△DOE的面积； （3）点P在平面内，若以点O，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P的坐标． 【分析】（1）根据矩形的性质得到OA＝BC，AB＝OC＝6，∠B＝∠BAO＝∠BCO＝90°，求得E（6，1），把E（6，1）代入得k＝6，于是得到结论； （2）由（1）知D（，b），得到b4，求得b＝3或b＝1（不合题意舍去），根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）设P（m，n），由（1）知C（6，0），平行四边形的性质和两点间的距离公式即可得到结论． 【解答】解：（1）∵四边形ABCO是矩形， ∴OA＝BC，AB＝OC＝6，∠B＝∠BAO＝∠BCO＝90°， ∵直线分别与AB，BC交于点D，E， ∴当x＝6时，y6+4＝1， ∴E（6，1）， 把E（6，1）代入得k＝6， ∴反比例函数的解析式为y； （2）由（1）知D（，b）， ∴b4， ∴b＝3或b＝1（不合题意舍去）， ∴D（2，3）， ∴A（0，3），B（6，3）， ∴△DOE的面积＝3×63×2（6﹣2）×36×1＝6； （3）设P（m，n）， 由（1）知C（6，0）， ∵以点O，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形，D（2，3）， ∴由平行四边形的性质和两点间的距离公式得， 或或， 解得或或， ∴P（﹣4，3）或（4，﹣3）或（8，3）． 【变式10-2】（2025春•苏州期末）如图1，一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点A，点A的横坐标为2，点C（﹣1，3）是直线AB上一点，过点C作x轴的平行线，与反比例函数的图象交于点D，与y轴交于点E，连接OC、OD． （1）求反比例函数表达式； （2）若直线CD上存在点G，它到直线OD的距离与到y轴的距离相等，求点G的坐标； （3）将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O′C′D′，点Q是反比函数上一点，连接QC′，QO′，若四边形C′D′O′Q是平行四边形，则点Q的坐标为 　（，）　 ． 【分析】（1）利用待定系数法求得k＝1，进而求得A（2，6），再利用待定系数法即可求得反比例函数解析式； （2）设G（n，3），则D（4，3），再运用两点间距离公式即可求得OD＝5，过点G作GH⊥OD于点H，连接OG，利用面积法即可求得答案； （3）由平行四边形性质可得：C′D′∥QO′，QC′∥O′D′，C′D′＝QO′，QC′＝O′D′，设将△OCD沿射线BA方向平移t个单位后，得到△O′C′D′，则C′（﹣1+t，3+t），D′（4+t，3+t），O′（t，t），得出Q（t﹣5，t），代入反比例函数解析式即可求得答案． 【解答】解：（1）∵点C（﹣1，3）是直线AB：y＝kx+4（k≠0）上一点， ∴﹣k+4＝3， 解得：k＝1， ∴直线AB：y＝x+4， ∴A（2，6）， ∵反比例函数y（x＞0）的图象经过点A， ∴m＝2×6＝12， ∴反比例函数表达式为y； （2）设G（n，3）， ∵CD∥x轴， ∴点D的纵坐标为3， ∴D（4，3）， ∴OD5， 如图，过点G作GH⊥OD于点H，连接OG， 则DG＝4﹣n，点G到y轴的距离GE＝|n|， ∵S△DOG•OD•GH•OE•DG， ∴点G到直线OD的距离GH， ∴|n|， 解得：n＝﹣6或， ∴点G的坐标为（﹣6，3）或（，3）； （3）如图，∵四边形C′D′O′Q是平行四边形， ∴C′D′∥QO′，QC′∥O′D′，C′D′＝QO′，QC′＝O′D′， 设将△OCD沿射线BA方向平移t个单位后，得到△O′C′D′， 则C′（﹣1+t，3+t），D′（4+t，3+t），O′（t，t）， ∴Q（t﹣5，t）， ∵点Q是反比函数y（x＞0）上一点， ∴（t﹣5）t＝12， 解得：t， ∵t＞0， ∴t， ∴Q（，）， 故答案为：（，）． ▌题型09 菱形的存在性问题 解题思路： 1）先等腰，再菱形.在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法（两圆一线）可先确定第3个点，再确定第4个点． 2）先平四，再菱形.当AC为对角线时，A、B、C、D满足以下3个等式，则为菱形：，其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为菱形，表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可． 【典例11】（2026春•栖霞区期末）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y（k≠0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在x轴的上方，且满足S△PAOS矩形AOCB． （1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标； （2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值； （3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）首先根据点B坐标，确定反比例函数的解析式，设点P的纵坐标为m（m＞0），根据S△PAO，构建方程即可解决问题； （2）过点（0，2），作直线l⊥y轴．由（1）知，点P的纵坐标为2，推出点P在直线l上作点O关于直线l的对称点O′，则OO′＝4，连接AO′交直线l于点P，此时PO+PA的值最小； （3）分四种情形分别求解即可解决问题； 【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝3， ∴点B的坐标为（4，3）， ∵点B在反比例函数y（k≠0）的第一象限内的图象上 ∴k＝12， ∴y， 设点P的纵坐标为m（m＞0）， ∵S△PAO． ∴•OA•m＝OA•OC•， ∴m＝2， 当点，P在这个反比例函数图象上时，则2， ∴x＝6 ∴点P的坐标为（6，2）． （2）过点（0，2），作直线l⊥y轴． 由（1）知，点P的纵坐标为2， ∴点P在直线l上 作点O关于直线l的对称点O′，则OO′＝4， 连接AO′交直线l于点P，此时PO+PA的值最小， 则PO+PA的最小值＝PO′+PA＝O′A4． （3） ①如图2中，当四边形ABQP是菱形时，易知AB＝AP＝PQ＝BQ＝3，P1（4，2），P2（4，2）， ∴Q1（4，5），Q2（4，5）． ②如图3中，当四边形ABPQ是菱形时，P3（4﹣2，2），P4（4+2，2）， ∴Q3（4﹣2，﹣1），Q4（4+2，﹣1）． 综上所述，点Q的坐标为Q1（4，5），Q2（4，5），Q3（4﹣2，﹣1），Q4（4+2，﹣1）． 【变式11-1】（2025春•苏州期末）如图1，在平面直角坐标系中，矩形ABCO中，AB＝8，BC＝6，动点P从点B出发沿BA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PD∥BC，交AC于点D，动点P的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒（x＞0），当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动． （1）求PD、AD的长（用x的代数式表示）； （2）如图2，当Q在D的左侧时，若动点Q的运动速度是每秒a个单位长度，无论x为何值时反比例函数的图象始终同时经过点Q和点D，求a的值； （3）若动点Q的运动速度是每秒1个单位长度，在P、Q运动过程中，平面内是否存在这样一点E，使P、Q、E、D为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出所有满足要求的E的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）连接BD，利用矩形的性质和面积法即可求得答案； （2）过点B作BH⊥AC于H，过点Q作QK⊥AB于K，利用面积法和勾股定理即可求得答案； （3）设E（m，n），过点B作BH⊥AC于H，过点Q作QK⊥AB于K，连接BQ，CP，当0＜x时，若QD为菱形PDEQ对角线时，若PQ为菱形PDQE对角线时，若PD为菱形PQDE对角线时，当x＜8时，四边形PDQE为菱形，分别利用菱形性质即可求得答案． 【解答】解：（1）由题意得：PB＝x，则AP＝8﹣x， ∵矩形ABCO中，AB＝8，BC＝6， ∴∠B＝90°， ∵PD∥BC， ∴∠APD＝∠B＝90°， 如图，连接BD， ∵S△ABD+S△CBD＝S△ABC， ∴•AB•PD•BC•BP•AB•BC， 即8×PD6×x8×6， ∴PD＝6x， 在Rt△ADP中，AD10x； （2）由题意得：AQ＝ax， 如图，过点B作BH⊥AC于H，过点Q作QK⊥AB于K， 在Rt△ABC中，AC10， ∵AC•BH＝AB•BC， ∴BH， ∵S△ABQ•AB•QK•BH•AQ， ∴8×QKax， ∴QKax， 在Rt△AQK中，AKax， ∴Q（ax，6ax）， 又∵D（8﹣x，x），且反比例函数y（k≠0）的图象始终同时经过点Q和点D， ∴ax（6ax）x（8﹣x）， 整理得：（48a2﹣75）x+（600﹣480a）＝0， ∵无论x为何值时反比例函数y（k≠0）的图象始终同时经过点Q和点D， ∴48a2﹣75＝0， 解得：a＝±， ∵a＞0， ∴a； （3）存在， 如图，设E（m，n），过点B作BH⊥AC于H，过点Q作QK⊥AB于K，连接BQ，CP， ∵动点P、Q的运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为x秒， ∴BP＝AQ＝x， 则P（8﹣x，6），又D（8﹣x，x）， ∵AB•QK＝BH•AQ， ∴8QKx，即QKx， 在Rt△AQK中，AKx， ∴Q（x，6x）， 当AQ＜AD时，x＜10x， 解得：x， 当0＜x时， 若QD为菱形PDEQ对角线时，则PE⊥QD于L，PE与QD的中点重合，QE∥PD∥y轴，过点L作LJ⊥AB于J， ∵AC•PL＝BC•AP， ∴PL（8﹣x）， ∴AL（8﹣x）， ∵JL•AP＝AL•PL，即JL•（8﹣x）（8﹣x）•（8﹣x）， ∴JL（8﹣x）， ∴AJ（8﹣x）， 同理可得：L（（8﹣x），6（8﹣x））， ∴， 解得：， ∴E（，）； 若PQ为菱形PDQE对角线时，PD＝DQ＝QE，QE∥PD， ∵AD（8﹣x）， ∴DQ＝AD﹣AQ（8﹣x）﹣x＝10x， ∴10x（8﹣x）， 解得：x，？ ∴P（，6），D（，2），Q（，）， ∴E（，）； 若PD为菱形PQDE对角线时，PD⊥QE，点Q与PD的中点纵坐标相等， ∴， 解得：， ∴E（，）； 当x＜8时，如图， 则P（8﹣x，6），D（8﹣x，x），Q（x，6x）， ∵四边形PDQE为菱形， ∴PD＝DQ＝EQ，PD∥EQ， 即6x＝x（8﹣x）， 解得：x， ∴P（，6），D（，4），Q（，）， ∴E（，）； 综上所述，存在，点E的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）． ▌题型10 正方形的存在性问题 1. 从判定出发，若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直. 2. 构造三垂直全等.若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等/等腰直角三角形来求得第3个点，再求第4个点.若出现三或四动点，则通常四边形具有一定的特殊性，从已知条件出发，分折还需满足的其他条件，通常列关于边或对角线方程得解. 解题方法：正方形是菱形和矩形特征的集结，因此同时采取菱形或矩形存在性问题解决的方法去求点的坐标. 【典例12】（2026•张店区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数（m≠0，x＞0）的图象相交于点A（1，6），B（3，n）两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）请直接写出关于x的不等式的解集； （3）在平面直角坐标系xOy中，是否存在点C（点C在直线AB的右上方）和点D，使得四边形ACBD为正方形，若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点A（1，6）代入反比例函数解方程得到m＝6，求得反比例函数的表达式为（x＞0），将点B（3，n）代入，得到B（3，2），将A（1，6），B（3，2）代入一次函数y＝kx+b解方程组得到，于是得到一次函数的表达式为y＝﹣2x+8； （2）根据函数图象即可得到结论； （3）在直线AB的上方作乙AB为斜边的等腰直角三角形ABC，过C作EF⊥x轴，过A作AE⊥EF于E，过B作BF⊥EF于F，根据全等三角形的性质得到AE＝CF，CE＝BF，设C（s，t），得到AE＝s﹣1，CE＝6﹣s，CF＝t﹣2，BF＝s﹣3，解方程组即可得到结论． 【解答】解：（1）将点A（1，6）代入反比例函数，得： ， 解得m＝6， ∴反比例函数的表达式为（x＞0）， 将点B（3，n）代入，得： ， ∴B（3，2）， 将A（1，6），B（3，2）代入一次函数y＝kx+b，得： ， 解得， ∴一次函数的表达式为y＝﹣2x+8； （2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数（m≠0，x＞0）的图象相交于点A（1，6），B（3，2）两点， ∴不等式的解集为1＜x＜3； （3）存在，点C的坐标为（4，5）， 理由：在直线AB的上方作乙AB为斜边的等腰直角三角形ABC， 过C作EF⊥x轴，过A作AE⊥EF于E，过B作BF⊥EF于F， ∴∠AEC＝∠ACB＝∠BFC＝90°， ∴∠CAE+∠ACE＝∠ACE+∠BCF＝90°， ∴∠CAE＝∠BCF， ∵AC＝BC， ∴△AEC≌△CFB（AAS）， ∴AE＝CF，CE＝BF， 设C（s，t）， ∵A（1，6），B（3，2）， ∴AE＝s﹣1，CE＝6﹣s，CF＝t﹣2，BF＝s﹣3， ∴， ∴， ∴C（4，5）， ∴四边形ACBD为正方形时，C（4，5）． 【变式12-1】（2026•章丘区模拟）如图1，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），点B（0，2），直线AB与反比例函数的图象在第一象限相交于点C（a，4）． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图2，点D（4，0），连接CD，点E是反比例函数图象第一象限内一点，且点E在点C的右侧，连接AE，CE，若△ACE的面积与且△ACD的面积相等，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，连接MD，并在MD左侧作正方形MDNF，当顶点F或顶点N恰好落在直线AB上，直接写出点M的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求直线AB的解析式，再将C（a，4）代入，即可求得点C坐标，进而求得反比例函数解析式； （2）过点C、E分别作CH⊥x轴，EF⊥x轴，连接DE，利用A、C坐标求得AH＝CH，进而得到∠CAH＝45°；根据△ACE的面积且与△ACD的面积相等，可知DE∥AC，进而得到DF＝EF，表示点E坐标，再通过计算即可得出点E坐标，根据题意取舍即可； （3）设，分三种情况讨论：当F点在直线AB上时，过点M作GH∥x轴，过点F作FG⊥GH交于G点，过点D作DH⊥GH交于点H，通过证明△MFG≌△DMH，确定点，再将点F代入直线AB的解析式，即可求出t的值，从而确定M点坐标；当N点在直线AB上时，过点D作PQ∥y轴，过点M作MP⊥PQ于点P，过点N作NQ⊥PQ于点Q，同理可得：△MPD≌△DQN（AAS），确定点N的坐标，再将点F代入直线AB的解析式，即可求出t的值，从而确定M点坐标． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），点B（0，2），设直线AB的解析式为y＝mx+n，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝x+2， ∵直线AB与反比例函数的图象在第一象限相交于点C（a，4）．将点C的坐标代入y＝x+2得： a+2＝4， 解得：a＝2， ∴C（2，4）， 将点C的坐标代入得： 4， 解得：k＝8， ∴反比例函数解析式为； （2）如图2，过点C、E分别作CH⊥x轴，EF⊥x轴，连接DE， ∵A（﹣2，0），C（2，4）， ∴AH＝CH＝4， ∴∠CAH＝45°， ∵△ACE的面积且与△ACD的面积相等， ∴E点在过D点且与AB平行的直线上，即DE∥AC， ∴∠EDF＝∠CAH＝45°， ∴DF＝EF， 设DF＝EF＝b， 则E（4+b，b）， ∴（4+b）b＝8， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴； （3）M点坐标为或；理由如下： 设， 如图3，当F点在直线AB上时，过点M作GH∥x轴，过点F作FG⊥GH交于G点，过点D作DH⊥GH交于点H，则∠FGM＝∠MHD＝90°， ∵∠FMD＝90°， ∴∠GMF+∠HMD＝90°， ∵∠GMF+∠GFM＝90°， ∴∠HMD＝∠GFM， ∵FM＝MD， 在△MFG和△DMH中， ， ∴△MFG≌△DMH（AAS）， ∴MH＝GF，GM＝HD， ∴， ∴， 解得， ∴； 如图4，当N点在直线AB上时，过点D作PQ∥y轴，过点M作MP⊥PQ于点P，过点N作NQ⊥PQ于点Q， 同理可得：△MPD≌△DQN（AAS）， ∴MP＝DQ，PD＝NQ， ∴， ∴， 解得：或， ∵点M在点D左侧， ∴； 综上所述，M点坐标为或． 【变式12-2】（2026•崇州市模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b与反比例函数的图象相交于点A（﹣3，n），与y轴相交于点B（0，﹣2），点P是反比例函数图象上一动点，且不与点A重合，过点P作PQ∥y轴交直线y＝﹣x+b于点Q．设点P的横坐标为t，且t＜0，连接AP，BP． （1）求k，b，n的值； （2）当△ABP的面积为6时，求点P的坐标； （3）当点P在点A的右侧时，设PQ的中点为点C，D为x轴上一点，E为平面直角坐标系内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，直接写出点P所有可能的坐标． 【分析】（1）将点B代入y＝x+b，求得b，进而求得y＝x﹣2，将A点坐标代入求得n； （2）表示出PQ的长，根据PQ•（xA﹣xB）＝3求得t，进而得出点P的坐标； （3）分为BC是边，点D在x轴正半轴上和在负半轴上，以及BC为对角线．当BC为边时，点D在x轴正半轴上时，过点C作CF⊥y轴，作DG⊥CF，证明△BCF≌△CGD，进而得出CF＝OF，从而求得t的值，另外两种情况类似方法求得． 【解答】：（1）∵直线y＝﹣x+b过点B（0，﹣2）， ∴0+b＝﹣2， ∴b＝﹣2， ∵直线y＝﹣x﹣2过点A（﹣3，n）， ∴n＝3﹣2＝1， ∴A（﹣3，1）， ∵y过点A（﹣3，1）， ∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3； （2）∵P（t，），Q（t，﹣t﹣2），A（﹣3，1），B（0，﹣2）， ∴PQ（t﹣2）， ∵S△ABP＝S△APQ+S△BPQPQ•（xB﹣xA）， ∴[（﹣t﹣2）]×3＝6， 解得t1＝﹣1或t2＝3（不合题意）， ∴P（﹣1，3）； 如图， ∴S△ABP＝S△BPQ﹣S△APQPQ•（xB﹣xP）PQ（xA﹣xP）， ∴（﹣t﹣2）（xB﹣xA）[（﹣t﹣2）]×3＝6， 解得t＝﹣3或﹣3（不合题意）， ∴P（﹣3，3）， 综上所述，P（﹣1，3）或（﹣3，3）； （3）如图1， ∵P（t，），Q（t，﹣t﹣2）， ∴C（t，）， 当BC是边，点D在x轴负半轴上， 作CF⊥OB于F，作DG⊥CF于G， ∴∠BFC＝∠G＝90°， ∴∠FBC+∠FCB＝90°， ∵∠BCD＝90°， ∴∠DCG+∠FCB＝90°， ∴∠FBC＝∠DCG， ∵BC＝CD， ∴△BFC≌△CGD（AAS）， ∴CF＝DG， ∵OF＝DG， ∴OF＝CF， ∴t， ∴t1＝﹣1，t2＝3（舍去）， ∴P（﹣1，3）； 如图2， 当点D在x轴的正半轴上时， 由上知：BG＝DF＝2， ∴t＝﹣2， ∴P（﹣2，）， 当BC是对角线时， 当BC是对角线时，点D在x轴正半轴上时， 可得：CF＝OD，DF＝OB＝2， ∴t﹣2， ∴t＝﹣1， ∴P（﹣1，3）， 如图4， CG＝DF＝2，DG＝BF， ∴﹣t+2， ∴t1＝3﹣2，t2＝3+2（舍去）， 当t＝3﹣2时，y23， ∴P（3﹣2，23）， 综上所述：P（﹣2，）或（﹣1，3）或（3﹣2，23）． ▌题型11 定值、恒成立问题 （一）设元表示动点设函数图像上动点坐标（单参数最简）： 1. 一次函数：设横坐标为t，纵坐标代入解析式用t表示； 2. 反比例函数：设动点。 （二） 根据题意列式利用两点距离、中点、面积、斜率、坐标平移等公式，写出目标代数式（面积、线段长、和差、乘积等）。 （三）代数化简消参展开、通分、整体代换，消去所有动点参数； （四）下结论验证化简后式子不含变量参数，数值固定，即证明为定值；可代入两组不同动点坐标验算。 【典例13】（2025春•无锡期末）如图，点A、B是反比例函数的图象上位于第一象限内不同的两点，直线OA交函数图象另一支于点A′，连接AB、A′B． （1）若反比例函数的图象经过点A（2，6），点B横坐标为6．求证：∠ABA'＝90°； （2）若∠ABA'＝90°恒成立，试猜想点A与点B横坐标满足的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）依据题意，由反比例函数的图象经过点A（2，6），则k＝2×6＝12，可得反比例函数为y，结合点B横坐标为6，且B在反比例函数y上，故B（6，2），又直线OA交反比例函数图象于点A、A′，且直线OA与反比例函数均关于原点对称，可得A'（﹣2，﹣6），从而求出AA'＝4，A'B＝8，AB＝4，最后由勾股定理逆定理即可判断得解； （2）依据题意，设A（m，），B（n，）（0＜m＜n，且m≠n），又A与A'关于原点对称，则A'（﹣m，），结∠ABA'＝90°，则OBAA'，又分别表示出AA'，OB，从而，进而化简计算即可判断得解． 【解答】（1）证明：由题意，∵反比例函数的图象经过点A（2，6）， ∴k＝2×6＝12． ∴反比例函数为y． 又∵点B横坐标为6，且B在反比例函数y上， ∴B（6，2）． 由题意，∵直线OA交反比例函数图象于点A、A′，且直线OA与反比例函数均关于原点对称， ∴A'（﹣2，﹣6）． ∴AA'4，A'B8，AB4． ∴A'B2+AB2＝AA'2． ∴∠ABA'＝90°． （2）解：点A与点B横坐标乘积为k，理由如下： 由题意，设A（m，），B（n，）（0＜m＜n，且m≠n）， 又∵A与A'关于原点对称， ∴A'（﹣m，）． 又∵∠ABA'＝90°， ∴OBAA'． 又∵AA'2，OB， ∴． ∴n2m2． ∴（m2﹣n2）（m2﹣n2）． 又∵0＜m＜n，且m≠n， ∴m2﹣n2≠0． ∴m2n2＝k2． 又∵0＜m＜n，k＞0， ∴mn＝k．， 【变式13-1】（2026•南海区模拟）定义：以反比例函数图象上的两点为端点，两点连线为对角线，且边都平行于坐标轴的矩形为该反比例函数的伴随矩形，矩形的另一条对角线所在直线为该反比例函数的伴随直线．如图1，矩形ABCD的顶点A（2，3）、C（6，1）在反比例函数的图象上，所以矩形ABCD是反比例函数的伴随矩形，直线BD是反比例函数的伴随直线． （1）如图2，已知反比例函数的图象经过矩形ABCD的顶点A（3，4），AB∥y轴，BC∥x轴，AB＝2，BC＝3，求反比例函数的表达式，并判断矩形ABCD是否为该反比例函数的伴随矩形． （2）求证：任意反比例函数的任意一条伴随直线都经过原点． （3）如图3，已知矩形ABCD和矩形EFGH都是反比例函数的伴随矩形，且对应的伴随直线均为y＝2x． ①求证：直线AE与直线CG的交点M始终在直线y＝2x上； ②若矩形ABCD的周长为30，矩形EFGH的周长为6，直接写出点M的坐标． 【分析】（1）将点A代入反比例函数解析式求出k值，得到函数表达式；根据边平行于坐标轴，以及边的长度，计算出点C坐标，验证点C是否在反比例函数图象上，即可判断是否为伴随矩形； （2）设任意反比例函数解析式为：，取它的任意一个伴随矩形，假设在函数图象上的两个对角顶点分别为：，．根据矩形的边平行于坐标轴，推出另外两个顶点的坐标，将它们代入直线解析式计算，最后得到直线的常数项为0，即可证明直线恒过原点； （3）①设伴随矩形ABCD的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为，先推出另外两个顶点坐标，．由伴随直线为y＝2x，结合伴随矩形顶点性质可得点B、点D在直线y＝2x上，推导出，即得到点C坐标为．同理可设伴随矩形EFGH的顶点E的坐标为，同理可得顶点G的坐标为．运用待定系数法求出直线AE与直线CG的解析式，联立两直线方程，求出直线AE与直线CG的交点M的坐标，最后检验该点坐标满足y＝2x，即可证得结论； ②设伴随矩形ABCD的顶点A的坐标为，由①可知，点C坐标为，则矩形ABCD的长为：，宽为：，根据“矩形ABCD的周长为30”，建立关于a的方程，解方程，即可求得a的值；设伴随矩形EFGH的顶点E的坐标为，由①可知，点G的坐标为，同理可求出c的值；最后根据①中求出的点M坐标，代入a和c的值，即可求出点M的坐标． 【解答】（1）解：∵反比例函数的图象经过矩形ABCD的顶点A（3，4）， ∴将点A（3，4）代入中， 得：， 解得：k＝12， ∴反比例函数的表达式为：． ∵AB∥y轴，AB＝2，A（3，4）， ∴B（3，4﹣2）， 即B（3，2）． 同理，∵BC∥x轴，BC＝3，B（3，2）， ∴C（3+3，2）， 即C（6，2）， ∵6×2＝12， 即点C坐标满足反比例函数的关系式， ∴点C在反比例函数的图象上． 根据伴随矩形的定义，点A、点C都在反比例函数图象上，且边都平行于坐标轴，因此矩形ABCD是该反比例函数的伴随矩形． （2）证明：设任意反比例函数解析式为：，取它的任意一个伴随矩形，假设在函数图象上的两个对角顶点分别为：，． ∵矩形的边平行于坐标轴， ∴另外两个对角顶点坐标为：，． 设伴随直线BD的解析式为：y＝mx+n（m≠0），将点B，点D代入解析式，得： ， ①﹣②得：， 整理得：， 即， ∵a≠c， ∴两边约去（a﹣c），得：， 将代入①，可得：， 即n＝0， ∴伴随直线BD的解析式为：， 当x＝0时，y＝0， ∴该直线恒过原点， 即任意反比例函数的任意一条伴随直线都经过原点； （3）①证明：设伴随矩形ABCD的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为， ∵矩形ABCD的边平行于坐标轴， ∴另外两个对角顶点坐标为：，． 由伴随直线为y＝2x，结合伴随矩形顶点性质可得点B、点D在直线y＝2x上， 即：，， 化简得：ac＝6， 即， ∴点C坐标为． 同理可设伴随矩形EFGH的顶点E的坐标为， 同理可得顶点G的坐标为． 设直线AE的解析式为：y＝m1x+b1（m1≠0），将点A，点E坐标代入解析式，得： ， ①﹣②得：， 整理得：， 即， ∵a≠e， ∴两边约去（a﹣e），得：， 将代入①，可得：， 即， ∴， ∴直线AE的解析式为：． 同理，设直线CG的解析式为：y＝m2x+b2（m2≠0），将点C，点G坐标代入解析式，得： ， ①﹣②得：， 整理得：， 即， ∵a≠e， ∴两边约去（a﹣e），得：， 将代入①，可得：， 即b2＝2a+2e， ∴， ∴直线CG的解析式为：． 联立直线AE与直线CG的解析式， 得：， ①﹣②得：， 整理得：， 即， ∴， ∴， ∴（6﹣ae）（6+ae）x＝6（a+e）（6﹣ae）， ∴， 将代入②得：， 即， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 即直线AE与直线CG的交点坐标为：， 经检验，该点坐标满足y＝2x， 因此直线AE与直线CG的交点M始终在直线y＝2x上； ②解：．理由如下： 设伴随矩形ABCD的顶点A的坐标为， 由①可知，点C坐标为， 则矩形ABCD的长为：，宽为：， 周长为：， 化简得：， 解得：a1＝1，a2＝﹣6（舍去）， 经检验，a＝1是原方程的根，且符合题意， ∴A（1，12），C（6，2）． 同理，设伴随矩形EFGH的顶点E的坐标为， 由①可知，点G的坐标为． 则矩形EFGH的长为：，宽为：， 周长为： 化简得：， 解得：e1＝2，e2＝﹣3（舍去）， 经检验，e＝2是原方程的根，且符合题意， ∴E（2，6），G（3，4）． 由①可知，直线AE与直线CG的交点坐标为：， ∵a＝1，e＝2， ∴． 【变式13-2】（2025春•靖江市校级期末）曲线的应用是广泛的，在历史的长洞中，借助它能够研究许多著名几何问题，如倍立方体问题．初二（1）班数学学习小组尝试对双曲线相关的几何问题进行探究． （1）如图1，A，C是双曲线上的两点，横坐标分别是和3，以AC为对角线构造矩形ABCD，使矩形的边平行于坐标轴，求证：对角线BD所在直线经过原点； （2）若A，C是双曲线上的任意两点（A与C不重合），以AC为对角线构造矩形ABCD，使矩形的边平行于坐标轴，请探究：对角线BD所在直线是否经过原点？请说明理由； （3）如图3，A，C是双曲线上的两点（点C在A右侧），连接AC，OA，若OA⊥AC且OA＝AC，求此时△OAC的面积． 【分析】（1）先求出点，，得出，D（3，2），再求出直线OB的解析式为：，证明D（3，2）在直线OB上，即可得出结论； （2）设点，，同（1）即可求解； （3）过点A作x轴的平行线，过点C作y轴的平行线，交于点E，EA交y轴于点F，证明△AOF≌△CEA（AAS），设，则，得出，进而根据完全平方公式变形得出，再根据三角形的面积公式以及勾股定理，即可求解． 【解答】（1）证明：∵A，C是双曲线上的两点，横坐标分别是和3， 当x时，得：y＝2； 当x＝3时，得：y， ∴点，， ∵以AC为对角线构造矩形ABCD，使矩形的边平行于坐标轴， ∴，D（3，2）， 设直线OB的解析式为y＝kx，交B的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线OB的解析式为， 把x＝3代入得：y＝2， ∴D（3，2）在直线OB上， ∴对角线BD所在直线经过原点； （2）解：对角线BD所在直线经过原点；理由如下： ∵点A、C在反比例函数图象上， 设点，， ∵以AC为对角线构造矩形ABCD，使矩形的边平行于坐标轴， ∴，， 设直线OB的解析式为y＝kx，把点B的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线OB的解析式为， 把代入得：， ∴在直线OB上， ∴对角线BD所在直线经过原点； （3）解：如图3，过点A作x轴的平行线，过点C作y轴的平行线，交于点E，EA交y轴于点F， ∴∠F＝∠E＝90°， ∵OA⊥AC， ∴∠OAC＝90°， ∴∠FAO＝90°﹣∠EAC＝∠ACE， 又∵OA＝AC， 在△AOF和△CAE中， ， ∴△AOF≌△CAE（AAS）， ∴AF＝CE，OF＝AE， 设，则， ∴， ∵点A、C在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． 【变式13-3】（2025春•海陵区期末）如图，点A，P是反比例函数图象上不重合的两个点，作直线AP交x轴于点E．设点A，P的横坐标分别为m，n，直线AP的函数表达式为y＝kx+b． （1）当时， ①求直线AP的函数表达式； ②若，直接写出x的取值范围； （2）若点A和点B关于原点O对称，作直线BP交x轴于点F，求证：PE＝PF． 【分析】（1）①∵点A，P是反比例函数y图象上不重合的两个点，m，n＝2时，可得A（，2），P（2，），再用待定系数法可得直线AP的函数表达式； ②求出E（，0），观察函数图象可得x的取值范围； （2）取EF的中点K，连接PK，求出直线AP解析式为yx，可得E（m+n，0），由点A和点B关于原点O对称，知B（﹣m，），可得直线BP解析式为yx，即可得F（n﹣m，0），故K（n，0），从而PK⊥EF，PE＝PF． 【解答】（1）解：①∵点A，P是反比例函数y图象上不重合的两个点， ∴当m，n＝2时，A（，2），P（2，）， 代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴直线AP的函数表达式为y＝﹣x； ②如图： 在y＝﹣x中，令y＝0得x， ∴E（，0）， 观察函数图象可得，若0＜﹣x，则x的取值范围是0＜x或2＜x； （2）证明：取EF的中点K，连接PK，如图： ∵点A，P是反比例函数y图象上不重合的两个点，点A，P的横坐标分别为m，n， ∴A（m，），P（n，）， ∴直线AP解析式为yx， 令y＝0得x＝m+n， ∴E（m+n，0）， ∵点A和点B关于原点O对称， ∴B（﹣m，）， 由B（﹣m，），P（n，）可得直线BP解析式为yx， 令y＝0得x＝n﹣m， ∴F（n﹣m，0）， ∵K为EF中点， ∴K（n，0）， ∵P（n，）， ∴PK⊥EF， ∴PK是线段EF的垂直平分线， ∴PE＝PF． 【变式13-4】（2025春•涟水县期末）思考探究： 【形成概念】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．由此启发，我们可以按照街道的垂直和水平方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义A，B两点间的折线距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|． 【初步理解】 （1）已知A（﹣3，3），B（﹣1，2）． ①如图1，AC∥y轴，BC∥x轴，则d（A，B）＝AC+BC＝　3　 ； ②如图2，一次函数y＝x+3的图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，在线段MN上任取一点P，d（P，A）是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． （2）函数的图象如图3所示，点D在该函数图象上，且d（O，D）＝6，则点D的坐标为　（﹣2，4）或（﹣4，2）　 ． 【拓展应用】 （3）如图4，菱形ABCD的顶点A坐标为（1，2），B（3，1），若点E在菱形ABCD的边上，且d（O，E）＝d（O，B），请用无刻度的直尺在图4中找到点E，并求出点E的坐标． 【分析】（1）①根据d（A，B）的定义可得AC+BC＝3；②设P（p，p+3），其中﹣3≤p≤0，即可得d（P，A）＝|p﹣（﹣3）|+|3﹣（p+3）|＝p+3﹣p＝3，故d（P，A）为定值3； （2）设D（d，），其中d＜0，|d﹣0|+|0|＝6，解得d＝﹣2或d＝﹣4，故D的坐标为（﹣2，4）或（﹣4，2）； （3）求出d（O，B）＝4，知d（O，E）＝d（O，B）＝4，取格点K（0，4），连接BK交AD于E，则点E即为所求；求出直线AD解析式为yx，联立AD，BK解析式可解得答案． 【解答】解：（1）①如图： ∵A（﹣3，3），B（﹣1，2）， ∴AC＝3﹣2＝1，BC＝﹣1﹣（﹣3）＝2， ∴d（A，B）＝AC+BC＝1+2＝3； 故答案为：3； ②在线段MN上任取一点P，d（P，A）为定值，理由如下： 如图： 设P（p，p+3），其中﹣3≤p≤0， ∵A（﹣3，3）， ∴d（P，A）＝|p﹣（﹣3）|+|3﹣（p+3）|＝p+3﹣p＝3， ∴d（P，A）为定值3； （2）设D（d，），其中d＜0， ∵d（O，D）＝6， ∴|d﹣0|+|0|＝6， ∴﹣d6， 解得d＝﹣2或d＝﹣4， 经检验，d＝﹣2，d＝﹣4都是分式方程的解， ∴D的坐标为（﹣2，4）或（﹣4，2）； 故答案为：（﹣2，4）或（﹣4，2）； （3）∵B（3，1）， ∴d（O，B）＝|3﹣0|+|1﹣0|＝4， ∴d（O，E）＝d（O，B）＝4， 取格点K（0，4），连接BK交AD于E，如图： 点E即为所求； 理由：由K（0，4），B（3，1）可得直线BK解析式为y＝﹣x+4， ∴线段BK上的点（x，y），总有|x﹣0|+|y﹣0|＝|x|+|﹣x+4|＝x+（﹣x+4）＝4， ∴E为满足条件的点； ∵菱形ABCD在第一象限，直线y＝﹣x+4与菱形ABCD的边除B，E外无另外的交点， ∴满足条件的点只有点E； 由菱形的对称性可得D（3，3）， ∵A（1，2）， ∴直线AD解析式为yx， 联立， 解得， ∴E的坐标为（，）． ▌题型12 共线问题 三点共线：先求其中两点的解析式，再验证第3个点是否在图像上。 【典例14】（2026春•晋江市月考）定义：在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过多边形不相邻的两个顶点，则称此函数为该多边形的伴随函数．例如，平行四边形ABCD的四个顶点分别为A（2，4），B（1，2），C（4，2），D（5，4），则函数y＝﹣x+6，都是平行四边形ABCD的伴随函数． （1）如图1，菱形ABCD的边BC∥x轴，且A（4，6），B（1，2），过点A作AE⊥BC，垂足为E． ①点E的坐标为　（4，2）　 ； ②已知函数y＝kx+b是菱形ABCD的伴随函数，求k的值． （2）如图2，矩形ABCD边BC∥x轴，且AB＝m，BC＝n，B（2，1），反比例函数经过点C，且为矩形ABCD的伴随函数．求证：点O、B、D在同一条直线上． 【分析】（1）根据线段的位置关系和已知点的坐标即可求出答案；②在Rt△BCM中，求出AB＝5．证明四边形ABCD为菱形，得到C（6，2），D（9，6）．分两种情况进行解答即可； （2）求出直线OB解析式为．当x＝2+2m时，，得到点D在直线OB上．即可得到结论． 【解答】（1）解：①A（4，6），B（1，2），过点A作AE⊥BC，垂足为E． ∴点E的坐标为（4，2）； 故答案为：（4，2） ②由条件可知AE＝4，BE＝3． ∵AE⊥BC， ∴在Rt△BCM中，AB＝5． ∵四边形ABCD为菱形， ∴BC＝AD＝5． ∴C（6，2），D（9，6）． 当直线y＝kx+b经过A（4，6），C（6，2）时，k＝﹣2， 当直线y＝kx+b经过B（1，2），D（9，6）时，． 综上所述，k的值为﹣2或． （2）证明：在矩形ABCD中，AB＝DC＝m，AD＝BC＝n， ∵BC∥x轴，B（2，1）， ∴A（2，m+1），C（2+n，1），D（2+n，m+1）． 由条件可知（k＞0，x＞0）也经过点A， ∴2（m+1）＝2+n，解得n＝2m． ∴D（2+2m，m+1）． ∵B（2，1）， ∴直线OB解析式为． 当x＝2+2m时，， ∴点D在直线OB上． ∴点O、B、D在同一条直线上． 【变式14-1】（2026春•龙海区期中）已知反比例函数和的图象如图1所示，点D为函数图象上一点，过点D作x、y轴平行线，交函数图象于点A、B．点C在AD延长线上，且BA＝BC． （1）若点D（﹣2，﹣2），AD＝3，求k2的值． （2）若点D（a，b），且点C在y轴上，求的值； （3）如图2，以AC、AB为邻边作▱ABEC，且k2＝3k1，证明：点C、E、O三点共线． 【分析】（1）由D（﹣2，﹣2），AD＝3，AC∥x轴，可得A（﹣5，﹣2），即可求得k2的值； （2）由D（a，b），可得k1＝ab，再由AC∥x轴，BD∥y轴，可得k2＝2ab，即可求解； （3）设，求出点C、E的坐标，即可证明结论． 【解答】（1）解：∵D（﹣2，﹣2），AD＝3，AC∥x轴， ∴A（﹣5，﹣2）， 把点A的坐标代入得： ﹣2， 解得：k2＝10； （2）解：点D为函数图象上一点，将点D（a，b）代入得： b， 解得：k1＝ab， ∵点C在y轴上， ∴CD＝﹣a， ∵AC∥x轴，BD∥y轴， ∴BD⊥AC， ∵BA＝BC， ∴AD＝CD＝﹣a， ∴A（2a，b），则k2＝2ab， ∴； （3）证明：设， 把代入得：， 解得：， ∵k2＝3k1， ∴， ∴，AD＝m﹣3m＝﹣2m， 由（2）可知CD＝AD＝﹣2m， ∴， 把x＝m代入得：， ∴， ∵四边形ABEC为平行四边形， ∴BE＝AC＝﹣4m， ∴， 设OC的函数表达式为y＝kx，将点C的坐标代入得： ， 解得：， ∴OC的函数表达式为， 把x＝﹣3m代入得：， ∴点E在直线OC上， ∴点C、E、O三点共线． 【变式14-2】（2026春•龙海区期中）已知反比例函数和的图象如图1所示，点D为函数图象上一点，过点D作x、y轴平行线，交函数图象于点A、B．点C在AD延长线上，且BA＝BC． （1）若点D（﹣2，﹣2），AD＝3，求k2的值． （2）若点D（a，b），且点C在y轴上，求的值； （3）如图2，以AC、AB为邻边作▱ABEC，且k2＝3k1，证明：点C、E、O三点共线． 【分析】（1）由D（﹣2，﹣2），AD＝3，AC∥x轴，可得A（﹣5，﹣2），即可求得k2的值； （2）由D（a，b），可得k1＝ab，再由AC∥x轴，BD∥y轴，可得k2＝2ab，即可求解； （3）设，求出点C、E的坐标，即可证明结论． 【解答】（1）解：∵D（﹣2，﹣2），AD＝3，AC∥x轴， ∴A（﹣5，﹣2）， 把点A的坐标代入得： ﹣2， 解得：k2＝10； （2）解：点D为函数图象上一点，将点D（a，b）代入得： b， 解得：k1＝ab， ∵点C在y轴上， ∴CD＝﹣a， ∵AC∥x轴，BD∥y轴， ∴BD⊥AC， ∵BA＝BC， ∴AD＝CD＝﹣a， ∴A（2a，b），则k2＝2ab， ∴； （3）证明：设， 把代入得：， 解得：， ∵k2＝3k1， ∴， ∴，AD＝m﹣3m＝﹣2m， 由（2）可知CD＝AD＝﹣2m， ∴， 把x＝m代入得：， ∴， ∵四边形ABEC为平行四边形， ∴BE＝AC＝﹣4m， ∴， 设OC的函数表达式为y＝kx，将点C的坐标代入得： ， 解得：， ∴OC的函数表达式为， 把x＝﹣3m代入得：， ∴点E在直线OC上， ∴点C、E、O三点共线． ▌题型13 函数与几何综合 【典例15】（2025春•扬州期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与y＝x+3的图象交于点P（a，b），则代数式a2+b2的值为　13　 ． 【分析】根据两函数相交可得：a•b＝2，a+3＝b，代入代数式，根据完全平方公式变形，即可求解； 【解答】解：由条件可知a•b＝2，a+3＝b， ∴a﹣b＝﹣3，a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝9+4＝13， 故答案为：13． 【变式15-1】（2025春•泰兴市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是菱形，点A，B在第二象限，点C在x轴负半轴上，过点A作AD⊥x轴，.若双曲线经过点A，双曲线经过点B，则k＝　﹣8　 ． 【分析】根据菱形性质利用勾股定理求出点A坐标，继而得到点B坐标，求出k值即可． 【解答】解：∵双曲线经过点A， ∴S△AOD， 设AD＝4x，则OD＝3x， ∴，解得x（负值已舍去）， ∴AD＝2，OD， 由勾股定理可得：AO， ∴A（，2）， ∴B（﹣4，2）， ∵点B在反比例函数图象上， ∴k＝﹣8． 故答案为：﹣8． 【变式15-2】（2025春•建邺区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，P为正方形ABCD的对称中心，A，B分别在x轴和y轴上，正方形ABCD的边长，双曲线经过C、P两点，则k的值为（　　） A．2 B． C．5 D． 【分析】设点C的坐标为（a，b），过点C作CG⊥y轴，先证明△BCG≌△ABO，再得出点A的坐标，根据点E为AC的中点，进而得到点E的坐标，根据点E在反比例函数上，可以得出b＝4a，再在Rt△BCG中，根据勾股定理即可求出a的值，即可求出答案． 【解答】解：设点C的坐标为（a，b），过点C作CG⊥y轴， ∴∠CGB＝90°，CG＝a，OG＝b， ∴∠GCB+∠GBC＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABO+∠GBC＝90°， ∴∠GCB＝∠ABO， 又∵∠CGB＝∠AOB＝90°，AB＝BC， ∴△BCG≌△ABO（AAS）， ∴OB＝CG＝a，AO＝BG＝OG﹣OB＝b﹣a， 则点A的坐标为（b﹣a，0）， ∵P为正方形ABCD的对称中心， ∴点P为AC的中点， ∴点P的坐标为（，）， 即P（，）， ∵双曲线经过C、P两点， ∴ab•， ∴b＝4a， ∴BG＝b﹣a＝3a， ∵BC， 在Rt△BCG中， ∵BG2+CG2＝BC2， ∴9a2+a2＝5（a＞0）， ∴a， ∴点C的坐标为（，2）， ∴k22． 故选：A． 【变式15-3】（2025春•靖江市校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，菱形AOBC的顶点在双曲线上（k为常数），点B在x轴正半轴上，将该菱形向上平移，使点B的对应点D落在该双曲线上，过点D作DE∥x轴交OA于点E，则DE＝　2　 ． 【分析】根据点A的坐标为，即可得出OA的长以及反比例函数的解析式，即可得出B点坐标，根据平移的性质即可得出D点的纵坐标，进而利用正比例函数OA的解析式求得E点的坐标，进一步即可得出答案． 【解答】解：由条件可知， ∴反比例函数为， 由可知， ∴OB＝OA＝4， ∵将该菱形向上平移，使点B的对应点D落在反比例函数的图象上， ∴点D的横坐标为4， 把x＝4代入得，y＝2， ∴D（4，2）， 设直线OA为：y＝ax（a≠0），则， 解得a＝1， 故直线OA为：y＝x， ∵DE∥OB，E点的纵坐标为2， ∴E（2，2）， ∴DE＝4﹣2＝2， 故答案为：2． 【变式15-4】（2026•西城区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正六边形ABCDEF是以点O为中心的正六边形，点M（a，b）在正六边形的边上，且点M在第一象限．若A（2，0），给出下面四个结论： ①线段OM的最大值为2； ②若点M关于原点的对称点为M′，则当MM′⊥DE时，△MM′F的面积取得最小值； ③若点M在反比例函数的图象上，则； ④若N（c，d）（d＞b＞0）在该六边形的边AB上，且OM＝ON，则a与c之间的数量关系是a+c＝3． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【分析】根据正六边形的性质求出各顶点坐标，结合图形性质逐一判断：①结合顶点坐标与外接圆特征，判断OM的最大值；②利用三角形面积公式和平行线性质，分析面积取最小值的条件；③结合反比例函数k的几何意义与点B的坐标，确定k的取值范围；④借助等腰三角形性质与轴对称性，推导a、c的数量关系． 【解答】解：①：正六边形ABCDEF以原点O为中心，外接圆半径为2，正六边形边上任意一点到中心O的距离，最大值等于外接圆半径， ∴点M在顶点处时，OM＝2，即线段OM的最大值为2．故①正确； ②∵点M、M关于原点对称， ∴O为线段MM′的中点，可得S△MM'F＝2S△OMF． 由已知得，直线OF解析式为，直线AB解析式为， ∴AB∥OF． 根据平行线性质，AB上所有点到直线OF的距离为定值， ∴M在AB上时，S△OMF大小不变． 当点M在BC边上时，M到直线OF的距离可以不断减小，当M与点C重合时，距离为0，此时S△OMF取得最小值． 当MM′⊥DE时，点M落在AB边中点，此时三角形面积为定值，并非最小值．故②错误； ③∵点M（a，b）在反比例函数的图象上， ∴由反比例函数性质可得k＝ab． 点M在正六边形第一象限的边上，当M与顶点重合时，，即k可以取到． ∴与题干不符．故③错误； ④点N在AB上，且OM＝ON，则对应的几何情形如图所示， 设AB的中点为H，则点H也为MN的中点，则a+c＝2xH＝xA十xB＝3，故④正确．综上所述：正确结论的序号是①④． 故选：B． 【典例16】（2026•槐荫区一模）将一副三角板按图1方式摆放在平面直角坐标系xOy中，含30°角的三角板OAB的直角边OA落在y轴上，∠BOA＝30°，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比例函数的图象经过点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°至△OA1B1． ①如图1，点D为三角板AB边上一点，旋转后点D的对应点D1恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标； ②如图2，若将三角板AOC绕点O顺时针旋转至△A2OC1，使点C1落在边OB1上，请判断点A旋转后的对应点A2是否在反比例函数图象上，并说明理由． 【分析】（1）把C的坐标为（2，2）代入反比例函数即可得到答案； （2）①过点C作CH⊥AO于点H，由旋转得A1O＝AO＝4，将x＝4代入反比例函数表达式，进而即可求解； ②过点C1作C1M⊥x轴于点M，过点A2作A2N⊥C1M，交MC1的延长线于点N，先证明△OMC1≌△C1NA2，结合旋转的性质可得，再把代入反比例函数表达式进行检验即可． 【解答】解：（1）将C（2，2）代入反比例函数表达式，得：， ∴k＝2×2＝4， ∴反比例函数表达式为； （2）①如图，过点C作CH⊥AO于点H， ∵C（2，2）， ∴OH＝2， ∵△AOC为等腰直角三角形，CH⊥AO， ∴AO＝2OH＝4， 由旋转得A1O＝AO＝4， 将x＝4代入反比例函数表达式，得：y＝1， ∴D1（4，1）， ∴AD＝A1D1＝1， ∴D（﹣1，4）； ②如图，过点C1作C1M⊥轴于点M，过点A2作A2N⊥C1M，交MC1的延长线于点N， ∴∠OMC1＝∠N＝90°＝∠OC1A2， ∴∠C1OM+∠OC1M＝90°，∠A2C1N+∠OC1M＝90°， ∴∠C1OM＝∠A2C1N，△A2OC1为等腰直角三角形， ∴OC1＝A2C1， ∴△OMC1≌△C1NA2（AAS）， ∴NA2＝MC1，C1N＝OM． 由（1）知，， 由旋转得：∠C1OM＝∠BOA＝30°，， ∴在Rt△C1OM中，，， ∴，， ∴， 将代入反比例函数表达式，得：， ∴A2在反比例函数图象上． 【变式16-1】（2025秋•邢台月考）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，其中含30°角的三角板OAB的直角边OA落在y轴上，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比例函数的图象经过点C． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°，AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标． （3）将三角板OAC沿x轴正方向平移得到△O′A′C′，当（2）中旋转后的点D在△O′A′C′内部时（包含边界），O′A′与反比例函数的图象的交点的纵坐标n的取值范围是　　 ． 【分析】（1）把C的坐标为（2，2）代入反比例函数，即可得到答案； （2）由勾股定理得CO2＝22+22＝8，证明AC＝CO，求解，如图，△OAB旋转到△OEF的位置，D点对应G点；可得OE＝OA＝4，结合D的对应点G在的图象上，可得EG＝1，进一步求解即可． （3）先求出O′O＝3，求出此时O′A′与反比例函数的图象交点的纵坐标n的值为，再求出当O′A′经过点D时，此时O′A′与反比例函数的图象的交点的纵坐标n的值为1，从而可得结论． 【解答】解：（1）由条件可知k＝2×2＝4， ∴反比例函数的表达式为：； （2）由条件可知CO2＝22+22＝8， ∵含45°角的三角板OAC为等腰直角三角形∠ACO＝90°， ∴AC＝CO，， 如图，△OAB旋转到△OEF的位置，D点对应G点， ∴OE＝OA＝4， ∵D的对应点G在的图象上， ∴yG＝1， ∴EG＝1， 由旋转可得AD＝GE＝1， ∴D（﹣1，4）． （3）当O′C′经过点D时，如图，过点 D作DE⊥x轴，垂足为点E， 由条件可知O'E＝DE＝1， ∴O′O＝3； 此时O′A′与反比例函数的图象交点的纵坐标n的值为， 当O′A′经过点D时，此时O′A′与反比例函数的图象的交点的纵坐标n的值为1， ∴． 故答案为：． 【变式16-2】（2025春•泗阳县期末）综合实践：由三角形面积到反比例函数一点小知识：在平面直角坐标系中，当三角形在的一个顶点位于坐标原点时，面积可以通过一个简洁的公式表示． 若点O（0，0），A（xa，ya）和B（xb，yb），则△OAB的面积为； 如图1，． 任务一：公式验证 （1）若点M（1，3），N（3，1），则△OMN的面积为　4　 ； 任务二：对标函数 （2）如图2，点A，B在反比函数的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6，连接OA，OB，若△OAB的面积是6，求k的值； 任务三：图形变换 （3）若点P坐标为（3，2），点Q的坐标为（m，m﹣1），且△OPQ的面积为1，将线段PQ沿x轴平移，P、Q两点是否会同时落在某双曲线上，若能，直接写出此时m、n的值，若不能，请简要说明理由； （4）如图3，已知点A（﹣t，t）在第二象限，∠OAB＝30°，C、D在射线AB上，△OCD的面积为，将反比例函数绕坐标原点O顺时针旋转45°，刚好经过C、D两点，求线段OD的长度． 【分析】（1）运用题目给出的公式即可求得答案； （2）根据题意得出A、B的坐标，再运用题目给出的公式即可求得答案； （3）根据△OPQ的面积为1，列方程求得m＝5或1，则Q（5，4）或Q（1，0）（舍去），进而可得P′（3+s，2），Q′（5+s，4），即可求得n＝﹣8； （4）将△OAD逆时针旋转45°得到△OA′D′，设射线A′D′交y轴于E，交双曲线于C′，D′，连接OC′，OD′，则OD＝OD′，OA′＝OA，∠OA′E＝∠OAB＝30°，△OC′D′≌△OCD，∠AOA′＝45°，利用待定系数法可得出A′E的解析式，设C′、D′的横坐标分别为c、d，由△OCD的面积为4，可得出c＝3d，再将点C′、D′的坐标代入A′E的解析式，求得d的值，即可求得答案． 【解答】解：（1）∵点M（1，3），N（3，1）， ∴S△OMN|1×1﹣3×3|＝4， 故答案为：4； （2）如图， 由题意得：A（，3），B（，6）， ∴S△OAB|xAyB﹣xByA||63||k|＝6， ∴k＝±8， ∵k＞0， ∴k＝8； （3）∵P（3，2），Q（m，m﹣1），且△OPQ的面积为1， ∴|3（m﹣1）﹣2m|＝1， 解得：m＝5或1， ∴Q（5，4）或Q（1，0）， 设线段PQ沿x轴平移s个单位， 当Q（5，4）时，P′（3+s，2），Q′（5+s，4）， 若P、Q两点是否会同时落在某双曲线y上，则2（3+s）＝4（5+s）， 解得：s＝﹣7，即线段PQ沿x轴向左平移7个单位， ∴P′（﹣4，2），Q′（﹣2，4）， ∴n＝﹣4×2＝﹣8； 当Q（1，0）时，沿x轴平移后Q（1+t，0）在x轴上，不可能落在双曲线上， 综上，m＝5，n＝﹣8； （4）如图，将△OAD逆时针旋转45°得到△OA′D′，设射线A′D′交y轴于E，交双曲线y于C′，D′，连接OC′，OD′， 则OD＝OD′，OA′＝OA，∠OA′E＝∠OAB＝30°，△OC′D′≌△OCD，∠AOA′＝45°， 设C′（c，），D′（d，），且c＜d＜0， ∵点A（﹣t，t）在第二象限， ∴OAt，且OA与x轴负半轴夹角为45°， ∴点A′在x轴负半轴上， ∴A′（t，0）， 在Rt△A′OE中，∠OA′E＝30°， ∴A′E＝2OE， ∵OE2+OA′2＝A′E2， ∴OE2+（t）2＝（2OE）2， ∴OEt， 设A′E的解析式为y＝k1xt，则tk1t＝0， ∴k1， ∴A′E的解析式为yxt， ∵△OCD的面积为4， ∴|c•（）﹣d•（）|＝4， 整理得：||， ∵0， ∴， ∴3， ∴c＝3d， ∴C′（3d，）， 把C′（3d，），D′（d，）代入A′E的解析式， 得：， 解得：d＝±， ∵d＜0， ∴d， ∴D′（，3）， ∴OD′2， ∴线段OD的长度为2． 【典例17】（2026•邛崃市模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax+2与反比例函数的图象相交于A（1，3a），B（b，﹣1）两点，与y轴交于点C．点D，E是第一象限内反比例函数图象上的两点，且点E位于A，D两点之间． （1）求a，b和k的值； （2）当△ACD面积为3时，求点D的坐标； （3）将△ADE沿着射线AB的方向平移后得到△A′D′E′，当AE＝DE时，是否存在△A′D′E′两顶点同时落在反比例函数图象上？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意解方程即可得到结论； （2）如图，作DF∥y轴交直线AB于点F，作 AG∥CH∥x轴交DF于点G，H，设，则F（m，m+2）（m＞0），根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）根据△A′D′E′两顶点同时落在反比例函数图象上，得到点A'与点B重合，求得平移方向把点A（1，3）先向下平移4个单位长度，再向左平移4个单位长度得到B（﹣3，﹣1），①如图①，点A'，E'落在反比例函数图象上，得到，解方程得到E（3，1）（不受点D位置影响）；②如图②，点A′，D′落在反比例函数图象上，根据EA＝ED，双曲线和△ADE都是轴对称图形，得到点E在对称轴：直线 y＝x上，解方程组即可得到结论． 【解答】解：（1）∵直线 y＝ax+2 与反比例函数的图象相交于点A（1，3a）， ∴1•a+2＝3a， 解得a＝1， ∴A（1，3）， ∴k＝1×3＝3， ∴﹣b＝3， ∴b＝﹣3，B（﹣3，﹣1）； （2）如图，作DF∥y轴交直线AB于点F，作AG∥CH∥x轴交DF于点G，H， 设，则F（m，m+2）（m＞0）， ∴（CH﹣AG）， ＝3， 解得，（负值舍去），m3＝﹣4，m4＝﹣4（负值舍去）， ∴，（﹣4，4）； （3）存在， ∵△A′D′E′两顶点同时落在反比例函数图象上， ∴点A'与点B重合， ∴平移方向把点A（1，3）先向下平移4个单位长度，再向左平移4个单位长度得到B（﹣3，﹣1）， ①如图①，点A'，E'落在反比例函数图象上， ∵设，则， ∴， 解得e＝3或1（舍去）， ∴E（3，1）（不受点D位置影响）； ②如图②，点A′，D′落在反比例函数图象上， ∵EA＝ED，双曲线和△ADE都是轴对称图形， ∴点E在对称轴：直线 y＝x上， 联立得， 解得（负数舍去）， ∴， 综上所述，点E的坐标为（3，1）或． 【变式17-1】（2026•江西模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，▱ABCD的边AB在一次函数yx+b图象上．且点B（3，1）在反比例函数y（x＞0）的图象上．AD∥x轴，点D（8，2）． （1）求一次函数及反比例函数的解析式； （2）若将▱ABCD向下平移a个单位长度，点C恰好落在y（x＞0）图象上，求a的值． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据平行四边形的性质，得到点A的纵坐标为2，再根据点A在一次函数图象上，求出点A的横坐标，从而得到点C（6，1），设点向下平移的距离为a，则平移后的点C（6，1﹣a），再利用反比例函数解析式求解即可． 【解答】解：（1）∵点B（3，1）在反比例函数y（x＞0）的图象上．将点B的坐标代入得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为， ∵点B（3，1）在反比例函数图象上，将点B的坐标代入得： ∴， 解得：k＝3； （2）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∵AD∥x轴， ∴BC∥x轴， ∵点D（8，2）， ∴点A的纵坐标为2， 当y＝2时，得：， 解得：x＝5， ∴AD＝BC＝8﹣5＝3， ∴点C（6，1）， ∵▱ABCD向下平移，当点C落在图象上， ∴设点向下平移的距离为a，则平移后的点C（6，1﹣a）， ∴6（1﹣a）＝3， 解得：． 【变式17-2】（2025春•泰兴市期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为m，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上．P，Q两点从点O，B处同时出发，分别沿着O→C和B→A的方向运动a个单位长度，运动到C，A两点处同时停止运动，连接PQ．其中a，m均为常数且am≠0． （1）求证：在运动过程中线段PQ经过一定点，记作M，并直接写出点M的坐标；（用含有m的代数式表示） （2）如图2，点M'与点M关于原点O对称．过点M作双曲线（k为常数，k≠0）与AB交于点D，作直线DM'与x轴、y轴分别交于E，F两点，连接ME． ①求证：ME∥BA； ②若四边形MEDQ是平行四边形，求出a与m之间的函数关系式； （3）当m≠2时，在（2）中②的条件下，延长ME交双曲线于G，将直线DE沿y轴向下平移经过点G得到直线y3＝sx+t．结合图象，直接写出不等式的解集． 【分析】（1）运用待定系数法得出直线PQ的解析式，得出点M的坐标即可； （2）①根据中心对称得出点M′的坐标，再求得点D的坐标，运用待定系数法可得直线M′D的解析式； ②由平行四边形性质可得MQ∥ED，即PQ∥M′D，建立方程求解即可； （3）先求得点G的坐标，再求得直线DE平移后的直线解析式，联立方程求得两个交点的横坐标即可求得答案． 【解答】（1）证明：由题意得：P（0，a），Q（m，m﹣a）， 设直线PQ的解析式为y＝nx+b，则， 解得：， ∴直线PQ的解析式为yx+a， 当x时，y•a， ∴点M的坐标为（，），即线段PQ经过一定点M； （2）①证明：由（1）知：M（，）， ∵点M'与点M关于原点O对称． ∴M′（，）， ∵双曲线y1（k为常数，k≠0）经过点M， ∴k， ∵双曲线y1与AB交于点D， ∴D（m，）， 设直线M′D的解析式为y＝k1x+b1，则， 解得：， ∴直线M′D的解析式为yx， 令y＝0，得x0， 解得：x， ∴E（，0，）， ∴ME⊥x轴， ∵AB⊥x轴， ∴ME∥BA； ②解：∵四边形MEDQ是平行四边形， ∴MQ∥ED，即PQ∥M′D， ∴， ∴m＝4a， 即am； （3）解：由（2）②知，ME⊥x轴，E（，0），am， ∴y2， ∴G（，）， ∵将直线DE沿y轴向下平移经过点G得到直线y3＝sx+t ∴y3x+t，把G的坐标代入得：m+t， 解得：tm， ∴y3xm． 联立得：xm， 解得：x1＝1，x2， 当0＜m＜2时，不等式sx+t的解集为x＜1； 当m＞2时，不等式sx+t的解集为1＜x； 综上，当0＜m＜2时，不等式sx+t的解集为x＜1；当m＞2时，不等式sx+t的解集为1＜x． 【变式17-3】（2026•河南模拟）小军将两个含有30°角的全等三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，已知三角板的顶点A恰好在反比例函数的图象上，三角板的顶点B在x轴上，且B点的坐标为（8，0）． （1）求反比例函数的表达式和线段OA所在直线的表达式y＝mx+n（m≠0）． （2）根据图象直接写出的解集． （3）把△OAC沿x轴向右平移a个单位长度，对应得到△O′A′C′，当反比例函数的图象经过△O′A′C′一边的中点时，求a的值． 【分析】（1）先说明△OAB是等边三角形，结合点B（8，0），可得OB＝OA＝8，进而得出OC＝4，再根据勾股定理得，可得点代入，可得反比例函数的解析式；然后将点代入y＝mx得出答案即可； （2）结合直线与双曲线的交点，再根据双曲线在直线上方的部分对应的自变量得取值即为不等式的解集来解答； （3）分两种情况讨论：点D是A′C′的中点，由（1）得，可得，把代入，得x＝8．然后根据a＝OC′﹣OC得出答案；点E是A′O′的中点，作EF⊥x轴，由题意得A′O′＝8，∠A′O′C′＝60°，EO′＝4，再解直角三角形得EF＝EO′•sin∠EO′F，把代入，得x＝8，进而得出OC′，最后根据a＝OC′﹣OC得出答案． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝∠ABO＝60°， ∴△OAB是等边三角形， ∴OC＝CB． ∵B（8，0）， ∴OB＝OA＝8， ∴OC＝4． 在Rt△OAC中，由勾股定理得：． ∴点， 三角板的顶点A恰好在反比例函数的图象上，将点A的坐标代入得： 4， 解得：． ∴反比例函数的解析式为； ∵直线y＝mx+n过原点， ∴n＝0． ∵直线过点， ∴把点代入y＝mx，得：， ∴； （2）的解集是0＜x＜4；理由如下： 由图象得，当0＜x＜4时，， ∴的解集是：0＜x＜4； （3）分两种情况讨论： ①如图1，点D是A′C′的中点，由（1）得， ∴， 把代入，得： 2， 解得：x＝8． ∴a＝OC′﹣OC＝8﹣4＝4； ②如图2，点E是A′O′的中点，过点E作EF⊥x轴于点F． 由题意得A′O′＝8，∠A′O′C′＝60°，EO′＝4， 在Rt△EO′F中，． 把代入，得： 2， 解得：x＝8， ∴OF＝8， ∴OC′＝10， ∴a＝OC′﹣OC＝10﹣4＝6． 综上所述，a的值为4或6． 【典例18】（2026•镇江一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数位于第二象限的图象上，点C在x轴的负半轴上，四边形ABCO为菱形． （1）求点B的坐标和k的值； （2）将菱形ABCO沿过原点的某条直线翻折，记点B的对称点为B′，点C的对称点为C′，当B′点落在函数位于第四象限的图象上时，C′点的坐标为　（0，）或（，﹣2）　 ． 【分析】（1）过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴于F，得到∠BFC＝∠AEO＝90°，根据勾股定理得到OA，根据菱形的性质得到BC∥AO，BC＝AO＝OC，根据全等三角形的性质得到BF＝AE＝2，CF＝OE，求得B（﹣4，2），待定系数法即可得到k＝﹣8； （2）由（1）知反比例函数的解析式为y，根据题意得到过原点的某条直线为y＝x，求得B′（2，﹣4），把B′（2，﹣4）代入y验证的﹣4，符合条件，根据轴对称的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴于F， ∴∠BFC＝∠AEO＝90°， ∵点A的坐标为， ∴AE＝2，OE， ∴OA， ∵四边形ABCO为菱形， ∴BC∥AO，BC＝AO＝OC， ∴∠BCF＝∠AOE， ∴△BCF≌△AOE（AAS）， ∴BF＝AE＝2，CF＝OE， ∴B（﹣4，2）， ∵点B在反比例函数位于第二象限的图象上， ∴2， ∴k＝﹣8； （2）由（1）知反比例函数的解析式为y， ∵将菱形ABCO沿过原点的某条直线翻折，记点B的对称点为B′，点C的对称点为C′，当B′点落在函数位于第四象限的图象上， ∴过原点的某条直线为y＝x， ∵B（﹣4，2）， ∴B′（2，﹣4）， 把B′（2，﹣4）代入y验证得﹣4，符合条件， ∵OC＝OA， ∴C（，0）， ∴点C关于直线y＝x的对称点C′（0，）． 当点C′与点A关于原点对称时，点B的对应点B′在反比例函数上， 即C′（，﹣2）， 故答案为：（0，）或（，﹣2）． 【变式18-1】（2026•包河区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数位于第二象限的图象上，点C在x轴的负半轴上，四边形ABCO为菱形． （1）求点B的坐标和k的值； （2）将菱形ABCO沿过原点的某条直线翻折，记点B的对称点为B′，点C的对称点为C′，当B′点落在函数位于第四象限的图象上时，C′点的坐标为　（0，）或（，﹣2）　 ． 【分析】（1）过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴于F，得到∠BFC＝∠AEO＝90°，根据勾股定理得到OA，根据菱形的性质得到BC∥AO，BC＝AO＝OC，根据全等三角形的性质得到BF＝AE＝2，CF＝OE，求得B（﹣4，2），待定系数法即可得到k＝﹣8； （2）由（1）知反比例函数的解析式为y，根据题意得到过原点的某条直线为y＝x，求得B′（2，﹣4），把B′（2，﹣4）代入y验证的﹣4，符合条件，根据轴对称的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴于F， ∴∠BFC＝∠AEO＝90°， ∵点A的坐标为， ∴AE＝2，OE， ∴OA， ∵四边形ABCO为菱形， ∴BC∥AO，BC＝AO＝OC， ∴∠BCF＝∠AOE， ∴△BCF≌△AOE（AAS）， ∴BF＝AE＝2，CF＝OE， ∴B（﹣4，2）， ∵点B在反比例函数位于第二象限的图象上， ∴2， ∴k＝﹣8； （2）由（1）知反比例函数的解析式为y， ∵将菱形ABCO沿过原点的某条直线翻折，记点B的对称点为B′，点C的对称点为C′，当B′点落在函数位于第四象限的图象上， ∴过原点的某条直线为y＝x， ∵B（﹣4，2）， ∴B′（2，﹣4）， 把B′（2，﹣4）代入y验证得﹣4，符合条件， ∵OC＝OA， ∴C（，0）， ∴点C关于直线y＝x的对称点C′（0，）． 当点C′与点A关于原点对称时，点B的对应点B′在反比例函数上， 即C′（，﹣2）， 故答案为：（0，）或（，﹣2）． 【变式18-2】（2026•溧阳市模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣6，0），C（3，﹣4）是平行四边形OABC的两个顶点，反比例函数的图象经过点B． （1）求出反比例函数的表达式； （2）将平行四边形OABC沿x轴翻折，点C落在点D处． ①判断点D是否在反比例函数的图象上，并说明理由； ②连接OD，作DO与x轴正半轴夹角的角平分线，请直接写出该角平分线所在直线与反比例函数的交点坐标． 【分析】（1）过B作BF⊥x轴于F，过C作CE⊥x轴于E，得到∠AFB＝∠OEC＝90°，根据平行四边形的性质得到AB＝OC，AB∥OC，根据全等三角形的性质得到OE＝AF，CE＝BF，求得B（﹣3，﹣4），于是得到结论； （2）①根据轴对称的性质得到D（3，4），当x＝3时，得到y4，于是得到点D在反比例函数的图象上； ②根据勾股定理得到OD5，过D作DH⊥DO与x轴正半轴夹角的角平分线于H并延长交x轴于G，根据全等三角形的性质得到OG＝OD＝5，DH＝GH，求得H（4，2），设直线OH的解析式为y＝kx，得到直线OH的解析式为yx，解方程组即可得到结论． 【解答】解：（1）过B作BF⊥x轴于F，过C作CE⊥x轴于E， ∴∠AFB＝∠OEC＝90°， ∵四边形ABCO是平行四边形， ∵AB＝OC，AB∥OC， ∴∠BAF＝∠COE， ∴△ABF≌△OCE（AAS）， ∴OE＝AF，CE＝BF， ∵点A（﹣6，0），C（3，﹣4）， ∴OA＝6，OE＝AF＝3，BF＝CE＝4， ∴B（﹣3，﹣4）， ∵反比例函数的图象经过点B， ∴﹣4， ∴m＝12， ∴反比例函数的表达式为y； （2）①点D在反比例函数的图象上， 理由：∵将平行四边形OABC沿x轴翻折，点C落在点D处，C（3，﹣4）， ∴D（3，4）， ∴当x＝3时，y4， ∴点D在反比例函数的图象上； ②∵D（3，4）， ∴OD5， 过D作DH⊥DO与x轴正半轴夹角的角平分线于H并延长交x轴于G， ∴∠DHO＝∠GHO＝90°， ∵∠DOH＝∠GOH，OH＝OH， ∴△DOH≌△GOH（ASA）， ∴OG＝OD＝5，DH＝GH， ∴G（5，0）， ∴H（4，2）， 设直线OH的解析式为y＝kx， ∴2＝4k， ∴k， ∴直线OH的解析式为yx， 解得或， ∴该角平分线所在直线与反比例函数的交点坐标为（2，）． 【典例19】（2026•荥阳市模拟）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点P（3，4）和点B，过点B作直线AB∥x轴，交y轴于点A（0，3）． （1）求这个反比例函数的解析式． （2）以AB为边作等边三角形ABC，点C落在AB边的下面，求点C的坐标． 【分析】（1）根据反比例函数的图象经过点P（3，4），得到4，解方程即可得到结论； （2）由A（0，3），得到OA＝3，求得AB＝4，根据等边三角形的性质得到∠CAB＝60°，AC＝AB＝BC＝4，过C作CH⊥AB于H，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点P（3，4）， ∴4， ∴k＝12， ∴这个反比例函数的解析式为y； （2）∵A（0，3）， ∴OA＝3， ∵AB∥x轴， ∴当y＝3时，x＝4， ∴B（4，3）， ∴AB＝4， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠CAB＝60°，AC＝AB＝BC＝4， 过C作CH⊥AB于H， ∴AH＝2， ∴CH2， ∴点C的坐标为（2，3﹣2）． 【变式19-1】（2025春•句容市期末）如图，正比例函数y＝3x与反比例函数的图象交于点A（a，3），点B为x轴上一点，点C为OB中点，过点O作OD∥AB交AC的延长线于点D． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接BD，判定四边形OABD的形状，并说明理由． 【分析】（1）把点A（a，3）代入正比例函数y＝3x，求出a的值，得到点A的坐标，再将其代入反比例函数中，即可求得k的值； （2）证明△OCD≌△BCA（AAS），得到AC＝DC，根据“对角线互相平分是四边形是平行四边形”得到四边形OABD是平行四边形． 【解答】解：（1）由条件可得3＝3a，解得a＝1， ∴A（1，3）． ∵A（1，3）在反比例函数的图象上， ∴k＝3， ∴反比例函数的解析式． （2）四边形OABD是平行四边形，理由如下： ∵OD∥AB， ∴∠ODC＝∠BAC，∠COD＝∠CBA， 由条件可得OC＝BC， ∴△OCD≌△BCA（AAS）， ∴AC＝DC， ∴四边形OABD是平行四边形． 【变式19-2】（2026•江阳区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在反比例函数y（k＞0，x＞0）第一象限的图象上，点C在x轴的正半轴上，以OA，OC为边作平行四边形OABC，且OA＝6，∠AOC＝60°． （1）求k的值； （2）过点B作BF⊥x轴于点F，BC，BF分别与反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象交于点D，E，若BE＝3EF，求D点的横坐标． 【分析】（1）过点A作AG⊥x轴于点G，在Rt△AOG中，根据含30度角的直角三角形的性质得到，点A的坐标为，则，由此即可求解． （2）根据题意得到四边形ABFG为矩形，，则，OC＝AB＝GF＝OF﹣OG＝12﹣3＝9，由直线OA的解析式为，得到直线BC的解析式为，联立方程组得，由此即可求解． 【解答】解：（1）过点A作AG⊥x轴于点G， 在Rt△AOG中，∠AOG＝60°，OA＝6， ∴∠OAG＝30°， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， 点A在反比例函数y（k＞0，x＞0）第一象限的图象上，将点A的坐标代入得： 3， 解得：； （2）由（1）可得反比例函数解析式为， ∵四边形OABC为平行四边形， ∴AB∥x轴， ∴四边形ABFG为矩形， ∴， ∵BE＝3EF， ∴， 在中， 当时，得：， 解得：x＝12， ∴OF＝12， ∴OC＝AB＝GF＝OF﹣OG＝12﹣3＝9， ∵， 设直线OA的解析式为y＝mx（m≠0），将点A的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线OA的解析式为， ∴直线BC为直线OA向右平移9个单位长度得到， ∴直线BC的解析式为， 令， 解得：（不合题意，舍去），． 【变式19-3】（2025春•姜堰区期末）【问题情境】 综合实践课上，老师组织同学们围绕反比例函数开展数学探究活动． 如图1，过原点的直线与反比例函数的图象交于点A，B，点C是反比例函数第一象限图象上的一点，点A，C的横坐标分别为a，na（n＞1），连接BC交x轴于点D，试探究点D的坐标与a，n的关系． 【探索思考】 （1）A组同学提出从特殊情况着手探究：当k＝4，a＝1，n＝2时，可直接求出点D的坐标； （2）B组同学将部分条件特殊化：当n＝3时，可用含a的代数式表示点D的坐标； 请你结合A、B两组同学的思考，帮助他们分别求出（1）、（2）中点D的坐标； 【问题解决】 （3）用含a，n的代数式表示点D的坐标，并写出完整的推理过程； 【拓展应用】 （4）如图2，若直线AC与x轴交于点E，连接AD，直接写出S△ADE＝k （用含k的代数式表示）． 【分析】（1）根据题意可得：A（1，4），B（﹣1，﹣4），C（2，2），利用待定系数法可得直线BC的解析式为y＝2x﹣2，即可求得点D的坐标； （2）先得出点A、C、B的坐标，再运用待定系数法可得直线BC的解析式，即可求得点D的坐标； （3）同理可得点A、C、B的坐标，再运用待定系数法可得直线BC的解析式，即可求得点D的坐标； （4）利用待定系数法可求得直线AC的解析式，即可得出点E的坐标，利用三角形面积公式即可求得答案． 【解答】解：（1）当k＝4，a＝1，n＝2时， 则y，点A，C的横坐标分别为1，2， ∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），C（2，2）， 设直线BC的解析式为y＝mx+b，则， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝2x﹣2， 当y＝0时，2x﹣2＝0， 解得：x＝1， ∴D（1，0）； （2）当n＝3时，点A，C的横坐标分别为a，3a， ∴A（a，），C（3a，），B（﹣a，）， 设直线BC的解析式为y＝m1x+b1，则， 解得：， ∴直线BC的解析式为yx， 当y＝0时，x0， 解得：x＝2a， ∴D（2a，0）； （3）由题意得：A（a，），B（﹣a，），C（na，）， 设直线BC的解析式为y＝m2x+b2，则， 解得：， ∴直线BC的解析式为yx， 当y＝0时，x0， 解得：x＝a（n﹣1）＝an﹣a， ∴D（an﹣a，0）； （4）如图， 由（3）知：A（a，），C（na，），D（an﹣a，0）， 设直线AC的解析式为y＝m3x+b3，则， 解得：， ∴直线AC的解析式为yx， 当y＝0时，x0， 解得：x＝a（n+1）＝an+a， ∴E（an+a，0）， ∴S△ADE•DE•yA[（an+a）﹣（an﹣a）]k， 故答案为：k． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $