精品解析：重庆市第一中学校2025-2026学年初二下学期期期末定时作业数学试题

秘密★启用前【考试时间：2026年6月30日9∶00-11∶00】 2026年重庆一中初2027届初二下期期末定时作业 数学试题 2026.6 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.25 2. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，若要，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 在一次函数中，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值在（ ）之间 A. 3和4 B. 4和5 C. 5和6 D. 6和7 6. 下列都是由菱形按一定规律组成的，第①个图形共有4个菱形，第②个图形共有7个菱形，第③个图形共有10个菱形，第④个图形共有13个菱形，按此规律，第⑦个图形共有（ ）个菱形 A. 16 B. 19 C. 22 D. 25 7. 某文创商店推出甲、乙两款笔记本，已知乙笔记本的单价是甲笔记本的倍，且用150元购买甲笔记本的数量比用165元购买乙笔记本的数量多4个，求甲、乙两款笔记本的单价．若设甲笔记本的单价为元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点的坐标为，点的坐标为，和是以点为位似中心的位似图形，且点与点在直线AB同侧．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，连接，点为上一点，连接，点为线段上一点，且，点为线段上一点，．若，的面积为，则EF的长为（ ） A. B. C. 6 D. 10. 已知整式，其中，为正整数，，，…，，为整数，满足，且（为整数，），下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有1个单项式； ②当时，若，则满足条件的所有整式共有7个； ③若关于的一元二次方程有两个不同的实数根，满足条件的所有整式的和为． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案填在答题卡对应的横线上． 11. 春晚表演的智能机器人依靠精密控制系统保持动作标准，单次动作修正耗时仅需秒，将数字用科学记数法表示为________． 12. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 13. 如果，那么________． 14. 已知关于的分式方程有增根，则________． 15. 已知方程：的两根为、，则代数式的值为_____． 16. 如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 17. 一个四位自然数，若它的各个数位上的数字互不相等且满足，则称为“自由数”．例如：四位数6347，∵，∴6347是一个“自由数”，则最小的“自由数”是________；记，若一个四位自然数（，，均为整数，且，，）为“自由数”，当能被3整除，则满足条件的的最大值为________． 18. 如图，在矩形中，点在边上，且，是中点，连接，连接交于点，过点作于点，交于点，若，，则的面积为________． 三、解答题：（本大题共8个小题，19题8分，20－26题各10分，共78分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算 （1）解不等式组： （2）解方程： 20. 在学习了平行四边形和菱形以后，小李进行了拓展性研究，她想进一步探索如何在平行四边形的基础上利用尺规作一个菱形，请根据她的想法和思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在平行四边形中，小李在上截取一点，使得，连接，请你利用尺规作图：过点作的垂线，交于点，连接，就可以得到一个菱形（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． （2）在（1）所作的图形中，求证：四边形为菱形（请补全下面的证明过程） 证明：，， ∴① ． ∵四边形是平行四边形， ． ∴② ． ． ∴③ ． ， ∴④ ． ， ∴四边形是⑤ ． ， ∴四边形是菱形． 21. “科技改变生活，创新贏得未来”，为弘扬科学家精神、提升学生科学素养，某校举办了“追光科学家”科普知识竞赛．从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩是：64，67，69，71，73，74，78，79，81，83，85，87，87，87，89，90，98，99，99，100． 八年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：83，85，85，85，87，88，89． 七、八年级所抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 83 83 中位数 84 a 众数 b 85 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生科普知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生600人，八年级有学生820人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 如图1，在中，，，是AC上的点，，，．动点沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点时停止运动；同时，动点沿方向以每秒个单位长度的速度运动，到达点时停止运动．设，运动的时间为秒，的面积为，点与点之间的距离为． （1）请直接写出，关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围； （2）请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 24. 在“乡村振兴，国潮好物”直播助农活动中，某电商平台推出了两款特色农产文创产品：“古法手作茶具套装”（款）和“非遗植物染丝巾”（款）．第一周，该平台以每件30元的进价购进了、两款产品共1000件，并全部售出．其中款售价50元、款售价45元，共获利16000元． （1）求该平台第一周分别购进款，款产品各多少件？ （2）第二周，该平台再次以相同进价购进与第一周相同数量的、两款产品，并调整了售价．款的售价在第一周的基础上下调，此时款的销售量较第一周下降了；款的售价在第一周的基础上上调，此时款的销售量与第一周相同，结果第二周的总销售额与第一周的总销售额相等．求的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴分别交于，两点，直线：与轴，轴分别交于，两点，点在轴正半轴上，且，直线与直线相交于点，且点的横坐标为． （1）如图1，求直线的解析式； （2）如图2，点为线段上一动点，过点作轴于点，作于点．点为直线上一动点，连接，，当时，求的最大值； （3）如图3，将绕点顺时针旋转得到，再将沿直线平移得到，作直线并记为直线，直线与直线相交于点，点为直线上一点，为坐标平面内一点．若以，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 26. 在等腰中，，点是射线上任意一点，连接． （1）如图1，，过点作于点，交于点，，，求线段的长； （2）如图2，，，点是线段上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，使得，连接交于点．求证：； （3）如图3，，，点是线段上的一个动点，连接，，以为边在右侧作等边，在，运动过程中满足．点，分别在线段，上，满足，连接，当与均最小时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前【考试时间：2026年6月30日9∶00-11∶00】 2026年重庆一中初2027届初二下期期末定时作业 数学试题 2026.6 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.25 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，对各选项进行判断即可． 【详解】解：是无限循环小数，属于有理数， 是分数，属于有理数， 是有限小数，属于有理数， 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数． 2. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从正面看到的图形分为上下两层，共三列，下面一层的每一列都有一个小正方形，上面一层最右边那列有一个小正方形，据此可得答案． 【详解】解；从正面看到的视图如下所示： 3. 如图，已知，若要，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 4. 在一次函数中，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次项系数判断一次函数的增减性，再代入x的端点值计算即可得到y的取值范围． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而增大， 当时，， 当时，， ∵， ∴的取值范围为． 5. 估计的值在（ ）之间 A. 3和4 B. 4和5 C. 5和6 D. 6和7 【答案】B 【解析】 【分析】先利用二次根式的乘法法则化简原式，再估算的大小，即可得到原式的取值范围． 【详解】解：， ， ，即原式的值在和之间． 6. 下列都是由菱形按一定规律组成的，第①个图形共有4个菱形，第②个图形共有7个菱形，第③个图形共有10个菱形，第④个图形共有13个菱形，按此规律，第⑦个图形共有（ ）个菱形 A. 16 B. 19 C. 22 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】观察可知，每个图形的菱形个数等于其序号的3倍加1，据此规律可得答案． 【详解】解：第①个图形共有个菱形， 第②个图形共有个菱形， 第③个图形共有个菱形， 第④个图形共有个菱形， ……， 以此类推，可知，第⑦个图形共有个菱形． 7. 某文创商店推出甲、乙两款笔记本，已知乙笔记本的单价是甲笔记本的倍，且用150元购买甲笔记本的数量比用165元购买乙笔记本的数量多4个，求甲、乙两款笔记本的单价．若设甲笔记本的单价为元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据设出的甲笔记本单价表示出乙笔记本的单价，再根据“150元购买甲笔记本的数量比165元购买乙笔记本的数量多4个”的等量关系列方程即可． 【详解】解：设甲笔记本的单价为元，则乙笔记本的单价为元． 由题意得，． 8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点的坐标为，点的坐标为，和是以点为位似中心的位似图形，且点与点在直线AB同侧．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作轴于，过点作轴于，利用位似比求出，的长，结合点的坐标即可求出点的坐标 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于， ，，，  ，，  和是以点为位似中心的位似图形，  ，  位似比为，  ，  ，轴，  ，，  ，  ，  轴，轴，  ，  ，  ， ，，  点在第二象限，  点的纵坐标为，  点在点的左侧，  点的横坐标为，  ． 9. 如图，在正方形中，连接，点为上一点，连接，点为线段上一点，且，点为线段上一点，．若，的面积为，则EF的长为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作，交的延长线于点，先推导出，，由，得到，即，推导出是等腰直角三角形，得到，进而推导出，将①代入上式，得到，接着推导出，即，化简，得到，将①③代入②，得到，则，即可解答． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，如图 ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵，且， ∴． 又∵，即是中边上的高， ∴， ∴， 化简得， 即． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵，且， ∴， 即． 在中，由勾股定理得： ， ∴． 将①代入上式： 在中，， 由勾股定理得． 又∵， ∴， 即． 将代入分子展开化简： ， ， ， ∴， ∴（负值已舍去）． 将①③代入②，得 化简得， 解得， ∵点在线段上， ∴． 10. 已知整式，其中，为正整数，，，…，，为整数，满足，且（为整数，），下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有1个单项式； ②当时，若，则满足条件的所有整式共有7个； ③若关于的一元二次方程有两个不同的实数根，满足条件的所有整式的和为． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等式右边非负确定的可能取值，再依次验证三个说法，结合题干给出的条件逐一分析，判断每个说法是否正确． 【详解】解：由题干条件得： ， ∴， 左边为非负数， ，可得正整数只能为， 验证①： 单项式满足，代入等式得， 由条件， 逐一验证：，不符合； ：，不符合； ：，不符合； ：，符合； 仅有个单项式，故①正确； 验证②： 当时，等式化简得，，条件为，， 时，，可得组符合条件的：； 时，，可得组符合条件的： ； 时，，可得组符合条件的：； 共个整式，不是个，故②错误； 验证③： 一元二次方程则，，且  ，有两个不同实根要求， 且 ，  ，故 的可能值为  当时，符合条件的：； 当时，符合条件的：； 当时，无符合条件的； 当时，符合条件的：； 当时，符合条件的：； 当时，无符合条件的； 当时，无符合条件的； 求和得： ， 不等于，故③错误； 综上，只有个说法正确． 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案填在答题卡对应的横线上． 11. 春晚表演的智能机器人依靠精密控制系统保持动作标准，单次动作修正耗时仅需秒，将数字用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定a和n的值即可得到答案． 【详解】解：． 12. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数． 【详解】解：多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是， 即该正多边形的边数是8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，解题的关键是掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相等． 13. 如果，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】求出，再把代入所求式子中求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 14. 已知关于的分式方程有增根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先把原方程去分母化为整式方程，再求出方程的解，根据分式方程有增根的条件是分母为0建立关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 解得， ∵原方程有增根， ∴， ∴， ∴． 15. 已知方程：的两根为、，则代数式的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程的解的意义和根与系数的关系，将代数式变形后代入求值． 【详解】解：是方程 的根， ， 即 ， 由一元二次方程根与系数的关系得：， ． 故答案为：. 16. 如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 【答案】 【解析】 【分析】证明，得出对应边成比例，求出相关线段即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 解得． 17. 一个四位自然数，若它的各个数位上的数字互不相等且满足，则称为“自由数”．例如：四位数6347，∵，∴6347是一个“自由数”，则最小的“自由数”是________；记，若一个四位自然数（，，均为整数，且，，）为“自由数”，当能被3整除，则满足条件的的最大值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一个空，要找最小的“自由数”，需让高位数字尽可能小，结合“自由数”定义和各数位数字互不等推导即可． 第二个空，先根据的表达式确定各数位数字，利用“自由数”定义得到数量关系，化简，再根据整除条件确定符合要求的，最后根据最大的要求，确定和，得到的最大值． 【详解】解：要得到最小的四位“自由数”，需让高位数字尽可能小． 是四位数，故千位最小取，百位最小取． 由“自由数”定义得，即． 各数位数字互不相等，故且，最小取， 此时． 四个数字互不相等，且，满足条件，故最小的“自由数”是． 由，可得 的千位，百位，十位，个位． ∵是“自由数”，故，即，得． 计算： 由题意，能被整除，故为整数． 已知，为整数， 分别验证： 时，，是整数，符合条件； 时，，是整数，符合条件； 时，，不是整数，不符合； 时，，不是整数，不符合． 要使最大，优先取更大的，故取． 此时， 要使最大，需尽可能大，且四个数位互不相等， 故： ，，得 ，且，故． 最大取，此时，四个数字互不相等，满足条件． 因此． 18. 如图，在矩形中，点在边上，且，是中点，连接，连接交于点，过点作于点，交于点，若，，则的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，连接，过作于，证明，可得，设，则，可得，证明，求解：，证明，可得，，，，证明，可得，进一步可得. 【详解】解：如图，连接，过作于， ∵是中点， ∴在上， ∵矩形， ∴，，，，， ∴， ∵，设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ， ∵， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去）， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∴. 三、解答题：（本大题共8个小题，19题8分，20－26题各10分，共78分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算 （1）解不等式组： （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别解出每个不等式的解，然后即可求出不等式组的解集． （2）根据公式法解方程即可； 【小问1详解】 解：   解不等式①  ，得   解不等式②，得   所以原不等式组的解集为， 【小问2详解】 解： 原方程为， 其中二次项系数，一次项系数，常数项  计算根的判别式得   代入求根公式 得   即． 20. 在学习了平行四边形和菱形以后，小李进行了拓展性研究，她想进一步探索如何在平行四边形的基础上利用尺规作一个菱形，请根据她的想法和思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在平行四边形中，小李在上截取一点，使得，连接，请你利用尺规作图：过点作的垂线，交于点，连接，就可以得到一个菱形（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． （2）在（1）所作的图形中，求证：四边形为菱形（请补全下面的证明过程） 证明：，， ∴① ． ∵四边形是平行四边形， ． ∴② ． ． ∴③ ． ， ∴④ ． ， ∴四边形是⑤ ． ， ∴四边形是菱形． 【答案】（1）如下图所示： （2）， ， ， ，平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据作垂线的步骤作图即可； （2）由等腰三角形三线合一得出，由平行四边形的性质得出，进而可得出，由等角对等边得出，进而可得出，即可证明四边形是⑤平行四边形，再由即可证明四边形是菱形． 【小问1详解】 解：作图略： 【小问2详解】 证明：，， ∴①． ∵四边形是平行四边形， ． ∴②． ． ∴③． ， ∴④． ， ∴四边形是⑤平行四边形． ， ∴四边形是菱形． 21. “科技改变生活，创新贏得未来”，为弘扬科学家精神、提升学生科学素养，某校举办了“追光科学家”科普知识竞赛．从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩是：64，67，69，71，73，74，78，79，81，83，85，87，87，87，89，90，98，99，99，100． 八年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：83，85，85，85，87，88，89． 七、八年级所抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 83 83 中位数 84 a 众数 b 85 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生科普知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生600人，八年级有学生820人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 【答案】（1），， （2）解：八年级成绩更好，理由如下：七、八年级平均数相同，但八年级中位数为85，七年级中位数84，即八年级中位数大于七年级中位数，说明八年级中间水平学生分数更高． （3）396人 【解析】 【分析】（1）找七年级成绩中出现次数最多的数；先算八年级各组人数，确定第10、11个数据的位置，取其平均数；用A组人数除以总人数得比例，即可解答； （2）比较七、八年级的平均数、中位数，即可说明哪个年级成绩更优； （3）先算样本中“不低于90分”的比例，再分别乘以七、八年级总人数，求和得结果． 【小问1详解】 解：七年级成绩中87出现3次，次数最多，故． ∵D组有（人），C组有（人），B组有7人， ∴A组人数有（人）， ∵八年级所抽取学生共20人，从小到大排序：D(2个)→C(5个)→B(7个)→A(6个)，前个是D、C组，第10、11个数都在B组，为85、85， ∴中位数， ∵A组共6人， ∴，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人） 答：该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共约396人． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 23. 如图1，在中，，，是AC上的点，，，．动点沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点时停止运动；同时，动点沿方向以每秒个单位长度的速度运动，到达点时停止运动．设，运动的时间为秒，的面积为，点与点之间的距离为． （1）请直接写出，关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围； （2）请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2） ，或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出．当点P在线段上，即时，，根据三角形的面积公式可得．当点P在线段上，即时，，过点P作于点H，证明，根据相似三角形的性质求得，根据三角形的面积公式可得，综合即可得到关于x的函数表达式．当点Q运动x秒时，，根据线段的和差即可得到关于的函数表达式． （2）根据函数表达式画出函数图象，求出当时x的值，再结合函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴在中，． ∵，， ∴点P运动到点B时需要时间为，运动到点A时需要时间为． 当点P在线段上，即时，， ∴， 即． 当点P在线段上，即时，． 过点P作于点H，则， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 即， ∴关于的函数表达式为． 当点Q运动x秒时，， ∵， ∴， ∴关于的函数表达式为． 【小问2详解】 解：函数，的图象如答案图所示： 当时， 若，则，解得； 若，则，解得． 由图象可得，当时，或． 24. 在“乡村振兴，国潮好物”直播助农活动中，某电商平台推出了两款特色农产文创产品：“古法手作茶具套装”（款）和“非遗植物染丝巾”（款）．第一周，该平台以每件30元的进价购进了、两款产品共1000件，并全部售出．其中款售价50元、款售价45元，共获利16000元． （1）求该平台第一周分别购进款，款产品各多少件？ （2）第二周，该平台再次以相同进价购进与第一周相同数量的、两款产品，并调整了售价．款的售价在第一周的基础上下调，此时款的销售量较第一周下降了；款的售价在第一周的基础上上调，此时款的销售量与第一周相同，结果第二周的总销售额与第一周的总销售额相等．求的值． 【答案】（1） 购进A款产品200件，B款产品800件 （2） 【解析】 【分析】（1）根据购进总数量和总利润的等量关系，列出二元一次方程组求解即可； （2）先算出第一周总销售额，再根据第二周总销售额与第一周相等的等量关系列方程，舍去不符合题意的解后得到a的值． 【小问1详解】 解：设该平台第一周购进A款产品件，购进B款产品件， 根据题意可得   解得   答：该平台第一周购进A款产品200件，B款产品800件， 【小问2详解】 解：第一周总销售额：（元） 设， 根据题意得：   解得（不符合题意，舍去），  即， 得 ． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴分别交于，两点，直线：与轴，轴分别交于，两点，点在轴正半轴上，且，直线与直线相交于点，且点的横坐标为． （1）如图1，求直线的解析式； （2）如图2，点为线段上一动点，过点作轴于点，作于点．点为直线上一动点，连接，，当时，求的最大值； （3）如图3，将绕点顺时针旋转得到，再将沿直线平移得到，作直线并记为直线，直线与直线相交于点，点为直线上一点，为坐标平面内一点．若以，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2） （3），，， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）根据两点之间的距离公式、含角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的三边关系，以及二次根式的化简，即可解答； （3）根据旋转的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、待定系数法求解析式、菱形的性质，以及分类讨论的思想，即可解答． 【小问1详解】 解：直线：与轴，轴分别交于，两点， 令，即，解得， ； 令，即， ， ，． ， ． 直线与直线相交于点，且点的横坐标为， 当时，， ． 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的解析式为． 【小问2详解】 解：直线：与轴，轴分别交于，两点， 令，即，解得， ， ． 由（1）可知，，，，，，， ， 同理，，，，， ，，， ． 如图，取的中点，连接， 则． ， ， 为等边三角形， ． ， ． ，， ，， ， ， ， ， 解得， ， ， ， ， 点的坐标为． 如图，作点关于直线的对称点，与直线交于点， 则，． ， ． ， ， ， ，，， 同理可得，的纵坐标为，的横坐标为，即， ． 根据三角形的三边关系可知，当，，三点共线时，取得最大值，最大值为的长度， 即的最大值为． 【小问3详解】 解：由旋转得，，． 由（2）可知，，， ，． 如图，过点作轴于点， ， ， ， ，， 即． 由题意可知，， 故设直线的解析式为， 将代入得，， ， 直线的解析式为， 故联立， 解得，即． 由（1）可知，， ． 如图所示，以，，，为顶点的菱形有四种情况（将直线与轴的交点记作点，直线与轴的交点记作点）， 当为菱形的边时，即菱形的边长为，此时有三种情况： ， ，， ． 由（2）可知，， ． 由菱形的性质可知，，， ， 轴， 轴． ， ，即， 同理可得，，； 当为菱形的对角线时，即菱形的对角线长度为，此时有一种情况： 由含角的直角三角形的性质和勾股定理可得，菱形的边长为， 由菱形的性质可知，， ， 轴． ， ，即． 综上，所有符合条件的点的坐标为，，，． 26. 在等腰中，，点是射线上任意一点，连接． （1）如图1，，过点作于点，交于点，，，求线段的长； （2）如图2，，，点是线段上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，使得，连接交于点．求证：； （3）如图3，，，点是线段上的一个动点，连接，，以为边在右侧作等边，在，运动过程中满足．点，分别在线段，上，满足，连接，当与均最小时，求线段的长． 【答案】（1）4 （2）证明：如图2，在延长线上取一点使得，连接， ∵， ∴， 设， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 由旋转的性质得，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，得到，再分别在和运用勾股定理即可求解； （2）在延长线上取一点使得，连接，先证明，得到，，再证明，得到，则有，再根据等量代换即可证明； （3）作与的平分线交于点，作于点，连接、，作射线，使得，作于点，先证明，得到，，利用直角三角形的性质进而得到，，则有，分析可知当三点共线时，最小，求出此时，；连接交于点，连接、，利用等腰三角形的性质导角可得，则当时，最小，再进一步求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，， 即线段的长为4； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作与的平分线交于点，作于点，连接、，作射线，使得，作于点， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵与的平分线交于点， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，最小值为， 此时，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵在中，， ∴，即， 解得， ∴， ∴； 如图，连接交于点，连接、， ∵， ∴， 设，则， ∵等边， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点在过点且与夹角为的直线上运动， ∴当时，最小，此时， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， 即线段的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $